第四章數(shù)學期望

1、 在前面的課程中，我們討論了隨機變量在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量X的分布函的分布函數(shù)，那么數(shù)，那么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了. 然而，在實際問題中，分布函數(shù)一般然而，在實際問題中，分布函數(shù)一般是較難確定的是較難確定的. 而在一些實際應用中，人而在一些實際應用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質(zhì)，們并不需要知道隨機變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了. 因此，在對隨機變量的研究中，確定因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的某些數(shù)字特征是重要的 .這

2、一講，我們先介紹隨機變量的數(shù)學期望這一講，我們先介紹隨機變量的數(shù)學期望.在這些數(shù)字特征中，最常用的是在這些數(shù)字特征中，最常用的是期望期望和和方差方差一、離散型隨機變量的數(shù)學期望一、離散型隨機變量的數(shù)學期望平均值是日常生活中最常用的一個數(shù)字特征，平均值是日常生活中最常用的一個數(shù)字特征，它對評它對評判事物作出決策等具有重要作用判事物作出決策等具有重要作用.例如，例如，某商場計劃于某商場計劃于5月月1日在戶外搞一次促銷活動，日在戶外搞一次促銷活動，統(tǒng)計資料表明，統(tǒng)計資料表明，如果在商場內(nèi)搞如果在商場內(nèi)搞可獲得經(jīng)濟可獲得經(jīng)濟效益效益3萬元；萬元；在商場外搞，在商場外搞， 如果不遇雨天可如果不遇雨天可獲

3、得獲得12萬元，萬元，遇到雨天則帶遇到雨天則帶來經(jīng)濟損失來經(jīng)濟損失5萬元；萬元；若前一天的天氣若前一天的天氣預報稱當日有雨預報稱當日有雨的概率為的概率為40%，則商場應如何選擇則商場應如何選擇促銷方式？促銷方式？1.概念的引入概念的引入顯然商場在該日搞促銷活動預期獲得的經(jīng)濟效益顯然商場在該日搞促銷活動預期獲得的經(jīng)濟效益X是一個隨機變量，是一個隨機變量， 其概率分布為其概率分布為,6 . 01211pXPxXP ,4 . 0522pXPxXP 要作出決策就要將此時的平均效益與要作出決策就要將此時的平均效益與3萬元進行比較萬元進行比較,如何求平均效益呢？如何求平均效益呢？ 要客觀地反映平均效益要客

4、觀地反映平均效益,慮慮X的所有取值，的所有取值，又要考慮又要考慮X取每一個值時的概率，取每一個值時的概率，即為即為既要考既要考2 . 54 . 0)5(6 . 01221 iiipx（萬元）（萬元）.稱這個平均效益稱這個平均效益5.2萬元為隨機變量萬元為隨機變量X的的數(shù)學期望數(shù)學期望,2.數(shù)學期望的定義數(shù)學期望的定義定義定義設設X是離散型隨機變量，其概率分布為是離散型隨機變量，其概率分布為, 2 , 1,1 ipxXPi如果如果iiipx 1絕對收斂，絕對收斂，為隨機變量為隨機變量X的的數(shù)學期望數(shù)學期望 （又稱（又稱 1)(iiipxXE均值均值）完完則稱則稱也就是說也就是說,離散型隨機變量的

5、數(shù)學期望是一個絕離散型隨機變量的數(shù)學期望是一個絕對收斂的級數(shù)的和對收斂的級數(shù)的和.例例1 甲甲, , 乙兩人進行打靶乙兩人進行打靶, , 所得分數(shù)分別記為所得分數(shù)分別記為,1X,2X它們的分布律分別為它們的分布律分別為,8 . 02 . 002101kpX1 . 03 . 06 . 02102kpX試評定他們的成績的好壞試評定他們的成績的好壞.解解 我們來計算我們來計算1X的數(shù)學期望的數(shù)學期望, , 得得8 . 18 . 022 . 0100)(1 XE(分分).這意味著這意味著, , 如果甲進行很多次的射擊如果甲進行很多次的射擊, , 那么那么, , 所所得分數(shù)的算術平均就接近得分數(shù)的算術平

6、均就接近 1.8, ,).(5 . 01 . 023 . 016 . 00)(2分分 XE很明顯很明顯, , 乙的成績遠不如甲的成績乙的成績遠不如甲的成績. .完完而乙所得分數(shù)的而乙所得分數(shù)的數(shù)學期望為數(shù)學期望為例例2 某人的一串鑰匙上有某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只有把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串鑰一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門匙中的某一把去開門. 若每把鑰匙試開一次后若每把鑰匙試開一次后除去，求打開門時試開次數(shù)的數(shù)學期望除去，求打開門時試開次數(shù)的數(shù)學期望.解解: 設試開次數(shù)為設試開次數(shù)為X,P(X=k)= 1/n , k=1,2,nE

7、(X) nknk112)1 (1nnn21n于是于是三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 1. 問題的提出：問題的提出： 設已知隨機變量設已知隨機變量X的分布，我們需要計的分布，我們需要計算的不是算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某個函數(shù)的期的某個函數(shù)的期望，比如說望，比如說g(X)的期望的期望. 那么應該如何計算那么應該如何計算呢？呢？如何計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望如何計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望? 一種方法是，因為一種方法是，因為g(X)也是隨機變量，也是隨機變量，故應有概率分布，它的分布可以由已知的故應有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來的分布求出來. 一旦我

8、們知道了一旦我們知道了g(X)的分布，的分布，就可以按照期望的定義把就可以按照期望的定義把Eg(X)計算出來計算出來. 使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù)使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復雜的的分布，一般是比較復雜的 . 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只的分布而只根據(jù)根據(jù)X的分布求得的分布求得Eg(X)呢？呢？定理定理1設設X是一個隨機變量，是一個隨機變量，),(XgY 下面下面引入有關計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的定理引入有關計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的定理. 且且)(YE存存在在, 于是于是(1) 若若X為離散型隨機變量，為離散型隨機變量，其

9、概率分布為其概率分布為, 2 , 1, ipxXPii則則Y的數(shù)學期望為的數(shù)學期望為;)()()(1iiipxgXgEYE (2) 若若X為連續(xù)型隨機變量，為連續(xù)型隨機變量， 其概率密度為其概率密度為),(xf則則Y的數(shù)學期望為的數(shù)學期望為 .)()()()(dxxfxgXgEYE注：注：定理的重要性在于：定理的重要性在于：求求)(XgE時，時，不必知不必知道道)(Xg的分布，的分布，只需知道只需知道X的分布即可的分布即可.這給求隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望帶來很大方便這給求隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望帶來很大方便.完完定理定理2 設設),(YX是二維隨機向量，是二維隨機向量，),(YXgZ 且且)(ZE

10、存在，存在，(1) 若若),(YX為離散型隨機向量，為離散型隨機向量， 其概率分布其概率分布為為), 2 , 1,(, jipyYxXPijji則則Z的數(shù)學期望為的數(shù)學期望為;),(),()(11 jiijjipyxgYXgEZE(2)若若),(YX為連續(xù)型隨機向量，為連續(xù)型隨機向量， 其概率密度為其概率密度為),(yxf則則Z的數(shù)學期望為的數(shù)學期望為 .),(),(),()(dxdyyxfyxgYXgEZE注注：上述定理可推廣到二維以上的情形上述定理可推廣到二維以上的情形例例3 設設),(YX的聯(lián)合概率分布為的聯(lián)合概率分布為: :8/1008/1308/38/3013210XY求求).(),

11、(),(YXEYEXE 解解 要求要求)(XE和和),(YE需先求出需先求出X和和Y的邊緣的邊緣分布分布. . 關于關于X和和Y的邊緣分布為的邊緣分布為4/14/331PX8/18/38/38/13210PY4/14/331PX8/18/38/38/13210PY則有則有23413431)( XE23813832831810)( YE83)21(83)11(0)01()( YXE81)33( . 4/9 81)03(0)31( 0)23(0)13( 四、數(shù)學期望的性質(zhì)四、數(shù)學期望的性質(zhì)1.設設C是常數(shù)，是常數(shù)，則則;)(CCE 2. 若若X是隨機變量，是隨機變量，若若C是常數(shù)，是常數(shù)，則則);

12、()(XCECXE 3.E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);niiniiXEXE11)(:推廣 4. 設設X、Y獨立，則獨立，則 E(XY)=E(X)E(Y);niiniiXEXE11)(:推廣注意注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y獨立獨立數(shù)學期望的性質(zhì)數(shù)學期望的性質(zhì)4.若若),(YX是二維隨機向量，是二維隨機向量，且且YX,相互獨立相互獨立,則則).()()(YEXEXYE ),(11 niiniiXEXEnXXX,(21相互獨立相互獨立).注注：推廣到推廣到n維隨機向量的情形，維隨機向量的情形， 有有2. 若若X是隨機變量，是隨機變量，若若C是常

13、數(shù)，是常數(shù)，則則);()(XCECXE 證證這里只對離散型情形進行證明，這里只對離散型情形進行證明，連續(xù)型情形留連續(xù)型情形留給讀者給讀者.設設X的概率分布為的概率分布為), 2 , 1( , ipxXPii則由定理則由定理1， 11).()()(iiiiiiXCEpxCpCxCXE有有完完4.設設YX,相互獨立，相互獨立，則則).()()(YEXEXYE 證證 這里只對連續(xù)型情形進行證明，這里只對連續(xù)型情形進行證明， 離散型情形留給離散型情形留給讀者讀者.設設),(YX的聯(lián)合密度函數(shù)度為的聯(lián)合密度函數(shù)度為),(yxf其邊緣概率密度分別為其邊緣概率密度分別為)(xfX和和),(xfY由定由定理理

14、2知知 ,),()(dxdyyxxyfXYE因為因為X和和Y相互獨立，相互獨立，),()(),(yfxfyxfYX 所以有所以有所以有所以有dxdyyfxxyfXYEYY)()()( dyyyfdxxxfYX)()().()(YEXE 注注：由由)()()(YEXEXYE 不一定能推出不一定能推出YX,獨立獨立.例如，例如，在例在例8中，中， 我們已計算得我們已計算得, 4/9)()()( YEXEXYE但但, 4/31, 00, 1 XPYXP, 8/10 YP顯然顯然,010, 1 YPXPYXP注注：由由)()()(YEXEXYE 不一定能推出不一定能推出YX,獨立獨立.例如，例如，在例

15、在例8中，中， 我們已計算得我們已計算得, 4/9)()()( YEXEXYE但但, 4/31, 00, 1 XPYXP, 8/10 YP顯然顯然,010, 1 YPXPYXP故故X與與Y不獨立不獨立.完完例例4設設)(),(2XEXE均存在均存在, , 證明證明.)()()(222XEXEXEXE 證證 因為因為,)()(2)(222XEXEXXXEX 于是于是)()(2)(222XEXEXXEXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE .)()(22XEXE 完完例例5一民航送客車載有一民航送客車載有 20 位旅客自機場開出位旅客自機場開出, ,旅客有旅客有 10 個車站可以下車個車

16、站可以下車. .如到達一個車站沒如到達一個車站沒有旅客下車就不停車有旅客下車就不停車, , 以以X表示停車的次數(shù)表示停車的次數(shù), , 求求)(XE(設每位旅客在各個車站下車是等可能的設每位旅客在各個車站下車是等可能的, ,并設各旅客是否下車相互獨立并設各旅客是否下車相互獨立). .解解 引入隨機變量引入隨機變量 , 1, 0iX在第在第在第在第ii站沒有人下車站沒有人下車站沒有人下車站沒有人下車, ,.10, 2 , 1 i易知易知.1021XXXX 現(xiàn)在來求現(xiàn)在來求).(XE按題意按題意, , 任一旅客不在第任一旅客不在第i站站下車的概率為下車的概率為,10/9因此因此 20 位旅客都不在第

17、位旅客都不在第i站下車的概率為站下車的概率為,)10/9(20在第在第i站有人下車的站有人下車的概率為概率為,)10/9(120 即即,)10/9(020 iXP,)10/9(1120 iXP.10, 2 , 1 i由此由此,)10/9(1)(20 iXE.10, 2 , 1 i進而進而)()(1021XXXEXE )()()(1021XEXEXE 784. 8)10/9(11020 (次次). .12E1(|) 故210133 13只要能夠?qū)懗鰲l件概率分布，條件期望的計算與無條件期望相同。六六 條件期望條件期望例6 兩封信隨機往編號為、的四個郵筒內(nèi)投，i表示i個郵筒內(nèi)信的數(shù)目(i=1,2)。

18、求第二個郵筒內(nèi)有一封信的條件下第一個郵筒內(nèi)信的數(shù)目的平均值。1120121P133 解：(|)解：首先求出邊緣概率表01310 10 20 320 20 1021E32 已知的聯(lián)合分布表為例求及E()( , ).( |)|12P0 60 4.013P0 30 30 4.3 時 的條件分布為124 3故E( | =3)=14542 時 的條件分布為113E2013244( |) 故=11231Pk344(|) 013111Pk|2244() i,x i對于二元離散型隨機變量()，在 x的條件下，求 的數(shù)學期望，稱為給定 時 的條件期望。iEx( |) 記作ijjijExy Pyx( |)(|) ijj1jip