動(dòng)力氣象-第三章(尺度分析與方程簡(jiǎn)化)教材

1、第三章第三章 尺度分析與基本方程組的簡(jiǎn)化尺度分析與基本方程組的簡(jiǎn)化 一一尺度分析尺度分析二二大尺度運(yùn)動(dòng)方程組簡(jiǎn)化大尺度運(yùn)動(dòng)方程組簡(jiǎn)化 三三大尺度運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)大尺度運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì) 四四無量綱方程及動(dòng)力學(xué)參數(shù)無量綱方程及動(dòng)力學(xué)參數(shù)引引 言言 大氣運(yùn)動(dòng)方程組是非常復(fù)雜的，它是具有大氣運(yùn)動(dòng)方程組是非常復(fù)雜的，它是具有6個(gè)個(gè)變量的變量的非線性非線性偏微分方程組，因此在研究具體的大偏微分方程組，因此在研究具體的大氣運(yùn)動(dòng)過程時(shí)，需要對(duì)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化。氣運(yùn)動(dòng)過程時(shí)，需要對(duì)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化。 所謂簡(jiǎn)化就是在運(yùn)用運(yùn)動(dòng)方程之前，針對(duì)所研所謂簡(jiǎn)化就是在運(yùn)用運(yùn)動(dòng)方程之前，針對(duì)所研究的運(yùn)動(dòng)形勢(shì)的特點(diǎn)，正確區(qū)分影響運(yùn)動(dòng)過程的究

2、的運(yùn)動(dòng)形勢(shì)的特點(diǎn)，正確區(qū)分影響運(yùn)動(dòng)過程的主主要因素要因素和和次要因素次要因素，然后略去方程中次要項(xiàng)，而保，然后略去方程中次要項(xiàng)，而保留其中主要項(xiàng)。留其中主要項(xiàng)。目的：目的：對(duì)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，突出主要因子，研對(duì)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，突出主要因子，研究運(yùn)動(dòng)的主要特征。究運(yùn)動(dòng)的主要特征。途徑：途徑：分析各因子（各項(xiàng)）大小，分析各因子（各項(xiàng)）大小， 大大重要；重要； 次要次要簡(jiǎn)化的方程一方面在簡(jiǎn)化的方程一方面在數(shù)學(xué)形式數(shù)學(xué)形式上變得上變得簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單和容易處理和容易處理，另一方面突出了某種運(yùn)動(dòng)型，另一方面突出了某種運(yùn)動(dòng)型式的本質(zhì)特征，其結(jié)果便于從式的本質(zhì)特征，其結(jié)果便于從物理上進(jìn)行物理上進(jìn)行解釋解釋和和在實(shí)際工作中

3、應(yīng)用在實(shí)際工作中應(yīng)用。一、尺度分析一、尺度分析特征尺度特征尺度是指某種特定型式運(yùn)動(dòng)的空間范圍和時(shí)是指某種特定型式運(yùn)動(dòng)的空間范圍和時(shí)間區(qū)間以及氣象要素或者其他特性的間區(qū)間以及氣象要素或者其他特性的一般大小一般大小。各物理場(chǎng)變量的時(shí)空變化有一個(gè)范圍，具有各物理場(chǎng)變量的時(shí)空變化有一個(gè)范圍，具有代表代表意義的量值意義的量值特征值特征值尺度。尺度。例：水平風(fēng)速在例：水平風(fēng)速在 525m/s之間，特征值之間，特征值 ( U ) 取為取為10m/s。u=Uu*，v=Uv*，則則U101m/s，u*和和v*為為數(shù)值在數(shù)值在0.52.5之間的之間的無量綱量無量綱量。將任一物理量將任一物理量q 寫作：寫作： q

4、= Q q* 其中：其中： Q 特征量特征量，表示該物理量的，表示該物理量的一般大小一般大??；常量；有量綱常量；有量綱。 q* 無量綱量無量綱量，量級(jí)在，量級(jí)在 100，表示該，表示該物理量的物理量的具體大小具體大??；變量；沒有量綱變量；沒有量綱。 這里的這里的q是廣義的，不僅包括氣象要素，是廣義的，不僅包括氣象要素，還包括方程各項(xiàng)。還包括方程各項(xiàng)。比較物理量的大小，可比較特征量的大小。比較物理量的大小，可比較特征量的大小。*,uUuttuUutt已知：則：*Uuutt是的特征量，是其無量綱量。 特征尺度的選取和記號(hào)特征尺度的選取和記號(hào) 運(yùn)動(dòng)的水平尺度運(yùn)動(dòng)的水平尺度L：對(duì)于波狀式的運(yùn)動(dòng)取其對(duì)于

5、波狀式的運(yùn)動(dòng)取其1/4 的波長(zhǎng)，對(duì)于渦旋運(yùn)動(dòng)則取其半徑；的波長(zhǎng)，對(duì)于渦旋運(yùn)動(dòng)則取其半徑； 鉛直（垂直）尺度鉛直（垂直）尺度D：是指系統(tǒng)的垂直厚度；：是指系統(tǒng)的垂直厚度； 時(shí)間尺度時(shí)間尺度 ：系統(tǒng)發(fā)生到消亡所經(jīng)歷的時(shí)間；系統(tǒng)發(fā)生到消亡所經(jīng)歷的時(shí)間； 水平速度尺度水平速度尺度U：是指水平速度的量級(jí)；是指水平速度的量級(jí)； 垂直速度尺度垂直速度尺度W：則是指垂直尺度的量級(jí)。則是指垂直尺度的量級(jí)。 特征尺度的選取和記號(hào)特征尺度的選取和記號(hào) 尺度分析法的基本規(guī)定尺度分析法的基本規(guī)定 (1) 速度（水平、垂直）變化尺度與速度尺度相速度（水平、垂直）變化尺度與速度尺度相同：同： hU zU U， hW zW

6、W (2) 經(jīng)過時(shí)間尺度經(jīng)過時(shí)間尺度 ，物理量，物理量F的時(shí)間變化尺度的時(shí)間變化尺度 tF與水平變化尺度與水平變化尺度 hF相同：相同： tF hF (3) 氣壓和密度的氣壓和密度的水平變化尺度比其本身的尺度水平變化尺度比其本身的尺度小，小，但是但是氣壓和密度的垂直變化尺度與氣壓和密度的垂直變化尺度與其本身其本身的尺度相當(dāng)：的尺度相當(dāng)： hPP ， h ； zPP ， z 。uuUxxLuuvvUxyxyLuvUzzDwwWxyLwWzD時(shí)間尺度：時(shí)間尺度：運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)演變經(jīng)歷一個(gè)階段所運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)演變經(jīng)歷一個(gè)階段所需要的特征時(shí)間，用符號(hào)需要的特征時(shí)間，用符號(hào)表示。表示。=L/C，如果如果=L/U，則

7、稱為則稱為平流時(shí)間尺度平流時(shí)間尺度。2,uvCUUwCWUWttLLtLL尺度分析數(shù)量級(jí)運(yùn)算規(guī)則尺度分析數(shù)量級(jí)運(yùn)算規(guī)則大氣運(yùn)動(dòng)的尺度分類大氣運(yùn)動(dòng)的尺度分類水平水平氣壓梯度力是一真實(shí)力，它應(yīng)是運(yùn)動(dòng)方程氣壓梯度力是一真實(shí)力，它應(yīng)是運(yùn)動(dòng)方程中的主要項(xiàng)。觀測(cè)表明，在水平特征尺度相差中的主要項(xiàng)。觀測(cè)表明，在水平特征尺度相差很大的氣旋、反氣旋和龍卷、颮線、颶風(fēng)（臺(tái)很大的氣旋、反氣旋和龍卷、颮線、颶風(fēng)（臺(tái)風(fēng)）中的風(fēng)）中的水平氣壓變動(dòng)水平氣壓變動(dòng)尺度可達(dá)到同樣的量級(jí)，尺度可達(dá)到同樣的量級(jí)，使得它們的使得它們的水平氣壓梯度水平氣壓梯度相差好幾個(gè)量級(jí)。相差好幾個(gè)量級(jí)。說說明大氣運(yùn)動(dòng)的特征與水平尺度關(guān)系密切明大氣運(yùn)

8、動(dòng)的特征與水平尺度關(guān)系密切，因此，因此常根據(jù)運(yùn)動(dòng)的水平特征尺度對(duì)大氣運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分常根據(jù)運(yùn)動(dòng)的水平特征尺度對(duì)大氣運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分類。通常分為大、中、小尺度運(yùn)動(dòng)。類。通常分為大、中、小尺度運(yùn)動(dòng)。各類運(yùn)動(dòng)的特征尺度各類運(yùn)動(dòng)的特征尺度基本物理量基本物理量各類運(yùn)動(dòng)的特征尺度各類運(yùn)動(dòng)的特征尺度輔助物理量輔助物理量在中緯度大尺度大氣運(yùn)動(dòng)，各物理量的特征量為： 11216410;10;10;10UmsWmsLm Hm5203322250210(1000)10110101010hhzzNPhPamNPNgmsmPPPNPmP，17 5 10LsU對(duì)方程組進(jìn)行尺度分析對(duì)方程組進(jìn)行尺度分析水平尺度：水平尺度：大尺度為106

9、m；中尺度為105m；小尺度為104m。時(shí)間尺度：時(shí)間尺度：大尺度為105s；中尺度為104s；小尺度為103s?；痉匠痰暮?jiǎn)化方法1.零級(jí)簡(jiǎn)化方程零級(jí)簡(jiǎn)化方程 零級(jí)簡(jiǎn)化：保留方程中數(shù)量級(jí)最大的各項(xiàng)，零級(jí)簡(jiǎn)化：保留方程中數(shù)量級(jí)最大的各項(xiàng)，而其他項(xiàng)都略去不計(jì)。而其他項(xiàng)都略去不計(jì)。2.一級(jí)簡(jiǎn)化方程一級(jí)簡(jiǎn)化方程 一級(jí)簡(jiǎn)化：除保留方程中數(shù)量級(jí)最大的各項(xiàng)一級(jí)簡(jiǎn)化：除保留方程中數(shù)量級(jí)最大的各項(xiàng)外，還保留比最大項(xiàng)小一個(gè)量的各項(xiàng)。外，還保留比最大項(xiàng)小一個(gè)量的各項(xiàng)。運(yùn)動(dòng)方程的尺度分析運(yùn)動(dòng)方程的尺度分析（不考慮摩擦力）（不考慮摩擦力）二、大尺度運(yùn)動(dòng)方程組簡(jiǎn)化二、大尺度運(yùn)動(dòng)方程組簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)方程的尺度分析運(yùn)動(dòng)方程的尺度

10、分析（不考慮摩擦力不考慮摩擦力）運(yùn)動(dòng)方程的尺度分析運(yùn)動(dòng)方程的尺度分析（不考慮摩擦力不考慮摩擦力）連續(xù)方程的尺度分析連續(xù)方程的尺度分析熱力學(xué)方程簡(jiǎn)化（絕熱）熱力學(xué)方程簡(jiǎn)化（絕熱）熱力學(xué)方程簡(jiǎn)化（絕熱）熱力學(xué)方程簡(jiǎn)化（絕熱）28零級(jí)簡(jiǎn)化方程（只保留量級(jí)最大項(xiàng)，得到的方程）為：10101000pfvxpfuypgzuvxyTTTuutxy三、大尺度運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)三、大尺度運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)1. 水平方向上： 10hpfkV水平氣壓梯度力水平科氏力0地轉(zhuǎn)平衡地轉(zhuǎn)平衡地轉(zhuǎn)平衡運(yùn)動(dòng)的特征：動(dòng)力學(xué)特征：水平壓力梯度力與科氏力相平衡運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：風(fēng)沿等壓線吹；背風(fēng)而立，高壓在右，低壓在左（南半球相反）。地轉(zhuǎn)風(fēng)的表達(dá)

11、式： 1ghVkPf1ghVkf南半球：南半球：0,0f在南半球：高壓反氣旋逆時(shí)針2. 垂直方向上： 10pgpg zz 靜力平衡 不僅適用于大尺度系統(tǒng)，還適于中小尺度系統(tǒng)。 dPgdz Z坐標(biāo)向P坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換的物理基礎(chǔ) 對(duì)上式從Z高度積分到大氣頂H： ( )( )( )HPHP zzHHzHzdPgdzPP zgdzP zgdz 推論：垂直氣壓梯度力浮力 0uvxy連續(xù)方程的零級(jí)簡(jiǎn)化形式：水平無輻散水平無輻散熱力學(xué)方程的零級(jí)簡(jiǎn)化形式（絕熱） ： 0TTTuvtxy大尺度運(yùn)動(dòng)中溫度的局地變化 主要是由溫度平流引起的大尺度運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)大尺度運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)大尺度零級(jí)近似方程組（無絕熱方程）大尺度零

12、級(jí)近似方程組（無絕熱方程）1010100pfvxpfuypgzuvxy中緯度大尺度運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)水平、中緯度大尺度運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)水平、準(zhǔn)地轉(zhuǎn)平衡、準(zhǔn)靜力平衡、準(zhǔn)地轉(zhuǎn)平衡、準(zhǔn)靜力平衡、準(zhǔn)水平無輻散、緩慢變化的準(zhǔn)水平無輻散、緩慢變化的渦旋運(yùn)動(dòng)。渦旋運(yùn)動(dòng)。診斷方程、平衡簡(jiǎn)化方程組。診斷方程、平衡簡(jiǎn)化方程組。一級(jí)近似簡(jiǎn)化方程組一級(jí)近似簡(jiǎn)化方程組（保留量級(jí)最大項(xiàng)，和次一級(jí)的項(xiàng)，得到的方程）1110()0()0duuupuvfvtxyxuuupuvfutxyypgzuvwxyzTTTuuwtxy 密度變化準(zhǔn)定常密度變化準(zhǔn)定常準(zhǔn)水平，準(zhǔn)水平，非定常非定常準(zhǔn)靜力平衡準(zhǔn)靜力平衡0t0wz非平衡方程組。非平衡方程組。進(jìn)行尺度

13、分析的步驟：1）把方程各項(xiàng)寫作 “特征量無量綱量”的形式。2）化為“無量綱方程” ： 用方程中某一項(xiàng)的特征量同除方程的每一項(xiàng)（量綱齊次性原理）無量綱方程各項(xiàng)前面的系數(shù)無量綱（數(shù)）體現(xiàn)各項(xiàng)的相對(duì)重要性。 四、無量綱方程與無量綱參數(shù)無量綱方程與無量綱參數(shù)利用特征尺度將基本方程組進(jìn)行無量綱化。不計(jì)摩擦的局地直角坐標(biāo)系x方向的運(yùn)動(dòng)方程為：1uuuupuvwfvtxyzx 給出特征尺度引入無量綱量，記為：0( , )( ,)( , )( , )hhhx yL x yu vU u vpPpzDzttwWwff f 帶上標(biāo)的為無量綱量，量級(jí)為1。01f討論各參數(shù)的物理意義？討論各參數(shù)的物理意義？ 為基別爾參

14、數(shù)：定義為局地慣性力與科氏力的尺度之比：001 =uUtfvf Uff0 是大氣中慣性運(yùn)動(dòng)的特征頻率，所以，f0-1可以理解為慣性運(yùn)動(dòng)的特征時(shí)間尺度（e），也是地轉(zhuǎn)適應(yīng)過程的特征時(shí)間尺度。討論各參數(shù)的物理意義？01ef因此，又可以理解為慣性運(yùn)動(dòng)的時(shí)間尺度與所研究的運(yùn)動(dòng)時(shí)間尺度之比，其大小反映運(yùn)動(dòng)變化過程的快慢程度。即的量級(jí)表示運(yùn)動(dòng)地轉(zhuǎn)平衡近似程度。因此，當(dāng)因此，當(dāng) 1 時(shí)，時(shí)， u/t 相對(duì)于fv 可以略去。001 =uUtfvf Uf討論各參數(shù)的物理意義？ 為羅斯貝參數(shù)，表示為水平慣性力與科氏力的尺度之比0020/VuULURfvf Uf L當(dāng)R01，科氏力相對(duì)于水平慣性力可以略去。由于各類

15、運(yùn)動(dòng)中的圖中水平速度變化不大，因此，R0的大小主要依賴于各種運(yùn)動(dòng)的水平尺度。大尺度運(yùn)動(dòng)中， R01，科氏力是不能忽略的；小尺度運(yùn)動(dòng)中， R01，科氏力可以被忽略不計(jì)。1001101010R大 尺 度中 尺 度小 尺 度中緯度大尺度運(yùn)動(dòng)： 41010,10mfs Us610Lm100101URf L準(zhǔn)地轉(zhuǎn)中緯度中小尺度運(yùn)動(dòng)： 41010,10mfs Us510Lm00010URf L非地轉(zhuǎn)熱帶大尺度運(yùn)動(dòng)： 51010,10mfs Us610Lm00010URf L非地轉(zhuǎn) Ri為理查遜數(shù)，這是一個(gè)與為理查遜數(shù)，這是一個(gè)與大氣層結(jié)穩(wěn)定度大氣層結(jié)穩(wěn)定度和和風(fēng)速切變風(fēng)速切變有關(guān)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。有關(guān)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。 熱力學(xué)方程由位溫?zé)崃W(xué)方程由位溫( )來表示為：來表示為： 令令 眾所周知，層結(jié)越不穩(wěn)定、風(fēng)速越強(qiáng)，則有利于對(duì)眾所周知，層結(jié)越不穩(wěn)定、風(fēng)速越強(qiáng)，則有利于對(duì)流的發(fā)展；反之不利于對(duì)流的發(fā)展。所以，流的發(fā)展；反之不利于對(duì)流的發(fā)展。所以，Ri當(dāng)用來當(dāng)用來表示大氣中對(duì)流（擾動(dòng)）導(dǎo)致的條件。表示大氣中對(duì)流（擾動(dòng)）導(dǎo)致的條件。2222ln/(/)(/)igzgg DRvzvzUlnlnlnln0uvwtxyzln1()dzT為什么要簡(jiǎn)化基本方程組？為什么要簡(jiǎn)化基本方程組？原因：描述大氣運(yùn)動(dòng)的基本方程組非常復(fù)雜物理上：影響大氣運(yùn)動(dòng)的因子很多，重點(diǎn)不突出數(shù)學(xué)上：方程組是