第77講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1、新課標高中一輪總復習1第十一單元直線與圓、圓錐曲線與方程2第77講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系3 學會用坐標法探究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，進一步體會曲線方程的解與曲線上點的坐標之間的關(guān)系，培養(yǎng)方程思想.41.假設ab且ab0,那么直線ax-y+b=0和二次曲線bx2+ay2=ab的位置關(guān)系可能是( )C5 由，直線方程可化為y=ax+b,其中a為斜率,b為縱截距，二次曲線方程可化為 =1，應用淘汰法可知A、B、D均自相矛盾.應選C.62.直線x+y=2與橢圓x2+ky2=1有公共點，那么k的取值范圍是 .(0, 3.過原點的直線l:y=kx與雙曲線C: =1有兩個交點，那么直線l的斜率k的取值范

2、圍是 . 由于雙曲線的漸近線的方程為y= x,數(shù)形結(jié)合可知l與C有兩個交點，那么直線l夾在兩漸近線之間，從而- k0,解得-1k0或0k1,即-1tan0或0tan1,故 或0 .因此85.直線y=kx-2與橢圓x2+4y2=80相交于不同的兩點P、Q,假設PQ的中點的橫坐標為2,那么弦長|PQ|等于 .6 y=kx-2 x2+4y2=801+4k2)x2-16kx-64=0.設P(x1,y1),Q(x2,y2),那么x1+x2= =22,得k= ,從而x1+x2=4,x1x2= =-32,因此|PQ|= |x1-x2|= =6 .由于，消去整理得91.直線與圓的位置關(guān)系的判斷由圓心到直線的距

3、離d與圓半徑r比較大小判斷位置關(guān)系;(1)當dr時,直線與圓 ;(2)當d=r時,直線與圓 ;(3)當dr時，直線與圓 .2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，可將直線l的方程代入曲線C的方程，消去y(或x)得一個關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0或ay2+by+c=0.相離相切相交10(1)當a0時,那么有 ,l與C相交; ,l與C相切; ,l與C相離;(2)當a=0時，即得到一個一次方程，那么l與C相交,且只有一個交點,此時,假設曲線C為雙曲線,那么l 于雙曲線的漸近線;假設C為拋物線,那么l 于拋物線的對稱軸.0=00平行平行113.弦長

4、公式連接圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦.要能熟練地利用方程與根的系數(shù)關(guān)系來計算弦長，常用的弦長公式|AB|= = .當直線與圓錐曲線相交時，涉及弦長問題，常用“韋達定理設而不求計算弦長.12例1題型一 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷 假設曲線y2=ax與直線y=(a+1)x-1恰有一個公共點，求實數(shù)a的值.13 y=(a+1)x-1 y2=ax.(1)當a=0時,此時方程組恰有一組解為 x=1 y=0.(2)當a0時，消去x，得 y2 -y-1=0.假設 =0，即a=-1，方程變?yōu)?y-1=0， x=-1 y=-1.聯(lián)立方程組方程組恰有一組解14假設 0，即a-1，由=0，得1+ =0

5、，解得a=- .這時直線與曲線相切，只有一個公共點. 綜上所知，當a=0，-1，- 時，直線y=(a+1)x-1與曲線y2=ax恰有一個公共點. 在判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，先聯(lián)立方程組，再消元，得到一元方程.注意是否構(gòu)成一元二次方程即討論二次系數(shù)為零，假設構(gòu)成二次方程，那么直接用判別式進行判斷.15 1過點0，2的直線l與拋物線y2=4x有且只有一個公共點，那么滿足條件的直線l的條數(shù)為 ； (2)無論k為何值，直線y=kx+2與焦點在x軸上的橢圓 =1都有公共點，那么m的取值范圍是 .3條4m516 (1)假設直線l的斜率k不存在,那么l的方程為x=0,與拋物線只有一個公共點(0，0)

6、； y=kx+2 y2=4x,消去x，得 y2-y+2=0.當k=0時，方程為-y+2=0，此時l與拋物線只有一個公共點1，2.當k0時，由=1-2k=0，得k= ，此時，直線與拋物線相切.故滿足條件的l有x=0；y=2；y= x+2，共3條.假設斜率k存在,設l:y=kx+2,聯(lián)立方程組17(2)因為直線y=kx+2過定點(0，2)，當該點在橢圓上或橢圓內(nèi)時，直線與橢圓恒有公共點，又橢圓焦點在x軸上，可得4m5.18例2題型二 直線與圓錐曲線相交時的弦長問題 橢圓ax2+by2=1與直線x+y-1=0相交于A、B兩點，C是線段AB的中點.假設|AB|=2 ，直線OC的斜率為 ，求實數(shù)a、b的

7、值.19 設橢圓與直線交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點, ax2+by2=1 x+y=1，可得(a+b)x2-2bx+b-1=0.所以x1+x2= ，x1x2= ,所以 |x1-x2|= = =2 ,那么由20整理得(a+b)2=a+b-ab. 又因為kOC= = = = -1= = ，所以a= b，代入，得a= ，b= .21 弦長公式|AB|= |x1-x2|中，k指的是直線的斜率，x1、x2分別指弦的端點A、B的橫坐標，求解時，注意與韋達定理結(jié)合.如果是焦點弦，還可結(jié)合圓錐曲線定義求解；如果k不存在，此時直線AB與x軸垂直，可將A點的橫坐標直接代入曲線方程求解.22 如下圖，拋

8、物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標為5，0,傾斜角為 的直線l與線段OA相交不經(jīng)過點O和點A，且交拋物線于M、N兩點，求AMN的面積最大時直線l的方程，并求AMN的最大面積.23 由題意,可設l的方程為y=x+m(-5m0,解得m1.又-5m0.設A(x1,y1)，B(x2，y2)，那么y1+y2= .又Q是AB的中點 ,=1,所以 =2,由此,k=4.所以弦AB所在直線的方程為4x-y-15=0.由33 雙曲線C:x2- =1,過點A( ，0)作直線l與雙曲線C交于P、Q兩點.假設PQ的長等于雙曲線C的實軸長的3倍，求直線l的斜率.34 而2a=2,與題意不符,故l的斜率必存在,設為k,那

9、么l:y=k(x- ). x2- =1 y=k(x- ),得(2-k2)x2+2 k2x-3k2-2=0.(*)設P(x1,y1),Q(x2,y2),于是有x1+x2= ,x1x2= .由35(方法一)|PQ|2=(1+k2)|x1-x2|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+k2)( )2+4 =36.化簡得5k4-44k2+32=0,解得k2=8或k2=45,代回(*)式，經(jīng)檢驗，0均成立，故k=2 或k= .36(方法二)由題意，點A恰為雙曲線C的右焦點，過P、Q作右準線的垂線，垂足分別為P、Q，如圖.假設P、Q均在右支上，那么PQPA+|QA|=e(|PP|+|QQ|)=

10、e(x1+x2)-2a= -2=6,解得k2=8.假設P、Q分別在左、右兩支上，37那么|PQ|=|PA|-|QA|=e(|PP|-|QQ|)=2a-e(x1+x2)=2+ =6,解得k2= .將k2=8或k2= 分別代回(*)式檢驗，0均成立，故k=2 或k= . 方法二更能表達數(shù)形結(jié)合的思想，但需就P、Q在雙曲線在同一支上和不在同一支上兩種情況進行討論，焦點弦問題常應用圓錐曲線定義求解.381.直線與圓錐曲線位置關(guān)系探究方法.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度來看有三種：相離、相交和相切.從代數(shù)角度一般通過他們的方程來研究：設直線l:Ax+By+C=0，二次曲線C:f(x,y)=0.聯(lián)立

11、方程組 Ax+By+C=0 f(x,y)=0,消去y(或x)得到一個關(guān)于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)，然后利用方程根的個數(shù)判定，同時應注意如下四種情況：39(1)對于橢圓來說，a不可能為0，即直線與橢圓有一個公共點，直線與橢圓必相切；反之，直線與橢圓相切，那么直線與橢圓必有一個公共點.(2)對于雙曲線來說，當直線與雙曲線有一個公共點時，除了直線與雙曲線相切外，還有直線與雙曲線相交，此時直線與雙曲線的漸近線平行.(3)對于拋物線來說，當直線與拋物線有一個公共點時，除了直線與拋物線相切外，還有直線與拋物線相交，此時直線與拋物線的對稱軸平行或重合.40(4)0直線與

12、雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有0，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故0是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件.(5)0直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有0,當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故0也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件.412.數(shù)形結(jié)合思想的應用.要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用.在做題時，最好先畫出草圖，注意觀察、分析圖形的特征，將形與數(shù)結(jié)合起來.特別地：(1)過雙曲線 =1外一點P(x0,y0)的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時,有兩條與漸近線平

13、行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線,共四條；42P點在兩漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點時，不存在這樣的直線.(2)過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線.433.特殊弦問題探究方法.(1)假設弦過焦點時焦點弦問題，焦點弦的弦長的計算一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用焦半徑公式求解.(2)假設問題涉及弦的中點及直線斜率問題即中點弦問題，可考慮“點差法即把兩點坐標代

14、入圓錐曲線方程，然后兩式作差，同時常與根和系數(shù)的關(guān)系綜合應用.44學例1 (2021全國卷)直線y=k(x+2)(k0)與拋物線C：y2=8x相交于A，B兩點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，假設|FA|=2|FB|，那么k=( )DA. B. C. D. 45 顯然，拋物線C的準線為l：x=-2，直線y=k(x+2)(k0)恒過定點P(-2,0).過點A，B分別作AMl于M，BNl于N.因為|FA|=2|FB|，那么|AM|=2|BN|，所以點B為AP的中點.連接OB，那么|OB|= |AF|，所以|OB|BF|，從而點B的坐標為(1, ).所以k= = ，應選D.46學例2 (2021天津卷)橢圓 (

15、ab0)的兩個焦點分別為F1(-c,0)和F2(c,0)(c0)，過點E( ,0)的直線與橢圓相交于A，B兩點，且F1AF2B,|F1A|=2|F2B|. (1)求橢圓的離心率； (2)求直線AB的斜率； (3)設點C與點A關(guān)于坐標原點對稱，直線F2B上有一點H(m,n)(m0)在AF1C 的外接圓上，求nm的值. 47 (1)由F1A/F2B ，且|F1A|=2|F2B|，得 = = ,從而 = ，整理得a2=3c2，即a=3c，故離心率e= = . 2因為b2=a2-c2=2c2，那么橢圓的方程可化為2x2+3y2=6c2.設直線AB的方程為y=k(x- )，即y=k(x-3c).設點A(x1,y1),B(x2,y2) .48 y=k(x-3c) 2x2+3y2=6c2，消去y，整理得(2+3k2)x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0.0，得- k .所以x1+x2= , x1x2= . 據(jù)題意,點B為線段AE的中點,所以x1+3c=2x2. 聯(lián)立解得x1= ,x2= .將x1,x2代入中，解得k= .由49(3)