平面幾何定理公理總結(jié)

1、平面幾何定理公理總結(jié)一、 線與角1. 兩點之間，線段最短。線段的長叫兩點間的距離。直線外一點到直線，垂線段最短，垂線段的長叫該點到直線的距離。一組平行線中，一條直線上一點到另一條直線的距離，叫兩條平行線間的距離。2. 經(jīng)過兩點有且只有一條直線，即兩點確定一條直線。不在同一直線上的三點確定一個角。3. 兩直線相交，對頂角相等。4. 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等。5. 經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。經(jīng)過直線外或直線上一點，有且只有一條直線與已知直線垂直。6. 如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補。如果一個角的兩邊分別垂直于另一個角

2、的兩邊，那么這兩個角相等或互補。7. 平行線(1) 平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。(2) 平行線的判定方法：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行。如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行。如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行。(3) 平行線的性質(zhì)：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補。如果一條直線和兩條平行線中的一條平行，那么這條直線也和另一條平行。如

3、果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么這條直線也和另一條垂直。平行線間的距離處處相等；夾在兩條平行線間的平行線段相等。8. 平行線等分線段定理：(1) 定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。(2) 推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點，且與另一邊平行的直線必等分第三邊。(3) 推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線必等分另一腰。9. 平行線分線段成比例定理：(1) 定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。(2) 推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）成比例。10. 線段的垂直平分線：(1) 性質(zhì)：線段垂直平分線上的點和這

4、條線段兩個端點的距離相等。(2) 判定：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。11. 角平分線：(1) 性質(zhì)：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。(2) 判定：在角的內(nèi)部，且到此角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。二、 三角形及多邊形1. 三角形的任何兩邊的和大于第三邊，任何兩邊的差小于第三邊。2. 三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°。四邊形內(nèi)角和定理：四邊形內(nèi)角和等于360°。多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°。多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。3. 三角

5、形外角性質(zhì)：(1) 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。(2) 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。4. 三角形中位線定理：三角形兩邊中點的連線叫做三角形的中位線。三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。5. 等腰三角形的相關(guān)公理、定理：(1) 等腰三角形的兩個底角相等（“等邊對等角”）。(2) 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（“等角對等邊”）。(3) 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合（“三線合一”）。6. 等邊三角形的公理、定理：(1) 三個邊都相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形。(2) 有

6、一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形；有兩個角為60°的三角形是等邊三角形(3) 等邊三角形的三邊相等；等邊三角形的三角相等，且都等于60°。(4) 等邊三角形三條角平分線、三條中線、三條高均交于同一點，該點是等邊三角形的中心。7. 直角三角形的公理、定理：(1) 直角三角形的兩銳角互余。(2) 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（斜邊是其外接圓直徑，斜邊上的中點是其外接圓圓心）。若三角形一邊的中線等于這邊的一半，那此三角形為直角三角形。(3) 直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半；直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那它所對

7、的角等于30°。(4) 勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。(5) 勾股定理的逆定理：如果一個三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形。8. 三角形全等：(1) 性質(zhì)：全等三角形的對應邊相等、對應角相等。(2) 判定：有三邊對應相等的兩個三角形全等（SSS）； 兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等（SAS）；兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（ASA）；兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（AAS）；直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（HL）。9. 相似三角形的判定：(1) 定義：對應角相等，對應邊成比例

8、的兩個三角形叫做相似三角形。相似三角形對應邊的比例叫做相似比（或相似系數(shù)）。(2) 預備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形于原三角形相似。(3) 判定：兩角對應相等，兩三角形相似。兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。三邊對應成比例，兩三角形相似。(4) 引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。(5) 直角三角形相似的判定：如果兩個直角三角形有一個銳角對應相等，兩三角形相似。如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例，那么兩三角形相似。如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊于另一個三角形的

9、斜邊和一條直角邊成比例，那么兩三角形相似。10. 相似三角形的性質(zhì)定理：(1) 相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比。(2) 相似三角形周長的比等于相似比。(3) 相似三角形面積比等于相似比的平方。(4) 相似三角形的外接圓、內(nèi)切圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓、內(nèi)切圓的面積比等于相似比的平方。11. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它在斜邊上的射影于斜邊的比例中項。也可表述為：直角三角形的直角頂點，到斜邊端點和斜邊上高的垂足三點中其中一點的距離（線段），是該點到其它兩點的距離（線段）的比例中項。12.

10、三角形垂直平分線的性質(zhì)：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，且這點到三個頂點距離相等，這點為三角形外接圓的圓心（簡稱“外心”）。13. 三角形角平分線的性質(zhì)：三角形三條角平分線相交于一點，且這點到三邊距離相等，這點為三角形內(nèi)切圓的圓心（簡稱“內(nèi)心”）。14. 三角形中線的性質(zhì)：三角形的三條中線交于一點，該點叫做三角形的重心。15. 三角形高的性質(zhì)：三角形的三條高交于一點，該點叫做三角形的垂心。三、 多邊形16. 四邊形內(nèi)角和定理：四邊形內(nèi)角和等于360°。17. 多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°。18. 多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和

11、等于360°。19. 如果圖形關(guān)于某一直線對稱，那么連結(jié)對應點的線段被對稱軸垂直平分。四、 特殊四邊形1. 平行四邊形的性質(zhì)：7(1) 平行四邊形的對角相等。(2) 平行四邊形的對邊相等。(3) 平行四邊形的對角線互相平分。2. 平行四邊形的判定：(1) 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。(2) 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。(3) 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。(4) 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。(5) 兩組鄰角分別互補的四邊形是平行四邊形。(6) 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。3. 矩形的性質(zhì)：(1) 矩形的四個角都是直角。(2) 矩形的對角

12、線相等。4. 矩形的判定：(1) 有三個角是直角的四邊形是矩形。(2) 對角線相等且互相平分的四邊形是矩形。(3) 有一個角是直角的平行四邊形是矩形。(4) 對角線相等的平行四邊形是矩形。5. 菱形的性質(zhì)：(1) 菱形的四條邊相等。(2) 菱形的對角線互相垂直，并且每一組對角線平分一組對角。6. 菱形的判定：(1) 四邊都相等的四邊形是菱形。(2) 對角線互相垂直平分的四邊形是菱形。(3) 鄰邊相等的平行四邊形是菱形。(4) 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；(5) 兩條對角線分別平分兩組對角的四邊形是菱形。(6) 有一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形是菱形。7. 正方形的性質(zhì)：(1) 正方形

13、的四個角都是直角，四條邊都相等(2) 鄰邊相等且垂直的是正方形；對角線垂直且相等的平(3) 正方形的兩條對角線相等，且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。8. 正方形的判定：(1) 鄰邊相等的矩形是正方形。(2) 對角線互相垂直的矩形是正方形。(3) 有一個角是直角的菱形是正方形；(4) 對角線相等的菱形是正方形。(5) 鄰邊相等且垂直的是平行四邊形正方形。(6) 對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形。(7) 對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。9. 等腰梯形的性質(zhì)：(1) 等腰梯形在同一底上的兩個角相等；(2) 等腰梯形的兩對角線相等；10. 等腰梯形的判定：(1) 在同一底上的兩個

14、角相等的梯形是等腰梯形；(2) 對角線相等的梯形是等腰梯形。11. 梯形的中位線定理：梯形兩腰中點的連線叫做梯形的中位線。梯形的中位線平行于梯形的兩底邊，并且等于兩底和的一半。五、 圓1. 在同一平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的軌跡（集合），是以定點為圓心，定長為半徑的圓。2. 不在同一條直線上的三個點確定一個圓。3. 有關(guān)圓周角、圓心角的定理和性質(zhì)：(1) 圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。(2) 圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。(3) 定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。(4) 推論1：在同圓或等圓中

15、，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半；相等的圓周角所對的弧相等。(5) 統(tǒng)一推論：在同圓或等圓中，兩個圓心角（圓周角）、兩條弧、兩條弦、兩個弦的弦心距，只要有一組量相等，那么其余對應的各組量均相等。(6) 推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑，所對的弧是半圓。4. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。(1) 推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦,并且平分這條弦所對的兩段弧。(2) 推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對的弧。(3) 推論3：平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦,并且平

16、分這條弦所對的另一條弧。推論：一條直線，只要滿足以下中的2條作為條件就可以推知其他3條，知二推三。(1)平分弦所對的優(yōu)弧； (2)平分弦所對的劣弧；（即：平分弦所對的兩條弧）；(3)平分不是直徑的弦； (4)垂直于弦； (5)經(jīng)過圓心。(4) 在同圓或者等圓中，兩條平行弦所夾的弧相等。兩條相等的弧兩個外端點的連線于兩個內(nèi)端點的連線平行。5. 關(guān)于兩圓及其連心線的性質(zhì)與定理：(1) 兩圓內(nèi)切時，兩圓連心線過切點且與公切線垂直。推論：兩圓相切時，以下4條，知二推二：(1)過一圓圓心； (2)過另一圓圓心； (3)過兩圓切點； (4)公切線垂直。(2) 兩圓相交時，兩圓的連心線垂直平分公共弦。推論：

17、兩圓相交時，以下4條，知二推二：(1)過一圓圓心； (2)過另一圓圓心； (3)過公共弦中點； (4)垂直公共弦。(3) 兩圓相切時，兩圓的連心線過切點且與一條公切線垂直。推論：兩圓相切時，以下4條，知二推二：(1)過一圓圓心； (2)過另一圓圓心； (3)過兩圓切點； (4)內(nèi)公切線垂直。(4) 兩圓相離時，兩圓的連心線過內(nèi)公切線交點，且平分內(nèi)公切線所成夾角。推論：兩圓相切時，以下4條，知二推二：(1)過一圓圓心 (2)過另一圓圓心； (3)過內(nèi)公切線交點； (4) 平分內(nèi)公切線所成夾角。注：滿足(4)條件時，已經(jīng)滿足(3)條件，故知(1)(2)(3)其中兩條可推知其它兩條，知(4)可推知(

18、1)(2)(3)。(5) 兩圓關(guān)系不為內(nèi)切時，兩圓連心線平分兩外公切線所成夾角（兩圓半徑相等）或于兩外公切線平行（兩圓半徑相等）逆定理亦成立，同時也可作為上面三條的條件。6. 切線的性質(zhì)及判定：(1) 性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。(2) 判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。(3) 推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點。(4) 推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必過圓心。7. 切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角。8. 弦切角定理：(1) 弦切角的定義：定點在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓相切的角叫弦

19、切角。(2) 定理：弦切角等于它所夾弧所對的圓周角（或表述為：弦切角等于弦所對的圓周角）。9. 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和判定：(1) 性質(zhì)1：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補。(2) 性質(zhì)2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角。(3) 判定1：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓。(4) 判定2：如果一個四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓。10. 圓冪定理：過任意不在圓上的一點引兩條直線，分別與圓交于兩點（重合時為切線），則該點到每條線與圓的交點的兩條線段的乘積相等，該乘積叫做該點到圓的冪。(1) 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。(2) 切割線定理：從圓外一點引圓的一條切線和一條割線，切線長的平方是從割線上從這點到兩個交點的線段長的乘積。(3) 割線定理：過圓外一點引圓的兩條割線，交點到每條割線于圓的