解排列組合問(wèn)題的常用方法

1、淄博第十一中學(xué) 高三數(shù)學(xué)排列組合應(yīng)用題解法綜述基本原理組合排列排列數(shù)公式組合數(shù)公式組合數(shù)性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題 知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖：知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖： 名稱內(nèi)容分類（加法）原理分類（加法）原理分步（乘法）原理分步（乘法）原理定定 義義相同點(diǎn)相同點(diǎn)不同點(diǎn)不同點(diǎn)兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系：兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系：做一件事或完成一項(xiàng)工作的方法數(shù)做一件事或完成一項(xiàng)工作的方法數(shù)直接（直接（分類分類）完成）完成間接（間接（分步驟分步驟）完成）完成做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n類辦法，類辦法，第一類辦法中有第一類辦法中有m1種不同的方法，種不同的方法，第二類辦法中有第二類辦法中有m2種不同的方法種不同的方法，第第n

2、類辦法中有類辦法中有mn種不同的方法，種不同的方法， 那么完成這件事共有那么完成這件事共有 N=m1+m2+m3+mn 種不同的方法種不同的方法做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n個(gè)步驟，個(gè)步驟，做第一步中有做第一步中有m1種不同的方法，種不同的方法，做第二步中有做第二步中有m2種不同的方法種不同的方法，做第做第n步中有步中有mn種不同的方法，種不同的方法， 那么完成這件事共有那么完成這件事共有 N=m1m2m3mn 種不同的方法種不同的方法.1. 1.排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：名名 稱稱排排 列列組組 合合定義定義種數(shù)種數(shù)符號(hào)符號(hào)計(jì)算計(jì)算公式公式關(guān)系關(guān)系性質(zhì)性

3、質(zhì) ，mnAmnC(1)(1)mnAn nnm!()!mnnAnm!0!1nnAn!)1()1(mmnnnCmn )!( !mnmnCmn 10 nCmmmnnmACAmnnmnCC 11 mnmnmnCCC從從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元個(gè)元素，素，按一定的順序按一定的順序排成一列排成一列從從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元個(gè)元素，素，把它并成把它并成一組一組所有排列的的個(gè)數(shù)所有排列的的個(gè)數(shù)所有組合的個(gè)數(shù)所有組合的個(gè)數(shù)11mmnnAnA:判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題? (1)設(shè)集合設(shè)集合A=a,b,c,d,e，則集合，則集合A的含有

4、的含有3個(gè)元素的子集有多少個(gè)個(gè)元素的子集有多少個(gè)?(2)某鐵路線上有某鐵路線上有5個(gè)車站，則這條鐵路線上個(gè)車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票共需準(zhǔn)備多少種車票? 有多少種不同的火車票價(jià)？有多少種不同的火車票價(jià)？組合問(wèn)題組合問(wèn)題排列問(wèn)題排列問(wèn)題(3)10名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和英語(yǔ)兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法英語(yǔ)兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法?組合問(wèn)題組合問(wèn)題(4)10人聚會(huì)，見(jiàn)面后每?jī)扇酥g要人聚會(huì)，見(jiàn)面后每?jī)扇酥g要握手相互問(wèn)候，共需握手多少次握手相互問(wèn)候，共需握手多少次?組合問(wèn)題組合問(wèn)題(5)從從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)安排游覽個(gè)安排游覽,有多少種不

5、同的方法有多少種不同的方法?組合問(wèn)題組合問(wèn)題(6)從從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)個(gè),并確定這并確定這2個(gè)風(fēng)景個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序點(diǎn)的游覽順序,有多少種不同的方法有多少種不同的方法?排列問(wèn)題排列問(wèn)題組合問(wèn)題組合問(wèn)題3.合理分類和準(zhǔn)確分步合理分類和準(zhǔn)確分步 解排列（或）組合問(wèn)題，應(yīng)按元素解排列（或）組合問(wèn)題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，分類標(biāo)準(zhǔn)明確，不重的性質(zhì)進(jìn)行分類，分類標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏；不漏；按按事情的發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，事情的發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到分步層次清楚做到分步層次清楚.分析：分析：先安排甲，按照要求對(duì)其進(jìn)行分類，分兩類：先安排甲，按照要求對(duì)其進(jìn)行分類，分兩類：根據(jù)分步及分類計(jì)數(shù)

6、原理，不同的站法共有根據(jù)分步及分類計(jì)數(shù)原理，不同的站法共有例：例： 6個(gè)同學(xué)和個(gè)同學(xué)和2個(gè)老師排成一排照相，個(gè)老師排成一排照相， 2個(gè)老個(gè)老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？共有多少種不同的排法？1）若甲在排尾上，則剩下的若甲在排尾上，則剩下的5人可自由安排，有人可自由安排，有 種方法種方法.55A2）若甲在第若甲在第2、3、6、7位，則位，則排尾的排法有排尾的排法有 種，種，1位的排法位的排法有有 種種, 第第2、3、6、7位的排法有位的排法有 種種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的站法有原理，不同的站法有 種。種

7、。14A14A44A441414AAA3）再安排老師，有再安排老師，有2種方法。種方法。.(1008)(244141455種）AAAA（1）0，1，2，3，4，5可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且能被五整除的五位數(shù)？且能被五整除的五位數(shù)？練練 習(xí)習(xí) 題題分類：個(gè)位數(shù)字為分類：個(gè)位數(shù)字為5或或0：個(gè)位數(shù)為個(gè)位數(shù)為0：45A個(gè)位數(shù)為個(gè)位數(shù)為5：216341445 AAA3414AA （2）0，1，2，3，4，5可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且大于字且大于31250的五位數(shù)？的五位數(shù)？分類：分類：引申引申1：31250是由是由0，1，2，3，4，5組成的無(wú)重組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的

8、五位數(shù)中從小到大第幾個(gè)數(shù)？復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中從小到大第幾個(gè)數(shù)？3251231234134512 AAAAAA2753254515 AA27512212233445 AAAA方法一：（排除法）方法一：（排除法）方法二：（直接法）方法二：（直接法）引申引申2：由：由0，1，2，3，4，5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中大于五位數(shù)中大于31250，小于，小于50124的數(shù)共有多少個(gè)？的數(shù)共有多少個(gè)？（3）有不同的數(shù)學(xué)書(shū)）有不同的數(shù)學(xué)書(shū)7本，語(yǔ)文本，語(yǔ)文書(shū)書(shū)5本，英語(yǔ)書(shū)本，英語(yǔ)書(shū)4本，由其中取出本，由其中取出不是同一學(xué)科的書(shū)不是同一學(xué)科的書(shū)2本，共有多少本，共有多少種不同的取法？種不同的取法

9、？（75 + 74 + 54 = 83）回目錄回目錄解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過(guò)程的始終。例例1.由由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字 五位奇數(shù)五位奇數(shù). 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安應(yīng)該優(yōu)先安 排排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_13C13C14C14C34A34A由

10、分步計(jì)數(shù)原理得由分步計(jì)數(shù)原理得=28813C14C34A 例例2 用用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字這五個(gè)數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ）A.24 B.30 C.40 D.60 分析：由于該三位數(shù)是偶數(shù)，所以末尾數(shù)字必須是偶數(shù)，分析：由于該三位數(shù)是偶數(shù)，所以末尾數(shù)字必須是偶數(shù)， 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?不能排首位，故不能排首位，故0就是其中的就是其中的“特殊特殊”元素，應(yīng)優(yōu)元素，應(yīng)優(yōu)先安排。按先安排。按0排在末尾和不排在末尾分為兩類；排在末尾和不排在末尾分為兩類；0排在末尾時(shí)，有排在末尾時(shí)，有 個(gè)；個(gè)；0不排在末尾時(shí)，先用偶數(shù)排個(gè)位，再排百位，最后排

11、不排在末尾時(shí)，先用偶數(shù)排個(gè)位，再排百位，最后排十位有十位有 個(gè)；個(gè)；由分類計(jì)數(shù)原理，共有偶數(shù)由分類計(jì)數(shù)原理，共有偶數(shù) 30 個(gè)個(gè).2A4111233A A AB小結(jié)：小結(jié)：1 1、“在在”與與“不在不在”可以相互轉(zhuǎn)化。可以相互轉(zhuǎn)化。解決某些元素在某些位置上用解決某些元素在某些位置上用“定位法定位法”，解，解決某些元素不在某些位置上一般用決某些元素不在某些位置上一般用“間接法間接法”或轉(zhuǎn)化為或轉(zhuǎn)化為“在在”的問(wèn)題求解。的問(wèn)題求解。2 2、排列組合應(yīng)用題極易出現(xiàn)、排列組合應(yīng)用題極易出現(xiàn)“重重”、“漏漏”現(xiàn)象，而重現(xiàn)象，而重”、“漏漏”錯(cuò)誤常發(fā)生在該不該錯(cuò)誤常發(fā)生在該不該分類、有無(wú)次序的問(wèn)題上。為了

12、更好地防分類、有無(wú)次序的問(wèn)題上。為了更好地防“重重”堵堵“漏漏”，在做題時(shí)需認(rèn)真分析自己，在做題時(shí)需認(rèn)真分析自己做題思路，也可改變解題角度，利用一題多做題思路，也可改變解題角度，利用一題多解核對(duì)答案解核對(duì)答案例：例：7 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相鄰且丙丁相其中甲乙相鄰且丙丁相 鄰鄰, , 共有多少種不同的排法共有多少種不同的排法. .甲甲乙乙丙丙丁丁由分步計(jì)數(shù)原理可得共有由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法種不同的排法55A22A22A=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成 一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)

13、復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列， 同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。 . .55A第二步將第二步將4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種種 不同的方法不同的方法 46A由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有 種55A46A相相相相獨(dú)獨(dú)獨(dú)獨(dú)獨(dú)獨(dú)（1）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，男生、女）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，男生、女生各站一起，有幾種不同方法？生各站一起，有幾種不同方法？（2）三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，三個(gè)男生，四個(gè)女生排成一排，男生之間、男生之間、女生之間不相鄰

14、，有幾種不同排法？女生之間不相鄰，有幾種不同排法？捆綁法：捆綁法：224433AAA4433AA 插空法：插空法：（3）(2005 遼寧遼寧)用、用、組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求與相鄰，與組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求與相鄰，與相鄰，與相鄰，而與不相鄰，這樣的八位數(shù)共相鄰，與相鄰，而與不相鄰，這樣的八位數(shù)共有有_個(gè)（用數(shù)字作答）個(gè)（用數(shù)字作答） 練練 習(xí)習(xí)(3)(2005 遼寧遼寧)用、用、組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求與相鄰，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求與相鄰，與相鄰，與相鄰，而與不相鄰，與相鄰，與相鄰，而與不相鄰，這樣的八位數(shù)共有這樣的八位數(shù)共有_個(gè)（用數(shù)字作答）個(gè)（用數(shù)字作答） 將與

15、，與，與捆綁在一起排成一列將與，與，與捆綁在一起排成一列有有 種，再將、插入種，再將、插入4個(gè)空位中的兩個(gè)個(gè)空位中的兩個(gè)有有 種，故有種，故有 種種 482333A1224A5761248（4 4）七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、）七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（ ）種）種960960種種 （B B）840840種種 （C C）720720種種 （D D）600600種種解：解：242245960AAA另解：另解：251254960AAA（5 5）某人射擊）某人射擊8 8槍，命中槍，命中4 4槍，槍，4 4槍命中槍

16、命中恰好有恰好有3 3槍連在一起的情形的不同種數(shù)槍連在一起的情形的不同種數(shù)為為（ ）20小結(jié)：小結(jié)：以元素相鄰為附加條件的以元素相鄰為附加條件的應(yīng)把相鄰元素視為一個(gè)整體，即應(yīng)把相鄰元素視為一個(gè)整體，即采用采用“捆綁法捆綁法”；以某些元素不；以某些元素不能相鄰為附加條件的能相鄰為附加條件的, ,可采用可采用“插空法插空法”?！安蹇詹蹇铡庇型瑫r(shí)有同時(shí)“插空插空”和有逐一和有逐一“插空插空”, ,并并要注意條件的限定要注意條件的限定. .回目錄回目錄定序問(wèn)題倍縮、空位、插入策略定序問(wèn)題倍縮、空位、插入策略定序問(wèn)題倍縮、空位、插入策略定序問(wèn)題倍縮、空位、插入策略例：例：7 7人排隊(duì)人排隊(duì), ,其中甲乙

17、丙其中甲乙丙3 3人順序一定共有多人順序一定共有多 少不同的排法少不同的排法解:( (倍縮法倍縮法) )對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題問(wèn)題, ,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列進(jìn)行排列, ,然后用總排列數(shù)除以然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù)素之間的全排列數(shù), ,則共有不同排法種數(shù)則共有不同排法種數(shù)是：是： 7733AA（空位法空位法）設(shè)想有）設(shè)想有7 7把椅子讓除甲乙丙以外把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 種方法，其余的三個(gè)種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 種坐法，則共有種坐法，則

18、共有 種種 方法方法 47A147A思考思考: :可以先讓甲乙丙就坐嗎可以先讓甲乙丙就坐嗎? ?（插入法插入法) )先排甲乙丙三個(gè)人先排甲乙丙三個(gè)人, ,共有共有1 1種排法種排法, ,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法4 4* *5 5* *6 6* *7 7定序問(wèn)題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插定序問(wèn)題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理空模型處理練習(xí)題1010人身高各不相等人身高各不相等, ,排成前后排，每排排成前后排，每排5 5人人, ,要要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？510C練習(xí)：練習(xí)：期中安排考試科

19、目期中安排考試科目9 9門門, ,語(yǔ)文要在數(shù)學(xué)之前考語(yǔ)文要在數(shù)學(xué)之前考, ,有多少種不同的安排順序有多少種不同的安排順序? ?9921A結(jié)論結(jié)論 對(duì)等法對(duì)等法: :在有些題目中在有些題目中, ,它的限制條件的肯定與它的限制條件的肯定與否定是對(duì)等的否定是對(duì)等的, ,各占全體的二分之一各占全體的二分之一. .在求解中只要求在求解中只要求出全體出全體, ,就可以得到所求就可以得到所求. .又名：住店法，又名：住店法，重排問(wèn)題求冪策略重排問(wèn)題求冪策略例：例： 七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有（人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有（ ）

20、A. B. C D.分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作將七名學(xué)生看作7家家“店店”，五項(xiàng)冠軍看作，五項(xiàng)冠軍看作5名名“客客”，每個(gè)，每個(gè)“客客”有有7種住宿法，由乘法原理得種住宿法，由乘法原理得 種。種。注：對(duì)此類問(wèn)題，常有疑惑，為什么不是注：對(duì)此類問(wèn)題，常有疑惑，為什么不是 呢？呢？57577557A57C75用分步計(jì)數(shù)原理看，用分步計(jì)數(shù)原理看，5是步驟數(shù)，自然是指數(shù)。是步驟數(shù)，自然是指數(shù)?；啬夸浕啬夸浽试S重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，

21、可以逐一安排對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元素沒(méi)有限不同的元素沒(méi)有限制地安排在制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為個(gè)位置上的排列數(shù)為 種種n nm m 某某8 8層大樓一樓電梯上來(lái)層大樓一樓電梯上來(lái)8 8名乘客人名乘客人, ,他們他們 到各自的一層下電梯到各自的一層下電梯, ,下電梯的方法下電梯的方法（ ）87練習(xí)題回目錄回目錄環(huán)排問(wèn)題和環(huán)排問(wèn)題和環(huán)排問(wèn)題線排策略環(huán)排問(wèn)題線排策略例例1. 51. 5人圍桌而坐人圍桌而坐, ,共有多少種坐法共有多少種坐法? ? 解：解：圍桌而坐與圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成

22、圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人A A并從并從 此位置把圓形展成直線其余此位置把圓形展成直線其余4 4人共有人共有_ 種排法即種排法即 44AA AB BC CE ED DD DA AA AB BC CE E（5-1)5-1)！1mnmA練習(xí)題6 6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？60例例2.82.8人排成前后兩排人排成前后兩排, ,每排每排4 4人人, ,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排, ,丁在后排丁在后排, ,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后兩排人排前后兩排,相當(dāng)于相當(dāng)于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排

23、成一排把椅子排成一排. 先在前先在前4個(gè)位置排甲乙兩個(gè)位置排甲乙兩個(gè)特殊元素有個(gè)特殊元素有_種種,再排后再排后4個(gè)位置上的個(gè)位置上的特殊元素有特殊元素有_種種,其余的其余的5人在人在5個(gè)位置個(gè)位置上任意排列有上任意排列有_種種,則共有則共有_種種.前排后排后排24A14A55A24A55A14A一般地一般地,元素分成多排的排列問(wèn)題元素分成多排的排列問(wèn)題,可歸結(jié)為一排考慮可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究再分段研究.回目錄回目錄有兩排座位，前排有兩排座位，前排1111個(gè)座位，后排個(gè)座位，后排1212個(gè)座位，現(xiàn)安排個(gè)座位，現(xiàn)安排2 2人就座規(guī)定前排人就座規(guī)定前排中間的中間的3 3個(gè)座位不能坐，并且這個(gè)座

24、位不能坐，并且這2 2人人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是是_346練習(xí)題例：計(jì)劃展出例：計(jì)劃展出10幅不同的畫(huà)幅不同的畫(huà),其中其中1幅水彩畫(huà)幅水彩畫(huà),幅油畫(huà)幅油畫(huà),幅國(guó)畫(huà)幅國(guó)畫(huà), 排成一行陳列排成一行陳列,要求同一要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫(huà)不在兩品種的必須連在一起，并且水彩畫(huà)不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為端，那么共有陳列方式的種數(shù)為_(kāi)254254A A A練習(xí)：練習(xí)： 5男生和女生站成一排照像男生和女生站成一排照像,男生相男生相鄰鄰,女生也相鄰的排法有女生也相鄰的排法有_種種255255A A A元素相同問(wèn)題隔板策略元素相同問(wèn)題隔板策略1.1.應(yīng)

25、用背景：應(yīng)用背景：相同元素的名額分配問(wèn)題。相同元素的名額分配問(wèn)題。2.隔板法的使用特征：隔板法的使用特征：相同的元素分成若干相同的元素分成若干部分，每部分至少一個(gè)。部分，每部分至少一個(gè)。元素相同問(wèn)題隔板策略例例.有有1010個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7 7個(gè)班，每個(gè)班，每班至少一個(gè)班至少一個(gè), ,有多少種分配方案？有多少種分配方案？ 解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成個(gè)空隙。一排。相鄰名額之間形成個(gè)空隙。在個(gè)空檔中選個(gè)位置插個(gè)隔板，在個(gè)空檔中選個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成份，對(duì)應(yīng)地分給個(gè)可把名額分成份，對(duì)應(yīng)地分給個(gè)班級(jí)，每一

26、種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有共有_種分法。種分法。一班二班三班四班五班六班七班69C11mnC例例 高二年級(jí)高二年級(jí)8 8個(gè)班個(gè)班, ,組織一個(gè)組織一個(gè)1212個(gè)人的年級(jí)學(xué)生分會(huì)個(gè)人的年級(jí)學(xué)生分會(huì), ,每班要求至少每班要求至少1 1人人, ,名額分配方案有多少種名額分配方案有多少種? ?解解 此題可以轉(zhuǎn)化為此題可以轉(zhuǎn)化為: :將將1212個(gè)相同的白球分成個(gè)相同的白球分成8 8份份, ,有有多少種不同的分法問(wèn)題多少種不同的分法問(wèn)題, ,因此須把這因此須把這1212個(gè)白球排成一個(gè)白球排成一排排, ,在在1111個(gè)空檔中放上個(gè)空檔中放上7 7個(gè)相同的隔板個(gè)相同的隔板,

27、,每個(gè)空檔最多每個(gè)空檔最多放一個(gè)放一個(gè), ,即可將白球分成即可將白球分成8 8份份, ,顯然有顯然有 種不同的放法種不同的放法, ,所以名額分配方案有所以名額分配方案有 種種. .711C711C結(jié)論結(jié)論 轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化法: :對(duì)于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組對(duì)于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組合問(wèn)題，可以利用轉(zhuǎn)化思想合問(wèn)題，可以利用轉(zhuǎn)化思想, ,將其化歸為簡(jiǎn)單的、具體將其化歸為簡(jiǎn)單的、具體的問(wèn)題來(lái)求解的問(wèn)題來(lái)求解. .分析分析 此題若直接去考慮的話此題若直接去考慮的話, ,就會(huì)比較復(fù)雜就會(huì)比較復(fù)雜. .但如果但如果我們將其轉(zhuǎn)換為等價(jià)的其他問(wèn)題我們將其轉(zhuǎn)換為等價(jià)的其他問(wèn)題, ,就會(huì)顯得比較清楚就會(huì)

28、顯得比較清楚, ,方法簡(jiǎn)單方法簡(jiǎn)單, ,結(jié)果容易理解結(jié)果容易理解. .練練 習(xí)習(xí)（1 1）將）將1010個(gè)學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給個(gè)學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給7 7個(gè)不同個(gè)不同的班級(jí)，每班至少分到一個(gè)名額，不同的分配方的班級(jí)，每班至少分到一個(gè)名額，不同的分配方案共有案共有 （ ）種。）種。6984C （2 2）1010個(gè)相同的球裝個(gè)相同的球裝5 5個(gè)盒中個(gè)盒中, ,每盒至少一每盒至少一 個(gè)，共有（個(gè)，共有（ ）種裝法）種裝法。49C小結(jié)：小結(jié)：把把n n個(gè)相同元素分成個(gè)相同元素分成m m份每份份每份, ,至至少少1 1個(gè)元素個(gè)元素, ,問(wèn)有多少種不同分法的問(wèn)題問(wèn)有多少種不同分法的問(wèn)題可以采用可以

29、采用“隔板法隔板法”得出共有得出共有 種種. .11mnC平均分組問(wèn)題除法策略平均分組問(wèn)題除法策略“分書(shū)問(wèn)題分書(shū)問(wèn)題”平均分組問(wèn)題除法策略平均分組問(wèn)題除法策略例： 6本不同的書(shū)平均分成本不同的書(shū)平均分成3堆堆,每堆每堆2本共有本共有 多少分法？多少分法？解解: 分三步取書(shū)得分三步取書(shū)得 種方法種方法,但這里出現(xiàn)但這里出現(xiàn) 重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記不妨記6本書(shū)為本書(shū)為ABCDEF 若第一步取若第一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步取EF 該分法記為該分法記為(AB,CD,EF),則則 中還有中還有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,

30、CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有 種取法種取法 ,而而 這些分法僅是這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法一種分法,故共故共 有有 種分法。種分法。222642CCC222642CCC33A222642CCC33A平均分成的組平均分成的組,不管它們的順序如何不管它們的順序如何,都是一都是一種情況種情況,所以分組后要一定要除以所以分組后要一定要除以 (n為均為均分的組數(shù)分的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。避免重復(fù)計(jì)數(shù)。nnA1 將將13個(gè)球隊(duì)分成個(gè)球隊(duì)分成3組組,一組一組5個(gè)隊(duì)個(gè)隊(duì),其它兩組其它兩組4 個(gè)隊(duì)個(gè)隊(duì), 有多少分法？有多少分法？544138422C C CA2.2.某校高二年級(jí)共有六個(gè)

31、班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入入4 4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排班安排2 2名，則不同的安排方案種數(shù)為名，則不同的安排方案種數(shù)為_(kāi) 2226422290AC C A例例1.1.我們班里有我們班里有4343位同學(xué)位同學(xué), ,從中任抽從中任抽5 5人人, ,正、副班正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種? ?解解 4343人中任抽人中任抽5 5人的方法有人的方法有 種種, ,正副班長(zhǎng)正副班長(zhǎng), ,團(tuán)支部團(tuán)支部書(shū)記都不在內(nèi)的抽法有書(shū)記都不在內(nèi)的抽法有 種種, ,所以正副

32、班長(zhǎng)所以正副班長(zhǎng), ,團(tuán)支部書(shū)團(tuán)支部書(shū)記至少有記至少有1 1人在內(nèi)的抽法有人在內(nèi)的抽法有 種種. .543C540C540543CC分析分析 此題若是直接去考慮的話此題若是直接去考慮的話, ,就要將問(wèn)題分成好幾就要將問(wèn)題分成好幾種情況種情況, ,這樣解題的話這樣解題的話, ,容易造成各種情況遺漏或者重容易造成各種情況遺漏或者重復(fù)的情況復(fù)的情況. .而如果從此問(wèn)題相反的方面去考慮的話而如果從此問(wèn)題相反的方面去考慮的話, ,不不但容易理解但容易理解, ,而且在計(jì)算中也是非常的簡(jiǎn)便而且在計(jì)算中也是非常的簡(jiǎn)便. .這樣就可這樣就可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程. .例例2 2：將將5 5列車停在列車停在

33、5 5條不同的軌道上，其中條不同的軌道上，其中a a列列車不停在第一軌道上，車不停在第一軌道上，b b列車不停在第二軌道上，列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有（那么不同的停放方法有（ ）（A A）120120種種 （B B）9696種種 （C C）7878種種 （D D）7272種種解：解：4113433378AAAA782334455AAA五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，乙不站第五人從左到右站成一排，其中甲不站排頭，乙不站第二個(gè)位置，那么不同的站法有（二個(gè)位置，那么不同的站法有（ ） A.120 B.96 C.78 D.72782334455AAA間接4113433378AA

34、A A種直接練練 習(xí)習(xí)分清排列、組合、等分的算法區(qū)別分清排列、組合、等分的算法區(qū)別例例 (1) (1)今有今有1010件不同獎(jiǎng)品件不同獎(jiǎng)品, ,從中選從中選6 6件分給甲一件分給甲一件件, ,乙二件和丙三件乙二件和丙三件, ,有多少種分法有多少種分法? ? (2) (2) 今有今有1010件不同獎(jiǎng)品件不同獎(jiǎng)品, , 從中選從中選6 6件分給三人件分給三人, ,其中其中1 1人一件人一件1 1人二件人二件1 1人三件人三件, , 有多少種分法有多少種分法? ?(3) (3) 今有今有1010件不同獎(jiǎng)品件不同獎(jiǎng)品, , 從中選從中選6 6件分成三份件分成三份, ,每份每份2 2件件, , 有多少種

35、分法有多少種分法? ? 解：（1）123109712600CCC （2）12331097375600CCCA(3)336222110642()3150ACCCC)/(332628210ACCC十、構(gòu)造模型策略十、構(gòu)造模型策略例例. . 馬路上有編號(hào)為馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的的 九只路燈九只路燈, ,現(xiàn)要關(guān)掉其中的現(xiàn)要關(guān)掉其中的3 3盞盞, ,但不能關(guān)但不能關(guān) 掉相鄰的掉相鄰的2 2盞或盞或3 3盞盞, ,也不能關(guān)掉兩端的也不能關(guān)掉兩端的2 2 盞盞, ,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排

36、隊(duì)模型在解：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6 6盞盞 亮燈的亮燈的5 5個(gè)空隙中插入個(gè)空隙中插入3 3個(gè)不亮的燈個(gè)不亮的燈 有有_ _ 種種35C一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問(wèn)題直觀解決練習(xí)題某排共有某排共有1010個(gè)座位，若個(gè)座位，若4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？?jī)蛇叾加锌瘴?，那么不同的坐法有多少種？120例例. .有有5 5個(gè)不同的小球個(gè)不同的小球, ,裝入裝入4 4個(gè)不同的盒內(nèi)個(gè)不同的盒內(nèi), , 每盒至少裝一個(gè)球每盒至少裝一個(gè)球, ,共有多少不同的裝共有多少不同的裝 法法. .解解

37、: :第一步從第一步從5 5個(gè)球中選出個(gè)球中選出2 2個(gè)組成復(fù)合元共個(gè)組成復(fù)合元共 有有_種方法種方法. .再把再把5 5個(gè)元素個(gè)元素( (包含一個(gè)復(fù)合包含一個(gè)復(fù)合 元素元素) )裝入裝入4 4個(gè)不同的盒內(nèi)有個(gè)不同的盒內(nèi)有_種方法種方法. .25C44A根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有_25C44A練習(xí)題一個(gè)班有一個(gè)班有6 6名戰(zhàn)士名戰(zhàn)士, ,其中正副班長(zhǎng)各其中正副班長(zhǎng)各1 1人人現(xiàn)從中選現(xiàn)從中選4 4人完成四種不同的任務(wù)人完成四種不同的任務(wù), ,每人每人完成一種任務(wù)完成一種任務(wù), ,且正副班長(zhǎng)有且只有且正副班長(zhǎng)有且只有1 1人人參加參加, ,則不同的選法有則不同的

38、選法有_ _ 種種1921923 名醫(yī)生和名醫(yī)生和 6 名護(hù)士被分配到名護(hù)士被分配到 3 所所學(xué)校為學(xué)生體檢學(xué)校為學(xué)生體檢,每校分配每校分配 1 名醫(yī)生名醫(yī)生和和 2 名護(hù)士名護(hù)士,不同的分配方法共有多不同的分配方法共有多少種少種?先選后排問(wèn)題的處理方法先選后排問(wèn)題的處理方法 解法一：先組隊(duì)后分校解法一：先組隊(duì)后分校（先分堆后分配）（先分堆后分配）540332426PCC 解法二：依次確定到第一、解法二：依次確定到第一、第二、第三所學(xué)校去的醫(yī)生和第二、第三所學(xué)校去的醫(yī)生和護(hù)士護(hù)士.5401)()(24122613CCCC練習(xí)練習(xí) 某學(xué)習(xí)小組有某學(xué)習(xí)小組有5 5個(gè)男生個(gè)男生3 3個(gè)女生，從中個(gè)女生，從中選選3 3名男生和名男生和1 1名女生參加三項(xiàng)競(jìng)賽活動(dòng)，每名女生參加三項(xiàng)競(jìng)賽活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)至少有項(xiàng)活動(dòng)至少有1 1人參加，則有不同參賽方法人參加，則有不同參賽方法_種種. .解：采用先組后排方法解：采用先組后排方法: :312353431080CCCA小結(jié)：小結(jié)：本題涉及一類重要問(wèn)題：?jiǎn)柋绢}涉及一類重要問(wèn)題：?jiǎn)栴}中既有元素的限制，又有排列的題中既有元素的限制，又有排列的問(wèn)題，一般是先元素（即組合）后問(wèn)題，一般是先元素（即組合）后排列。排列。實(shí)驗(yàn)法（窮舉法）實(shí)驗(yàn)法（窮舉法） 題中附加條件增多，直