動生電磁感應

1、 動生電磁感應+ + +_ _ _LB_F圖4-3-1導體在磁場中做切割線運動，在導體兩端產(chǎn)生感生電動勢的現(xiàn)象叫動生電磁感應。其一是不變，a不變，但電路的一部分切割磁力線運動使得回路面積改變，從而使得變；其二是、S不變，但a變，即回路在磁場中轉動，使得回路所包圍的面與的夾角改變，從而使得變。產(chǎn)生原因：動生電磁感應的產(chǎn)生是由于洛侖茲力的作用。導體ab在磁場B中做垂直于磁力線的運動，速度圖4-3-1為v，導體長度為L。由于導體中所有自由電子也隨著導體一起以v向右運動，因此受到洛侖茲力，這樣就使導體的b端積累了負電荷，a端積累了正電荷，形成了感生電場(圖4-3-1)。這種自由電子的定向移動一直要進行

2、到洛侖茲力和感生電場的電場力相互平衡為止，即，。431、導體平動切割其中L是ab的長度，v是ab的速度。這里滿足。圖4-3-2AB圖4-3-3若v方向與磁場B方向存在夾角，如圖4-3-1所示，則電動勢為如果切割磁場的導線并非直線，而是一段彎曲導線，如圖4-3-3所示：則其電動勢大小應等效于連在AB間直導線切割磁場時電動勢的大小。即： 如圖4-3-4所示，一根被彎成半徑為R=10cm的半圓形導線，在磁感應強度B=1.5T的均勻磁場中以速度v=6m/s沿ac方向向右移動，磁場的方向垂直圖面向里。1、導線上a、b兩點的電勢差，指出哪一點電勢高。O圖4-3-42、求導線上a、c兩點的電勢差。解:1、a

3、、b兩點的電勢差b點的電勢高2、a、c兩點間的電勢差為0。432、導體轉動切割一般是來要用積分的方法才能求出整根導體上的動生電動勢，但有些特殊情況還是可以用初等數(shù)學來解。比如圖4-3-4所示的金屬桿AB繞O軸在磁場中勻速轉動，因為桿上各點的線速度是均勻變化的，所以可用平均速度來求電動勢。OB之間的動生電動勢AOB圖4-3-5OA之間的動電動勢所以 。此類問題也可這樣分析如圖4-3-5所示，勻強磁場中一段導體棒AB垂直于磁場放置，當導體棒A點在垂直于磁場平面以角速度旋轉時，AB中同樣會產(chǎn)生電動勢，確定其電動勢大小，可假想存在一個ABC回路，在時間，AB轉過，回路磁通量變化AB圖4-3-5CAB圖

4、4-3-5圖4-3-6BB由法拉第電磁感應定律動生電動勢可用來發(fā)電。例如，如圖4-3-6所示，在勻強磁場B中，矩形線圈以角速度繞線圈的中央軸旋轉，當線圈平面的法線方向n與磁感應強度B的夾角為時，線圈中的感應電動勢為式中S是線圈的面積。若線圈以作勻角速旋轉，且t=0時，則有式中。可見隨時間簡諧式的變化，這就是交流發(fā)電機的基本工作原理。433、典型例題例1. 如圖4-3-7所示,OC為一絕緣桿，C端固定一金屬細桿MN，已知MC=CN，MN=OC=R，MCO=60。，此結構整體可繞O點在紙面內(nèi)沿順時針方向以勻角速度轉動，設磁感強度為B，方向垂直于紙面向里的勻強磁場存在，則M、N兩點間的電勢差UMN=

5、？分析:因MN棒上各點切割磁感線的速度各不相同，故直接用公式不甚方便，考慮到UOM與UON極易求到，所以想到對本題進行適當變換。解:連OM、ON構成一個三角形OMN，在轉動過程中，因三角形回路中磁通量不變，故有MNCO圖4-3-7，且，所以說明求感應電動勢時，經(jīng)常會用到各種等效替換，如有效長度的等效替換，切割速度的等效替換及像本題中的線面變換(即將面分割成線、連線構成面)等。例2.一邊長為l的正方形線圈(線圈的橫截面積為S，電阻率為)，以勻速v通過均勻磁成45。夾角，如圖4-3-8所示。磁場區(qū)域的寬為a，高為b。(1)若bl，al，問線圈通過均勻磁場B后釋放多少焦耳熱？(2)如bl，al，問線

6、圈通過均勻磁場B后釋放多少焦耳熱？分析:把速度v正交分解成v與v(v平行于磁場上邊界a，v垂直于上邊界a)，并注意到線圈的感應電動勢等于各邊電動勢時代數(shù)和。解: (1)當bl，al時，放出的焦耳熱為B圖4-3-8(2)bl，al時，放出的焦耳熱為例3.如圖4-3-9(a)所示，有一勻強磁場，磁感應強度，在垂直于磁場的平面內(nèi)有一金屬棒PQ繞平行于磁場的O軸作逆時針轉動。已知棒長L=0.06m，O軸與P端相距l(xiāng)/3。棒的轉速n是2.0r/s。1、求棒中的感應電動勢。2、P、Q兩端中哪一端的電勢高？為什么？解: 1、設金屬棒PQ在t時間內(nèi)繞O軸轉過的角度為（圖4-3-9(b)），則=2nt。OQPO

7、PQ圖3-2-9（a）圖3-2-9（b）由扇面形面積公式可算出OQ段和OP段在t時間內(nèi)掃過的面積使：由上列兩式和可進一步算出OQ段和OP段在t時間內(nèi)切割的磁感應線和根據(jù)法拉第電磁感應定律，可算出在OQ和OP段的感應電動勢和的數(shù)值根據(jù)右手定則可確定，的方向由Q指向O，的方向由P指向O，兩者方向相反，因此，金屬棒PQ中的感應電動勢為其方向由Q向P。2、P端的電勢高。因為如果有導線連接P，Q兩端，則顯然感應電動勢將產(chǎn)生從P端經(jīng)過導線流向Q端的電流。例4、有的問題中桿的運動方向、桿的軸線方向都和B不垂直，桿上各點的速度又不同，處理起來就比較復雜一些，請看下題。BPQ圖4-3-10如圖4-3-10所示的

8、直角坐標中，有一絕緣圓錐體，半錐角為,軸線沿z軸方向，頂點在原點處。有一條長為l的細金屬絲OP固定在圓錐體的側面上，與圓錐體的一條母線重合，空間存在著沿正x方向的勻強磁場B。試討論當圓錐體如圖所示方向做角速度為的勻角速轉動時，OP上感生電動勢的情況。解:當P點的x坐標為正時，P點的電勢都高于O點的電勢；當P點的x坐標為負時，P點的電勢都低于O點的電勢；當P點的y坐標為0，即OP在xOz平面時，OP上的感生電動勢最大。此時OP在垂直于B方向上的有效長度為,P點的速度為BPQS圖4-3-11而O點的速度為零，所以OP上各點的平均速度為vp/2。因此此時OP上的感生電動勢大小為.當P點運動到某一位置

9、(圖4-3-11)，P點的x、y坐標都大于零，QP與x軸的夾角為時，OP在垂直于B方向上的有圖3-2-11效長度為為OP在yPz平面上的投影OS與z軸的夾角。S點繞O點運動的速度為.O點的速度始終為零，所以OP上各點在y方向上的平均速度為vs/2。因此此時OP上的感生電動勢的大小為.據(jù)此，可以延伸一下BPO圖4-3-12例5、在如圖4-3-12所示的直角作標系中，有一塑料制成的半錐角為的圓錐體Oab。圓錐體的頂點在原點處，其軸線沿z軸方向。有一條長為l的細金屬絲OP固定在圓錐體的側面上，金屬絲與圓錐體的一條母線重合。整個空間中存在著磁感強度為B的均勻磁場，磁場方向沿X軸正方向，當圓錐體繞其軸沿

10、圖示方向做角度為的勻角速轉動時，(1)OP經(jīng)過何處時兩端的電勢相等？(2)OP在何處時P端的電勢高于O端？(3)電勢差的最大值是多少？BPOMN圖4-3-13分析:本題的關鍵是如何處理磁感強度跟棒不垂直的問題。方法有二個：當金屬絲OP經(jīng)過XOZ平面時，設法求出極短時間內(nèi)切割的磁感線數(shù)，即磁通量；或把B分解成跟OP垂直的分量和跟平OP行的分量B。解法一：(1)當OP經(jīng)過YOZ平面的瞬間，兩端的電勢相等。因為此時OP的運動方向和磁場方向平行(同向或反向)(2)、只要OP處于YOZ平面的內(nèi)側，P點的電勢總是高于O點。(3)、當OP處于XOZ平面的右側且運動方向和磁場方向垂直時，即通過XOZ平面的瞬間

11、(如圖4-3-13所示)的值最大。其值等于在此瞬間很短時間間隔內(nèi)，OP切割的磁感線數(shù)除以，由幾何投影可知，也等于內(nèi)OP在YOZ平面內(nèi)的投影切割的磁感線的數(shù)目。P點在YOZ平面上的投影為沿Y軸做圓頻率為、振幅為Lsin的簡諧運動，此簡諧運動在Z軸附近時其速度為。因此OP的投影切割的面積為一小三角形()的面積，即BPO圖4-3-14切割磁感線數(shù)即磁通量為=B根據(jù)法拉第電磁感應定律可知=方法二：如圖4-3-14所示，把磁感強度B正交分解成垂直O(jiān)P的分量和平行于OP的分量，即 =Bsin當金屬絲OP在勻強磁場中繞Z軸轉動時，切割磁感線產(chǎn)生的電動勢為E=Lv式中v的為金屬絲OP中點的線速度，v=。代入上

12、式得E=Bcos=由此得電勢差=解法三：設想OP是閉合線框OO的一條邊。線框繞OZ軸勻速轉動產(chǎn)生的最大動生電動勢為 E=BS)因為邊O與OO沒有切割磁感線，不產(chǎn)生動生電動勢，因此OP中的電動勢就等于閉合線框OO中的電動勢。由此得電勢差=解比較復雜的電路時，一般除了用到有關電磁感應知識以外，還要用到解復雜電路的回路電壓定律和節(jié)點電流定律，請看下例：例6、如圖4-3-15所示，一很長的薄導體平板沿x軸放置，板面位于水平位置，V圖4-3-15板的寬度為L，電阻可忽略不計，aebcfd是圓弧形均勻?qū)Ь€，其電阻為3R，圓弧所在的平面與x軸垂直。圓弧的兩端a和d與導體板的兩個側面相接觸，并可在其上滑動。圓

13、弧ae=eb=cf=fd=圓周長，圓弧bc=圓周長。一內(nèi)阻R的體積很小的電壓表位于圓弧的圓心O處，電壓表的兩端分別用電阻可以忽略的直導線與b和c點相連。整個裝置處在磁感強度為B、方向豎直向上的勻強磁場中。當導體板不動而圓弧導線與電壓表一起以恒定速度v沿x軸方向平移運動時。(1)求電壓表的讀數(shù)。VOL圖4-3-16(2)求e點與f點的電勢差。分析:怎樣求出各段弧線導線(例如bc段)切割磁感線產(chǎn)生的動生電動勢呢？可以設想在bc間連接一直導線，與bc間弧線導線構成一閉合回留，它們一起切割磁感線，都產(chǎn)生動生電動勢，但回路中的總電動勢為零，由此得到bc段弧線導線中的電動勢等于bc間直導線中的電動勢。用同樣的“虛構”回路法，可以求出其他各段弧形導線中的動生電動勢。然后根據(jù)右手定則判定各段弧線導線中動生電動勢的方向。并畫出如圖4-3-16所示的等效電路，再運用一段含源電路的歐姆定律或基爾霍定律列方程，解出所求的未知數(shù)。V圖4-3-17解: 當圓弧型導線和電壓表的連線在磁場中運動時，各段導線都切割磁感線，都有感應電動勢。由圖