非慣性坐標(biāo)系中的靜止液體

1、1非慣性坐標(biāo)系非慣性坐標(biāo)系中的靜止液體中的靜止液體 流體靜力學(xué)基本方程式是對(duì)流體靜力學(xué)基本方程式是對(duì)慣性坐標(biāo)系慣性坐標(biāo)系建立的，建立的，在在非慣性坐標(biāo)系非慣性坐標(biāo)系中，流體處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，則其中，流體處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，則其表面力仍然具有各向同性和切應(yīng)力為零的性質(zhì)，因表面力仍然具有各向同性和切應(yīng)力為零的性質(zhì)，因此，基本方程同樣可以成立。不同的是此，基本方程同樣可以成立。不同的是在非慣性坐在非慣性坐標(biāo)系中，流體處于靜止?fàn)顟B(tài)，其所受的力還應(yīng)包括標(biāo)系中，流體處于靜止?fàn)顟B(tài)，其所受的力還應(yīng)包括慣性力，即基本方程中的慣性力，即基本方程中的質(zhì)量力應(yīng)為重力和慣性力質(zhì)量力應(yīng)為重力和慣性力兩部分之和兩部分之和。2

2、直線等加速運(yùn)動(dòng)容器中的靜止液體直線等加速運(yùn)動(dòng)容器中的靜止液體 如圖，一個(gè)盛有液體的容器相對(duì)于地面作直如圖，一個(gè)盛有液體的容器相對(duì)于地面作直線勻加速運(yùn)動(dòng)，線勻加速運(yùn)動(dòng)， 其加速度其加速度 為為：akajaiaazyx如果將非慣性坐標(biāo)系固定在容器上，則根據(jù)如果將非慣性坐標(biāo)系固定在容器上，則根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，該非慣性坐標(biāo)系中的流體將受到達(dá)朗貝爾原理，該非慣性坐標(biāo)系中的流體將受到慣性力的作用，且單位質(zhì)量流體受到的慣性力為慣性力的作用，且單位質(zhì)量流體受到的慣性力為-a。zga-afx03gaf將上式代入基本方程得將上式代入基本方程得：pag1于是容器中單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力就由慣性力和于是容器中單位質(zhì)量流

3、體的質(zhì)量力就由慣性力和重力兩部分組成：重力兩部分組成：其直角坐標(biāo)系下的分量式為其直角坐標(biāo)系下的分量式為：zpagypagxpagzzyyxx1,1,1zga-afx04則非慣性坐標(biāo)系中靜止液體壓力的全微分可以表則非慣性坐標(biāo)系中靜止液體壓力的全微分可以表示為示為：)()()(dzagdyagdxagdpzzyyxx由于加速度恒定，積分可得流體的壓力分布由于加速度恒定，積分可得流體的壓力分布：czagyagxagpzzyyxx)()()(其中：其中：c c為積分常數(shù)，由具體問題確定為積分常數(shù)，由具體問題確定。5ozax h例題例題：如圖為運(yùn)送液體的槽車簡(jiǎn)化模型。槽：如圖為運(yùn)送液體的槽車簡(jiǎn)化模型。槽

4、車以等加速度車以等加速度a做水平運(yùn)動(dòng)，車內(nèi)液高做水平運(yùn)動(dòng)，車內(nèi)液高H，試，試求槽車在等加速運(yùn)動(dòng)過程中求槽車在等加速運(yùn)動(dòng)過程中自由液面的形狀自由液面的形狀。假定自由液面的壓力為假定自由液面的壓力為p0。60,0,0,0zyxzyxaaaagggg帶入壓力全微分公式帶入壓力全微分公式：)(gdzadxdp解解：將固定在槽車上的運(yùn)動(dòng)：將固定在槽車上的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn)置于坐標(biāo)系的原點(diǎn)置于靜止時(shí)自由液面的中點(diǎn)靜止時(shí)自由液面的中點(diǎn)。則槽車運(yùn)動(dòng)時(shí)單位質(zhì)。則槽車運(yùn)動(dòng)時(shí)單位質(zhì)量液體受到的重力和液體的量液體受到的重力和液體的加速度加速度分量分別為：分量分別為：ozax h由于自由液面為等壓面，由于自由液面為等壓面

5、，dp=0，所以有，所以有7adx=-gdz積分得積分得 z =-ax/g+c自由液面通過原點(diǎn)，則自由液面通過原點(diǎn)，則c=0，則自由液面方程則自由液面方程為為： xgazs 說明自由液面是斜率為說明自由液面是斜率為- -a/g的傾斜平面的傾斜平面。 此外，槽車內(nèi)液體的壓力分布為此外，槽車內(nèi)液體的壓力分布為：cgzaxp)(8改寫成改寫成：)(0zxgagppghpp0)(0gzaxpp)/(zgax式中式中 項(xiàng)正好等于液體自由液面以下項(xiàng)正好等于液體自由液面以下的垂直深度的垂直深度h，0pc 可確定可確定則：此式表明，在非慣性坐標(biāo)系中，靜止液體中壓力此式表明，在非慣性坐標(biāo)系中，靜止液體中壓力同樣

6、只是液體深度的函數(shù)同樣只是液體深度的函數(shù)。ozx ha9ozayx等壓面方程等壓面方程 邊界條件 壓強(qiáng)分布方程壓強(qiáng)分布方程1.1.平面上的等加速運(yùn)動(dòng)平面上的等加速運(yùn)動(dòng)( (非慣性非慣性/ /動(dòng)坐標(biāo)系動(dòng)坐標(biāo)系) )101010pXxpYypZz10010paxpypgzddd0pa xg zddd0zaxpg ,0,Xa YZg appaxgz0,apaxgzcxyzpp0axgz自由液面方程自由液面方程圖圖2-122-12（a a） 102.2.容器沿斜面的等加速運(yùn)動(dòng)容器沿斜面的等加速運(yùn)動(dòng)zxyaoacos, 0,singZYgaXdcosd)sin(ddzgxgaWp 0d p a(sin)

7、cos0,0,pcagxgzxzpp acpa(sin)cosppagxgzdsindcoszagxg 11例例1一灑水車以等加速一灑水車以等加速a=0.98m/s2在平地行駛，靜止時(shí)，在平地行駛，靜止時(shí)，B點(diǎn)處水點(diǎn)處水深深1m，距，距o點(diǎn)水平距點(diǎn)水平距1.5m，求運(yùn)動(dòng)時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)B點(diǎn)的水靜壓強(qiáng)。點(diǎn)的水靜壓強(qiáng)。解：gzaxpa=0.98m/s2，x=1.5m，z=1m，代入OmH.gp2151注意坐標(biāo)的正負(fù)號(hào)aoBzx例例3圖圖12例例2： 一加滿水的柱體直徑為一加滿水的柱體直徑為30cm30cm，60cm60cm高，問逐高，問逐漸加上多少加速度會(huì)溢出漸加上多少加速度會(huì)溢出1/41/4的水量？

8、的水量？1/21/2的水量？的水量？全部的水量？全部的水量？ 60cm30cm水量水量13解：若溢出解：若溢出1/4水量，則水量，則 =45如圖：如圖：那么那么 ax=gtan45=g=9.81m/s2 160cm30cm水量水量若溢出若溢出1/2的水量，則的水量，則 tan =ax/g=60/30=2即即ax=2g 水全部溢出實(shí)際上水全部溢出實(shí)際上是不可能實(shí)現(xiàn)的。是不可能實(shí)現(xiàn)的。1/2水量水量 214如圖，是一個(gè)旋轉(zhuǎn)容器，容器如圖，是一個(gè)旋轉(zhuǎn)容器，容器半徑為半徑為R。靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，裝有深度。靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，裝有深度為為H的液體。的液體。 當(dāng)容器以角速度當(dāng)容器以角速度做等速旋轉(zhuǎn)做等速旋轉(zhuǎn)時(shí)，液體除受

9、到重力作用外還要受時(shí)，液體除受到重力作用外還要受到離心慣性力的作用。到離心慣性力的作用。 則單位質(zhì)量流體的重力分量為則單位質(zhì)量流體的重力分量為等角速度旋轉(zhuǎn)容器內(nèi)液體的相對(duì)平衡xzhOyxr2y2x20yxrggggzyx, 0, 0150sincos2222zyxayraxra由達(dá)郎貝爾原理，單位質(zhì)量流體受到的慣性力為由達(dá)郎貝爾原理，單位質(zhì)量流體受到的慣性力為- -a，大小為，大小為r2，其分量為，其分量為 于是，容器中液體所受的單位質(zhì)量力為于是，容器中液體所受的單位質(zhì)量力為：fx=2rcos =2 xfy= 2rsin =2 yfz=-gyxr2y2x20yxr16將質(zhì)量力代入全微分公式有將

10、質(zhì)量力代入全微分公式有：dp= (2 xdx+2 ydy -gdz)由于等壓面上由于等壓面上dp=0,則等壓面方程則等壓面方程: 2 xdx+2 ydy -gdz=0積分積分: 2202222221,0,0,021,2rgzCzrCgzrCgzyxxzOz0zh17壓強(qiáng)分布為壓強(qiáng)分布為:ghzzgzrggpppCppzrCzrggp)()21(,0,0)21(02200022xzOz0zh18高速回轉(zhuǎn)圓筒內(nèi)的流體壓力分布 如離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓，轉(zhuǎn)速少則幾百轉(zhuǎn)，如離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓，轉(zhuǎn)速少則幾百轉(zhuǎn)，多則數(shù)萬轉(zhuǎn)。那么這種情況下，液體內(nèi)多則數(shù)萬轉(zhuǎn)。那么這種情況下，液體內(nèi)部的壓力分布及自由面是什么樣呢？部的壓力分布及

11、自由面是什么樣呢？19高轉(zhuǎn)速使液體所受的旋轉(zhuǎn)慣性力遠(yuǎn)大于重高轉(zhuǎn)速使液體所受的旋轉(zhuǎn)慣性力遠(yuǎn)大于重力。此時(shí)，壓力全微分公式力。此時(shí)，壓力全微分公式-gdz項(xiàng)可以忽項(xiàng)可以忽略，即略，即 dp= ( 2 xdx+ 2 ydy-gdz)可簡(jiǎn)化為：可簡(jiǎn)化為： dp=2(xdx+ydy)而等壓液面方程則近似為：而等壓液面方程則近似為： 2 r 2/ 2=C 近似為圓柱面，令自由液面的圓柱面半徑近似為圓柱面，令自由液面的圓柱面半徑為為r0。2021積分積分：002ddprprpr r整理后整理后：)(220220rrpp 該式為離心機(jī)設(shè)計(jì)和操作分析中經(jīng)常用到的該式為離心機(jī)設(shè)計(jì)和操作分析中經(jīng)常用到的壓力分布關(guān)系

12、式壓力分布關(guān)系式。22例例:有一容器繞有一容器繞o-o?軸勻速旋轉(zhuǎn)，軸勻速旋轉(zhuǎn)，n=60000rpm，已知已知R=50mm, r0=10mm, H=1000mm,靜止時(shí)水靜止時(shí)水面高度面高度h=900mm。試求：。試求：r=30mm處的壓強(qiáng)。處的壓強(qiáng)。23解：在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，容器內(nèi)液體將形成圓柱環(huán)，設(shè)內(nèi)環(huán)半徑為r1，則)(2308 .151000)50(90050)(2122001121222122rrppmmrrrmmrrHrRhR處的壓強(qiáng)為則則液體不會(huì)溢出。，解得：2422210001013250 030 015823012 9MPan()( .).25例：例：圖示為盛滿液體的容器頂蓋中心處

13、圖示為盛滿液體的容器頂蓋中心處開口，當(dāng)容器以等角速度開口，當(dāng)容器以等角速度 繞垂直軸繞垂直軸z旋旋轉(zhuǎn)時(shí)，液體借離心力向外甩，但是受頂轉(zhuǎn)時(shí)，液體借離心力向外甩，但是受頂蓋限制，液面不能形成拋物面。試分析蓋限制，液面不能形成拋物面。試分析液體內(nèi)的壓力分布。液體內(nèi)的壓力分布。z0RBpa 26液體內(nèi)各點(diǎn)的壓強(qiáng)分布符合下式，即液體內(nèi)各點(diǎn)的壓強(qiáng)分布符合下式，即 gzrCp222常數(shù)常數(shù)C，可利用，可利用r=0，z=0，p=pa確定，即確定，即C=pa。故。故 gzrppa222z0RBpa 27222RppaB 故作用于頂蓋上（故作用于頂蓋上（z=0）各點(diǎn)的壓力仍按）各點(diǎn)的壓力仍按拋物面分布，如圖箭頭所

14、示，邊緣拋物面分布，如圖箭頭所示，邊緣B處處 邊緣邊緣B處（處（r=R，z=0）壓力最大為（表壓）壓力最大為（表壓）:222RpppaBgz0RBpa 28可知可知 越大，則邊緣越大，則邊緣處壓力越大，處壓力越大，離心鑄造離心鑄造就就是依據(jù)此原理，即通過離是依據(jù)此原理，即通過離心鑄造機(jī)的高速旋轉(zhuǎn)而增心鑄造機(jī)的高速旋轉(zhuǎn)而增大鑄模外緣處液態(tài)金屬的大鑄模外緣處液態(tài)金屬的壓力，從而得到較密實(shí)的壓力，從而得到較密實(shí)的鑄件。鑄件。z0RBpa 29例例.盛滿液體的容器頂蓋邊緣處開盛滿液體的容器頂蓋邊緣處開 口，當(dāng)其旋口，當(dāng)其旋轉(zhuǎn)時(shí)，液體借離心慣性力而向外甩，但當(dāng)液體轉(zhuǎn)時(shí)，液體借離心慣性力而向外甩，但當(dāng)液體

15、剛要甩出容器時(shí)，在容器內(nèi)部即產(chǎn)生真空，緊剛要甩出容器時(shí)，在容器內(nèi)部即產(chǎn)生真空，緊緊吸住液體，以致液體跑不出去。試分析液體緊吸住液體，以致液體跑不出去。試分析液體內(nèi)的壓強(qiáng)分布及內(nèi)的壓強(qiáng)分布及o點(diǎn)處的真空度。點(diǎn)處的真空度。0RBpaz DC A30gzrCp222利用利用r=R，z=0時(shí)時(shí) p=pa，以確定常數(shù)，以確定常數(shù)C, 即即222RpCa流體內(nèi)各點(diǎn)的壓強(qiáng)分布符合下式，即流體內(nèi)各點(diǎn)的壓強(qiáng)分布符合下式，即31gzRrppa)(2222z=0, r=0 處真空度為處真空度為222Rpppav0RBpaz DC A32 由上式可知，由上式可知， 越大則越大則0點(diǎn)處的真空越大，點(diǎn)處的真空越大，離心式

16、離心式水泵和離心式風(fēng)機(jī)水泵和離心式風(fēng)機(jī)就是根就是根據(jù)此原理設(shè)計(jì)的，當(dāng)葉輪據(jù)此原理設(shè)計(jì)的，當(dāng)葉輪旋轉(zhuǎn)時(shí)，在葉輪中心處形旋轉(zhuǎn)時(shí)，在葉輪中心處形成真空，流體被吸入，又成真空，流體被吸入，又借離心力將流體甩向外緣，借離心力將流體甩向外緣，增大壓力后輸送出去。增大壓力后輸送出去。 0RBpaz DC A33在生產(chǎn)實(shí)際中，可根在生產(chǎn)實(shí)際中，可根據(jù)旋轉(zhuǎn)容器中液面高度的據(jù)旋轉(zhuǎn)容器中液面高度的變化來測(cè)定旋轉(zhuǎn)角速度。變化來測(cè)定旋轉(zhuǎn)角速度。因?yàn)樾D(zhuǎn)前后容器內(nèi)液體因?yàn)樾D(zhuǎn)前后容器內(nèi)液體體積不會(huì)改變。旋轉(zhuǎn)后中體積不會(huì)改變。旋轉(zhuǎn)后中間出現(xiàn)一個(gè)被旋轉(zhuǎn)拋物面間出現(xiàn)一個(gè)被旋轉(zhuǎn)拋物面包圍的空腔，當(dāng)空腔的底面半徑為包圍的空腔，當(dāng)空

17、腔的底面半徑為R，即與容，即與容器半徑相當(dāng)時(shí)，有器半徑相當(dāng)時(shí)，有)(022122HHRHRhR34化簡(jiǎn)后可得化簡(jiǎn)后可得：hHH20根據(jù)自由表面方程根據(jù)自由表面方程：grz22200222HHgRRr處，有在由（由（1）、（）、（2）兩式得）兩式得)(20HhgR35例題例題1: d=300mm, H=500mm敞口圓柱形容器中，注水高度敞口圓柱形容器中，注水高度為為h1=300mm，容器繞軸作等，容器繞軸作等角速度旋轉(zhuǎn)。角速度旋轉(zhuǎn)。1.確定使水的自由界面正好達(dá)到容確定使水的自由界面正好達(dá)到容器邊緣時(shí)的轉(zhuǎn)數(shù)器邊緣時(shí)的轉(zhuǎn)數(shù)n1;2.求拋物面頂端碰到容器底時(shí)的轉(zhuǎn)求拋物面頂端碰到容器底時(shí)的轉(zhuǎn)數(shù)數(shù)n2,此時(shí)容器停止旋轉(zhuǎn)后，水面高此時(shí)容器停止旋轉(zhuǎn)后，水面高度度h2將為多少？將為多少？36解：1.根據(jù)可得H0=2h1-H=2300-500 =100mm此時(shí)角速度為102hHH1033229 81300 10010150 1018 676 rad sg(hH )R.()./37rpmn17814. 3676.1830301則2.2.（方法一方法一）當(dāng)拋物面頂