電磁場課件配套教案第三章靜態(tài)場及其邊值問題的解

1、第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波1第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波2本章內(nèi)容本章內(nèi)容 3.1 靜電場分析靜電場分析 3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析 3.3 恒定磁場分析恒定磁場分析 3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法鏡像法 3.6 分離變量法分離變量法 靜態(tài)電磁場：靜態(tài)電磁場：場量不隨時(shí)間變化，包括：場量不隨時(shí)間變化，包括： 靜電場、恒定電場和恒定磁場靜電場、恒定電場和恒定磁場 時(shí)變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場時(shí)變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場 靜態(tài)情況下，電場

2、和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立 第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波33.1 靜電場分析靜電場分析 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件 3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù) 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 3.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 3.1.5 靜電力靜電力第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波42. 邊界條件邊界條件0ED微分形式：微分形式：ED本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：1. 基本方程基本方程0)()(21n21nEEDDeeS0ddlESDCSq積分形式

3、：積分形式：0)(0)(21n21nEEDDee02t1tn2n1EEDDS或或2t1tn2n1EEDD或或3.1.1 靜電場的基本方程和邊界條件靜電場的基本方程和邊界條件若分界面上不存在面電荷，即若分界面上不存在面電荷，即 ，則，則0S第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波50E由由即即靜電場可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示靜電場可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù) 稱為靜稱為靜電場的標(biāo)量電位或簡稱電位。電場的標(biāo)量電位或簡稱電位。1. 電位函數(shù)的定義電位函數(shù)的定義E3.1.2 電位函數(shù)電位函數(shù)第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波62. 電位的表達(dá)式電位的表達(dá)式對(duì)于連續(xù)

4、的體分布電荷，由對(duì)于連續(xù)的體分布電荷，由同理得，面電荷的電位：同理得，面電荷的電位： 1()( )d4VrrVCR故得故得點(diǎn)電荷的電位：點(diǎn)電荷的電位：( )4qrCR()1( )d4lCrrlCRd)1)(41d)1()(41d)(41)(3VRrVRrVRRrrEVVV3)1(RRR線電荷的電位：線電荷的電位：rrRCSRrrSSd)(41)(3第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波73. 電位差電位差兩端點(diǎn)乘兩端點(diǎn)乘 ，則有，則有l(wèi)dE將將d)ddd(ddyyyyxxllE上式兩邊從點(diǎn)上式兩邊從點(diǎn)P到點(diǎn)到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得沿任意路徑進(jìn)行積分，得關(guān)于電位差的說明關(guān)于電位差的說明

5、 P、Q 兩點(diǎn)間的電位差等于電場力將單位正電荷從兩點(diǎn)間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點(diǎn)移至點(diǎn)移至Q 點(diǎn)點(diǎn) 所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。 電位差也稱為電壓，可用電位差也稱為電壓，可用U 表示。表示。 電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。)()(ddQPlEQPQPP、Q 兩點(diǎn)間的電位差兩點(diǎn)間的電位差電場力做電場力做的功的功第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波8 靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即)(CC選

6、參考點(diǎn)選參考點(diǎn)令參考點(diǎn)電位為零令參考點(diǎn)電位為零電位確定值電位確定值( (電位差電位差) )兩點(diǎn)間電位差有定值兩點(diǎn)間電位差有定值 選擇電位參考點(diǎn)的原則選擇電位參考點(diǎn)的原則 應(yīng)使電位表達(dá)式有意義。應(yīng)使電位表達(dá)式有意義。 應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無 限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)。限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)。 同一個(gè)問題只能有一個(gè)參考點(diǎn)。同一個(gè)問題只能有一個(gè)參考點(diǎn)。4. 電位參考點(diǎn)電位參考點(diǎn) 為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的

7、電位差為確點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即9RlqrVP 2d 41d0001d4 2 4 Pq lqrRr220 4Rxq+Rr 例例3.1.1 正電荷正電荷 均勻分布在半徑為均勻分布在半徑為 的細(xì)圓環(huán)上的細(xì)圓環(huán)上. 求求圓環(huán)圓環(huán)軸線上距環(huán)心為軸線上距環(huán)心為 處點(diǎn)處點(diǎn) 的電位的電位.qRxPldxPRlqlq 2dddoyzx100004 qxR，04 PqxRx，2204 PqxR討討 論論 Rq04xo21220)( 4Rxq第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波11 解解 選定均

8、勻電場空間中的一點(diǎn)選定均勻電場空間中的一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn)P 的的位置矢量為位置矢量為r ，則，則000( )( )ddPPoOPOElErEr 若選擇點(diǎn)若選擇點(diǎn)O為電位參考點(diǎn)，即為電位參考點(diǎn)，即 ，則，則( )0O0( )PEr 000( )coszPErer EE r 在球坐標(biāo)系中，取極軸與在球坐標(biāo)系中，取極軸與 的方向的方向一致，即一致，即 ，則有，則有00zEe E0E000( )()cosxzPEreE ee zE zree z 在圓柱坐標(biāo)系中，取在圓柱坐標(biāo)系中，取 與與x 軸方向一致，即軸方向一致，即 ，而，而 ，故，故 00 xEe E0E0ExzOPr

9、 例例3.1.2 求均勻電場的電位分布。求均勻電場的電位分布。第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波12xyzL-L( , , ) z zddlzRz 解解 采用圓柱坐標(biāo)系，令線電荷與采用圓柱坐標(biāo)系，令線電荷與 z 軸相重合，中點(diǎn)位于坐軸相重合，中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)。由于軸對(duì)稱性，電位與標(biāo)原點(diǎn)。由于軸對(duì)稱性，電位與 無關(guān)。無關(guān)。在帶電線上位于在帶電線上位于 處的線元處的線元 ，它，它到點(diǎn)到點(diǎn) 的距離的距離 ，則則22()Rzzddlz( , , )Pz 02201()d4()LlLrzzz2200ln() 4LlLzzzz 220220()()ln4()()lzLzLzLzL 例例3.1.3

10、 求長度為求長度為2L、電荷線密度為、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。的均勻帶電線的電位。0l第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波132222000220002( )lnlnln422lllLLLLLrLL 在上式中若令在上式中若令 ，則可得到無限長直線電荷的電位。當(dāng)，則可得到無限長直線電荷的電位。當(dāng) 時(shí)，上式可寫為時(shí)，上式可寫為 LRL 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，上式變?yōu)闊o窮大，這是因?yàn)殡姾刹皇欠植荚谟邢迏^(qū)時(shí)，上式變?yōu)闊o窮大，這是因?yàn)殡姾刹皇欠植荚谟邢迏^(qū)域內(nèi)，而將電位參考點(diǎn)選在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)之故。這時(shí)可在上式中加上域內(nèi)，而將電位參考點(diǎn)選在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)之故。這時(shí)可在上式中加上一個(gè)任意常數(shù)，則有一個(gè)任意常數(shù)，則

11、有L 002( )ln2lLrC并選擇有限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)。例如，選擇并選擇有限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)。例如，選擇= a 的點(diǎn)為電位參的點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，則有考點(diǎn)，則有002ln2lLCa 00( )ln2lar第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波14在均勻介質(zhì)中，有在均勻介質(zhì)中，有5. 電位的微分方程電位的微分方程在無源區(qū)域，在無源區(qū)域，0EED202標(biāo)量泊松方程標(biāo)量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波156. 靜電位的邊界條件靜電位的邊界條件 設(shè)設(shè)P1和和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為

12、別為1和和2。當(dāng)兩點(diǎn)間距離當(dāng)兩點(diǎn)間距離l0時(shí)時(shí) 導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：0dlim21021PPlElSe)(21nDDD由由 和和12媒質(zhì)媒質(zhì)2媒質(zhì)媒質(zhì)121l2P1P 若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即0Snn1122常數(shù)，常數(shù)，SnSnn112221第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波16 例例3.1.4 兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于 x = 0 和和 x = a 處，處，在兩板之間的在兩板之間的 x = b 處有一面密度為處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導(dǎo)體平板

13、之間的電位和電場。示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場。0S 解解 在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除 x = b 處有均勻面電處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程斯方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程的解為方程的解為obaxy兩塊無限大平行板兩塊無限大平行板0S1( )x2( ) x第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波170110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 0

14、10020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea1221122021000SDC aDC bDC bDCC 利用邊界條件，有利用邊界條件，有xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx 處，處，最后得最后得0 x 處，處，1(0)0 x a2( )0a 處，處，所以所以0220( )( )SxbE xxea由此解得由此解得第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波18電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中：電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中： 3.1.3 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 在

15、電子電路中，利用電容器來實(shí)現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁在電子電路中，利用電容器來實(shí)現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用。路、選頻等作用。 通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜 電路。電路。 在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率。減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率。第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波19 電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng)電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng) 儲(chǔ)存電荷儲(chǔ)存電荷能力的物理量。能

16、力的物理量。 孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量q與其電位與其電位 的比值，即的比值，即qC 1. 電容電容 孤立導(dǎo)體的電容孤立導(dǎo)體的電容 兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷（兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷（ q）的的 導(dǎo)體組成的電容器，其電容為導(dǎo)體組成的電容器，其電容為12qqCU 電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì)電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì) 的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。E02U1qq第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波20 (1) 假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q 和和

17、q ； 計(jì)算電容的方法一計(jì)算電容的方法一：UqC (4) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。21dlEU (3) 由由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；，求出兩導(dǎo)體間的電位差； (2) 計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度E； 計(jì)算電容的方法二計(jì)算電容的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為假定兩電極間的電位差為U ； (4) 由由 得到得到 ;nESS (2) 計(jì)算兩電極間的電位分布計(jì)算兩電極間的電位分布 ；E (3) 由由 得到得到E ; SSSqd (5) 由由 ，求出導(dǎo)體的電荷，求出導(dǎo)體的電荷q ；UqC (6) 求比值求比值 ，即得出所求電容。，即得出所求電容。第第

18、3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波21 解解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為電荷為q ，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場的電場44rr22qqDe,Eerr0011d()44baqqbaUE rabab同心導(dǎo)體間的電壓同心導(dǎo)體間的電壓04abqCUba球形電容器的電容球形電容器的電容04Ca當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，b 例例3.1.4 同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a 、外導(dǎo)體半徑為、外導(dǎo)體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為其間填充介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。求此球形電容器的電容。孤立導(dǎo)體球的電容孤立導(dǎo)體球的電容abo第第3

19、 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波22 例例 3.1.5 如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為a ，兩導(dǎo)線，兩導(dǎo)線的軸線距離為的軸線距離為D ，且，且D a ，求傳輸線單位長度的電容。，求傳輸線單位長度的電容。l 解解 設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為 和和 。由于。由于 ，故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P 的電場強(qiáng)度為的電場強(qiáng)度為lDa011( )()2lx

20、E xexDx兩導(dǎo)線間的電位差兩導(dǎo)線間的電位差210011d()dln2DallaDaUElxxDxa故單位長度的電容為故單位長度的電容為001(F/m)ln()ln()lCUDaaD axyzxDa第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波23 例例3.1.6 同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a ，外導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體半徑為b ，內(nèi)外導(dǎo)體，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為間填充的介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。求同軸線單位長度的電容。( )2lEe內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差1( )dd2bblaaUEell 解解 設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為

21、設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為 和和 ，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為故得同軸線單位長度的電容為故得同軸線單位長度的電容為12(F/m)ln( / )lCUb aab同軸線同軸線ln( / )2lb a第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波24 如果充電過程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會(huì)有能量輻射，充電過如果充電過程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會(huì)有能量輻射，充電過程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能程中外加電源所做的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所做的總功。量就等于外加電

22、源在此電場建立過程中所做的總功。靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量。靜電場最基本的特征是對(duì)電荷有作用力，這表明靜電場具有靜電場最基本的特征是對(duì)電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量。能量。 任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個(gè)最終任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個(gè)最終電荷分布的建立電荷分布的建立(或充電或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而做功。電荷之間的相互作用力而做功。3.1.4 靜電場的能量靜電場的能量 第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁

23、場與電磁波251. 靜電場的能量靜電場的能量 設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為 q 、電位為、電位為 。 充電過程中某一時(shí)刻的電荷量為充電過程中某一時(shí)刻的電荷量為q 、電位為、電位為 。(01) 當(dāng)當(dāng)增加為增加為(+ d)時(shí)，外電源做功為時(shí)，外電源做功為: (q d)。 對(duì)對(duì)從從0 到到 1 積分，即得到外電源所做的總功為積分，即得到外電源所做的總功為101d2qq 根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為 q 的帶電體具有的電的帶電體具有的電場能量場能量We ，即，即 對(duì)于電荷體密度為對(duì)于電荷體密度為的體分布電荷，體積元的體分布電荷

24、，體積元dV中的電荷中的電荷dV具具有的電場能量為有的電場能量為qW21eVWd21de第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波26故體分布電荷的電場能量為故體分布電荷的電場能量為對(duì)于面分布電荷，對(duì)于面分布電荷，電場能量為電場能量為對(duì)于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有對(duì)于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有iq 第第i 個(gè)導(dǎo)體所帶的電荷個(gè)導(dǎo)體所帶的電荷i 第第i 個(gè)導(dǎo)體的電位個(gè)導(dǎo)體的電位式中：式中： iiiiSSiiSiSqSSWiiii21d21d21eVVWd21eSSSWd21e第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波272. 電場能量密度電場能量密度 從場的觀點(diǎn)來看，靜電場的能量分布于電場所在

25、的整個(gè)空間。從場的觀點(diǎn)來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個(gè)空間。EDw21e電場能量密度：電場能量密度：e1d2VWD E V電場的總能量：電場的總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶龇e分區(qū)域?yàn)殡妶鏊诘恼麄€(gè)空間所在的整個(gè)空間2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有2e111222wD EE EE 第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波28由于體積由于體積V 外的電荷密度外的電荷密度0，若將上，若將上式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)場空間，結(jié)式中的積分區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)場空間，結(jié)果仍然成立。只要電荷分布在有限區(qū)域果仍然成立。只要電荷分布在有限

26、區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面內(nèi)，當(dāng)閉合面S 無限擴(kuò)大時(shí)，則有無限擴(kuò)大時(shí)，則有211 O( O()DRR)、故故 推證推證：()DDD E D R0Se11dd22VVWVDV1()d2VDDVSVSDVDdd )(VDESDVSd21d210)1O()d11O(d2RSRRSDSS第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波29 例例3.1.7 半徑為半徑為a 的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為的電的電荷，試求靜電場能量。荷，試求靜電場能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解解： 方法一方法一，利用利用

27、 計(jì)算計(jì)算 VVEDWd21e 根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVd21d21d2121220210e第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波30)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二方法二：利用利用 計(jì)算計(jì)算 VVWd21e 先求出電位分布先求出電位分布 故故5202022021e154d4)3(221d21arrraVWaV第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波313.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析 本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.2.1 恒定電場

28、的基本方程和邊界條件恒定電場的基本方程和邊界條件 3.2.2 恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬 3.2.3 漏電導(dǎo)漏電導(dǎo)第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波32 由由J J E E 可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運(yùn)動(dòng)，但導(dǎo)體中的電的電場，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運(yùn)動(dòng)，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時(shí)間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生荷分布是一種不隨時(shí)間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定電場。的電場稱為恒定電場。 恒定電場與靜電場的重要區(qū)別：恒定電場與靜電場

29、的重要區(qū)別： （1 1）恒定電場可以存在于導(dǎo)體內(nèi)部。）恒定電場可以存在于導(dǎo)體內(nèi)部。 （2 2）恒定電場中有電場能量的損耗）恒定電場中有電場能量的損耗, ,要維持導(dǎo)體中的恒定電要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的電場能量。流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的電場能量。 恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。 3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件恒定電場的基本方程和邊界條件第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波33EJ0d0dlESJCS00EJ1. 基本方程基本方程 恒定電場的基本方程為恒定電場的基本方程

30、為微分形式：微分形式：積分形式：積分形式：)(rJ 恒定電場的基本場矢量是電流密度恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場強(qiáng)度和電場強(qiáng)度)(rE 線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系0)(EEJ 恒定電場的電位函數(shù)恒定電場的電位函數(shù)0E0 EE0 J由由0)(02若媒質(zhì)是均勻的，則若媒質(zhì)是均勻的，則 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷沒有體分布電荷第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波342. 恒定電場的邊界條件恒定電場的邊界條件0dlEC0dSJS媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 121212E1Ene0)(21nJJe0)(21nEEe 場矢量的邊界條件場矢量的

31、邊界條件2nn1JJ即即2t1tEE即即 導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度n2211222111n21n)()()(JeeSJJDD第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波35 電位的邊界條件電位的邊界條件nn221121, 恒定電場同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場恒定電場同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場 既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，因因 而導(dǎo)體表面不是等位面；而導(dǎo)體表面不是等位面； 說明說明：b11、a第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波36媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒

32、質(zhì)1 12122E1E)(12媒質(zhì)媒質(zhì)2 2媒質(zhì)媒質(zhì)1 12012Ene1E)0(1 如如2 1、且、且 290，則則 10， 即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。 此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為 等位面；等位面； 若媒質(zhì)若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)為理想介質(zhì)，即即 10，則則 J1=0，故故J2n= 0 且且 E2n= 0，即導(dǎo)體，即導(dǎo)體 中的電流和電場與分界面平行中的電流和電場與分界面平行。第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波373.2.2 恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬 如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊

33、界如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個(gè)數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場的解，就兩種場分布必然是同一個(gè)數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場的解，就可以用對(duì)應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場可以用對(duì)應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。的方法稱為比擬法。D0U靜電場靜電場J0U恒定電場恒定電場第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波38恒定電場與靜電場的比擬恒定電場與靜電場的比擬基本方程基本方程ED,EEJ0202n2n1t2t1 D

34、DEEn2n1t2t1 JJEE靜電場（靜電場（ 區(qū)域）區(qū)域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)位函數(shù)邊界條件邊界條件恒定電場（電源外）恒定電場（電源外）對(duì)應(yīng)物理量對(duì)應(yīng)物理量靜電場靜電場EEDJqI恒定電場恒定電場GC0d, 0dlESDCS第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波39 例例3.2.1一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為 1、 1 和和 2、 2 ，外加電壓，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。 解解：極板是理想導(dǎo)體，

35、：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿為等位面，電流沿z 方向。方向。1n2nJJ 由由1n2nSDD由由U1d2d11, 22, zo12121 12212()ddUUUEdE dJ12121122,JJJJEE12JJJ1212()ddJU121212,SSDJDJ上下21122 121212112()SDDJUdd 介第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波40 例例3.2.2 填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)，外導(dǎo)體半徑為體半徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為 1 和和 2 、

36、電導(dǎo)率為、電導(dǎo)率為 1 和和 2 。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為U0 ，外導(dǎo)體接地。求：，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強(qiáng)度分布；（）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強(qiáng)度分布；（2）介質(zhì)分界面）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。上的自由電荷面密度。J1212I外導(dǎo)體外導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體介質(zhì)介質(zhì)2 2介質(zhì)介質(zhì)1abc11、22、0U第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波41 （1）設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為）設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為I ,則由則由 可得電流密度可得電流密度Sd,JSI()2IJeac111()2JIEeab 介質(zhì)中的電場介質(zhì)中的電場222()2JI

37、Eebc 解解 電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對(duì)稱分布?？上燃僭O(shè)電流為所以電流密度成軸對(duì)稱分布?？上燃僭O(shè)電流為I，由求出電流密度由求出電流密度 的表達(dá)式，然后求出的表達(dá)式，然后求出 和和 ，再由，再由 確定出電流確定出電流 I。J012ddbcabUEE1E2E第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波4212021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強(qiáng)度分別為故兩種介

38、質(zhì)中的電流密度和電場強(qiáng)度分別為120212ln()ln()UIb ac b 01212ddln( )ln( )22bcabIbIcUEEab由于由于于是得到于是得到第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波4312011121ln()ln()SaUeEab ac b 21022221ln()ln()ScUeEcb ac b 1211221221021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b nSeD （2）由）由 可得，介質(zhì)可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì)介質(zhì)2外表面的電荷面密度為外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密

39、度為J2112I第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波44 在恒定電場中兩個(gè)電極間充滿電導(dǎo)率為在恒定電場中兩個(gè)電極間充滿電導(dǎo)率為的均勻?qū)щ姷木鶆驅(qū)щ娒劫|(zhì)時(shí)，電導(dǎo)為：媒質(zhì)時(shí)，電導(dǎo)為：2211SSJ d SEd SIGUEd lEd l3.2.3 電導(dǎo)電導(dǎo)第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波45(1) 假定兩電極間的電流為假定兩電極間的電流為I ； 計(jì)算兩電極間的電流密度計(jì)算兩電極間的電流密度 矢量矢量J ； 由由J = E 得到得到 E ; 由由 ，求出兩導(dǎo)，求出兩導(dǎo) 體間的電位差；體間的電位差； (5) 求比值求比值 ，即得，即得出出(2) 所求電導(dǎo)。所求電導(dǎo)。21dlEUUIG

40、/ 計(jì)算電導(dǎo)的方法一計(jì)算電導(dǎo)的方法一： 計(jì)算電導(dǎo)的方法二計(jì)算電導(dǎo)的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為假定兩電極間的電位差為U； (2) 計(jì)算兩電極間的電位分布計(jì)算兩電極間的電位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 由由 J = E 得到得到J ; (5) 由由 ，求出兩導(dǎo)體間，求出兩導(dǎo)體間 電流；電流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求電導(dǎo)。求電導(dǎo)。ESISJdUIG/ 計(jì)算電導(dǎo)的方法三計(jì)算電導(dǎo)的方法三：靜電比擬法：靜電比擬法：CGCG第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波46 例例3.2.3 求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)

41、內(nèi)外的半徑分別為a 、b，長度為長度為l ，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為、介電常數(shù)為、介電常數(shù)為。解解：直接用恒定電場的計(jì)算方法直接用恒定電場的計(jì)算方法電導(dǎo)電導(dǎo))/ln(2ablUIG絕緣電阻絕緣電阻ablGRln211baablIlIUln2d2dlElba則則IlIJ2lIJE2設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I 。第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波47本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位 3.3.3 電感電感 3.3.4 恒定

42、磁場的能量恒定磁場的能量 3.3.5 磁場力磁場力 3.3 恒定磁場分析恒定磁場分析第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波480HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本方程基本方程BH2. 邊界條件邊界條件本構(gòu)關(guān)系：本構(gòu)關(guān)系：SJHHeBBe)(0)(21n21nSJHHBBt2t12n1n0或或若分界面上不存在面電流，即若分界面上不存在面電流，即JS0，則，則積分形式積分形式: :0)(0)(21n21nHHeBBe或或002tt1n2n1HHBB3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件恒定磁場的基本方程和邊界條件第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波49

43、 矢量磁位的定義矢量磁位的定義 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)量量 的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場，即的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場，即由由AA 0BBA 即恒定磁場可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。即恒定磁場可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來表示。 磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的造成的。為了得到確定的A，可以對(duì)，可以對(duì)A的散度加以限制，在恒定磁的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。場中通常

44、規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。0A()AAA 1. 恒定磁場的矢量磁位恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位矢量磁位或稱磁矢位 3.3.2 恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波50 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在無源區(qū)：在無源區(qū)：AB0A 0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 磁矢位的表達(dá)式磁矢位的表達(dá)式3( )1( )d( )()d44VVJ rRB rVJ rVRR 1( )()d4VJ rVR ()111()()()()()()J rJ rJ rJ rRRRR 31()RRR

45、 JB第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波51 磁矢位的邊界條件磁矢位的邊界條件（可以證明滿足（可以證明滿足 ） 0A對(duì)于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為對(duì)于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為 利用磁矢位計(jì)算磁通量：利用磁矢位計(jì)算磁通量：0A 12AAn12()SeHHJ/HAn121211()SeAAJ細(xì)線電流細(xì)線電流：CRlIrAd4)(面電流面電流：SSSRrJrAd)(4)(由此可得出由此可得出VVRrJrAd)(4)(SCSBlAddCSSlASASBddd0dSSA2t1tAA 2n1nAA第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波52 解解：先求長度為：先求長度為

46、2L 的直線電流的磁矢位。電流元的直線電流的磁矢位。電流元 到點(diǎn)到點(diǎn) 的距離的距離 。則。則22()RzzddzI le I z( , , )Pz 0221()d4()LzLIA rezzz220ln() 4LzLIezzzz 22022()()ln4()()zzLzLIezLzL 例例 求無限長線電流求無限長線電流 I 的磁矢位，設(shè)電流沿的磁矢位，設(shè)電流沿+z 方向流動(dòng)。方向流動(dòng)。與計(jì)算無限長線電荷的電位一樣，令與計(jì)算無限長線電荷的電位一樣，令 可得到無限長線電流可得到無限長線電流的磁矢位的磁矢位 L 01( )ln2zIA reCxyzL-L( , , ) z zddzI le I zR第

47、第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波532. 恒定磁場的標(biāo)量磁位恒定磁場的標(biāo)量磁位 一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導(dǎo)一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導(dǎo)電流（電流（J0）的空間）的空間 中，則有中，則有即在無傳導(dǎo)電流即在無傳導(dǎo)電流（J0）的空間中，可以引入一個(gè)的空間中，可以引入一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)來標(biāo)量位函數(shù)來描述磁場。描述磁場。 標(biāo)量磁位的引入標(biāo)量磁位的引入0HmH 標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波54 與靜電位相比較，有與靜電位相比較，有 標(biāo)量磁位的邊界條件標(biāo)量磁位的邊界條件0m0BHHB 、2m0在線性、各向

48、同性的均勻媒質(zhì)中在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中 標(biāo)量磁位的表達(dá)式標(biāo)量磁位的表達(dá)式01( )( )d4VrrVRmm0( )1( )d4VrrVRm1m212nn和和m1m2第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波55靜電位靜電位 磁標(biāo)位磁標(biāo)位 磁標(biāo)位與靜電位的比較磁標(biāo)位與靜電位的比較0,ED0,0HBE mH m1m2m1m212,nn121212,nn靜電位靜電位 0 PED磁標(biāo)位磁標(biāo)位 m 0mHB第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波561. 磁通與磁鏈磁通與磁鏈 ii3.3.3 電感電感 單匝線圈形成的回路的磁鏈定單匝線圈形成的回路的磁鏈定 義為穿過該回路的磁通量義為穿過該回路

49、的磁通量 多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁 鏈定義為所有線圈的磁通總鏈定義為所有線圈的磁通總和和 CI 細(xì)回路細(xì)回路 粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為 兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍 的、磁力線不穿過導(dǎo)體的外磁通量的、磁力線不穿過導(dǎo)體的外磁通量 o ；另一部分是磁力線穿；另一部分是磁力線穿過過 導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量 i。 iCI o粗回路粗回路第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波57 設(shè)回路設(shè)回路 C 中的電流為中的電流為I ，所產(chǎn)生的磁場與回路，所產(chǎn)生的磁場與回路 C

50、 交鏈的磁鏈交鏈的磁鏈為為 ，則磁鏈，則磁鏈 與回路與回路 C 中的電流中的電流 I 有正比關(guān)系，其比值有正比關(guān)系，其比值IL稱為回路稱為回路 C 的自感系數(shù)，簡稱自感。的自感系數(shù)，簡稱自感。 外自感外自感ILiiILoo2. 自感自感 內(nèi)自感；內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：粗導(dǎo)體回路的自感：L = Li + Lo 自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。電流無關(guān)。 自感的特點(diǎn)自感的特點(diǎn)：第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波58 解解：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸線中的電流為線中的電流為I

51、，由安培環(huán)路定理，由安培環(huán)路定理0ii22,22IIHBaa穿過沿軸線單位長度的矩形面積元穿過沿軸線單位長度的矩形面積元dS = d的磁通為的磁通為0ii2ddd2IBSa (0)a 例例3.3.4 求同軸線單位長度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為求同軸線單位長度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)，外導(dǎo)體厚度可忽略不計(jì)，其半徑為體厚度可忽略不計(jì)，其半徑為b，空氣填充。，空氣填充。得得與與di 交鏈的電流為交鏈的電流為22IIa 則與則與di 相應(yīng)的磁鏈為相應(yīng)的磁鏈為30ii4ddd2IIIaabadIiB2222idaIaIIlHC第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波59因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為因此

52、內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為300ii40dd28aIIa0ii8LI故單位長度的內(nèi)自感為故單位長度的內(nèi)自感為再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。00ooddln22baIIba00ioln82bLLLa02IB0ooddd2I則則o0oln2bLIa故單位長度的外自感為故單位長度的外自感為單位長度的總自感為單位長度的總自感為第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波60 例例3.3.5 計(jì)算平行雙線傳輸線單位長度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半計(jì)算平行雙線傳輸線單位長度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半徑為徑為a ，兩導(dǎo)線的間距為，兩導(dǎo)線的間距為D ，且，且 D a 。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率

53、為導(dǎo)率為0 。00o11d()dln2DaaIIDaBSxxDxa011( )()2yIB xexDx穿過兩導(dǎo)線之間沿軸線方向?yàn)閱挝婚L度的面積的外磁鏈為穿過兩導(dǎo)線之間沿軸線方向?yàn)閱挝婚L度的面積的外磁鏈為 解解 設(shè)兩導(dǎo)線流過的電流為設(shè)兩導(dǎo)線流過的電流為I 。由。由于于D a ，故可近似地認(rèn)為導(dǎo)線中的，故可近似地認(rèn)為導(dǎo)線中的電流是均勻分布的。應(yīng)用安培環(huán)路定電流是均勻分布的。應(yīng)用安培環(huán)路定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)平面上任一點(diǎn)P 的磁感應(yīng)強(qiáng)度為的磁感應(yīng)強(qiáng)度為xyzxDaPII第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波61于是得到平行雙線傳輸線單位長

54、度的外自感于是得到平行雙線傳輸線單位長度的外自感o00olnlnDaDLIaa00ioln4DLLLa00i284L 兩根導(dǎo)線單位長度的內(nèi)自感為兩根導(dǎo)線單位長度的內(nèi)自感為故得到平行雙線傳輸線單位長度的自感為故得到平行雙線傳輸線單位長度的自感為第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波62 對(duì)兩個(gè)彼此鄰近的閉合回路對(duì)兩個(gè)彼此鄰近的閉合回路C1 和回路和回路 C2 ，當(dāng)回路，當(dāng)回路 C1 中通過中通過電流電流 I1 時(shí)，不僅與回路時(shí)，不僅與回路 C1 交鏈的交鏈的磁鏈與磁鏈與I1 成正比，而且與回路成正比，而且與回路 C2 交鏈的磁鏈交鏈的磁鏈 12 也與也與 I1 成正比，其成正比，其比例系數(shù)

55、比例系數(shù)12121IM 稱為回路稱為回路 C1 對(duì)回路對(duì)回路 C2 的互感系數(shù)，簡稱互感。的互感系數(shù)，簡稱互感。21212IM 3. 互感互感同理，回路同理，回路 C2 對(duì)回路對(duì)回路 C1 的互感為的互感為C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波63 互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對(duì)位置以及周圍互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對(duì)位置以及周圍 磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。 滿足互易關(guān)系，即滿足互易關(guān)系，即M12 = M21 當(dāng)與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號(hào)時(shí)，互當(dāng)與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有

56、相同的符號(hào)時(shí)，互 感系數(shù)感系數(shù) M 為正值；反之，則互感系數(shù)為正值；反之，則互感系數(shù) M 為負(fù)值為負(fù)值。 互感的特點(diǎn)：互感的特點(diǎn)：第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波644. 紐曼公式紐曼公式 如圖所示的兩個(gè)如圖所示的兩個(gè)回路回路 C1 和回路和回路 C2 ，回路回路 C1中的電流中的電流 I1 在回路在回路 C2 上的任一上的任一點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位111021d4)(CRlIrA回路回路 C1中的電流中的電流 I1 產(chǎn)生的磁場與回路產(chǎn)生的磁場與回路 C2 交鏈的磁鏈為交鏈的磁鏈為C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r紐曼公式紐曼公式 2121210121dd4dCCC

57、RllIlA同理同理 2112021dd4CCRllM故得故得 1221012dd4CCRllM 122101221dd4CCRllMMM第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波6502IBe0001dd dd22dbzdbSddIIzBSz由圖中可知由圖中可知()tan( 3)3()zbdbd長直導(dǎo)線與三角形回路長直導(dǎo)線與三角形回路Idz60bddSz穿過三角形回路面積的磁通為穿過三角形回路面積的磁通為 解解 設(shè)長直導(dǎo)線中的電流為設(shè)長直導(dǎo)線中的電流為I ，根據(jù)根據(jù)安培環(huán)路定理，得到安培環(huán)路定理，得到 例例3.3.6 如圖所示，長直導(dǎo)線與三角如圖所示，長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路共面，求它們之

58、間的互感。形導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互感。第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波66031()d2dbdIbd03()ln(1)2Ibbdbd03()ln(1)2bMbdbId因此因此故長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感為故長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感為第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波67 例例3.3.7 如圖所示，兩個(gè)互相平行且共軸的圓形線圈如圖所示，兩個(gè)互相平行且共軸的圓形線圈C1和和 C2，半徑分別為半徑分別為a1和和 a2 ，中心相距為，中心相距為d 。求它們之間的互感。求它們之間的互感。2221 2211212212cos()rrdaaa a于是有于是有 22012

59、21212221 200121221cos()dd42cos()a aMdaaa a 20122221 201212cos d22cos a adaaa a 解解 利用紐曼公式來計(jì)算，則有利用紐曼公式來計(jì)算，則有兩個(gè)平行且共軸的線圈兩個(gè)平行且共軸的線圈2Cd1a2a1C1dl2dl21xyz121式中式中=21為為 與與 之間的夾角，之間的夾角，dl1= a1d1、dl2= a1d2 ，且且1dl2dl 12122121021210ddcos4dd4CCCCrrllrrllM第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波68 若若d a1，則，則2221 2221 21 212121222222

60、cos2cos 1a adaaa adada221 2122222cos1a adada于是于是 222012012122222 3 2220222cos1cos d22a aa aa aMdadada 一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。但是若一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。但是若d a1或或 d a2 時(shí)，可進(jìn)行近似計(jì)算。時(shí)，可進(jìn)行近似計(jì)算。第第3 3章章 電磁場與電磁波電磁場與電磁波693.3.4 恒定磁場的能量恒定磁場的能量1. 磁場能量磁場能量 在恒定磁場建立過程中，電源克服感應(yīng)電動(dòng)勢做功所供給的在恒定磁場建立過程中，電源克服感應(yīng)電動(dòng)勢做功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁