自考概率論隨機變量及分布實用教案

1、會計學(xué)1自考概率論隨機變量自考概率論隨機變量(su j bin lin)及及分布分布第一頁，共45頁。2022-7-22 2.1 離散(lsn)型隨機變量 2.2 隨機變量(su j bin lin)的分布函數(shù) 2.3連續(xù)型隨機變量(su j bin lin)及其概率密度 2.4 隨機變量函數(shù)的分布第1頁/共45頁第二頁，共45頁。2022-7-23 例1 擲一枚骰子，樣本空間=1，2，6.對于每次試驗結(jié)果，都有一個(y )數(shù)值與之對應(yīng). 我們可引進一個(y )變量 X “出現(xiàn)的點數(shù)”,X的可能取值為1，2，3，4，5，6. 2.1 離散(lsn)型隨機變量一、隨機變量(su j bin li

2、n)的概念若隨機試驗的結(jié)果帶有明顯的數(shù)量標(biāo)識，則可用數(shù)量值來表示事件若試驗的結(jié)果不帶有明顯的數(shù)量標(biāo)識，也可以用數(shù)量表示事件. 例2 擲一枚硬幣，樣本空間 =正，反.引進變量X，并規(guī)定正面出現(xiàn)時，X=1；反面出現(xiàn)時，X=0. X表示“正面出現(xiàn)的次數(shù)”類似的例子如：射擊、抽檢產(chǎn)品 如：( X= i )代表相應(yīng)的基本事件（樣本點），事件A “點數(shù)超過3”，可用(X3)表示.事件可用變量X表示. X= X() X= X() 第2頁/共45頁第三頁，共45頁。2022-7-24 例3 電話臺單位時間內(nèi)收到的用戶呼喚次數(shù)。記呼喚次數(shù)為 X，則 X 是一個變量，取值為0，1，2，,( X =i)代表相應(yīng)的基

3、本(jbn)事件（樣本點）. 變量X的取值取決于試驗(shyn)的結(jié)果，具有隨機性；且取任一值都有確定的概率.我們把具有上述性質(zhì)的 X 稱為隨機變量. 引進一個變量X，對于E的每一可能(knng)結(jié)果 ，都有一個確定的實數(shù)X()與之對應(yīng)，而試驗的結(jié)果是隨機的，所以變量X的取值也是隨機的，這就是隨機變量. 例4 某地區(qū)某段時間內(nèi)的氣溫.記X表示任一時刻的氣溫值，則X的取值為a，b.（ X=i）即為一基本事件（樣本點）.第3頁/共45頁第四頁，共45頁。2022-7-251.隨機變量(su j bin lin)的定義定義2-1 設(shè)試驗E的樣本空間為，對于任一樣本點 ,都有唯一確定的實數(shù)(shsh)

4、 X()與之對應(yīng)，即 X=X()是定義上的一個實值函數(shù)，且對于任意實數(shù)(shsh) x , ( X( ) x )是一隨機事件，有確定的概率，則稱 X=X()為隨機變量.注: (1) 隨機變量(su j bin lin)通常用大寫字母X，Y，Z或希臘字母 , 等表示. 而表示隨機變量(su j bin lin)所取的值時，采用小寫字母 x , y , z 等 . (2)隨機變量的取值有一定的概率（隨機變量與普通函數(shù)的本質(zhì)差異）.由此可知,對隨機變量的研究，不僅要搞清楚隨機變量取值的范圍，還要搞清楚取相應(yīng)值的概率.第4頁/共45頁第五頁，共45頁。2022-7-26( )(0,1,2, )kkn

5、knP XkC p qkn 例2 在 n 重貝努里試驗中， X “事件A出現(xiàn)的次數(shù)(csh)” ，則X=0，1，n. 則“在 n 重貝努里試驗中，事件A恰好出現(xiàn)k次”，記作（ X = k），且 例1 單位時間內(nèi)某傳呼臺收到的呼叫次數(shù)用X表示(biosh)，則“呼叫不少于一次”（X1），“沒收到呼叫”（X = 0）.( q=1-p ) 按照隨機變量的取值情況可把其分為兩類：離散型隨機變量：隨機變量X的全部取值只有(zhyu)有限個或 無限可列個.非離散型隨機變量：隨機變量X的全部取值不能一一列舉. 其中，只研究連續(xù)型隨機變量（隨機變量X取值于某個區(qū)間或整個數(shù)軸的所有實數(shù)）.2. 隨機變量的分類第

6、5頁/共45頁第六頁，共45頁。2022-7-27二、離散型隨機變量的概率分布 對于離散型隨機變量X，它的取值有限個或無限可列個.我們關(guān)心的問題是：X的所有可能的取值是什么？取每一個值的概率是多少？將這兩個問題綜合(zngh)起來就是概率分布. 1.概率分布的定義(dngy) 定義：若離散(lsn)型隨機變量X所有可能的取值為x1,x2, 對應(yīng)的概率為 p1 , p2 , 稱P(X= xk ) = pk , k = 1, 2, (1)為隨機變量 X的概率分布或概率函數(shù)或 分布律.注（1）為了直觀，概率分布表示為：X x1 x2 xn P p1 p2 pn (2) (X=x1 ), (X=x2

7、), , (X=xn) ,構(gòu)成完備事件組.第6頁/共45頁第七頁，共45頁。2022-7-28 2.概率分布的性質(zhì)(xngzh)(1) pk0， k = 1,2, ； 11)2(kkp例2-2 擲一枚骰子(tu z)，求出現(xiàn)的點數(shù)的概率分布及P(X3) . 解：設(shè)X表示(biosh)出現(xiàn)的點數(shù)，則X=1，2，3，4，5，6.P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6.所以，X的概率分布為： P(X=k) =1/6 , k =1,2,3,4,5,6.或X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 3.會求概率分布及

8、相關(guān)概率P(X3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1/2P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, (非負性)(歸一性)P(1X3)=P(X=2)+P(X=3)=1/3P(1X3)=P(X=2)=1/6P30例2-1第7頁/共45頁第八頁，共45頁。2022-7-29 例2-3(P30)袋中有5個同樣(tngyng)大小的球，編號為1, 2, 3, 4, 5.從中同時取出3個球，記X為取出的球的最大編號， 求X的概率分布，并求P(X3.5), P(3X4.5).解：X=3, 4, 5. P(X=3)= P(X=4)= P(X=5)=3511,10C概率分布為：X 3 4

9、 5P(X3.5)=P(X=3)=0.1;23353,10CC24356.10CCP 0.1 0.3 0.6P(3X 0 為常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為 的普哇松分布(fnb)，簡記為X P( ).隨機變量(su j bin lin) X的概率分布為 普哇松分布常用于稠密性的問題中.如：炸彈爆炸時的碎彈片數(shù)；顯微鏡下某種微生物的數(shù)目；某段時間內(nèi)到達公共汽車站的乘客數(shù)；某電話(dinhu)交換臺單位時間內(nèi)收到的呼喚次數(shù)；宇宙中單位體積內(nèi)星球的個數(shù)；耕地上單位面積內(nèi)雜草的數(shù)目，害蟲數(shù)；織機上斷頭的數(shù)目；原子放射離子數(shù)等，都服從或近似服從泊松分布. (), 0, 1, 2,.,!kP Xkekk 普哇

10、松分布的優(yōu)點：有關(guān)計算可查表. 3. Poisson分布第12頁/共45頁第十三頁，共45頁。2022-7-214例 某電話交換臺每分鐘收到的用戶呼喚次數(shù)(csh)X服從參數(shù)=3的普哇松分布，寫出X的概率函數(shù)，并求一分鐘內(nèi)呼喚5次的概率.解：X的概率函數(shù)為35! 53)5(eXP33 (), 0, 1, 2,!kP Xkekk1008190.例2-10 (P34)設(shè)X 服從(fcng)泊松分布，已知P(X=1)=P(X=2),求 P(X=4).解：(), 0, 1, 2,.!kXP Xkekk2(1), (2).1!2!P XeP Xe2,1!2!ee2,0(舍去)422(4)4!P Xe22

11、3e第13頁/共45頁第十四頁，共45頁。2022-7-215（2）二項分布的泊松逼近(bjn)Poisson定理 理論(lln)上可證明泊松分布P()是二項分布B(n, p)的極限. 設(shè)X B(n, p)，當(dāng) n 較大，p 較小， 而 = n p大小適中，則X近似地服從參數(shù)為 = n p 的泊松分布. 解： X “該單位(dnwi)患有這種疾病的人數(shù)”，則X B(5000,0.001) .P(X2)= 500014999500010.9990.001 0.999C X可以近似地服從參數(shù)為 = n p=5 的泊松分布 P(X 2） 15051!kkek 例8 已知某種疾病的發(fā)病率為1/1000

12、，某單位共有5000人，問該單位至少有2人患有這種疾病的概率有多大？所求的概率為：=1-0.006738-0.03369=0.959572第14頁/共45頁第十五頁，共45頁。2022-7-216 例2-5 (P31)對某一目標(biāo)不斷進行射擊，直到命中目標(biāo)為止，如果每次射擊命中率為p，求射擊次數(shù)(csh)的分布.解：X表示(biosh)“命中目標(biāo)時的射擊次數(shù)”，則X=1，2，(X=k)表示射擊(shj)到第k次才命中目標(biāo)，即前k-1次不中，第k次擊中.1()(1),1,2,.kP Xkppk則稱 X 服從參數(shù)為 p 的幾何分布.第15頁/共45頁第十六頁，共45頁。2022-7-217一、分布(

13、fnb)函數(shù)的概念 2.2 隨機變量(su j bin lin)的分布函數(shù)1.定義 設(shè)X為一個隨機變量，對任意(rny)實數(shù) x，函數(shù) F(x) = P(X x) 稱為隨機變量 X的分布函數(shù). 注 (1)F(x)表示隨機變量X的取值落入?yún)^(qū)間(-，x的概率.(2)F(x) 的定義域為D(F)=(-,+), 值域為Z(F)=0, 1.X -1 0 1 2P 0.2 0.1 0.3 0.4F(1)=P(X1)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=0.6F(1.5)=P(X1.5)=0.6F(2)=P(X2)=1第16頁/共45頁第十七頁，共45頁。2022-7-2182.分布(fnb)函數(shù)F

14、(x)的性質(zhì)(3) F(x)是x的不減(b jin)函數(shù),即對x1 x2,有F(x1)F(x2)；(2) ()lim ( )lim () 0 xxFF xP Xx ()lim ( )lim () 1xxFF xP Xx (4) F(x)是右連續(xù)函數(shù)，且至多(zhdu)有可列個間斷點.即(1) x ，都有 0F(x)1;),(lim( )( )xaF xF a重要公式對于任意實數(shù)x1x2，有P(x1 X x2)= F(x2)-F(x1)第17頁/共45頁第十八頁，共45頁。2022-7-219例2-11 (P36)隨機變量(su j bin lin)X的概率分布為：解：(1)由概率分布知：求:

15、(1)常數(shù)c, (2)分布(fnb)函數(shù)F(x), (3)P(-0.2X1.5); P(X0). 0.2+0.1+0.3+c=1得 c=0.4(2)0P(X=-1)=0.20.6F(x)=P(Xx)= 1,x01x12,x 01,x 2,x 1(3)P(-0.2X1.5)=P(X=0)+P(X=1)=0.4; X -1 0 1 2P 0.2 0.1 0.3 cF(x)=P(Xx)= F(x)=P(Xx)= P(X=-1)+P(X=0)=0.3F(x)=P(Xx)= F(x)=P(Xx)= 0,10.2, 10( )0.3,010.6,121,2xxF xxxx P(X0) = P(X=0)+P

16、(X=1)+P(X=2)=0.8第18頁/共45頁第十九頁，共45頁。2022-7-220X 0 1P 0.1 0.9練習(xí)(linx)求F(x).00( )0.10111xF xxx第19頁/共45頁第二十頁，共45頁。2022-7-2211.連續(xù)型隨機變量取值于某一區(qū)間(q jin)內(nèi)的所有實數(shù)，不能一一列舉；2.連續(xù)型隨機變量取任一確定值的概率等于0.一、連續(xù)型隨機變量(su j bin lin)的概率密度函數(shù) 例：考察某一段時間內(nèi)某地區(qū)的氣溫變化；考察某批元件的使用壽命；考察旅客等車的時間；考察測量引起的誤差. 此類隨機變量(su j bin lin)的分布如何描述？ 顯然，連續(xù)型隨機變

17、量不能像離散型隨機變量那樣用概率分布來描寫其分布，原因有二：2.3 連續(xù)型隨機變量及其概率密度第20頁/共45頁第二十一頁，共45頁。2022-7-222tyy = f (t)F(x)Ox( )( )xF xf t dt則稱X為連續(xù)型隨機變量，稱f(x)為X的概率分布密度(md)函數(shù)， 簡稱為概率密度(md)或密度(md)函數(shù)，記作 X f (x). 定義 若隨機變量X 所有可能的 取值是某一區(qū)間上的所有實數(shù)，且存在 非負可積的函數(shù)f (x)， x （-，+） 使得對任意實數(shù)x， X的分布函數(shù)F( x )為 注 （1）可以(ky)證明，F(xiàn)( x )在 x (-，+)內(nèi)是連續(xù)函數(shù).（2）若 f

18、(x) 在點 x 處連續(xù)(linx)，則 F ( x )在x 點可導(dǎo)，且F (x) = f (x).1.定義第21頁/共45頁第二十二頁，共45頁。2022-7-223上式說明，密度函數(shù)f (x)在點x 的函數(shù)值反映了隨機變量(su j bin lin)X在x點附近取值的概率大小與長度之比的極限，即x點概率分布的密集程度，不是概率。（3） 由（2）得：xxxXxPxxFxxFxFxfxx)(lim)()(lim)()(00（4） 的幾何意義：xdttfxXPxF)()()(tyy = f (t)F(x)Ox第22頁/共45頁第二十三頁，共45頁。2022-7-2242. 概率密度函數(shù)的性質(zhì)(x

19、ngzh)(1) f (x) 0， x (-，+)(2) 1)(dxxfxy = f (x)F(+)Oy利用(lyng)性質(zhì)(2)可以確定密度函數(shù)中的待定參數(shù). 連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)與離散(lsn)型隨機變量的概率函數(shù)相對應(yīng).(非負性)(歸一性)重要公式： ()()()()( )baP a X bP a X bP a X bP a X bf x dxxOaf(x)b ()( )IP XIf x dx連續(xù)型R.V.,則P(X=a)=0.第23頁/共45頁第二十四頁，共45頁。2022-7-2253.連續(xù)型隨機變量(su j bin lin)的分布函數(shù)兩方面(fngmin)題型： (1)由F(

20、x)求f(x)；(2)由f(x)求F(x).( )( )f xF x( )( )xF xf t dt例2-16(P41)設(shè)連續(xù)型R.v.X的分布(fnb)函數(shù)為：20,0( ),01,1,1xF xxxx求: (1)密度函數(shù)；(2)P(0.3X0.7).( )( )f xF x2 ,01.0,xxelse(2)P(0.3X0.7)=0.70.3( )f x dx0.70.32xdx2 0.70.3|x=0.4難點(3)P(-1X 0 為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布. 指數(shù)分布?？勺鳛楦鞣N“壽命”分布的近似，如電子元件的壽命，動物的壽命，電話問題中的通話時間，隨機服務(wù)(fw)系統(tǒng)中的服務(wù)(

21、fw)時間等都常被假定服從指數(shù)分布.其分布函數(shù)為 ( )( )xF xf t dt 2. 指數(shù)分布0( )00 xexf xx記作XE().1000 xexx 第27頁/共45頁第二十八頁，共45頁。2022-7-229習(xí)題2.3 7. 設(shè)修理某機器所用的時間X服從參數(shù)(cnsh) =0.5(小時)指數(shù)分布，求機器出現(xiàn)故障時在1小時內(nèi)可以修好的概率.X的密度(md)函數(shù)解：1(1)( )P Xf x dx0.50.50( ),00 xexf xx10.500.5xedx0.510.50|1xee 第28頁/共45頁第二十九頁，共45頁。2022-7-230(1)定義(dngy) 若X 的概率密

22、度為其中 為常數(shù)(chngsh)， 0 為常數(shù)(chngsh),則稱X服從參數(shù)為 , 的正態(tài)分布,記為 X N( , 2 ).注 10其分布(fnb)函數(shù)為2 2() 2 1( ) , 2txF xedtxR22( ) 2 1( )2xf xe 3. 正態(tài)分布(Gauss分布)第29頁/共45頁第三十頁，共45頁。2022-7-2312Ox (x)1 正態(tài)分布 N ( , 2 )的密度函數(shù)(hnsh)圖形如右圖所示，正態(tài)密度曲線呈古鐘形曲線.(1) (x) 圖形關(guān)于(guny)直線 x = 對稱. (4) 參數(shù) 決定曲線 (x)的位置(wi zhi)，參數(shù) 決定曲線 (x)的形狀.固定 而改變

23、 值，則曲線沿著x 軸左右平移但形狀不變；固定 而改變 值，則曲線形狀改變而位置(wi zhi)不 變. 值越大時曲線越扁平， 值越小曲線越尖窄.(3) 在 x = 處， (x)取得最大值： 2121Ox (x)Ox (x)其特點如下：30正態(tài)分布的密度函數(shù)22 2 21)x(e) x(的特性(2) (x)在 x 軸上方，且以 x 軸為漸近線.第30頁/共45頁第三十一頁，共45頁。2022-7-23221Ox y標(biāo)準正態(tài)分布密度函數(shù)參數(shù)(cnsh) = 0, =1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準正態(tài)分布其密度函數(shù)為：（2）標(biāo)準(biozhn)正態(tài)分布2 21( ) , 2xxexR記為X N(0, 1).

24、(x)的性質(zhì)(xngzh) (1) (x) 是偶函數(shù)，即有 (-x) = (x). 在x=0處 (x) 取最大值 21 (2) (x) 在（-，0）內(nèi)單增，在（0，+）內(nèi)遞減. (4) (x)在x=1，-1點取得拐點，且以x軸為水平漸近線.第31頁/共45頁第三十二頁，共45頁。2022-7-233重要(zhngyo)公式：(3) P ( |X| x) = 2(x)- 1 (2)(- x) = 1- (x) ; (0) = 0.5其分布(fnb)函數(shù)為：2 200 1( ) ( ) 2txxxt dtedt(x)的幾何意義(yy)：曲線 (x)與x軸之間在直線t=x左邊圖形的面積Ox (x)(

25、x)的幾何意義x y若 X N(0,1)，密度函數(shù)為 (4) P (aXb) = (b) - (a)2 21( ) 2xxe設(shè)XN(0,1)，則(1) (-x)= (x)第32頁/共45頁第三十三頁，共45頁。2022-7-234 有關(guān)標(biāo)準(biozhn)正態(tài)分布的概率計算例2-21 (P47)已知X N(0,1)，求：(1)P(X2.35)；(2) P(X-3.03)； (3)P( |X| 1.54)；(4) P( |X| 1.84).解：(1) P(X2.35) = (2.35)=0.9906;(2) P(X-3.03) = (-3.03)=1- (3.03)=1-0.9995=0.000

26、5(3)P( |X| 1.54)=2(1.54)-1=20.9382-1=0.8764 (4) P( |X| 1.84)=1-P(|X| 1.84)=1-2(1.84)-1=0.0658.第33頁/共45頁第三十四頁，共45頁。2022-7-235(3) 一般(ybn)正態(tài)分布與標(biāo)準正態(tài)分布的關(guān)系 設(shè)X N( , 2 ), 分布(fnb)函數(shù)為F(x), 則( )()().xF xP Xx ()( )( )()().baP aXbF bF a 例2-22 (P47)已知X N(1.5, 4)，求：(1)P(X3.5 )；(2) P(1.5X3.5)；(3)P( |X| 3).解：(1) P(X

27、3.5)=F(3.5)3.5 1.5()2 (1)0.8413 (2) P(1.5X3.5)=F(3.5)-F(1.5)3.5 1.51.5 1.5()()22 (1)(0) =0.3413(3)P( |X| 3)=F(3)-F(-3)3 1.53 1.5()()22 (0.75)( 2.25) 第34頁/共45頁第三十五頁，共45頁。2022-7-236練習(xí)(linx)：設(shè)XN(1, 4), 求：P(-1X2);P(|X|1);P(0X3).P(-1X2)=F(2)-F(-1)2 11 1()()22 (0.5)( 1) (0.5)1(1) P(|X|1)=P(-1X1)=F(1)-F(-1

28、)1 11 1()()22 (0)( 1) (0)1(1) P(0X3)=F(3)-F(0)3 10 1()()22 (1)( 0.5) (1)1(0.5) P(X1)=F(1)1 1()2 (0) =0.5第35頁/共45頁第三十六頁，共45頁。2022-7-237定義 設(shè)X是隨機(su j)變量, y=g(x)是連續(xù)函數(shù).Y = g(X)也是隨機(su j)變量,稱Y = g(X)為隨機(su j)變量X的函數(shù). 有些隨機變量的分布往往難以直接得到，但與它們有關(guān)的另一些隨機變量的分布卻容易得到.這就要研究隨機變量之間的關(guān)系，通過(tnggu)它們之間的關(guān)系，由已知隨機變量的分布求出另一個隨

29、機變量的分布. 如何(rh)根據(jù)X 的分布求出 Y=g(X)的分布？2.4 一維隨機變量函數(shù)的分布什么是隨機變量的函數(shù)？第36頁/共45頁第三十七頁，共45頁。2022-7-238一、離散(lsn)型隨機變量函數(shù)的分布 設(shè)隨機變量(su j bin lin)X 的概率函數(shù)為P(X =x k)=p k (k=1, 2, ),1. 若對于X 的所有(suyu)可能取值 x k，Y的取值 y k=g(x k) (k=1, 2, )全不相同，則Y=g(X)的概率函數(shù)為 P(Y =y k)=P(X =x k)=p k (k=1, 2, )引例 測量一個正方形的邊長，其結(jié)果是一個隨機變量 X 的分布為X

30、P 7 8 9 10 0.1 0.3 0.4 0.2表1 求：周長Y和面積Z 的分布.解： 顯然， Y=4X ， Z= X 2 (Y=28) = (X=7) P(Y=28)=P(X=7)=0.1 依此計算可得 Y的概率函數(shù)如表 2 所示YP28 32 36 40 0.1 0.3 0.4 0.2表2同理Z 的概率函數(shù)，如表 3 所示.ZP49 64 81 100 0.1 0.3 0.4 0.2表3Y=g(X)求Y的概率分布.第37頁/共45頁第三十八頁，共45頁。2022-7-239 例2-24 (P50)已知 X 的分布(fnb)律為XP-1 0 1 20.2 0.1 0.3 0.4 求： X

31、 2 的概率函數(shù).解： 令 Y = X 2，則 Y 所有(suyu)可能的取值為 0, 1, 4. 事件(shjin) (Y=0) 與事件(shjin) (X=0) 相等，事件(shjin) (Y=4)與事件(shjin) (X=2) 相等所以 P(Y=0)=P(X=0)=0.1， P(Y=4)=P(X=2)=0.4而(Y=1) = (X= -1) +(X=1) ，(X=-1)與(X=1)互不相容，所以 P(Y=1)=P(X= -1)+P(X=1)=0.5Y 的概率分布為：Y 0 1 4 0.1 0.5 0.4P 2.若X 的所有可能取值 x k中至少有兩個值 x i x j ，其對應(yīng) Y 的

32、取值 y i = g(x i ) = y j = g(x j )，此時應(yīng)將這些相等的函數(shù)值 作為Y的一個取值，Y取該值的概率是X取相應(yīng)值的概率之和.第38頁/共45頁第三十九頁，共45頁。2022-7-240 第一步，求出Y 的分布函數(shù) FY( y). 或 建立(jinl)Y 的分布函數(shù) FY ( y) 與X 的分布函數(shù)FX( x) 之間的關(guān)系. 若連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)(hnsh)為fX(x),y=g(x)及一階導(dǎo) 數(shù)都連續(xù).Y=g(X)是連續(xù)型隨機變量,求 Y的密度函數(shù)(hnsh) fY ( y).第二步，對FY ( y)關(guān)于(guny)y求導(dǎo)數(shù)得fY ( y) .二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布( )()YFyP Yy( ()P g Xy()yP XI( )yXIfx dx( )( )YYfyFy 第39頁/共45頁第四十頁，共45頁。2022-7-241 例1 已知X服從(fcng)0，4上的均勻分布，求Y=3X+1的密度函數(shù).( )()YFyP Yy(31)P Xy 1()3yP X13( )yXfx dx10,3