第七章 相關(guān)分析與回歸分析

1、第七章 相關(guān)分析與回歸分析 地理要素間的相關(guān)分析地理要素間的回歸分析空間趨勢(shì)面分析 地理要素的時(shí)間序列分析地理要素的逐步回歸模型分析 第1節(jié) 相關(guān)分析 相關(guān)分析的任務(wù)，是揭示地理要素之間相互關(guān)系的密切程度。而地理要素之間相互關(guān)系密切程度的測(cè)定，主要是通過對(duì)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算與檢驗(yàn)來完成的。地理要素間的相關(guān)類型根據(jù)相關(guān)所涉及變量的多少，相關(guān)關(guān)系分為單相關(guān)與復(fù)相關(guān)。兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系稱為單相關(guān)；多個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系稱為復(fù)相關(guān)。根據(jù)相關(guān)的形式不同，相關(guān)關(guān)系分為線性相關(guān)與非線性相關(guān)。如果變量之間的關(guān)系近似地表現(xiàn)為一條直線，則稱為線性相關(guān)；如果變量之間的關(guān)系近似地表現(xiàn)為一條曲線，則稱為非線性相關(guān)或曲線

2、相關(guān)。根據(jù)變量相關(guān)方向的不同，相關(guān)關(guān)系分為正相關(guān)與負(fù)相關(guān)。正相關(guān)是指兩個(gè)變量之間的變化方向一致，都是增長(zhǎng)或下降趨勢(shì)，如居民收入增加，居民消費(fèi)額隨之增加，故它們是正相關(guān)；負(fù)相關(guān)是指兩個(gè)變量變化趨勢(shì)方向相反，如產(chǎn)品單位成本降低，利潤(rùn)隨之增加，故它們是負(fù)相關(guān)。根據(jù)相關(guān)程度的不同，相關(guān)關(guān)系分為不相關(guān)、完全相關(guān)和不完全相關(guān)。如果兩個(gè)變量彼此的數(shù)量變化相互獨(dú)立，這種關(guān)系稱為不相關(guān)；如果一個(gè)變量的數(shù)量變化完全由另一個(gè)變量的數(shù)量變化所唯一確定，這種關(guān)系稱為完全相關(guān)；介于不相關(guān)與完全相關(guān)之間的關(guān)系，稱為不完全相關(guān)。本節(jié)主要內(nèi)容：兩要素之間相關(guān)程度的測(cè)定多要素間相關(guān)程度的測(cè)定一、兩要素之間相關(guān)程度的測(cè)定相關(guān)系數(shù)的

3、計(jì)算與檢驗(yàn)秩相關(guān)系數(shù)的計(jì)算與檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算相關(guān)系數(shù)的計(jì)算 定義: 和 為兩要素的平均值。 niiniiniiixyyyxxyyxxr12121)()()(yx（3.1.1）（一）相關(guān)系數(shù)的計(jì)算與檢驗(yàn)（一）相關(guān)系數(shù)的計(jì)算與檢驗(yàn) 說明 ：- 1 = 0.432，所以在=0.01的置信水平上來看，中國(guó)大陸各?。ㄖ陛犑小⒆灾螀^(qū)）人口規(guī)模與GDP是等級(jí)相關(guān)的。 rr01. 0rxyr01. 0r二、多要素間相關(guān)程度的測(cè)定偏相關(guān)系數(shù)的計(jì)算與檢驗(yàn)復(fù)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算與檢驗(yàn) 偏相關(guān)和復(fù)相關(guān)是兩個(gè)相對(duì)應(yīng)的概念 （一）偏相關(guān)系數(shù)的計(jì)算與檢驗(yàn)（一）偏相關(guān)系數(shù)的計(jì)算與檢驗(yàn) 定義：在多要素所構(gòu)成的地理系統(tǒng)中，先不考慮其

4、他要素的影響，而單獨(dú)研究?jī)蓚€(gè)要素之間的相互關(guān)系的密切程度，這稱為偏相關(guān)。用以度量偏相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)量，稱為偏相關(guān)系數(shù)。n偏相關(guān)系數(shù)偏相關(guān)系數(shù)(partial correlation coefficient)624C2/ ) 1(2mmCm當(dāng)研究2個(gè)相關(guān)變量x1、x2的關(guān)系時(shí)，用直線相關(guān)系數(shù)r12表示x1與x2線性相關(guān)的性質(zhì)與程度。此時(shí)固定的變量個(gè)數(shù)為0，所以直線相關(guān)系數(shù)r12又叫做零級(jí)偏相關(guān)系數(shù)。當(dāng)研究3個(gè)相關(guān)變量x1、x2、x3的相關(guān)時(shí)，我們把x3保持固定不變，x1與x2的相關(guān)系數(shù)稱為x1與x2的偏相關(guān)系數(shù)，記為r12.3，類似地，還有偏相關(guān)系數(shù)r13.2、 r23.1。這3個(gè)偏相關(guān)系數(shù)固定的

5、變量個(gè)數(shù)為1，所以都叫做一級(jí)偏相關(guān)系數(shù)。當(dāng)研究4個(gè)相關(guān)變量x1、x2、x3、x4的相關(guān)時(shí)，須將其中的2個(gè)變量固定不變，研究另外兩個(gè)變量間的相關(guān)。即此時(shí)只有二級(jí)偏相關(guān)系數(shù)才真實(shí)地反映兩個(gè)相關(guān)變量間線性相關(guān)的性質(zhì)與程度。二級(jí)偏相關(guān)系數(shù)共有個(gè)：r12.34，r13.24，r14.23，r23.14，r24.13，r34.12。一般，當(dāng)研究m個(gè)相關(guān)變量x1、x2、xm的相關(guān)時(shí)，只有將其中的m-2個(gè)變量保持固定不變，研究另外兩個(gè)變量的相關(guān)才能真實(shí)地反映這兩個(gè)相關(guān)變量間的相關(guān)，即此時(shí)只有m-2級(jí)偏相關(guān)系數(shù)才真實(shí)地反映了這兩個(gè)相關(guān)變量間線性相關(guān)的性質(zhì)與程度。m-2級(jí)偏相關(guān)系數(shù)共有個(gè)。xi與xj的m-2級(jí)偏相

6、關(guān)系數(shù)記為rij.(i,j=1,2,m,ij)。偏相關(guān)系數(shù)的取值范圍為-1，1，即：-1rij.1。 計(jì)算：3個(gè)要素的偏相關(guān)系數(shù))1)(1(2232132313123.12rrrrrr（3.1.5） （3.1.6） )1)(1(2232122312132.13rrrrrr)1)(1(2132121312231.23rrrrrr（3.1.7） 4個(gè)要素的偏相關(guān)系數(shù)（3.1.8） )1)(1(23.2423.143.243.143.1234.12rrrrrr)1)(1(22.3422.142.342.142.1324.13rrrrrr（3.1.9） )1)(1(22.4322.132.432.13

7、2.1423.14rrrrrr（3.1.10） )1)(1(21.3421.241.341.241.2314.23rrrrrr（3.1.11） 例如：對(duì)于某4個(gè)地理要素x1，x2，x3，x4的23個(gè)樣本數(shù)據(jù)，經(jīng)過計(jì)算得到了如下的單相關(guān)系數(shù)矩陣： 1469.0950.0579.0469.01592.0346.0950.0592.01416.0579.0346.0416.0144434241343332312423222114131211rrrrrrrrrrrrrrrrR 利用公式計(jì)算一級(jí)偏向關(guān)系數(shù)，如表3.1.6所示：r1234r1324r1423r2314r2413r3412-0.1700.8

8、020.635-0.1870.821 -0.337r123r132r142r143r231r241r243r341r3420.8210.8080.6470.895-0.8630.9560.945-0.8750.371 利用公式計(jì)算二級(jí)偏相關(guān)系數(shù)，如表3.1.7所示： 4個(gè)要素的一級(jí)偏相關(guān)系數(shù)有12個(gè)，這里給出了9個(gè)；二級(jí)偏相關(guān)系數(shù)有6個(gè)，這里全部給出來了。 寫出其余3個(gè)一級(jí)偏相關(guān)系數(shù)表表3.1.6 3.1.6 一級(jí)偏相關(guān)系數(shù)一級(jí)偏相關(guān)系數(shù) 表表3.1.7 3.1.7 二級(jí)偏相關(guān)系數(shù)二級(jí)偏相關(guān)系數(shù) n 偏相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)偏相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) 偏相關(guān)系數(shù)分布的范圍在-1到1之間； 偏相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大

9、，表示其偏相關(guān)程度越大； 偏相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值必小于或最多等于由同一系列資料所求得的復(fù)相關(guān)系數(shù)，即 R123|r123|。偏相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)偏相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) 偏相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，一般采用t檢驗(yàn)法。其統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式為 式中： 為偏相關(guān)系數(shù);n為樣本數(shù)；m為自變量個(gè)數(shù)。 11341223412 mnrrtmm（3.1.14） mr312 查t分布表，在自由度為23-3-1=19時(shí)，t0.001=3.883，顯然 ，這表明在置信度水平 =0.001上，偏相關(guān)系數(shù)r2413是顯著的。268. 61323821. 01821. 02ttt 譬如，對(duì)于上例計(jì)算得到的偏相關(guān)系數(shù) ，由于n=23，

10、m=3，故821. 01324r小結(jié)偏相關(guān)分析 （ Partial ） 是研究在多變量的情況下，變量之間的復(fù)雜相關(guān)關(guān)系。在多變量的情況下， 2 個(gè)變量間的簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)往往不能正確揭示這 2 個(gè)變量間的關(guān)系，只有在除去其他變量影響的情況下，計(jì)算它們之間的相關(guān)系數(shù)，才能更確切地揭示他們間的相關(guān)關(guān)系。簡(jiǎn)單相關(guān)關(guān)系有時(shí)不能真實(shí)反映現(xiàn)象的關(guān)系， 如：在研究商品的需求量和價(jià)格、消費(fèi)者收入之間的關(guān)系時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，需求量和價(jià)格之間的相關(guān)關(guān)系實(shí)際上還包含了消費(fèi)者收入對(duì)商品需求量的影響。 所以，我們?cè)谶M(jìn)行相關(guān)分析時(shí)往往要控制第三個(gè)變量，而研究變量之間的相關(guān)關(guān)系。（二）復(fù)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算與檢驗(yàn)（二）復(fù)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算與檢驗(yàn)

11、 復(fù)相關(guān)系數(shù)（analysis of multiple correlation） ：反映幾個(gè)要素與某一個(gè)要素之間的復(fù)相關(guān)程度 。復(fù)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算復(fù)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算 當(dāng)有兩個(gè)自變量時(shí) 當(dāng)有三個(gè)自變量時(shí)（3.1.15） )1)(1 (11 . 221212.yyyrrR)1)(1)(1 (112. 321 . 2212123.yyyyrrrR（3.1.16）當(dāng)有k個(gè)自變量時(shí))1 )1)(1 (1)1.(12.21 .2212.12. kykyykyrrrR（3.1.17） 復(fù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) 復(fù)相關(guān)系數(shù)介于0到1之間，即1012.kyR 復(fù)相關(guān)系數(shù)越大，則表明要素（變量）之間的相關(guān)程度越密切。復(fù)相關(guān)系

12、數(shù)為1，表示完全相關(guān)；復(fù)相關(guān)系數(shù)為0，表示完全無關(guān)。 復(fù)相關(guān)系數(shù)必大于或至少等于單相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值。復(fù)相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)復(fù)相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) F檢驗(yàn)法。其統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式為kknRRFkyky11212.212.（3.1.18）例題：在上例中，若以x4為因變量，x1，x2，x3為自變量，試計(jì)算x4與x1，x2，x3之間的復(fù)相關(guān)系數(shù)。 解：按照公式（3.1.16）計(jì)算 檢驗(yàn)： ，故復(fù)相關(guān)達(dá)到了極顯著水平。974.0337.01)(956.01)(579.01 (1)1)(1)(1 (1222212.4321 .42241123.4）rrrR3010. 57190.12001. 0FF第2節(jié) 回

13、歸分析一元線性回歸模型多元線性回歸模型非線性回歸模型一、一元線性回歸模型 定義：假設(shè)有兩個(gè)地理要素（變量）x 和y，x為自變量，y為因變量。則一元線性回歸模型的基本結(jié)構(gòu)形式為 式中：a和b為待定參數(shù)； 為各組觀測(cè)數(shù)據(jù)的下標(biāo)； 為隨機(jī)變量。bxay（3.2.1） n,1,2,a 記 和 分別為參數(shù)a與b的擬合值，則一元線性回歸模型為 （3.2.2）式代表x與y之間相關(guān)關(guān)系的擬合直線，稱為回歸直線； 是y的估計(jì)值，亦稱回歸值。a bxbay（3.2.2） y 參數(shù)a與b的最小二乘擬合原則要求yi與 的誤差ei的平方和達(dá)到最小，即 根據(jù)取極值的必要條件，有 niiininiiiibxayyyeQ12

14、1122min)()(niiiiniiixbxaybxay110)(0)(（3.2.4） iy （一）參數(shù)（一）參數(shù)a、b的最小二乘估計(jì)的最小二乘估計(jì) （3.2.3） niiniiixxxyxxyyxxLLb121)()(xbya2112111)(1)(1niiniininiiniiiixnxyxnyx（3.2.5） （3.2.6） 解上述正規(guī)方程組（3.2.4）式，得到參數(shù)a與b的擬合值 （二）一元線性回歸模型的顯著性檢驗(yàn)（二）一元線性回歸模型的顯著性檢驗(yàn) 方法：F 檢驗(yàn)法。 總的離差平方和：在回歸分析中，表示y的n次觀測(cè)值之間的差異，記為 可以證明（3.2.9）niiyyyyLS12)(總

15、niiyyyyLS12)(總niniiiiUQyyyy1122)()(（3.2.8） 在式（3.2.9）中，Q稱為誤差平方和，或剩余平方和 而 稱為回歸平方和。niiiyyQ12)(xyxxniiniiniiibLLbxxbxbabxayyU21221212)()()( 統(tǒng)計(jì)量F F越大，模型的效果越佳。統(tǒng)計(jì)量FF（1，n-2）。在顯著水平下，若FF，則認(rèn)為回歸方程效果在此水平下顯著。一般地，當(dāng)FF0.10(1,n-2)時(shí)，則認(rèn)為方程效果不明顯。 2nQUF（3.2.10） （三）舉例如何正確的分析和判斷兩個(gè)變量之間的關(guān)系是線性關(guān)系還是非線性關(guān)系？方法有多種：作散點(diǎn)圖法、差分法、曲度法以及計(jì)算

16、器法等。主要介紹作散點(diǎn)圖法。 從散點(diǎn)圖可以看出：兩個(gè)變量間關(guān)系的性質(zhì)（是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)）和程度（是相關(guān)密切還是不密切）；兩個(gè)變量間關(guān)系的類型，是直線型還是曲線型（如果數(shù)據(jù)接近一條直線，則認(rèn)為變量間存在線性關(guān)系；如果數(shù)據(jù)接近一條光滑的曲線，則稱之為非線性關(guān)系）；是否有異常觀測(cè)值的干擾。 年份年份工業(yè)總產(chǎn)值工業(yè)總產(chǎn)值貨運(yùn)總量貨運(yùn)總量200020005 52 2200120016 64 42002200213135 52003200314149 92004200423231111二、多元線性回歸模型回歸模型的建立回歸模型的建立 多元線性回歸模型的結(jié)構(gòu)形式為 aakaaaxxxyk22110（3.2

17、.11） 式中： 為待定參數(shù)； 為隨機(jī)變量。 k,10a 回歸方程: 如果 分別為式（3.2.11）中 的擬和值，則回歸方程為 在（3.2.12）式中，b0為常數(shù)，b1,b2,bk稱為偏回歸系數(shù)。偏回歸系數(shù)的意義是，當(dāng)其他自變量都固定時(shí)，自變量 每變化一個(gè)單位而使因變量平均改變的數(shù)值。kkxbxbxbby22110（3.2.12） kbbb,10k,210ix 偏回歸系數(shù)的推導(dǎo)過程:根據(jù)最小二乘法原理， 的估計(jì)值 應(yīng)該使 由求極值的必要條件得 方程組（3.2.14）式經(jīng)展開整理后得 min)()(122211012nakakaaanaaaxbxbxbbyyyQ（3.2.13） ), 2, 1(

18、0)(20)(2110kjxyybQyybQnajaaajnaaa), 2 , 1 , 0(kii）（k,1,2, 0iib（3.2.14） 方程組（3.2.15）式稱為正規(guī)方程組。 引入矩陣nanaakanakkanakaakaanakananaaanakkaanaaaanaananaaanakkaanaaanaananaanakkanaaayxbxbxxbxxbxyxbxxbxbxxbxyxbxxbxxbxbxybxbxbxnb11122121101112122122121012111112121121011111212110)(.)()()()()()()()()()()()()()(

19、（3.2.15) knnnkkxxxxxxxxxxxxX2132313222121k211111.11knnnkkkknkkknnTxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxXXA213231322212121113212232221113121111111111nakanakaanakaanakanakaanaanaaanaanakaanaaananaanakanaanaaxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxn12121111212212112111211211111211nyyyY21nbbbbb210 則正規(guī)方程組（3.2.15）式可以進(jìn)一步寫成矩陣形式BAb naakana

20、aanaaanaanknkkknnTyyyxyxyyyyyxxxxxxxxxxxxYXB112111321321223222111312111111求解得引入記號(hào) YXXXBAbTT11)(najjiiajiijxxxxLL1)(naaiiaiyyyxxL1)(（3.2.16） ),2, 1,(kji),2,1(ki正規(guī)方程組也可以寫成kkkykkkkkykkykkxbxbxbybLbLbLbLLbLbLbLLbLbLbL2211022112222212111212111)51 . 2 . 3( n回歸模型的顯著性檢驗(yàn)回歸模型的顯著性檢驗(yàn) 回歸平方和U與剩余平方和Q： 回歸平方和 剩余平方和為

21、 F統(tǒng)計(jì)量為 計(jì)算出來F之后，可以查F分布表對(duì)模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。k21x,x,xQULSyy總nanaiyiLbyyU112)(nayyaaULyyQ12)()1/(/knQkUF非線性關(guān)系線性化的幾種情況非線性關(guān)系線性化的幾種情況對(duì)于指數(shù)曲線 ，令 , 可以將其轉(zhuǎn)化為直線形式： ， 其中， ； 對(duì)于對(duì)數(shù)曲線 ，令 ， ，可以將其轉(zhuǎn)化為直線形式： ；對(duì)于冪函數(shù)曲線 ，令 ， ，可以將其轉(zhuǎn)化為直線形式： 其中， ； 三、非線性回歸模型 bxdyexbayxbaylnxbaybdxy xbayyylnxx dalnyy xxlnyylnxxlndaln對(duì)于雙曲線 令 ，轉(zhuǎn)化為直線形式： ； 對(duì)于

22、S型曲線 ，可 轉(zhuǎn)化為直線形式： ； 對(duì)于冪乘積 ，只要令 ，就可以將其轉(zhuǎn)化為線性形式 其中， ；xbay1xbayxxxyybaye,1,e1令xbaykkxxdxy2121kkxxxy22110 xxyy1,1kkxxxxxxyyln,ln,ln,ln2211dln0對(duì)數(shù)模型雙曲線模型對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)和 只要令 ，就可以將其化為線性形式 例例: :表3.2.1給出了某地區(qū)林地景觀斑塊面積（area）與周長(zhǎng)（perimeter）的數(shù)據(jù)。下面我們建立林地景觀斑塊面積A與周長(zhǎng)P之間的非線性回歸模型 。 kkxxxylnlnln22110kkxxxy22110kkxxxxxxyyln,ln,ln,22

23、11 序號(hào)面積A周長(zhǎng)P序號(hào)面積A周長(zhǎng)P110 447.370625.39242232 844.3004 282.043215 974.730612.286434 054.660289.307330 976.770775.7124430 833.840895.98049 442.902530.202451 823.355205.131510 858.9201 906.1034626 270.300968.060621 532.9101 297.9624713 573.9601 045.07276 891.680417.0584865 590.0802 250.43583 695.195243.9

24、0749157 270.4002 407.54992 260.180197.239502 086.426266.54110334.33299.729513 109.070261.8181111 749.080558.921522 038.617320.396122 372.105199.667533 432.137253.335138 390.633592.893541 600.391230.030146 003.719459.467553 867.586419.406表3.2.1 某地區(qū)各個(gè)林地景觀斑塊面積（m2）與周長(zhǎng)（m） 15527 620.2006 545.291561 946.18

25、4198.66116179 686.2002 960.4755777.30556.9021714 196.460597.993587 977.719715.7521822 809.1801 103.0705919 271.8201 011.1271971 195.9401 154.118608 263.480680.710203 064.242245.049 6114 697.1301 234.1142146 9416.7008 226.009624 519.867326.317225 738.953498.6566313 157.6601 172.916238 359.465415.1516

26、46 617.270609.801246 205.016414.790 654 064.137437.355256 0619.0201 549.871665 645.820432.355261 4517.740791.943676 993.355503.7842731 020.1001 700.965684 304.281267.9512826 447.1601 246.977696 336.383347.136297 985.926918.312702 651.414292.235303 638.766399.725712 656.824298.4733158 5425.10011 474.

27、770721 846.988179.8663235 220.6401 877.476731 616.684172.8083310 067.820497.394741 730.563172.1433427 422.5701 934.5967511 303.970881.0423543 071.5501 171.4137614 019.790638.1763657 585.9402 275.389779 277.172862.0883728 254.1301 322.7957813 684.750712.78738497 261.0009 581.298791 949.164228.4033924

28、 255.030994.906804 846.016324.481401 837.699229.40181521 457.4007 393.938411 608.625225.84282564 370.80012 212.410 解解:（1）作變量替換，令： ， ，將表3.2.1中的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，變換后得到的各新變量對(duì)應(yīng)的觀測(cè)數(shù)據(jù)如表3.2.2所示。 AylnPxln序號(hào)y=lnAx=LnP序號(hào)y=lnAx=LnP1 9.254 1066.438 3794212.358 138.362 1862 9.678 7636.417 243 8.307 6225.667 487310.340

29、996.653 7824410.336 376.797 9184 9.153 0196.273 258457.508 4335.323 655 9.292 7427.552 8164610.176 196.875 2946 9.977 3387.168 551479.515 9096.951 8417 8.838 076.033 2264811.091 187.718 8798 8.214 7895.496 7894911.965 727.786 3649 7.723 25.284 414507.643 2085.585 52810 5.812 1354.602 457518.042 0795

30、.567 65111 9.371 536.326 008527.620 0275.7695 58表3.2.2 經(jīng)對(duì)數(shù)變換后的數(shù)據(jù)127.771 5335.296 653538.140 9385.534 711139.034 8716.385 013547.378 0035.438 211148.700 1346.130 066558.260 3866.038 8391513.176 138.786 501567.573 6265.291 5971612.098 977.993 105574.347 7554.041 328179.560 7486.393 579588.984 4086.573

31、 3341810.034 927.005 852599.866 3996.918 8211911.173 197.051 092609.019 6016.523 136208.027 5565.501 457619.595 4087.118 1092113.059 259.0150 56628.416 2385.787 871228.655 0326.211 917639.484 7597.067 248239.031 156.028 643648.797 4386.413 133248.733 1136.027 773658.309 9576.080 7442511.012 367.345

32、927668.638 6716.069 247269.583 1276.674 49678.852 7166.222 1472710.342 397.438 951688.367 3655.590 8062810.182 97.128 478698.754 0635.849 717298.985 4366.822 537707.882 8485.677 56308.199 45.990 776717.884 8875.698 6783113.280 099.347 906727.521 3115.192 2133210.469 397.537 684737.388 1325.152 18133

33、9.217 0996.209 381747.456 2025.148 3263410.219 127.567 654759.332 9096.781 1053510.670 627.065 966769.548 2256.458 6143610.961 037.729 906779.135 3126.759 3583710.248 997.187 502789.524 0376.569 1823813.116 879.167 568797.575 1565.431 1123910.096 386.902 648808.485 9125.782 227407.516 275.435 471811

34、3.164 388.908 416417.383 1355.419 8378213.243 479.410 208 （2） 以x為橫坐標(biāo)、y為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中作出散點(diǎn)圖。很明顯，y與x呈線性關(guān)系。圖3.2.2 林地景觀斑塊面積（A）與周長(zhǎng)（P）之間的雙對(duì)數(shù)關(guān)系 （3）根據(jù)所得表中的數(shù)據(jù)，運(yùn)用建立線性回歸模型的方法，建立y與x之間的線性回歸模型，得到 對(duì)應(yīng)于（3.2.19）式，x與y的相關(guān)系數(shù)高 達(dá) =0.966 5。 （4）將（3.2.19）還原成雙對(duì)數(shù)曲線，即 7505.0505.1xy（3.2.19）7505.0ln505.1lnPA （3.2.20）xyr第3節(jié)趨勢(shì)面分析（Tr

35、end-Surface Analysis ）一、概念 趨勢(shì)面分析是用數(shù)學(xué)曲面來擬合地理系統(tǒng)要素在空間的分布及變化趨勢(shì)的一種數(shù)學(xué)方法。它實(shí)質(zhì)上是通過回歸分析原理，模擬地理要素在空間上的分布規(guī)律，展示地理要素在地域空間上的變化趨勢(shì)。趨勢(shì)面分析常常被用來模擬資源、環(huán)境、人口及經(jīng)濟(jì)要素在空間上的分布規(guī)律，它在空間分析方面具有重要的應(yīng)用價(jià)值。 二、空間趨勢(shì)面分析的一般原理 空間趨勢(shì)面并不是地理要素的實(shí)際分布面，而是模擬地理要素空間分布的近似曲面。因此，通常把實(shí)際的地理曲面分解為趨勢(shì)面趨勢(shì)面和剩余面剩余面兩部分 。前者反映地理要素的宏觀分布宏觀分布規(guī)律，屬于確定性因素作用的結(jié)果；而后者則對(duì)應(yīng)于微觀局域，是

36、隨機(jī)因素的結(jié)果。趨勢(shì)面分析的一個(gè)基本要求就是所選擇的趨勢(shì)面模型應(yīng)該是剩余值最小，而趨勢(shì)值最大，這樣擬合精度才能達(dá)到足夠的精確性。 1.趨勢(shì)面模型的建立 設(shè) 某 地 理 要 素 的 實(shí) 際 觀 測(cè) 數(shù) 據(jù) 為zi(xi,yi)(i=1,2,n)，趨勢(shì)面擬合值為，則有式中，i為剩余值（殘差值） 采用回歸分析方法 在最小二乘法意義下的趨勢(shì)面擬合。 用來計(jì)算趨勢(shì)面的數(shù)學(xué)方程式有多項(xiàng)式和傅立葉級(jí)數(shù)，其中最常用的是多項(xiàng)式函數(shù)形式。 多項(xiàng)式趨勢(shì)面的形式為：一次趨勢(shì)面模型：二次趨勢(shì)面模型： First-order (linear) trend surfaceSecond-order (quadratic) t

37、rend surfaceAn isoline map of a third-order trend surface created from 105 points with annual precipitation values (105個(gè)年降水量點(diǎn))zx,y = b0 + b1x + b2y + b3x2 + b4xy + b5y2 + b6x3 + b7x2y + b8xy2 + b9y3 需要注意在實(shí)際應(yīng)用中，往往用次數(shù)低的趨勢(shì)面逼近變化比較小的地理要素?cái)?shù)據(jù)，用次數(shù)高的趨勢(shì)面逼近起伏變化復(fù)雜的地理要素?cái)?shù)據(jù)。次數(shù)低的趨勢(shì)面使用起來比較方便，但是具體到某點(diǎn)擬合較差；次數(shù)較高的趨勢(shì)面只在觀測(cè)點(diǎn)

38、附近效果較好，而在外推和內(nèi)插時(shí)則效果較差。 2.趨勢(shì)面模型的參數(shù)估計(jì) 將多項(xiàng)式回歸（非線性模型）模型轉(zhuǎn)化為多元線性回歸模型。 若要偏差平方和Q達(dá)到最小，求偏差平方和Q對(duì)a0,a1,a2ap的偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0。經(jīng)化簡(jiǎn)后得到正規(guī)方程組。用矩陣形式表示正規(guī)方程組則正規(guī)方程組為nnPPnnnzzzzaaaAXpnXXXXXXXXXXXX101021321123121111322211ZXXXAZXXAXTTTT1)(那么，三、趨勢(shì)面模型的適度檢驗(yàn) 1擬合度R2檢驗(yàn)2.趨勢(shì)面模型的顯著性F檢驗(yàn) n為觀測(cè)值的個(gè)數(shù) p為自變量的個(gè)數(shù)關(guān)于自由度模型中樣本值可以自由變動(dòng)的個(gè)數(shù)，稱為自由度自由度=樣本個(gè)數(shù)-

39、樣本數(shù)據(jù)受約束條件（方程）的個(gè)數(shù)例如，樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)=n，它們受k+1個(gè)方程的約束（這n個(gè)數(shù)必須滿足這k+1個(gè)方程）那么，自由度df = n-k-13.趨勢(shì)面適度的逐次檢驗(yàn)四、應(yīng)用舉例課本例題：1建立趨勢(shì)面模型Z=18.44-1.38x-1.54y(R2=0.915,F=119.74) Z=18.27-1.16143*x-1.49286y+0.07 xy -0.07143*x2-0.04286 y2(R2=0.92,F=43.73)2.模型檢驗(yàn)（1）根據(jù)R2檢驗(yàn)方法計(jì)算（2）顯著性F檢驗(yàn)。在顯著性水平0.01下，二次趨勢(shì)面的F值，大于臨界值4.17；一次趨勢(shì)面模型的F值大于臨界值 5.72。說明

40、二者的整體顯著性均很高 。（3）一次和二次趨勢(shì)面回歸模型的逐次檢驗(yàn)方差分析表 離差來源平方和自由度均方差F檢驗(yàn)2次回歸214.77543.95543.722次剩余18.6625-5-10.9821次回歸213.82106.9119.741次剩余19.6425-2-10.893由1次增高到2次的回歸0.9730.3230.329結(jié)論：二次趨勢(shì)面，F(xiàn)值不顯著，則二次多項(xiàng)式對(duì)于回歸并無新貢獻(xiàn)。因此選取一次趨勢(shì)面比較合適。 第4節(jié) 時(shí)間序列分析時(shí)間序列分析的基本原理 趨勢(shì)擬合方法季節(jié)變動(dòng)預(yù)測(cè) 自回歸模型時(shí)間序列：時(shí)間序列：各種社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、自然現(xiàn)象的數(shù)量指標(biāo)按照時(shí)間次序排列起來的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)時(shí)間序列分析模型

41、：時(shí)間序列分析模型：解釋時(shí)間序列自身的變化規(guī)律和相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式一、時(shí)間序列分析的基本原理 （一）時(shí)間序列的組合成份（一）時(shí)間序列的組合成份 長(zhǎng)期趨勢(shì)（長(zhǎng)期趨勢(shì)（T, Trend T, Trend ） 是指時(shí)間序列隨時(shí)間的變化而逐漸增加或減少的長(zhǎng)期變化的趨勢(shì)。季節(jié)變動(dòng)（季節(jié)變動(dòng)（S,SeasonalS,Seasonal） 是指時(shí)間序列在一年中或固定時(shí)間內(nèi)，呈現(xiàn)出的固定規(guī)則的變動(dòng)。 循環(huán)變動(dòng)循環(huán)變動(dòng)（C,CyclicalC,Cyclical） 是指沿著趨勢(shì)線如鐘擺般地循環(huán)變動(dòng)，又稱景氣循環(huán)變動(dòng)(business cycle movement) 。不規(guī)則變動(dòng)（不規(guī)則變動(dòng)（I,Irregular

42、I,Irregular） 是指在時(shí)間序列中由于隨機(jī)因素影響所引起的變動(dòng)。 405060708090100110120130123456789 10 11 12月銷量無趨勢(shì)60657075808590951001051357911 13 15 17 19 21 23月銷量線性趨勢(shì)9010011012013014015016017013579 11 13 15 17 19 21 23月銷量非線性趨勢(shì)02040608010012345678910 11 12月銷售額第一年第二年季節(jié)成分DateSEP 2002JAN 2002MAY 2001SEP 2000JAN 2000MAY 1999SEP 19

43、98JAN 1998MAY 1997SEP 1996JAN 1996MAY 1995SEP 1994JAN 1994MAY 1993SEP 1992JAN 1992MAY 1991SEP 1990JAN 1990SALES12010080604020某企業(yè)從某企業(yè)從19901990年年1 1月到月到20022002年年1212月的銷售數(shù)據(jù)月的銷售數(shù)據(jù)（單位：百萬元）（單位：百萬元） （二）時(shí)間序列的組合模型（二）時(shí)間序列的組合模型 加法模型 假定時(shí)間序列是基于4種成份相加而成的。長(zhǎng)期趨勢(shì)并不影響季節(jié)變動(dòng)。若以Y表示時(shí)間序列，則加法模型為Y=T+S+C+I乘法模型 假定時(shí)間序列是基于4種成份相乘

44、而成的。假定季節(jié)變動(dòng)與循環(huán)變動(dòng)為長(zhǎng)期趨勢(shì)的函數(shù)。該模型的方程式為ICSTY （3.3.1） （3.3.2） ttYYY=T + S + C + IY=TS C I二、趨勢(shì)擬合方法 時(shí)間序列分析的平滑法主要有三類 ：移動(dòng)平均法 設(shè)某一時(shí)間序列為 y1，y2，yt，則t+1時(shí)刻的預(yù)測(cè)值為 式中: 為t點(diǎn)的移動(dòng)平均值; n稱為移動(dòng)時(shí)距。作用：消除干擾，顯示序列的趨勢(shì)性變化，并用于預(yù)測(cè)消除干擾，顯示序列的趨勢(shì)性變化，并用于預(yù)測(cè)趨勢(shì)趨勢(shì))(1111101ntttntttnjjttyynynyyyynyty （一）平滑法（一）平滑法 （3.3.3） 滑動(dòng)平均法滑動(dòng)平均法 其計(jì)算公式為 式中: 為t點(diǎn)的滑動(dòng)

45、平均值;l為單側(cè)平滑時(shí)距。 若l=1，則（3.3.4）式稱為三點(diǎn)滑動(dòng)平均，其計(jì)算公式為 若l=2，則（3.3.4）式稱為五點(diǎn)滑動(dòng)平均， 其計(jì)算公式為)(12111) 1(lttttltlttyyyyyylyty 3/)(11ttttyyyy5/ )(2112ttttttyyyyyy （3.3.4） （3.3.5） （3.3.6） 指數(shù)平滑法指數(shù)平滑法 一次指數(shù)平滑 為平滑系數(shù)。一般時(shí)間序列較平穩(wěn)，取值可小一些，一般取（0.05,0.3）；若時(shí)間序列數(shù)據(jù)起伏波動(dòng)比較大，則應(yīng)取較大的值，一般?。?.7,0.95）。本期預(yù)測(cè)值是前期實(shí)際值和預(yù)測(cè)值的加權(quán)和本期預(yù)測(cè)值是前期實(shí)際值和預(yù)測(cè)值的加權(quán)和ttnj

46、jtjtyyyy)1()1(101 （3.3.7） 高次指數(shù)平滑法 二次指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)公式為 三次指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)公式 為 2kckbaytttktkbayttkt （3.3.8） （3.3.9） 三種最常用的趨勢(shì)線 直線型趨勢(shì)線直線型趨勢(shì)線指數(shù)型趨勢(shì)線指數(shù)型趨勢(shì)線 拋物線型趨勢(shì)線拋物線型趨勢(shì)線 btaytttaby2ctbtayt（二）趨勢(shì)線法（二）趨勢(shì)線法05010015020019811985198919931997汽車產(chǎn)量趨勢(shì)值 汽車產(chǎn)量直線趨勢(shì)汽車產(chǎn)量直線趨勢(shì)（年份）汽車產(chǎn)量（萬輛）二次趨勢(shì)模型二次趨勢(shì)模型描述拋物線型趨勢(shì)變化的描述拋物線型趨勢(shì)變化的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型Y Yt t =

47、 b = b0 0 + b+ b1 1t + bt + b2 2t t2 2 + + t tYtt* tYt = b0 + b1t + b2t2二次曲線二次曲線048121619781980198219841986198819901992零售量趨勢(shì)值零售量（億件）針織內(nèi)衣零售量二次曲線趨勢(shì)針織內(nèi)衣零售量二次曲線趨勢(shì)（年份）指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)變化指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)變化時(shí)間序列模型時(shí)間序列模型Y Yt t = ab = abt t t t或或 Y Yt t = K + ab = K + abt t t tY Yt t = ae = aebtbt t tYtt*指數(shù)曲線指數(shù)曲線05010015020025019

48、811985198919931997汽車產(chǎn)量趨勢(shì)值汽車產(chǎn)量指數(shù)曲線趨勢(shì)汽車產(chǎn)量指數(shù)曲線趨勢(shì)（年份）汽車產(chǎn)量（萬輛）自相關(guān)性判斷自相關(guān)性判斷 時(shí)間序列的自相關(guān)，是指序列前后期數(shù)值之間的相關(guān)關(guān)系，對(duì)這種相關(guān)關(guān)系程度的測(cè)定便是自相關(guān)系數(shù)。 測(cè)度:設(shè)y1，y2，yt，yn，共有n個(gè)觀察值。把前后相鄰兩期的觀察值一一成對(duì)，便有（n1）對(duì)數(shù)據(jù)，即(y1，y2)，(y2，y3)，(yt，yt+1)，(yn-1，yn)。（三）自回歸模型其一階自相關(guān)系數(shù)r1為1111211211111)()()(ntntttttntttttyyyyyyyyr二階自相關(guān)系數(shù)r2為2121222221222)()()(ntnttt

49、ttntttttyyyyyyyyrk階自相關(guān)系數(shù)為 kntkntktktktkntktktttkyyyyyyyyr11221)()()(自回歸模型的建立自回歸模型的建立 常見的線性自回歸模型： 一階線性自回歸預(yù)測(cè)模型為 二階線性自回歸預(yù)測(cè)模型為 一般地，p階線性自回歸模型為 在以上各式中， 為待估計(jì)的參數(shù)值，它們可以通過最小二乘法估計(jì)獲得。tttyy110ttttyyy22110tptpttyyy110), 2 , 1 , 0(pii基本步驟基本步驟 （1）對(duì)原時(shí)間序列求移動(dòng)平均，以消除季節(jié)變動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng)，保留長(zhǎng)期趨勢(shì)； (2）將原序列y除以其對(duì)應(yīng)的趨勢(shì)方程值（或平滑值），分離出季節(jié)變動(dòng)（含

50、不規(guī)則變動(dòng)），即 三、季節(jié)性預(yù)測(cè)法季節(jié)系數(shù)= TSCI/趨勢(shì)方程值（TC或平滑值）=SI （3）將月度（或季度）的季節(jié)指標(biāo)加總，以由計(jì)算誤差導(dǎo)致的值去除理論加總值，得到一個(gè)校正系數(shù)，并以該校正系數(shù)乘以季節(jié)性指標(biāo)從而獲得調(diào)整后季節(jié)性指標(biāo)。 （4）求預(yù)測(cè)模型，若求下一年度的預(yù)測(cè)值，延長(zhǎng)趨勢(shì)線即可；若求各月（季）的預(yù)測(cè)值，需以趨勢(shì)值乘以各月份（季度）的季節(jié)性指標(biāo)。 求季節(jié)變動(dòng)預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)模型（以直線為例）為 式中： 是t+k時(shí)的預(yù)測(cè)值; at、bt為方程系數(shù); 為季節(jié)性指標(biāo)。kttktkbay)(ktyk 例題：如表3.3.3所示，下面我們用上述步驟，預(yù)測(cè)該旅游景點(diǎn)2005年各季度的客流量。 表3.3.3 某旅游景點(diǎn)20022004年各季度客流量 解題步驟： （1）求時(shí)間序列的三次滑動(dòng)平均值，見表3.3.3第5列。 （2）求季節(jié)性指標(biāo)：將表3.3.3中第4列數(shù)據(jù)分別除以第5列各對(duì)應(yīng)元素，得相應(yīng)的季節(jié)系數(shù)。然后再把各季度的季節(jié)系數(shù)平均得到季節(jié)性指標(biāo)，見表3.3.4。 季節(jié)性指標(biāo)之和理論上應(yīng)等于4。現(xiàn)等于 3.951 5，需要進(jìn)行校正。校正方法是： 先求校正系數(shù)：=4/3.951 5=1.012 3。 然后將表中的第5行，分別乘以，即得校正后的季節(jié)性指標(biāo)（見表3.3.4第6行）。表3.3.4 季節(jié)性指標(biāo)及其校正值 （3）用二次指數(shù)平滑法，求預(yù)測(cè)模型系數(shù)：取