平面及其方程空間直線及其方程PPT教案

1、平面及其方程空間直線及其方程平面及其方程空間直線及其方程zyxo0Mn),(0000zyxM設一平面通過已知點且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM稱式為平面的點法式方程點法式方程,求該平面的方程.,),(zyxM任取點),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0則有 故的為平面稱n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1頁/共39頁kji,1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取該平面 的法向量為),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用點法

2、式得平面 的方程346231nn3121MMMM機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共39頁此平面的三點式方程三點式方程也可寫成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情況一般情況 : 過三點)3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共39頁此式稱為平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax時,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程為 PozyxRQ分析:利用三點

3、式 按第一行展開得 即0axyzab0a0c機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共39頁04573zyx023zyx第5頁/共39頁以上兩式相減 , 得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程與此點法式方程等價, )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程方程.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁/共39頁 當 D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示 通過原點通過原點的平面; 當 A = 0 時,

4、 B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;,), 0(iCBn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 By+C z = 0 表示經(jīng)過x軸的平面； A x+C z = 0 表示經(jīng)過y軸的平面； A x+By = 0 表示經(jīng)過z軸的平面；第7頁/共39頁 C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面; B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.第8頁/共39

5、頁例例3. .用平面的一般式方程導出平面的截距式方程.解解: 因平面通過 x 軸 ,0 DA故設所求平面方程為0zCyB代入已知點) 1,3,4(得BC3化簡,得所求平面方程03 zy(自己練習) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共39頁 8 1 :0,2 -5 350,5 ,50.ByDBDDBy題由題意設所求平面方程為：將點， ， 代入上述方程，得所求平面方程為(3)0,.ByCzD由題意設所求平面方程為將點， 和點， 代入上式，0有，所求方程為第10頁/共39頁設平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平面夾角 的余弦為 cos即212121CCBBAA222222CBA212

6、121CBA兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁/共39頁221) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁/共39頁因此有垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 設所求平面的法向量為,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0

7、) 1() 1() 1(2CzCyCxC約去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和則所求平面故, ),(CBAn方程為 n21MMn且機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁/共39頁外一點,求),(0000zyxP0DzCyBxA222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解: :設平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點是平面到平面的距離d .0P,則P0 到平面的距離為01PrjPPdnnnPP010P1P

8、nd, ),(CBAn (點到平面的距離公式)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共39頁1.平面平面基本方程:一般式點法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共39頁0212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyB

9、xA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(1111CBAn 第16頁/共39頁)5,15,10(0) 1(5) 1(15) 1(10zyx0632zyx求過點 且垂直于二平面 和 的平面方程.) 1 , 1 , 1 (7zyx051223zyx解解: 已知二平面的法向量為取所求平面的法向量 則所求平面方程為化簡得),1, 1, 1 (1n)12,2,3(2n21nnn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共39頁第18頁/共39頁一、空間直線方程一、空間直線方程 二、線面間的位置關(guān)系二、線面間的位置關(guān)系 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第七節(jié)空間直線及其方程 第八章 第19頁/

10、共39頁xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1 1. 一般式方程一般式方程 直線可視為兩平面交線，機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共39頁),(0000zyxM故有說明說明: 某些分母為零時, 其分子也理解為零.mxx000yyxx設直線上的動點為 則),(zyxMnyy0pzz0此式稱為直線的對稱式方程對稱式方程(也稱為點向式方程點向式方程)直線方程為s已知直線上一點),(0000zyxM),(zyxM例如, 當,0, 0時pnm和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共39頁設得

11、參數(shù)式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁/共39頁解解: :先在直線上找一點.043201 zyxzyx632zyzy再求直線的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,得已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第23頁/共39頁故所給直線的對稱式方程為參數(shù)式方程為tztytx32 41t41x1y32z解題思路解題思路: 先找直線上一點;再找直線的方向向量.)3, 1,4(21nns

12、312111kji機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第24頁/共39頁.531124,53124,5,21zyxtztytxttts即則直線方程為程的方向向量由題意可設所求直線方：題.11224-3,12243,2,4,1,2,412,20,312zyxtztytxtttsBAsBA即得所求直線方程為可設平行所求直線方向向量由題意：題第25頁/共39頁.111416253421,2,5,3,4,2,1.,4782121kjikjinnnnnn則方向向量平行與給定直線的則所求平面的法線向量法線向量為解：設所求平面方程的：題.065111416,0311014216,zyxzyx即所求平面為根據(jù)

13、平面的點法式方程第26頁/共39頁2L1L則兩直線夾角 滿足21, LL設直線 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第27頁/共39頁特別有特別有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ ss機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第28頁/共39頁解解: 直線直線二直線夾角 的余弦為13411:1zyxL0202:2zxyxL cos2

14、2從而4的方向向量為1L的方向向量為2L) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第29頁/共39頁當直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;L當直線與平面不垂直時,設直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為則直線與平面夾角 滿足.2222222CBApnmpCnBmA直線和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns sn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第30頁/共39頁特別有特別有: :L) 1(/)2(L

15、0pCnBmApCnBmAns/ns解解: : 取已知平面的法向量421zyx則直線的對稱式方程為0432zyx直的直線方程. 為所求直線的方向向量. 132垂 ) 1,3,2(nn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第31頁/共39頁一般式對稱式參數(shù)式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第32頁/共39頁,1111111pzznyymxxL：直線0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm直線夾角公式:),(1

16、111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121cosssss 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第33頁/共39頁, 0DzCyBxACpBnAm平面 :L L / 夾角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx直線 L :),(CBAn ),(pnms 0 ns0nsnsns L機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第34頁/共39頁)1 ,2, 1(A,11231:1zyxLiL設直線解：解：,2上在因原點LO12:2zyxL相交,求此直線方程 .的方向向量為過 A 點及 的平2L面的法向量為則所求直線的方向向量方法方法1 利用叉積. ),2, 1( isi, n,1nss所以OAsn2121112kjikji333一直線過點 且垂直于直線 又和直線nOA2L2s機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第35頁/共39頁設所求直線與的交點為512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直線的方向向量方法方法2 利用所求直線與L2 的交點 .即故所求直線方程為 2L),(00