第6節(jié)多元函數(shù)的極值與最值PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1第第6節(jié)多元函數(shù)的極值與最值節(jié)多元函數(shù)的極值與最值2(1)(2)(3)例1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 第1頁/共43頁3的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22eyxxyz 播放第2頁/共43頁4的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22eyxxyz 第3頁/共43頁5的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22eyxxyz 第4頁/共43頁6的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22eyxxyz 第5頁/共43頁7的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函

2、數(shù)22eyxxyz 第6頁/共43頁8的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22eyxxyz 第7頁/共43頁9的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22eyxxyz 第8頁/共43頁10的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22eyxxyz 第9頁/共43頁11的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22eyxxyz 第10頁/共43頁12設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx具具有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且在在點點),(00yx處處有有極極值值，則則它它在在該該點點的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)必必然然為為零零：0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. . 極值的求法（稱駐點） 例如例如, 點點)

3、0 , 0(是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點，的駐點，但但不不是是極極值值點點.駐點極值點注意：定理1（必要條件） 問題：如何判定一個駐點是否為極值點？第11頁/共43頁13設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域內(nèi)連續(xù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 設(shè)設(shè) 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 定理2（充分條件）則則),(yxf在在點點),(00yx處處是是否否取取得得極極值值的的條條件件如如下下：令令 Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00， （1 1）02 ACB時時具具有有極極值值，且

4、且當當0 A時時有有極極大大值值，當當0 A時時有有極極小小值值； （2 2）02 ACB時時沒沒有有極極值值； （3 3）02 ACB時時可可能能有有極極值值, ,也也可可能能沒沒有有極極值值，還還需需另另作作討討論論 第12頁/共43頁14求求函函數(shù)數(shù)xyxyxyxf933),(2233 的的極極值值. . 求求得得駐駐點點：)2 , 1(),2 , 3(),0 , 1(),0 , 3( , , 二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為：66, 0, 66 yffxfyyxyxx, , 例4解 063096322 yyfxxfyx令令CBA ACB 2)0, 3( )0, 1()2, 3( )2, 1(6

5、 0 12 6 0 126 0 12 6 0 12 無極值極小值-5極大值31無極值1, 3 x2, 0 yf駐點第13頁/共43頁15 若根據(jù)實際問題,目標函數(shù)有最大值(或最小值),而在定義區(qū)域內(nèi)部有唯一的極大(小)值點,則可以斷定該極大(小)值點即為最大(小)值點. 設(shè)生產(chǎn)某種商品需原料A和B，設(shè)A的單價為2，數(shù)量為x；而B 的單價為1，數(shù)量為y，而產(chǎn)量為 例5解，yyxxz52102022 且商品售價為5,求最大利潤. 利潤函數(shù)為 yxyyxxyxL 2)521020(5),(22第14頁/共43頁16yxyyxxyxL 2)521020(5),(22令1048020240 xyLxLy

6、 ，解得唯一駐點 ，2 . 1, 8 . 4 yx唯一駐點為極大值點，.6 .229)2 . 1 , 8 . 4( L，yyxx24104851122 10,0,20,xxxyyyALBLCL ,02 ACB,0 A即為最大值點，最大利潤為 第15頁/共43頁17例6解 sincos222422421xxxxS ， cossinsin2sin2422xxx 其其中中 120 x, ,20 , , 第16頁/共43頁18其其中中 120 x, ,20 , , 注注意意到到 0sin, 0 x, ,化化簡簡后后解解得得 3, 8 x, , 由由實實際際問問題題可可知知, ,S 必必有有最最大大值值

7、, ,且且內(nèi)內(nèi)部部唯唯一一駐駐點點, ,故故當當3, 8 x時時, ,槽槽的的截截面面積積最最大大, ,348 最最大大S. . ， cossinsin2sin2422xxxS 222224sin4 sin2 sincos024 cos2cos(cossin)0 xSxxSxxx 令第17頁/共43頁19解*例7總利潤為 )258000(yxQpQCRL 8000)25( yxQp,8000)25(2000003 . 01 . 05 . 1 yxyxpp第18頁/共43頁208000)25(2000003 . 01 . 05 . 1 yxyxppL令,0)75(1000003 . 01 . 0

8、5 . 2 yxppLp,01)25(200003 . 09 . 05 . 1 yxppLx01)25(600007 . 01 . 05 . 1 yxppLy解得,750 p3555540 x(元元)，1066662300 xy(元元) 最最佳佳經(jīng)經(jīng)營營時時的的產(chǎn)產(chǎn)量量為為 711112000003 . 001 . 005 . 100 yxpQ(件件) 此此時時企企業(yè)業(yè)獲獲得得的的最最大大利利潤潤為為 21253348000)25(),(0000000 yxQpyxpL(元元) 第19頁/共43頁21 用鐵皮做一個有蓋的長方體水箱,要求容積為V,問怎么做用料最?。?設(shè)設(shè)水水箱箱的的長長、寬寬、

9、高高分分別別為為zyx, ,則則 目目標標函函數(shù)數(shù)：)( 2zxyzxyS , , 約約束束條條件件：xyzV , , 實際問題中,目標函數(shù)的自變量除了受到定義域的限制外, 往往還受到一些附加條件的約束,這類極值問題稱條件極值問題. 例8解即表面積最小. ，xyVz 代入目標函數(shù),化為無條件極值問題： xyz第20頁/共43頁22目目標標函函數(shù)數(shù)化化為為：)( 2yVxVxyS , , 0, 0 yx 令令 0)(20)(222yVxSxVySyx, , 求得唯一駐點求得唯一駐點3Vyx , ,從而從而3Vz , , 內(nèi)部唯一駐點,且由實際問題S有最大值,故做成立方體表面積最小. 這種做法的缺

10、點： 1.變量之間的平等關(guān)系和對稱性被破壞； 2.有時隱函數(shù)顯化困難甚至不可能. 第21頁/共43頁23 要要找找函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在條條件件0),( yx 下下的的可可能能極極值值點點，解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的極極值值點點的的坐坐標標.拉格朗日乘數(shù)法其其中中 為為參參數(shù)數(shù)， 引入拉格朗日函數(shù)),(),();,(yxyxfyxF 令,0),(0),(),(0),(),( yxFyxyxfFyxyxfFyyyxxx 若這樣的點唯一,由實際問題,可直接確定此即所求的點.第22頁/共43頁24如如果果目目標標函函數(shù)數(shù)是是三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxf, ,且且約

11、約束束條條件件有有兩兩個個, , 0),( zyxg, ,0),( zyxh, , 則構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為 . ),(),(),(),;,(zyxhzyxgzyxfzyxL 令,0),(0),(),(),(),(0),(),(),(0),(),(),( zyxhzyxgzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzzzyyyxxx 第23頁/共43頁25 用鐵皮做一個有蓋的長方體水箱,要求容積為V,問怎么做用料最省？ 例8目目標標函函數(shù)數(shù)：)( 2zxyzxyS , , 約約束束條條件件：xyzV , , 解構(gòu)構(gòu)作作拉拉格格朗朗日日函函數(shù)數(shù) )()( 2Vxyzzxy

12、zxyL , , 令令 VxyzxyyxLxzzxLyzzyLzyx0)(20)(20)(2 , , 解解得得唯唯一一駐駐點點3Vzyx , , 由實際問題,即為最小值點. 設(shè)設(shè)水水箱箱的的長長、寬寬、高高分分別別為為zyx, ,則則 xyz第24頁/共43頁26 在實際問題中,經(jīng)常要求某多元函數(shù)在已知區(qū)域D內(nèi)的最大值和最小值.根據(jù)實際情況,我們往往可以判斷最大值或最小值在區(qū)域D的內(nèi)部達到，若函數(shù)在D內(nèi)僅有一個駐點，則可以斷定該駐點就是最大值點或最小值點. 第25頁/共43頁27在在周周長長為為p2的的一一切切三三角角形形中中, ,求求出出面面積積最最大大的的三三角角形形. . 設(shè)設(shè)三三角角形

13、形的的三三條條邊邊長長分分別別為為zyx, , 則則面面積積為為 )()(zpypxppS , , 約約束束條條件件: : pzyx2 , , 例9解，)2()()(pzyxzpypxppL解得唯一駐點 ，pzyx32 即做成正三角形時面積最大. 第26頁/共43頁28用用一一根根長長為為p2的的鐵鐵絲絲做做一一個個網(wǎng)網(wǎng)兜兜邊邊框框： 圓圓：2223183. 0/ ppRS , ,最最大大. . 三角形中,以正三角形面積為最大: .1925. 09322pp 四邊形中,以正方形面積為最大： .25. 04122pp 第27頁/共43頁29解xyo6 yxD*例10先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點， 0)4

14、(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx解方程組 06)268()1 , 2()1 ,2(2 yxyyfAxx4)438()1 , 2()1 ,2(2 xyxxfBxy,82)1 , 2()1 ,2(2 xfCyy,02 ACB,0 A. 4)1 , 2( 是極大值是極大值所以所以 f第28頁/共43頁30 xyo6 yxD再再求求),(yxf在在 D邊邊界界上上的的最最值值， 在在邊邊界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 是是極極大大值值 4)1 ,2( f在在邊邊界界6 yx上上，即即xy 6， 得得 4, 021 xx， ,2|64 xxy,64)2 ,

15、 4( f 比比較較后后可可知知4)1 , 2( f為為最最大大值值, 64)2 , 4( f為最小值., )6(223xx )2)(6(2 xxz)60( x,0)4(6 xxz, )4(),(2yxyxyxfz 第29頁/共43頁31例11解目目標標函函數(shù)數(shù) 414380),(yxyxQ ， 約約束束條條件件 4000002000600 yx, , 或或 2000103 yx, , ，)2000103(804143 yxyxL 第30頁/共43頁32由，)2000103(804143 yxyxL 200010301020036043434141yxyxLyxLyx ，3103 yx，yx1

16、0 ,50,500 yx由實際問題，此即最佳分配方案. 第31頁/共43頁33設(shè)兩種產(chǎn)品的需求量設(shè)兩種產(chǎn)品的需求量21,QQ分別為分別為112 . 024pQ ， 2205. 010pQ ( (21, pp為其價格為其價格),),總成本為總成本為 )(403521QQC , ,問如何定價，才能獲取最大利潤？問如何定價，才能獲取最大利潤？ 解法1),(),(21221121QQCQpQpQQL ,139605. 02 . 01232222121 pppp 01 . 01204 . 0322121pLpLpp,12080 21 pp例12因駐點唯一，且由問題的實際含義可知必有最大利潤， 第32頁/

17、共43頁34設(shè)兩種產(chǎn)品的需求量設(shè)兩種產(chǎn)品的需求量21,QQ分別為分別為112 . 024pQ ， 2205. 010pQ ( (21, pp為其價格為其價格),),總成本為總成本為 )(403521QQC , ,問如何定價，才能獲取最大利潤？問如何定價，才能獲取最大利潤？ 因駐點唯一，且由問題的實際含義可知必有最大利潤， 解法2CpQpQQQL 221121),(,3520160580222211 QQQQ0108011 QLQ,8 1 Q04016022 QLQ,4 2 Q212211404035)20200()5120(QQQQQQ ,80 1 p,120 2 p例12第33頁/共43頁3

18、5P317 習(xí)題八第34頁/共43頁36第35頁/共43頁37例 價格與供給量的觀察數(shù)據(jù)見下表：x (元元) 2 3 4 5 6 810 12 14 16y (噸噸) 15 20 25 30 35 45 60 80 80 110散點圖由圖可以看出，x 與 y 之間存在一定的相關(guān)關(guān)系，且這種關(guān)系是線性關(guān)系.02040608010012005101520第36頁/共43頁38,bxay niiibxaybaQ12)(),(達到最小.上述估計a,b的方法稱為最小二乘法.LSE (Least Square Estimation)求線性經(jīng)驗公式(回歸直線方程)使第37頁/共43頁39ba,的求解的求解： niiibxaybaQ12)(),( 0)(20)(211 niiiiniiixbxaybQbxayaQ niniiiiyxbxaxnynbxnna112)( 稱為正規(guī)方程組其中 niiniiynyxnx111,1第38頁/共43頁40 niniiiiyxbxaxnynbxnna112)( 系數(shù)行列式 niixxnxnnD