DAY3-GB-A-05 置信區(qū)間

1、置信區(qū)間 (Confidence Intervals)DefineMeasureAnalyzeImproveControlStep 8- Data 分析Step 9- Vital Few X的選定 多變量研究 中心極限定理 假設(shè)檢驗(yàn) 置信區(qū)間 方差分析，均值檢驗(yàn) 卡方檢驗(yàn) 相關(guān)/回歸分析Step 7- Data 收集路徑位置理論課目錄置信區(qū)間介紹 總體均值的置信區(qū)間總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間Cp的置信區(qū)間置信區(qū)間例題抽樣估計(jì)： 根據(jù)樣本提供的信息對(duì)總體的某些特征進(jìn)行 估計(jì)或推斷。 估計(jì)量或統(tǒng)計(jì)量： 用來估計(jì)總體特征的的樣本指標(biāo)； 總體參數(shù)： 待估計(jì)的總體指標(biāo)。 所以對(duì)總體數(shù)字特征的抽樣估計(jì)也叫參數(shù)估

2、計(jì)。 可分為：點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)?？傮w樣本抽取樣本零假設(shè)備擇假設(shè)P-value預(yù)測(cè)總體特征統(tǒng)計(jì)性推斷總體參數(shù)統(tǒng)計(jì)量參數(shù)估計(jì)區(qū)間估計(jì)：根據(jù)樣本估計(jì)量以一定可靠程度推斷總體 參數(shù)所在的區(qū)間范圍。這種估計(jì)方法不僅以樣本估計(jì)量為依據(jù)，而且考慮了估計(jì)量的分布，所以它能給出估計(jì)精度，也能說明估計(jì)結(jié)果的把握程度。利用基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的置信區(qū)間來量化樣本的不確定性 設(shè)總體參數(shù)為 ， L、 U為樣本確定的兩個(gè)樣本量，對(duì)于給定的 0 1，有 P L U = 1- 那么稱 L ， U 為參數(shù)的置信度為1- 的置信區(qū)間。該區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)L 、 U分別稱為置信下限和置信上限， 通稱為置信限。 為顯著性水平； 1- 那么稱為置信

3、度， 置信區(qū)間的定義 它表示區(qū)間估計(jì)的可靠程度或把握程度，也即所估計(jì)的區(qū)間包含總體真實(shí)的可能性。 置信度為1-的置信區(qū)間也就表示以1-的可能性概率包含了未知總體參數(shù)的區(qū)間。 置信區(qū)間的直觀意義為： 假設(shè)作屢次同樣的抽樣，將得到多個(gè)置信區(qū)間，那么其中有的區(qū)間包含了總體參數(shù)的真值，有點(diǎn)區(qū)間卻未包含總體參數(shù)的真值。平均說來，包含總體參數(shù)真值的區(qū)間有1-*100%，反之有*100%的區(qū)間未包含總體參數(shù)真值。置信區(qū)間的意義絕大多數(shù)情況下，我們計(jì)算95%的置信區(qū)間(CI) 這可解釋為 100中大約95的CI將包含總體參數(shù)，或者 我們95%確信總體參數(shù)在此區(qū)間內(nèi)反觀以前，我們看到大約95%的樣本平均在總體平

4、均的2倍標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi) (正態(tài)分布時(shí) Z= 2s內(nèi)的概率約為95%.)如果我們從一個(gè)工程中隨機(jī)抽取一個(gè)樣本并計(jì)算其平均值時(shí)，我們確信其樣本的均值包含在總體中的概率是95%. 95%的置信區(qū)間求參數(shù)置信區(qū)間時(shí)可參考下面的通用格式： 置信區(qū)間= 統(tǒng)計(jì)量K*標(biāo)準(zhǔn)誤差 這里，統(tǒng)計(jì)量 = 均值、方差、Cp等 K = 基于某統(tǒng)計(jì)分布的常數(shù)置信區(qū)間反映我們的點(diǎn)估計(jì)的樣本與樣本間的散布 我們將考慮如下的置信區(qū)間： 1總體均值u的置信區(qū)間； 2總體方差的置信區(qū)間； 3工程能力Cp的置信區(qū)間； 4總體比例P的置信區(qū)間；置信區(qū)間介紹1-1總體方差時(shí)，正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)1總體均值的置信區(qū)間xZxZ-+aas( )m/2

5、2 x s( ) x 一般公式 其中 x 稱為樣本均值; 稱為對(duì)應(yīng)于a/2的Z值; 稱為抽樣平均誤差; 稱為抽樣極限誤差(x)Za/2s( x )Za/2s( x ) 例題1 某企業(yè)從長(zhǎng)期實(shí)踐得知，其產(chǎn)品直徑X是一個(gè)隨機(jī)變量，服從標(biāo)準(zhǔn)差為0.05的正態(tài)分布。從某日產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6個(gè)，測(cè)得其直徑分別為14.8，15.3，15.1，15，14.7，15.1單位：厘米。在0.95的置信度下，試求該產(chǎn)品直徑的均值的置信區(qū)間。 Minitab解法 將題中的6個(gè)數(shù)據(jù)輸入到Minitab中的C1列路徑：統(tǒng)計(jì)根本統(tǒng)計(jì)單樣本Z輸入相關(guān)參數(shù)參考右圖輸出結(jié)果：結(jié)論：該產(chǎn)品直徑的均值置信區(qū)間為14.96, 15.04

6、cm 平均值變量 N 平均值 標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)誤 95% 置信區(qū)間C1 6 15.0000 0.2191 0.0204 (14.9600, 15.0400) 當(dāng)樣本容量相當(dāng)大時(shí)，即使總體分布形式未知或總體為非正態(tài)分布，根據(jù)定理，樣本均值近似服從正態(tài)分布，因此估計(jì)總體均值的方法與上述方法相同； 大樣本情況下，當(dāng)總體方差未知而用樣本方差代替時(shí)，由于t分布可用正態(tài)分布近似，所以對(duì)總體均值的估計(jì)也采用上述方法。 注意 例題2 某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的工人有1000人，某日采用不重復(fù)抽樣從中隨機(jī)抽取100人調(diào)查他們的當(dāng)日產(chǎn)量，樣本人均產(chǎn)量為35件，產(chǎn)量的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為4.5件，試以95.5%的置信度估計(jì)平均產(chǎn)量的

7、置信區(qū)間。 Minitab解法 翻開Minitab路徑：統(tǒng)計(jì)根本統(tǒng)計(jì)量單樣本Z輸出結(jié)果：結(jié)論：該產(chǎn)品直徑的均值置信區(qū)間為 34.0979, 35.9021 件 平均值 N 平均值 標(biāo)準(zhǔn)誤 95.5% 置信區(qū)間100 35.000 0.450 (34.098, 35.902)輸入相關(guān)參數(shù)參考以下圖1-2總體方差未知時(shí)，正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)小樣本 一般公式 其中 x 稱為樣本均值; 稱為對(duì)應(yīng)于a/2，自由度為n-1的的 t 值; 稱為抽樣極限誤差(x)ta/2,n-1SSta/2,n-1sn 例題3 某食品廠從一批袋裝食品中隨機(jī)抽取10袋，測(cè)得每袋重量單位：克分別為789、780、794、762

8、、802、813、770、785、810、806，要求以95%的把握程度，估計(jì)這批食品的平均每袋重量的區(qū)間范圍及其允許誤差。 Minitab解法 將題中的10個(gè)數(shù)據(jù)輸入到Minitab中的C1列路徑：統(tǒng)計(jì)根本統(tǒng)計(jì)量單樣本t輸入相關(guān)參數(shù)參考右圖輸出結(jié)果：結(jié)論：該產(chǎn)品每袋重量的均值置信區(qū)間為 778.841, 803.359 克； 允許誤差：2.262 * 5.419 = 12.26克 平均值變量 N 平均值 標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)誤 95% 置信區(qū)間C1 10 791.10 17.14 5.42 (778.84, 803.36)2總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間 一般公式 小樣本其中 s 稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差; 稱為對(duì)應(yīng)于

9、a/2的Chi-Square值; 稱為自由度;2a/2n-1/scsscaann-1122122SS 假設(shè)我們獲得一個(gè)16個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的樣本，得到的標(biāo)準(zhǔn)偏差為1.66。自由度(為16-1 或 15。 Sigma的 95% ( = .05)置信區(qū)間是： 例題4 用例題3的10個(gè)數(shù)據(jù)求標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間 Minitab解法 將題中的10個(gè)數(shù)據(jù)輸入到Minitab中的C1列路徑：統(tǒng)計(jì)根本統(tǒng)計(jì)量圖形化匯總結(jié)論：樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是 17.14 , 總體標(biāo)準(zhǔn)差的95%的置信區(qū)間在 11.79和31.78之間。輸出結(jié)果Cpn-1CpCpn-11-/2,n-12/2,n-12ccaa Cpn-1CpCpn-11-/2,

10、n-12/2,n-12ccaa這就是說，我們有 95% 把握說真實(shí)的 Cp 值在1.57 和 3.01之間Cp=2.29 (n=20) 的 95% 置信區(qū)間計(jì)算如右： 3工程能力Cp的置信區(qū)間 一般公式 我們將定義一個(gè)過程，其目標(biāo)值為70，USL=100，LSL=40. 班上的每個(gè)人都從一個(gè)平均值=70，標(biāo)準(zhǔn)差=10的分布中產(chǎn)生 20個(gè)隨機(jī)正態(tài)數(shù)字 假設(shè)我們的“真實(shí)的Cp = 1.00.產(chǎn)生數(shù)據(jù)后，先用Minitab計(jì)算出Cp； 再用前面的公式計(jì)算 Cp的95%置信區(qū)間；假設(shè)班里的人數(shù)為 50，我們期待至少一個(gè) CI 不包含1.00 準(zhǔn)備發(fā)表你的結(jié)果 Cp的置信區(qū)間Minitab模擬1. 產(chǎn)生

11、20個(gè)隨機(jī)數(shù)據(jù)，并保存在C12. 求其工程能力3. 統(tǒng)計(jì) 根本統(tǒng)計(jì)量圖形化匯總4.求總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間的上限和下限.總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間 下限 Sigma 上限 樣本大小8.689 11.425 16.687 20 CCpBest Case)(Worst Case)p(=-=-=100406*8.6891.15100400.599現(xiàn)在我們可以使用這些估計(jì)的上下限來計(jì)算Cp的置信區(qū)間了 我們看到這是一個(gè)包含1.00的實(shí)際Cp 95%的置信區(qū)間 5. 求Cp的置信區(qū)間6*16.6874總體比率或比例P的置信區(qū)間pZpZ-+aas( )P/22 p s( ) p 一般公式 其中 p 稱為樣本比例; 稱為抽樣極限誤差(p)Za/2s( p ) 例題5 某廠對(duì)一批產(chǎn)品的質(zhì)量進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)，采用重復(fù)抽樣抽取樣品200只，樣本良品率為85%，試計(jì)算當(dāng)把握程度為90%時(shí)良品率的區(qū)間范圍。 公式求法 ：n=200，p=0.85，1-a=0.90，Za/2=1.645那么將上面的數(shù)字代入公式中，得總體良品率P的置信度為90%的置信區(qū)間為：85% - 4.15%P85%+ 4.15%；即為80.85%，89.15%1. 在班上隨機(jī)選了10名學(xué)員，調(diào)查他們考試總成績(jī)的結(jié)果參考下面的數(shù)