《 三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明》學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、?第13章 三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明?學(xué)習(xí)要求：1理解三角形的角平分線、中線、高線的概念及性質(zhì)。會用刻度尺和量角器畫出任意三角形的角平分線、中線和高。2掌握三角形的分類，理解并掌握三角形的三邊關(guān)系。3掌握三角形內(nèi)角和定理及推論，三角形的外角性質(zhì)與外角和。4了解三角形的穩(wěn)定性。知識要點：一、三角形中的邊角關(guān)系1三角形有三條內(nèi)角平分線，三條中線，三條高線，它們都相交于一點。注意：三角形的中線平分三角形的面積。2. 三角形三邊間的不等關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。注意：判斷三條線段能否構(gòu)成一個三角形時，就看這三條線段是否滿足任何兩邊之和大于第三邊，其簡便方法是看

2、兩條較短線段的和是否大于第三條最長的線段。3三角形各角之間的關(guān)系： 三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角和為180。 三角形的外角和等于360每個頂點處只取一個外角； 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和； 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。4三角形的分類三角形按邊的關(guān)系可以如下分類：三角形按角的關(guān)系可以如下分類：5三角形具有穩(wěn)定性。知識結(jié)構(gòu)：二、命題與證明1判斷一件事情的句子是命題，疑問句、感慨句不是命題，計算不是命題，畫法不是命題。2命題都可以寫成：“如果，那么。的形式。為了語句通順往往要加“字，但不改變順序。3命題由題設(shè)、結(jié)論兩局部組成。“如果后面的是題設(shè)，“那么后面

3、的是結(jié)論。4命題分為真命題和假命題。真命題需要證明，假命題只要舉出一個反例。5將命題的題設(shè)和結(jié)論交換就得到原命題的逆命題。逆命題可真可假。6公理和定理都是真命題，公理不需要證明，定理必須證明。7定理的逆命題如是真命題就是原定理的逆定理，定理不一定有逆定理。逆定理一定是真命題。8命題的證明方法和步驟。證明需要掌握的判定與性質(zhì)：1兩直線平行同位角相等。同位角相等兩直線平行。2兩直線平行內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補。內(nèi)錯角相等兩直線平行。同旁內(nèi)角互補兩直線平行。3角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。4線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等。5三角形內(nèi)角和定理和推論。三角形中位線定理。6

4、三角形全等：“SSS、“SAS、“ASA。全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。7等腰三角形的判定與性質(zhì)。8直角三角形的判定與性質(zhì)。9反證法假設(shè)，推理，矛盾，結(jié)論。?第13章 三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明?練習(xí)題一、填空題：1三角形的一邊是8，另一邊是1，第三邊如果是整數(shù)，那么第三邊是_ _，這個三角形是_ _三角形。2三角形兩邊的長分別為1和2，如果第三邊的長也是整數(shù)，那么第三邊的長為_ _。3三角形的三邊長分別為，那么的取值范圍是_ _。4三角形的三邊為，那么的取值范圍是_ _。5a，b，c為ABC的三條邊，化簡 eq r(a+b-c)2 )|bac|_ _。6在ABC中，ABAC，AD是

5、中線，ABC的周長為34cm，ABD的周長為30cm， 求AD的長。7如圖，CE平分ACB，且CEDB，DABDBA，AC18cm，CBD的周長為28 cm，那么DB_ _。8. 等腰三角形兩邊長分別為4和9，那么第三邊的長為_ _。9. 等腰三角形的周長為20cm， 1假設(shè)其中一邊長為6cm，那么腰長為_ _；2假設(shè)其中一邊長為5cm，那么腰長為_ _。10等腰ABC中，ABAC，BC6cm，那么ABC的周長的取值范圍是_ _。11等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分為15厘米和6厘米兩局部，那么此三角形的底邊長為_ _。12等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分為15厘米和11厘

6、米兩局部，那么此三角形的底邊長為_ _。13寫出“等腰三角形兩底角相等的逆命題_。14一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為14，那么這個等腰三角形頂角的度數(shù)為_ _。15三角形的最小角不大于_ _度，最大角不小于_ _度。16三角形的三個內(nèi)角中至少有_ _個銳角，三個外角中最多有_ _個銳角。17在ABC中，假設(shè)C2AB，那么C_ _度。18在ABC中，A BC，那么B_ _。19如果ABC的一個外角等于150，且BC，那么A_ _。20如圖，120，225，A50，那么BDC的度數(shù)是_ _。21如圖，在ABC中，A80，ABC和ACB的外角平分線相交于點D，那么BDC_ _。22紙片ABC中，A

7、65，B75，將紙片的一角折疊，使點C落在ABC內(nèi)如圖，假設(shè)120，那么2的度數(shù)為_ _。第20題圖 第21題圖 第22題圖23紙片ABC中，A65，B75，將紙片的一角折疊，使點C落在ABC外如圖，假設(shè)220，那么1的度數(shù)為_ _。24認真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾的探究片段，完成所提出的問題。探究1：如圖1，在ABC中，O是ABC與ACB的平分線BO和CO的交點，通過分析發(fā)現(xiàn)BOC90 A，理由如下：BO和CO分別是ABC和ACB的角平分線，1ABC，2ACB12 (ABCACB)又ABCACB180A12 (180A)90ABOC1801218090A90A。探究2：如圖2中，O

8、是ABC與外角ACD的平分線BO和CO的交點，試分析BOC與A有怎樣的關(guān)系？請說明理由。探究3：如圖3中，O是外角DBC與外角ECB的平分線BO和CO的交點，那么BOC與A有怎樣的關(guān)系？只寫結(jié)論，不需證明。結(jié)論： 。 25如圖，A80，1假設(shè)點O為兩角平分線的交點，那么BOC_ _；2假設(shè)點O為兩條高的交點，BOC_ _。26. 如圖，ABC的面積等于，D為AB的中點，E是AC邊上一點，且AE2EC，O為DC與BE交點，假設(shè)DBO的面積為，CEO的面積為，那么_ _。27如圖，ABC的B的外角的平分線與C的外角的平分線交于點P，連接AP。假設(shè)BPC50，那么PAC_ _度。第25題圖 第26題

9、圖 第27題圖202728如圖，ABC的外角ACD的平分線CP與內(nèi)角ABC的平分線BP交于點P，假設(shè)BPC40，那么CAP_ _度。二、選擇題：1在以下長度的四根木棒中，能與3cm，7cm兩根木棒圍成一個三角形的 A7cm B4cm C3cm D10cm2假設(shè)ABC的三邊長分別為整數(shù)，周長為11，且有一邊為4，那么這個三角形的最大邊長為 A.7 B.6 C.5 D.43假設(shè)ABC的三邊之長都是整數(shù)，周長小于10，那么這樣的三角形共有 A6個 B7個 C8個 D9個4三角形的三邊分別為3，12a，8，那么a的取值范圍是 A.6a3 B.5a2 C.2a5 D.a5或a25. 一個三角形的周長為奇

10、數(shù)，其中兩條邊長分別為4和2021，那么滿足條件的三角形的個數(shù)是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 66四條線段的長度分別為4、6、8、10，可以組成三角形的組數(shù)為A.4 B.3 C.2 D.17等腰三角形一腰上的中線分周長為15和12兩局部，那么此三角形底邊之長為 A7 B11 C7或11 D不能確定8一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為237，這個三角形一定是 A直角三角形 B等腰三角形 C銳角三角形 D鈍角三角形9一個三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比是156，那么其最大內(nèi)角的度數(shù) A60 B75 C90 D12010如果三角形的一個內(nèi)角等于其它兩個內(nèi)角的和，這個三角形是 A.銳角三角形 B.鈍角三角形

11、 C.直角三角形 D. 斜三角形11三角形的一個外角大于相鄰的一個內(nèi)角，那么它是 A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定12在ABC中，如果AB90，那么ABC是 A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.銳角三角形 D.斜三角形13. 三角形中，最大角的取值范圍是 A. B. C. D. 14在ABC中，ABAC，D在AC上，且BDBCAD，那么A的度數(shù)為 A30 B36 C45 D7215直角三角形的兩個銳角的平分線所交成的角的度數(shù)是 A.45 B.135 C.45或135 D.以上答案都不對16如圖，ABC中，A50，點D、E分別在AB、AC上，那么12的大小為 A130

12、 B.230 C.180 D.31017如圖，A32，B45，C38那么DFE等于 A.120 B.115 C.110 D.105ADB1CE2第16題圖 第17題圖18在ABC中，B50，ABAC，那么A的取值范圍是 A0A180 B0A800C50A130 D80A13019假設(shè)、是三角形的三個內(nèi)角，而，那么、中，銳角的個數(shù)的錯誤判斷是 C A可能沒有銳角 B可能有一個銳角C可能有兩個銳角 D最多一個銳角20如果三角形的一個外角等于它相鄰內(nèi)角的2倍，且等于它不相鄰內(nèi)角的4倍，那么這個三角形一定是 A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D正三角形21在ABC中如圖1，假設(shè)P點是ABC和A

13、CB的角平分線的交點，那么P90A；如圖2，假設(shè)P點是ABC和外角ACE的角平分線的交點，那么PA；如圖3，假設(shè)P點是外角CBF和BCE的角平分線的交點，那么P90A。上述說法正確的個數(shù)是 A0個 B1個 C2個 D3個22. 如下圖，在ABC中，點D、E、F分別為邊BC、AD、CE 的中點，且，那么S陰影等于 A.2cm2 B.1cm2 C 2 D 223如圖，ABC為直角三角形，C90，假設(shè)沿圖中虛線剪去C，那么12等于 A315 B270 C180 D13524. 如圖，在ABC中，D是BC上一點，假設(shè)，那么與的關(guān)系為 A. B. C. D. 第22題圖 第23題圖 第24題圖25如圖，

14、把ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE外部A/的位置，那么A、1與2的數(shù)量關(guān)系，結(jié)論正確是A12A B1222AC212A D12A226如圖，ABC的兩個外角的平分線相交于D，假設(shè)B50，那么ADCA60 B80 C65 D4027如圖，ABC的外角平分線CP和內(nèi)角平分線BP相交于點P，假設(shè)BPC35，那么CAPA.45 B.50 C.55 D.65第25題圖 第26題圖 第27題圖三、解答以下各題： 1ABC的三邊長分別為4、9、x，求x的取值范圍；求ABC周長的取值范圍；當(dāng)x為偶數(shù)時，求x；當(dāng)ABC的周長為偶數(shù)時，求x；當(dāng)ABC周長是5的倍數(shù)時，求x；假設(shè)ABC為等腰三角形，求

15、x。2ABC的三條邊為整數(shù)，且，求的值。3對于同一平面內(nèi)的三條直線a、b、c，給出以下五個論斷：1ab；2bc；3ab；4ac；5ac。以其中兩個論斷為條件，一個論斷為結(jié)論，組成一個你認為正確的命題。4證明：兩條平行直線被第三條直線所截，一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直。5有5根木條，其長度分別為4，8，8，10，12，用其中三根可以組成幾種不同形狀的三角形？6如圖，在ABC中，A96，延長BC到D，ABC與ACD的平分線相交于，BC與CD的平分線相交于，依此類推，BC與CD的平分線相交于，那么的大小是多少？7在ABC中，A50，高BE，CF所在的直線交于點O，求BOC的度數(shù)。 81如圖a，在AB

16、C中，CB，ADBC于D，AE平分BAC，那么EAD與B，C有何數(shù)量關(guān)系？ 2如圖b，AE平分BAC，F(xiàn)為其上一點，且FDBC于D，這時EFD與B、C又有何數(shù)量關(guān)系？ 3如圖c，AE平分BAC，F(xiàn)為AE延長線上一點，F(xiàn)DBC于D，這時AFD與B、C又有何數(shù)量關(guān)系？ 9如圖，P為ABC內(nèi)任意一點，求證：BPC A；BPCABPAACP；ABACPBPC。10. 如圖中的幾個圖形是五角星和它的變形1圖1中是一個五角星，求ABCDE。 2圖1中點A向下移到BE上，五個角的和有無變化？即CADBCDE如圖2，說明你的結(jié)論的正確性。3把圖2中點C向上移動到BD上，五個角的和即CADBACEDE有無變化？

17、如圖3，說明你的結(jié)論的正確性。11如圖ABC中，B和C外角平分線相交于點P。1假設(shè)ABC30，ACB70，求BPC度數(shù)。2假設(shè)ABC，BPC，求ACB度數(shù)。12ABC是一個三角形的紙片，點D、E分別是ABC邊上的兩點。1如果紙片沿直線腳折疊，使點A正好落在線段AC上，如圖1，此時A與BDA的關(guān)系是 ；2如果紙片沿直線DE折疊，使點A落在ABC的內(nèi)部，如圖2，試猜測A和BDA、CEA的關(guān)系是 BDA+CEA=2A；3如果紙片沿直線DE折疊，使點A落在ABC的外部，如圖3，那么此時A和BDA、CEA的關(guān)系是 BDA-CEA=2A，請說明理由。13如下圖，BE、CD交于A點，C和E的平分線相交于F。

18、1試求：F與B，D有何等量關(guān)系？2當(dāng)BDF24x時，x為多少？14假設(shè)ABC的三邊之長都是整數(shù)，周長小于10，那么這樣的三角形共有幾個？15有一位同學(xué)在數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)書上看到這樣一道題：“ABC的三邊長分別是a，b，c。且a、b、c的值滿足等式|bc2a|bc520，求b的取值在什么范圍？。你能解答這道題嗎？16在 ABC中，ABC ，且A4C，求B的范圍。17在ABC中，A是最大角，C是最小角，且A2C，求C的取值范圍。?第13章 三角形中的邊角關(guān)系?練習(xí)題答案一、填空題：18，等腰。 22。 3。 4 52b2c。 6AD13cm。 78cm； 8. 9。9.16cm或7cm；2cm。 10

19、周長12。 111。 1210厘米或厘米。 13有兩個角相等的三角形是等腰三角形； 1420或120； 1560，60； 162，1； 17120； 1860； 1930或120； 2095； 2150； 22解：如圖，CEFCFECABC，CEFCFEAB8555140，又將紙片的一角折疊，使點C落在ABC內(nèi)，CEFCFCEFCFE140，CECCEC140140280，120，21802CECCE答案為：60。23解：如圖，A65，B75，C180AB180657540；又將三角形紙片的一角折疊，使點C落在ABC外，CC40，而325C180，54C440，220

20、，32044040180，3480，118080100。故答案為100。24BOCA，BOC90A； 25. 1130；2100或80； 26. 2； 27解：延長BA，做PNAD，PFBA，PMBC，設(shè)PCDx，CP平分ACD，BCPPCDx，PMPN，BP平分ABC，ABPPBC，PFPN，PFPM，APC50，BAPPACx50，ABCBCDBAC2xx50 x50100，CBF100，在RtPFB和RtPMB中，PAPA，PMPF，RtPFBRtPMB，F(xiàn)APPAC40。2850。二、選擇題：1.A 2.C 3. D 4.B 5. B 6.C 7.C 8.D 9.C 10.C 11.D

21、 12.B 13. C 14.B 15.C 16.B 17.B 18.B 19.C 20.B 21.C 22.A 23.B 24.D 25.D 26C 27C?？键c：三角形內(nèi)角和定理。分析：根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出CAPFAP，即可得出答案。解：延長BA，作PNBD，PFBA，PMAC，設(shè)PCDx，CP平分ACD，ACPPCDx，PMPN，BP平分ABC，ABPPBC，PFPN，PFPM，BPC35，ABPPBCx35，BACACDABC2xx35x3570，CAF110，在RtPFA和RtPMA中，PAPA，PMPF，RtPFAR

22、tPMA，F(xiàn)APPAC55。應(yīng)選C。三、解答以下各題：15x13；18ABC的周長26；當(dāng)x為偶數(shù)時， x6、8、10、12；當(dāng)ABC的周長為偶數(shù)時， x7、9、11；當(dāng)ABC周長是5的倍數(shù)時，x7、12；假設(shè)ABC為等腰三角形，x9。2，那么整數(shù)。3答案不惟一，如果，那么；如果，那么；如果，那么等。4要畫圖，寫、求證、證明。56種4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、1263。7BOC50或130；8解：1ADBC，ADC90， CAD90C AE平分BAC， EACBAC，BAC180B CEAC180B C90B C，EADEAC CAD90B

23、C90C (CB)。 2如圖b，過A作AGBC于G，由1知EAG(CB)。AGBC，F(xiàn)DBC，AGCFDG90，F(xiàn)DAG，EFDEAG，EFD(CB)。 3如圖c，過點A作AGBC于G，由1知EAG(CB)。AGBC，F(xiàn)DBC，AGBFDC90，F(xiàn)DAB，AFDEAG，AFD(CB)。 說明：在處理三角形中角的問題時，有時需要從整體出發(fā)進行思考，有時也可以通過適當(dāng)添加輔助線使未知問題轉(zhuǎn)化成已解決的問題，像此題這種類型的題目，既要看到圖形的變化，又要抓住變化中的內(nèi)在聯(lián)系。9延長BP交AC于D。BPCPDCA；BPCPDCACP；PDCAABP；BPCAABPACP。ABADBD。PDDCPC。ABADPDDCBDPC。ABACPBPC。