第六章超靜定

1、6-1 超靜定問(wèn)題概述超靜定問(wèn)題概述(b) 圖圖a所示靜定桿系為減小桿所示靜定桿系為減小桿1 ,2中的內(nèi)力或節(jié)點(diǎn)中的內(nèi)力或節(jié)點(diǎn)A的位移的位移( (如圖如圖b) )而增加了桿而增加了桿3。此時(shí)有三個(gè)未知內(nèi)力。此時(shí)有三個(gè)未知內(nèi)力FN1 ,FN2 ,FN3，但，但只有二個(gè)獨(dú)立的平衡方程只有二個(gè)獨(dú)立的平衡方程 一次超靜定問(wèn)題一次超靜定問(wèn)題。(b) 圖圖a所示簡(jiǎn)支梁為減小內(nèi)力和位移而如圖所示簡(jiǎn)支梁為減小內(nèi)力和位移而如圖b增加了中間增加了中間支座支座C成為連續(xù)梁。此時(shí)有四個(gè)未知成為連續(xù)梁。此時(shí)有四個(gè)未知約束力約束力FAx, , FA, , FB, , FC，但只有三個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程，但只有三個(gè)獨(dú)立的靜

2、力平衡方程 一次超靜定問(wèn)一次超靜定問(wèn)題。題。FAFBl(a)FAxABq q(b)l/2l/2CFCFAxABFBFA 解超靜定問(wèn)題的基本思路解超靜定問(wèn)題的基本思路基本靜定系基本靜定系(primary statically determinate system)解除解除“多余多余”約束約束(例如桿例如桿3與與接點(diǎn)接點(diǎn)A的連接的連接)例例1在基本靜定系上加上在基本靜定系上加上原有荷載及原有荷載及“多余多余”未知力未知力并使并使“多余多余”約束處約束處滿足滿足變形變形( (位移位移) )相容相容條件條件 關(guān)鍵步驟關(guān)鍵步驟 相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng) (equivalent system)12BCAF AFN

3、3AA FN3ADA 331N32111N3coscos2AElFAElFF 于是可求出多余未知力于是可求出多余未知力FN3 。 由位移相容條由位移相容條件件 ，利利用物理關(guān)系用物理關(guān)系( (位移或位移或變形計(jì)算公式變形計(jì)算公式) )可得可得補(bǔ)充方程：補(bǔ)充方程：AA 12BCAF AFN3AA FN3ADA 基本靜定系統(tǒng)基本靜定系統(tǒng)ABl補(bǔ)充方程為補(bǔ)充方程為048384534 EIlFEIqlC于是可求出多余未知力于是可求出多余未知力FC。FC位移相容條件位移相容條件Cq+CFc=0 相相當(dāng)系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)ABl/2ql例例2超靜定梁超靜定梁yxl/2l/2CABq 注意事項(xiàng)注意事項(xiàng) (1) 超靜定

4、次數(shù)超靜定次數(shù)=“多余多余”約束數(shù)約束數(shù)=“多余多余”未知力未知力=位移位移相容條件數(shù)相容條件數(shù)=補(bǔ)充方程數(shù)，因而任何超靜定問(wèn)題都是可以補(bǔ)充方程數(shù)，因而任何超靜定問(wèn)題都是可以求解的。求解的。 (2) 求出求出“多余多余”未知力未知力后，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移后，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移等均可利用相當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算。等均可利用相當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算。 (3) 無(wú)論怎樣選擇無(wú)論怎樣選擇“多余多余”約束，只要相當(dāng)系統(tǒng)的受力約束，只要相當(dāng)系統(tǒng)的受力情況和約束條件確實(shí)與原超靜定系統(tǒng)相同，則所得最終情況和約束條件確實(shí)與原超靜定系統(tǒng)相同，則所得最終結(jié)果是一樣的。結(jié)果是一樣的。 (4) “多余多余”約束的選擇雖然是任意

5、的，但應(yīng)以計(jì)算方便約束的選擇雖然是任意的，但應(yīng)以計(jì)算方便為原則。為原則。 如上所示連續(xù)梁若取如上所示連續(xù)梁若取B處鉸支座為處鉸支座為“多余多余”約束，則求約束，則求解比較復(fù)雜。解比較復(fù)雜。xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq6-2 拉壓超靜定問(wèn)題拉壓超靜定問(wèn)題. . 拉壓超靜定基本問(wèn)題拉壓超靜定基本問(wèn)題EAlFlN 求圖求圖a所示等直桿所示等直桿AB的約束力，并的約束力，并求求C截面的位移。桿的拉壓剛度為截面的位移。桿的拉壓剛度為EA。例題例題 6-11. 有兩個(gè)未知約束力有兩個(gè)未知約束力FA , FB（圖（圖a），但），但只有一個(gè)獨(dú)立的平衡方程只有一個(gè)獨(dú)立的平衡方程 FAFBF

6、=0故為一次靜不定問(wèn)題。故為一次靜不定問(wèn)題。例題例題 6-1 2. 取固定端取固定端B為為“多余多余”約約束，束，F(xiàn)B為多余未知力。相當(dāng)系為多余未知力。相當(dāng)系統(tǒng)如圖統(tǒng)如圖b所示，它應(yīng)滿足相容所示，它應(yīng)滿足相容條件為條件為 B0，利用疊加法得，利用疊加法得 BF+ BB=0，參見(jiàn)圖，參見(jiàn)圖c ， d 。例題例題 6-1 3. 利用胡克定律后可得補(bǔ)利用胡克定律后可得補(bǔ)充方程為充方程為 0 EAlFEAFaBlFaFB 由此求得由此求得所得所得FB為正值，表示為正值，表示FB的指向的指向與假設(shè)的指向相符，即向上。與假設(shè)的指向相符，即向上。例題例題 6-1得得 FA=F- -Fa/l=Fb/l。4.

7、由平衡方程由平衡方程 FA+FB- -F=0例題例題 6-15. 利用相當(dāng)系統(tǒng)（圖利用相當(dāng)系統(tǒng)（圖b）求得）求得 C。 lEAFabEAalFbEAaFAC1. 拉壓超靜定問(wèn)題的相當(dāng)系統(tǒng)應(yīng)滿足變形的相容條件，本拉壓超靜定問(wèn)題的相當(dāng)系統(tǒng)應(yīng)滿足變形的相容條件，本例的相容條件為例的相容條件為 lAC+ lBC0。因?yàn)樽冃魏臀灰圃跀?shù)值。因?yàn)樽冃魏臀灰圃跀?shù)值上密切相關(guān)，可用已知的位移條件上密切相關(guān)，可用已知的位移條件 B0代替相容條件。代替相容條件。2.小變形的情況下，利用疊加法求位移時(shí)，均是利用構(gòu)件小變形的情況下，利用疊加法求位移時(shí)，均是利用構(gòu)件的的原始尺寸進(jìn)行計(jì)算原始尺寸進(jìn)行計(jì)算的，所以的，所以 B

8、BFBl/EA，而不用，而不用 BBFB(l+ BF)/EA ，A為在為在F力作用下變形后橫截面的面力作用下變形后橫截面的面積。積。例題例題 6-1 求圖求圖a所示結(jié)構(gòu)中所示結(jié)構(gòu)中1, 2, 3桿的內(nèi)力桿的內(nèi)力FN1 , FN2 , FN3。AB桿為桿為剛性桿，剛性桿，1, 2 , 3桿的拉壓剛度均為桿的拉壓剛度均為EA。aaaACDB132EFF(a)a例題例題 6-21. 共有五個(gè)未知力，如圖共有五個(gè)未知力，如圖b所示，但只有三個(gè)獨(dú)立的靜力所示，但只有三個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程，故為二次靜不定問(wèn)題。平衡方程，故為二次靜不定問(wèn)題。FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例題例題

9、 6-2解：解： 2. 取取1桿和桿和2桿為桿為AB桿的多余約束，桿的多余約束，F(xiàn)N1和和FN2為多余未為多余未知力。得基本靜定系如圖知力。得基本靜定系如圖c。CF3(c)AB例題例題 6-23. 由變形圖（圖由變形圖（圖d）可得變形相容條件為）可得變形相容條件為FN2D l2F(d)FN1C l1EFCA l1 l3 l2FBFN2DFN13CD45oC1123122llll (2)(1)例題例題 6-24. 利用胡克定律，由利用胡克定律，由(1)(2)式可得式可得補(bǔ)充方程：補(bǔ)充方程： EAaFEAaFEAaFEAaFN12NN31N2 22 ，解得解得 FN1=2FN3, (3) FN2=

10、2FN1=4FN3 (4)例題例題 6-2FN2D l2F(d)FN1C l1EFCA l1 l3 l2FBFN2DFN13CD45oC1 5. AB桿受力如圖桿受力如圖b所示，所示，MA=0得得)5(0)3()2(212N3N1N aFaFaFaF聯(lián)立求解得聯(lián)立求解得)(12. 121012124)(56. 02101262)(28. 02101233N2N3N1NN3拉拉拉拉拉拉FFFFFFFFFFF FN245oFFAyFAxFN1FN3(b)aaaACBD例題例題 6-2II. 裝配應(yīng)力和溫度應(yīng)力裝配應(yīng)力和溫度應(yīng)力(1) 裝配應(yīng)力裝配應(yīng)力 超靜定桿系超靜定桿系(結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu))由于存由于存在

11、在“多余多余”約束，因此如果約束，因此如果各桿件在制造時(shí)長(zhǎng)度不相匹各桿件在制造時(shí)長(zhǎng)度不相匹配，則組裝后各桿中將產(chǎn)生配，則組裝后各桿中將產(chǎn)生附加內(nèi)力附加內(nèi)力裝配內(nèi)力裝配內(nèi)力，以，以及相應(yīng)的及相應(yīng)的裝配應(yīng)力裝配應(yīng)力。 圖圖a中所示桿系中所示桿系( (E1A1=E2A2) )中桿中桿3的長(zhǎng)度較應(yīng)有長(zhǎng)度的長(zhǎng)度較應(yīng)有長(zhǎng)度短了短了 e，裝配后各桿的位置將如圖中虛線所示。此時(shí)，裝配后各桿的位置將如圖中虛線所示。此時(shí)，桿桿3在結(jié)點(diǎn)在結(jié)點(diǎn) A 處受到裝配力處受到裝配力FN3作用作用( (圖圖b) )，而桿，而桿1, ,2在在匯交點(diǎn)匯交點(diǎn)A 處共同承受與桿處共同承受與桿3相同的裝配力相同的裝配力FN3作用作用(

12、(圖圖b) )。(a)求算求算FN3需利用位移需利用位移( (變形變形) )相容條件相容條件( (圖圖a) )列出補(bǔ)充方程列出補(bǔ)充方程由此可得裝配力由此可得裝配力FN3，亦即桿，亦即桿3中的裝配內(nèi)力為中的裝配內(nèi)力為eAAAA eAElFAElF 21113N333N3cos2 21113333Ncos2AElAEleF ( (拉力）拉力）(a) 至于各桿橫截面上的裝配應(yīng)力只需將裝配內(nèi)力至于各桿橫截面上的裝配應(yīng)力只需將裝配內(nèi)力( (軸力軸力) )除以桿的橫截面面積即得。除以桿的橫截面面積即得。 由此可見(jiàn)，計(jì)算超靜定桿系由此可見(jiàn)，計(jì)算超靜定桿系( (結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)) )中的裝配力和裝配中的裝配力和裝配應(yīng)

13、力的關(guān)鍵應(yīng)力的關(guān)鍵, ,仍在于根據(jù)位移仍在于根據(jù)位移( (變形變形) )相容條件并利用物理相容條件并利用物理關(guān)系列出補(bǔ)充方程。關(guān)系列出補(bǔ)充方程。而桿而桿1和桿和桿2中的裝配內(nèi)力利用圖中的裝配內(nèi)力利用圖b中右側(cè)的圖可知為中右側(cè)的圖可知為 壓力壓力 21113333N2N1Ncos2cos2cos2AElAEleFFF 兩根相同的鋼桿兩根相同的鋼桿1、 2，其長(zhǎng)度其長(zhǎng)度l =200 mm，直徑，直徑d =10 mm。兩端用。兩端用剛性塊連接在一起如圖剛性塊連接在一起如圖a所示。將長(zhǎng)所示。將長(zhǎng)度為度為200.11 mm，亦即，亦即 e=0.11 mm的銅桿的銅桿3（圖圖b）裝配在與桿裝配在與桿1和桿

14、和桿2對(duì)稱的位置對(duì)稱的位置( (圖圖c) )，求各桿橫截面上，求各桿橫截面上的應(yīng)力。已知：銅桿的應(yīng)力。已知：銅桿3的橫截面為的橫截面為20 mm30 mm的矩形，鋼的彈性模量的矩形，鋼的彈性模量E=210 GPa，銅的彈性模量，銅的彈性模量E3=100 GPa。例題例題 6-31. 裝配后有三個(gè)未知的裝配內(nèi)力裝配后有三個(gè)未知的裝配內(nèi)力FN1, FN2 , FN3，如圖，如圖d所示。所示。但平行力系只有二個(gè)獨(dú)立的平衡方程，故為一次靜不定問(wèn)題。但平行力系只有二個(gè)獨(dú)立的平衡方程，故為一次靜不定問(wèn)題。也許有人認(rèn)為，根據(jù)對(duì)稱關(guān)系可判明也許有人認(rèn)為，根據(jù)對(duì)稱關(guān)系可判明FN1=FN2，故未知內(nèi)力，故未知內(nèi)力

15、只有二個(gè)，但要注意此時(shí)就只能利用一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方只有二個(gè)，但要注意此時(shí)就只能利用一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程：程：)1(0201NN3 FFFx(d)所以這仍然是一次靜不定問(wèn)題。所以這仍然是一次靜不定問(wèn)題。例題例題 6-3解：解：2. 變形相容條件變形相容條件( (圖圖c) )為為這里的這里的 l3是指桿是指桿3在裝配后的縮短值，不帶負(fù)號(hào)。在裝配后的縮短值，不帶負(fù)號(hào)。)2(31ell 例題例題 6-33. 利用胡克定律由利用胡克定律由(2)式得補(bǔ)充方程式得補(bǔ)充方程)3(33N3N1eAElFEAlF 例題例題 6-34. 聯(lián)立求解聯(lián)立求解(1)和和(3)式得式得 所得結(jié)果為正，說(shuō)所得結(jié)果為正，說(shuō)

16、明原先假定桿明原先假定桿1、2的裝的裝配內(nèi)力為拉力和桿配內(nèi)力為拉力和桿3的裝的裝配內(nèi)力為壓力是正確的。配內(nèi)力為壓力是正確的。 EAAElAeEFAEEAleEAFF21121133333N332NN1例題例題 6-35. 各桿橫截面上的裝配應(yīng)力如下：各桿橫截面上的裝配應(yīng)力如下：MPa51.19MPa53.743N331N21 AFAF （拉應(yīng)力）（拉應(yīng)力）（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）例題例題 6-31. 求裝配內(nèi)力也是求解靜不定問(wèn)題，其關(guān)鍵仍是根據(jù)相求裝配內(nèi)力也是求解靜不定問(wèn)題，其關(guān)鍵仍是根據(jù)相容條件建立變形幾何方程。容條件建立變形幾何方程。2. 以上計(jì)算結(jié)果表明，很小的制造誤差，卻產(chǎn)生較大的以上計(jì)算

17、結(jié)果表明，很小的制造誤差，卻產(chǎn)生較大的裝配應(yīng)力，從而使構(gòu)件的承載能力降低。因此，要盡裝配應(yīng)力，從而使構(gòu)件的承載能力降低。因此，要盡量提高加工精度，減小裝配應(yīng)力的不利影響。量提高加工精度，減小裝配應(yīng)力的不利影響。例題例題 6-3(2) 溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力 也是由于超靜定桿系存在也是由于超靜定桿系存在“多余多余”約束，桿件會(huì)因溫約束，桿件會(huì)因溫度變化產(chǎn)生的變形受到限制而產(chǎn)生溫度內(nèi)力及溫度應(yīng)力。度變化產(chǎn)生的變形受到限制而產(chǎn)生溫度內(nèi)力及溫度應(yīng)力。鐵路上無(wú)縫線路的長(zhǎng)鋼軌在溫度變化時(shí)由于不能自由伸縮，鐵路上無(wú)縫線路的長(zhǎng)鋼軌在溫度變化時(shí)由于不能自由伸縮，其橫截面上會(huì)產(chǎn)生相當(dāng)可觀的溫度應(yīng)力。其橫截面上會(huì)產(chǎn)生相當(dāng)

18、可觀的溫度應(yīng)力。 兩端與剛性支承連接的等截面桿如圖兩端與剛性支承連接的等截面桿如圖a所示。試求當(dāng)溫所示。試求當(dāng)溫度升高度升高 t 時(shí)橫截面上的溫度應(yīng)力。桿的橫截面面積為時(shí)橫截面上的溫度應(yīng)力。桿的橫截面面積為A，材料的彈性模量為材料的彈性模量為E，線膨脹系數(shù)為，線膨脹系數(shù)為 l。例題例題 6-41. 若若AB桿僅桿僅A端固定，端固定，B端無(wú)約束，當(dāng)溫度升高時(shí)，只會(huì)端無(wú)約束，當(dāng)溫度升高時(shí)，只會(huì)產(chǎn)生縱向伸長(zhǎng)產(chǎn)生縱向伸長(zhǎng) lt，而不會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力。當(dāng)，而不會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力。當(dāng)A、B均為固定端均為固定端時(shí)，時(shí)， lt受到約束不能自由伸長(zhǎng)，桿端產(chǎn)生約束力受到約束不能自由伸長(zhǎng)，桿端產(chǎn)生約束力FA和和FB。兩個(gè)未知力，

19、一個(gè)平衡方程，為一次靜不定問(wèn)題。兩個(gè)未知力，一個(gè)平衡方程，為一次靜不定問(wèn)題。(b)例題例題 6-4解：解： 2. 以剛性支撐以剛性支撐B為為“多余多余”約束，約束，F(xiàn)B為多余約束未知為多余約束未知力，設(shè)基本靜定系由于溫度升高產(chǎn)生的伸長(zhǎng)變形力，設(shè)基本靜定系由于溫度升高產(chǎn)生的伸長(zhǎng)變形 lt，由，由“多余多余”未知力未知力FB產(chǎn)生的縮短變形產(chǎn)生的縮短變形 lF分別如圖分別如圖c、d所示。所示。(c)(d)例題例題 6-43. 變形相容條件是桿的總長(zhǎng)度保持不變，即變形相容條件是桿的總長(zhǎng)度保持不變，即(1)0 Ftll(c)(d)例題例題 6-44. 將將(2)式代入式代入(1)，得，得EAlFEAlFltllBFltN, (2)0N EAlFltl 補(bǔ)充方程為補(bǔ)充方程為(3)(c)(d)例題例題 6-45. 由由(3)