斷裂力學講義(第二章)

1、1第二章第二章 應力強度因子的計算應力強度因子的計算 2計算 值的幾種方法 K1.數學分析法:復變函數法、積分變換；2.近似計算法：邊界配置法、有限元法；3.實驗標定法：柔度標定法；4.實驗應力分析法：光彈性法.32-1 2-1 三種基本裂紋應力強度因子的計算三種基本裂紋應力強度因子的計算一一. .無限大板無限大板型裂紋應力強度因子的計算型裂紋應力強度因子的計算 0lim2KZ計算 的基本公式 K1.在“無限大”平板中具有長度為 的穿透板厚的裂紋表面上,距離 處各作用一對集中力P P 2axb ReImxZyZReImyZyZRexyyZ 選取復變解析函數： 22222()pz abZzb4邊

2、界條件：邊界條件：,0 xyxyz,za 除去 處裂紋為自由 表面上 zb 0,0yxy如切出 坐標系內的第一象限的薄平板，在 軸所在截面上內力總和為P P xyx以新坐標表示 22222 ()()(2 )paabZaba 2202lim2( )()p aKZab52.在無限大平板中,具有長度為 的穿透板厚的裂紋表面上,在距離 的范圍內受均布載荷q作用 2a1xa 利用疊加原理 集中力 qdx222()q adKdxax2202()aq aKdxax令 22coscosxaaxacosdxad 6111sin()10cos22sin ()cosaaaaaaaKqdqa當整個表面受均布載荷時 1

3、2sin ( )aaaKqqa3.受二向均布拉力作用的無限大平板,在 軸上有一系列長度為 ,間距為 的裂紋 x2a2b單個裂紋時 22zZza7邊界條件邊界條件是周期的:,yxz0,22yaxaabxab 0,0yxy22sin2(sin)(sin)22zbZzabb8采用新坐標: za22sin()2()(sin)(sin)22abZaabb 當 時，0sin,cos1222bbbsin()sincoscossin22222aaabbbbbcossin222aabbb 2222sin()() cos2cossin(sin)2222222aaaaabbbbbbb22sin()(sin)2cos

4、sin22222aaaabbbbb90sin22cossin222abZaabbb0sin2lim22 tan21cossin222aabKZbbaabbb2tan2baaab 2tan2wbaMab取 -修正系數修正系數,大于1,表示其他裂紋存在對 的影響 K 若裂紋間距離比裂紋本身尺寸大很多（ ）可不考慮相互作用,按單個裂紋計算. 2125ab10二二. .無限大平板無限大平板、型裂紋問題應力強度因子的計算型裂紋問題應力強度因子的計算1.型裂紋應力強度因子的普遍表達形式(無限大板): 0lim( ) 2KZ2.無限大平板中的周期性的裂紋,且在無限遠的邊界上處于平板面內的純剪切力作用. 22

5、sin2( )(sin)(sin)22zbZ zzabb22sin()2( )sin()(sin)22abZaabb1102lim2( )tan2baKZaab 3.型裂紋應力強度因子的普遍表達形式(無限大板):0lim2( )KZ4.型周期性裂紋: 2tan2baKaab 123-2 3-2 深埋裂紋的應力強度因子的計算深埋裂紋的應力強度因子的計算 1950年,格林和斯內登分析了彈性物體的深埋的橢圓形裂紋鄰域內的應力和應變得到橢圓表面上任意點,沿 方向的張開位移為 y1222022(1)xzyyac其中: 202(1) ayE 第二類橢圓積分 131222220sin( ) cosadc 1

6、962年,Irwin利用上述結果計算在這種情況下的應力強度因子 原裂紋面 11cos,sinzx222222221111221xzc xa za cac2222sincosacca14假設:橢圓形裂紋擴展時rf1f2222sincosrrfcaac邊緣上任一點 有 ( ,)p x z1()sin(1) sin(1)xrff x 1()cos(1)zrf z 11( ,), ( ,)p x zp x z均在 的平面內 0y 222242222(1)c xa zfa ca c 15新的裂紋面仍為橢圓 長軸 (1)cf c 短軸 (1)af a 22002(1)2(1) (1)(1)af ayf y

7、EE 原有裂紋面: 222220()1xzyacy擴展后裂紋面: 222220()1xzyacy以 ， 代入 1xx 1zz 原有裂紋面的邊緣 向位移 yy162222211112222222011(1)(1)xzxzyyacfafc 2222221111112222221 (1 2 )(1 2 )12 ()xzxzxzfffacacac 2 f2222200022 (1)2yfyffyfy2222sincosrfcaac22222202sincosryycaac 17設各邊緣的法向平面為平面應變,有:3(21)sinsin4222KrvkG34k當 時， 24(1)2rvKE22222222

8、02216(1)sincos2IryrcaKacE2222222021E()sincos4 1IKycaac18202(1) ayE 14122222( ) (sincos)IaKcac 在橢圓的短軸方向上，即 ，有 2IImaxKK -橢圓片狀深埋裂紋的應力強度因子橢圓片狀深埋裂紋的應力強度因子 當 時， 2ac2IKa-圓片狀深埋裂紋應力強度因子圓片狀深埋裂紋應力強度因子 193-3 3-3 半橢圓表面裂紋的應力強度因子計算半橢圓表面裂紋的應力強度因子計算一、表面線裂紋的應力強度因子一、表面線裂紋的應力強度因子 歐文假設： 半橢圓片狀表面線裂紋 與深埋橢圓裂紋的 之比等于邊裂紋平板 與中心

9、裂紋平板的 值之比 IKIKIKIKIIIIKKKK表邊埋中1220.1sin(1)tanIIAKWAKW邊中又有 裂紋長度 板寬度 20當 時， 1AW22sinAAWWtanAAWW 1.21.1IIKK邊中1.1IIKK表埋1.161.1IIaKK埋表-橢圓片狀表面裂紋橢圓片狀表面裂紋A A處的處的 值值 IK21二、表面深裂紋的應力強度因子二、表面深裂紋的應力強度因子深裂紋：引入前后二個自由表面 使裂紋尖端的彈性約束減少 裂紋容易擴展 增大 IK()IIKMe K表面（埋藏）彈性修正系數，由實驗確定 一般情況下 12MeMM前自由表面的修正系數 后自由表面的修正系數 221.巴里斯和薛

10、0ac時， 接近于單邊切口試樣 11.12M 1ac時， 接近于半圓形的表面裂紋 11M 利用線性內插法 110.12(1)aMc 利用中心穿透裂紋彈性體的厚度校正系數1222(tan)2BaMaB板厚 裂紋深度 淺裂紋不考后自由表面的影響 232.柯巴亞希.沙.莫斯2110.12(1)2aMc 1222(tan)2BaMaB表面深裂紋的應力強度因子（應為最深點處） IaKMe 242-4 2-4 其他問題應力強度因子的計算其他問題應力強度因子的計算一、一、.型復合問題應力強度因子的計算型復合問題應力強度因子的計算 復變數： iyxziyxz取復變解析函數： ( )x zpiq11( ) zp

11、iq取應力函數 2( )( )( )( )zzzx zzx zRe ( )( )zzx z或 滿足雙調和方程 25分析第一應力不變量 22224Re ( )xyx zxy對于.型復合裂紋型： ReImxIIZyZReImyIIZyZ| |0| |0| |0()2Re2Re2IxyIIKZ 型： 2ImRexIIIIZyZReyIIyZ 000() |2Im|2Im|2xyKZ26、型復合裂紋在裂紋前端處的不變量 000()|2Re|2Im|22xyKK012Re()|2KiK取復數形式的應力強度因子 KKiK00()|2Re()|2xyK()4Re ( )xyx Z又 0lim2 2( )Kx

12、 Z27若采用 2 2lim( )zaZaKZax Z選擇 滿足具體問題的應力邊界條件 ( )x z1144( )( )( )( )fF ZF ZZF ZZF Z-復變解析函數表達的雙調和函數的普遍形式復變解析函數表達的雙調和函數的普遍形式 或復變應力函數為普遍形式或復變應力函數為普遍形式 利用這個方法可以求解很多”無限大”平板中的穿透裂紋問題.28二、無限寬板穿透裂紋應力強度因子的計算二、無限寬板穿透裂紋應力強度因子的計算 實際情況應看成有限寬計算.必須考慮的自由邊界對裂紋尖端應力場和位移場的影響.在理論上得不到完全解. 通過近似的簡化或數值計算方法. 方法:邊界配置法,有限單元法等. 邊界

13、配置法邊界配置法:將應力函數用無窮級數表達,使其滿足雙調和方程和邊界條件,擔不是滿足所有的邊界條件,而是在有限寬板的邊界上,選足夠多的點,用以確定應力函數,然后再由這樣符合邊界條件的應力函數確定 值. K邊界配置法:只限于討論直邊界問題.291.威廉氏(Williams)應力函數和應力公式 Williams應力函數 121( 1)2( , ) cos(1)cos(1) 2212jjjjjjjrCrj 滿足雙調和方程 邊界條件邊界條件:裂紋上、下表面 2 yxy , 均為零 在邊界上的邊界條件的滿足如下確定:在有限寬板的邊界上選取足夠的點,使這一點的邊界條件滿足. 30為了計算方便引入無量綱量

14、2jjjDC BWp試件厚度 試件寬度 121( 1)2( , ) cos(1)cos(1) 2212jjjjjpWrjjrDjBW 221( , )yjjjpD A rxBW122( 1) )cos(1)(1)cos(3) 22222jjjrjjjjjAW 221( , )xjjjpD B ryBW21( , )xyjjjpD E rx yBW 312. 的計算 K針對型裂紋 3cos(1 sinsin)2222xKr3cos(1 sinsin)2222yKr當 時, 02yxKr0r 00lim2|yrKr 當 時, ,當 =1時,在乘 后與 無關.而當 =2,3時,在乘 之后與 有關,當

15、 都為零 0j2 rcos1j2 rrr0r 321210111lim()(2 1) 1 (1) 1222rprKDBWW 12pDB W 3.借用無裂紋體內的邊界條件求系數 jD 取含裂紋三點彎曲試樣的左半段的受力狀態(tài)和不含裂紋的懸臂梁受力是一樣的. 取 個點分析,以 有限級數代替無限級數精度足夠. m2m33對于不同的點有 2111myjjyjpD ABW12111mxyjjxyjpD EBW()paKFBWW1357922222()11.6()18.4()87.2()150.4()154.8()aaaaaaFWWWWWW其中 標準試件 4sW343-5 3-5 確定應力強度因子的有限元法

16、確定應力強度因子的有限元法 不同裂紋體在不同的開裂方式下的應力強度因子是不同的.一些實驗方法解析方法都有各自的局限性,而有限元等數值解法十分有效地求解彈塑性體的應力和位移場,而應力和位移場與 密切相關,所以,可以通過有限元方法進行應力強度因子的計算.K一一. .位移法求應力強度因子位移法求應力強度因子型: 3( , )(21)coscos4222Kru rkG3( , )(21)sinsin4222Krv rkG35有限元法 裂紋尖端位移 22( , )1GKv rkr外推法 二二. .應力法求應力強度因子應力法求應力強度因子型: ( , )( )2iyiyKrfr有限元法 ( ,0)2yyr

17、Kr 利用剛度法求應力時,應力場比位移場的精度低(因應力是位移對坐標的偏導數).36三三. .間接法求應力強度因子間接法求應力強度因子( (應變能釋放率法應變能釋放率法) )KGE四四. . 積分法積分法 J:圍繞裂紋尖端的閉合曲線 T:積分邊界上的力 u:邊界上的位移 uJWdyTdsx12iyiyW 應變能密度 線彈性問題: KJGE372-6 2-6 疊加原理及其應用疊加原理及其應用一一. . 的疊加原理及其應用的疊加原理及其應用 K 線彈性疊加原理線彈性疊加原理:當n個載荷同時作用于某一彈性體上時，載荷組在某一點上引起的應力和位移等于單個載荷在該點引起的應力和位移分量之總和. 疊加原理

18、適用于 K證明證明: : 00lim2|yrKr 1T(1)(1)(1)000,|lim2|yyrKr 2T(2)(2)(2)000,|lim2|yyrKr 由疊加原理有 (1)(2)000|yyy(1)(2)KKK38實例實例:鉚釘孔邊雙耳裂紋 疊加原理: ( )( )( )( )( )( )( )1()2abcdabcKKKKKKK其中: ( )()2baKaD 圓孔直徑 板有寬度: ()secaaFWW- 板寬的修正 392fDaa有效裂紋長度 ( )()2()sec2bDaaKaDW 確定 :無限板寬中心貫穿裂紋受集中力 作用 ( )cKppKa1(2 )2pKDa有限板寬: (2 )

19、()sec2aDaFWW( )(2)(2 )secsec22()()22cpaDWDaKWWDDaa( )(2 )sec()22()22aDaaWKaDWDa40二二. .應力場疊加原理及其應用應力場疊加原理及其應用0T:無裂紋時外邊界約束在裂紋所處位置產生的內應力場 應力場疊加原理:在復雜的外界約束作用下,裂紋前端的應力強度因子等于沒有外界約束,但在裂紋表面上反向作用著無裂紋時外界約束在裂紋出產生的內應力 所致的應力強度因子. 0T41實例實例:旋轉葉輪(或軸)內孔端裂紋 421.求解無裂紋時,旋轉體在無裂紋部位的內應力 由彈性力學有 22222112222223(1)8rRRrfRRrR2

20、22221122222231 3(1)83RRrfRRrRf為葉輪密度 為角速度 1R為葉輪內徑 2R為葉輪外徑 r為計算點的位置 平面應力 1 平面應變 一般情況下: 12111050RR212()1RR 22210223(1)8RTfRr432.根據類比原則 比較兩種情況:內孔半徑一致,裂紋大小及組態(tài)一樣,裂紋面上下受力一致,外邊界無約束,唯一不同的是一個是有限體,一個是無限體,由于邊界是自由的 ( )dKK(b)44 帶中心孔的無限大板,受雙向拉應力 時,孔邊附近的應力(注意無裂紋時),由彈性力學知 220238fR21002(1)RTr( )dKK(c)( )01()caKKa fR(

21、a)3.根據疊加原理452.7 2.7 實際裂紋的近似處理實際裂紋的近似處理 利用斷裂力學進行安全評價時,首先確定缺陷的大小,部位和形狀,偏于安全考慮:夾雜、空洞、氣孔、夾雜性裂紋 裂紋應針對實際問題進行分析 一一. .缺陷群的相互作用缺陷群的相互作用 1.垂直外應力的并列裂紋 并列裂紋的作用使下降 ,工程上偏安全考慮 K 并列裂紋作為單個裂紋考慮; 對于密集的缺陷群,假定它們在空間規(guī)則排列,并可把 空間裂紋簡化成平面裂紋.462.與外應力垂直的面內共線裂紋 如裂紋中心間距大于缺陷尺寸五倍以上,可做為單個裂紋處理,否則必須考慮修正. 二二. .裂紋形狀的影響裂紋形狀的影響 通過探傷手段 裂紋形

22、狀的影響 1.探傷結果是面積當缺陷的面積相同時, 的橢圓裂紋 最大 12acK以 的橢圓裂紋分析是偏于安全的 12ac472.探傷的結果是最大線尺寸 當最大直徑相同時,圓裂紋的 比橢圓裂紋大 K以圓裂紋估算偏于安全 當缺陷長度一樣時,貫穿裂紋 比其它裂紋的大 K以貫穿裂紋估算偏于安全 48 2.8 2.8 塑性區(qū)及其修正塑性區(qū)及其修正小范圍屈服:屈服區(qū)較小時(遠遠小于裂紋尺寸) 線彈性斷裂力學仍可用 一一. .塑性區(qū)的形狀和大小塑性區(qū)的形狀和大小 1.屈服條件的一般形式 屈服條件屈服條件:材料超過彈性階段而進入塑性階段的條件. 單向拉壓: 12薄壁圓筒扭轉: s復雜情況: (,)xyzxyxz

23、yzfc 123(,)fc 492.根據屈服條件確定塑性區(qū)形狀大小 a.利用米塞斯(von.mises)屈服條件 當復雜應力狀態(tài)下的形狀改變能密度等于單向拉伸屈服時的形狀改變能密度,材料屈服,即 2222122331()()()2s對于型裂紋的應力公式 122()22xyxyxy12cos1 sin222Kr30平面應力 502222cos1 3sin222sKr-平面應力下,型裂紋前端屈服區(qū)域的邊界方程 當 時, 0201()2sKr 312()z 平面應變 22222cos(1 2 )3sin222sKr-平面應變下, 型裂紋前端屈服區(qū)的邊界方程 當 時, 0210.16()(0.3)2s

24、Kr 221(12 )()2sK 51b.利用Tresca(屈雷斯加)屈服條件 在復雜受力下,當最大切應力等于材料彈性拉伸時的屈服切應力,材料即屈服. 比較發(fā)現:平面應變塑性區(qū)尺寸小,平面應變處于三向拉伸狀態(tài)不易屈服.平面應變的有效屈服應力 比 高 yss塑性區(qū)中的最大應力 1ys平面應變 13yss32 2ys平面應力 1yss523.應力松弛的影響由于塑性變形引起應力松弛 應力松弛 依據:單位厚含裂紋平板,在外力作用下發(fā)生局部屈服后,其凈截面的內力應當與外界平衡. 塑性區(qū)尺寸增大0|2yKr(圖中虛線所示) 此曲線下的面積為1( )yFx dx=外力 53應力松弛后: 2yFdx=外力 屈服區(qū)內的最大應力稱為有效屈服應力 2 2()()syss平面應變平面應力21()2ysysKr ( )yyx dxdx又BD與CE下的面積應相等 00( )2ysysrr