數(shù)學(xué)建模習(xí)題答案

1、數(shù)學(xué)建模部分課后習(xí)題解答中國(guó)地質(zhì)大學(xué) 能源學(xué)院 華文靜1.在穩(wěn)定的椅子問(wèn)題中，如設(shè)椅子的四腳連線呈長(zhǎng)方形，結(jié)論如何？解：模型假設(shè)（1） 椅子四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面接觸處視為一點(diǎn)，四腳的連線呈長(zhǎng)方形（2） 地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷（沒(méi)有像臺(tái)階那樣的情況），即從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，地面是連續(xù)曲面。這個(gè)假設(shè)相當(dāng)于給出了椅子能放穩(wěn)的必要條件（3） 椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地。為了保證這一點(diǎn)，要求對(duì)于椅腳的間距和椅腿的長(zhǎng)度而言，地面是相對(duì)平坦的。因?yàn)樵诘孛嫔弦文_間距和椅腿長(zhǎng)度的尺寸大小相當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)，如果出現(xiàn)深溝或凸峰（即使是連續(xù)變化的），此時(shí)三只腳是無(wú)法同時(shí)著地的。模型建立在上

2、述假設(shè)下，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于選擇合適的變量，把椅子四只腳同時(shí)著地表示出來(lái)。首先，引入合適的變量來(lái)表示椅子位置的挪動(dòng)。生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，要把椅子通過(guò)挪動(dòng)放穩(wěn)，通常有拖動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)椅子兩種辦法，也就是數(shù)學(xué)上所說(shuō)的平移與旋轉(zhuǎn)變換。然而，平移椅子后問(wèn)題的條件沒(méi)有發(fā)生本質(zhì)變化，所以用平移的辦法是不能解決問(wèn)題的。于是可嘗試將椅子就地旋轉(zhuǎn)，并試圖在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中找到一種椅子能放穩(wěn)的情形。注意到椅腳連線呈長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形是中心對(duì)稱圖形，繞它的對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180度后，椅子仍在原地。把長(zhǎng)方形繞它的對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)，這可以表示椅子位置的改變。于是，旋轉(zhuǎn)角度這一變量就表示了椅子的位置。為此，在平面上建立直角坐標(biāo)系來(lái)解決問(wèn)題。設(shè)椅腳

3、連線為長(zhǎng)方形ABCD,以對(duì)角線AC所在的直線為x軸，對(duì)稱中心O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系。椅子繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度后，長(zhǎng)方形ABCD轉(zhuǎn)至A1B1C1D1的位置，這樣就可以用旋轉(zhuǎn)角表示出椅子繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后的位置。其次，把椅腳是否著地用數(shù)學(xué)形式表示出來(lái)。當(dāng)椅腳與地面的豎直距離為零時(shí)，椅腳就著地了，而當(dāng)這個(gè)距離大于零時(shí)，椅腳不著地。由于椅子在不同的位置是的函數(shù)，因此，椅腳與地面的豎直距離也是的函數(shù)。由于椅子有四只腳，因而椅腳與地面的豎直距離有四個(gè)，它們都是的函數(shù)，而由假設(shè)（3）可知，椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地，即這四個(gè)函數(shù)對(duì)于任意的，其函數(shù)值至少有三個(gè)同時(shí)為0。因此，只需引入兩個(gè)距離函數(shù)

4、即可。考慮到長(zhǎng)方形ABCD是對(duì)稱中心圖形，繞其對(duì)稱中心O沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180度后，長(zhǎng)方形位置不變，但A,C和B,D對(duì)換了。因此，記A，B兩腳與地面豎直距離之和為，C,D兩腳之和為，其中，使得成立。模型求解如果，那么結(jié)論成立。如果不同時(shí)為零，不妨設(shè)這時(shí)，將長(zhǎng)方形ABCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度后，點(diǎn)A,B分別于與C，D互換，但長(zhǎng)方形ABCD在地面上所處的位置不變，由此可知，f（）g（0），g（）f（0）.而由f（0）0，g（0）0，得g（）0，f（）0。令h（）f()g（），由f()和g()的連續(xù)性知h()也是連續(xù)函數(shù)。 又，根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理，必存在使得；又因?yàn)椤Ｓ谑?，椅子的四只腳同時(shí)著地，放

5、穩(wěn)了。模型討論用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，引入合適的函數(shù)是關(guān)鍵本模型的巧妙之處就在于用變量表示椅子的位置，用的兩個(gè)函數(shù)表示椅子四只腳與地面的豎直距離運(yùn)用這個(gè)模型，不但可以確信椅子能在不平的地面上放穩(wěn)，而且可以指導(dǎo)我們?nèi)绾瓮ㄟ^(guò)旋轉(zhuǎn)將地面上放不穩(wěn)的椅子放穩(wěn)2. 人、狗、雞、米均要過(guò)河，船需要人劃，另外至多還能載一物，而當(dāng)人不在時(shí)，狗要吃雞，雞要吃米。問(wèn)人、狗、雞、米怎樣過(guò)河？模型假設(shè)人帶著貓、雞、米過(guò)河，從左岸到右岸，船除了需要人劃之外，只能載貓、雞、米三者之一，人不在場(chǎng)時(shí)貓要吃雞，雞要吃米。試設(shè)計(jì)一個(gè)安全過(guò)河方案，使渡河次數(shù)盡量地少。符號(hào)說(shuō)明：代表人的狀態(tài)，人在該左岸或船上取值為1，否則為0;：代表

6、貓的狀態(tài)，貓?jiān)谠撟蟀痘虼先≈禐?，否則為0；：代表雞的狀態(tài)，雞在該左岸或船上取值為1，否則為0；：代表米的狀態(tài)，米在該左岸或船上取值為1，否則為0:；:狀態(tài)向量，代表時(shí)刻K左岸的狀態(tài)；:決策向量，代表時(shí)刻K船上的狀態(tài)；模型建立限制條件：初始狀態(tài)：模型求解根據(jù)乘法原理，四維向量共有種情況根據(jù)限制條件可以排除三種情況，其余13種情況可以歸入兩個(gè)集合進(jìn)行分配，易知可行決策集僅有五個(gè)元素,狀態(tài)集有8個(gè)元素，將其進(jìn)行分配，共有兩種運(yùn)送方案：方案一：人先帶雞過(guò)河，然和人再回左岸，把米帶過(guò)右岸，人再把雞運(yùn)回左岸，人再把貓帶過(guò)右岸，最后人回來(lái)把雞帶去右岸（狀態(tài)見(jiàn)表1）；方案二：人先帶雞過(guò)河，然后人再回左岸，

7、把貓帶過(guò)右岸，人再把雞運(yùn)回左岸，人再把米帶過(guò)右岸，最后人回來(lái)把雞帶去右岸(狀態(tài)見(jiàn)表2)；目標(biāo)：確定有效狀態(tài)集合，使得在有限步內(nèi)左岸狀態(tài)由表一：時(shí)刻左岸狀態(tài)船上K=0K=1K=2K=3K=4K=5K=6K=7(1，1，1，1)(0，1，1，1）（1，1，0，1）（0，1，0，0）（1，1，1，0）（0，0，1，0）（1，0，1，0）（0，0，0，0）(0，0，0，0)(1，0，1，0)(1，0，0，0)(1，0，0，1)(1，0，1，0)(1，1，0，0)(1，0，0，0)(1，0，1，0)表二：時(shí)刻左岸狀態(tài)船上K=0K=1K=2K=3K=4K=5K=6K=7(1，1，1，1)(0，1，0，1)

8、(1，1，0，1)(0，0，0，1)(1，0，1，1)(0，0，1，0)(1，0，1，0)(0，0，0，0)(0，0，0，0)(1，0，1，0)(1，0，0，0)(1，1，0，0)(1，0，1，0)(1，0，0，1)(1，0，0，0)(1，0，1，0)3. 學(xué)校共1000名學(xué)生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。學(xué)生們要組織一個(gè)10人的委員會(huì)，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)：（1）按比例分配取整數(shù)的名額后,剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者.（2）2.1節(jié)中的Q值方法.（3）dHondt方法： 將各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)相除，其商數(shù)如下表：1 2 3 4 5 ABC235

9、 117.5 78.3 58.75 333 166.5 111 83.25 432 216 144 108 86.4 將所得商數(shù)從大到小取前10個(gè)(10為席位數(shù)),在數(shù)字下標(biāo)以橫線，表中A，B，C行有橫線的數(shù)分別為2，3，5，這就是3個(gè)宿舍分配席位.你能解釋這種方法的道理嗎。如果委員會(huì)從10人增至15人，用以上3種方法再分配名額.將3種方法兩次分配的結(jié)果列表比較.（4）你能提出其他的方法嗎.用你的方法分配上面的名額.解：先考慮N=10的分配方案，方法一（按比例分配）分配結(jié)果為：方法二（Q值方法）9個(gè)席位的分配結(jié)果（可用按比例分配）為：第10個(gè)席位：計(jì)算Q值為Q3最大，第10個(gè)席位應(yīng)給C.分配結(jié)

10、果為方法三（dHondt方法）原理：記pi和ni為各宿舍的人數(shù)和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）,是每席位代表的人數(shù)，取=，從而得到的中選較大者，可使對(duì)所有的i，盡量接近。所以此方法的分配結(jié)果為：再考慮的分配方案，類似地可得名額分配結(jié)果?，F(xiàn)將3中方法兩次分配額結(jié)果列表如下：宿舍（1） （2） （3）（1） （2） （3）ABC3 2 23 3 34 5 5 4 4 3 5 5 5 6 6 7總計(jì)10 10 10 15 15 154. 一垂釣俱樂(lè)部鼓勵(lì)垂釣者將釣上的魚(yú)放生，打算按照放生的魚(yú)的重量給予獎(jiǎng)勵(lì)，俱樂(lè)部只準(zhǔn)備了一把軟尺用與測(cè)量，請(qǐng)你設(shè)計(jì)按照測(cè)量的長(zhǎng)度估計(jì)魚(yú)的重量的方法。假設(shè)魚(yú)池中

11、只有一種鱸魚(yú)，并且得到了8條魚(yú)的如下數(shù)據(jù)（胸圍指魚(yú)身的最大周長(zhǎng)）：身長(zhǎng)（cm）36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1重量（g）756 482 1162 737 482 1389 652 454胸圍（cm）24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6先用機(jī)理分析，再用數(shù)據(jù)確定參數(shù)。模型分析本題為了知道魚(yú)的重量，用估計(jì)法來(lái)通過(guò)估計(jì)魚(yú)的長(zhǎng)度而確定魚(yú)的重量，這種方法只能針對(duì)同一種體形相似魚(yú)，但是一般而言世界上沒(méi)有兩種完全相同的東西，所以對(duì)于同一種類的魚(yú)也有可能肥瘦不一。所以在此，我們應(yīng)該先不妨假設(shè)同一種魚(yú)它的整體形狀是相似的，密

12、度也大體上是相同的。模型假設(shè)（1） 設(shè)魚(yú)的重量為；（2） 魚(yú)的身長(zhǎng)記為；模型的構(gòu)成與求解因?yàn)槲覀兦懊婕僭O(shè)了魚(yú)的整體形狀是相似的，密度也相同，所以魚(yú)的重量與身長(zhǎng)的立方成正比，為這兩者之間的比例系數(shù)。即為比例系數(shù)。不過(guò)常釣得較肥的垂釣者不一定認(rèn)可上面的模型，因?yàn)樗鼘?duì)肥魚(yú)和瘦魚(yú)同等看待，如果只假定魚(yú)的截面是相似的，則橫截面積與魚(yú)身最大周長(zhǎng)的平方成正比，于是為比例系數(shù)。利用題中給的數(shù)據(jù)，估計(jì)模型中的系數(shù)可得：將實(shí)際數(shù)據(jù)與模型結(jié)果比較如下表：實(shí)際重量（g）765 482 1162 737 482 1389 652 454模型727 469 1226 727 483 1339 675 483模型730 4

13、65 1100 730 483 1471 607 483通過(guò)機(jī)理分析，基本上滿意5.生物學(xué)家認(rèn)為，對(duì)于休息狀態(tài)的熱血?jiǎng)游锵牡哪芰恐饕糜诰S持體溫，能量與從心臟到全身的血流量成正比，而體溫主要通過(guò)身體表面散失，建立一個(gè)動(dòng)物體重與心率之間關(guān)系的模型，并用下面的數(shù)據(jù)加以檢驗(yàn)。動(dòng)物體重（g） 心率（次/分）田鼠家屬兔小狗大狗羊人馬25 670200 4202000 2055000 12030000 8550000 7070000 72450000 38解：動(dòng)物消耗的能量主要用于維持體溫，而體內(nèi)熱量通過(guò)表面積散失，記動(dòng)物體重為，則正比于血流量,而，其中是動(dòng)物每次心跳泵出的血流量，為心率。合理地假設(shè)與成

14、正比，于是，綜上可得。由所給數(shù)據(jù)估計(jì)得，將實(shí)際數(shù)據(jù)與模型結(jié)果比較如下表：動(dòng)物實(shí)際心率（次/分） 模型結(jié)果（次/分）田鼠家屬兔小狗大狗羊人馬670 715420 375205 166120 12285 6770 5772 5138 276. 速度為的風(fēng)吹在迎風(fēng)面積為的風(fēng)車上，空氣密度是。用量綱分析方法確定風(fēng)車獲得的功率與，的關(guān)系。解：模型分析設(shè)，其量綱表達(dá)式為：這里是基本量綱模型求解量綱矩陣為：齊次線性方程組它的基本解為由量綱定理得，其中是無(wú)量綱常數(shù)7. 雨速的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運(yùn)動(dòng)物體在流體中受的摩力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯

15、系數(shù)。用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式。解：模型分析設(shè)的關(guān)系為.其量綱表達(dá)式為：其中是基本量綱模型求解量綱矩陣為齊次線性方程組的基本解為由量綱定理得其中是無(wú)量綱數(shù)8. 在存貯模型的總費(fèi)用中增加購(gòu)買(mǎi)貨物本身的費(fèi)用。重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量。證明在不允許缺貨模型中結(jié)果與原來(lái)的一樣。而在允許缺貨模型中最優(yōu)訂貨周期和定貨批量都比原來(lái)結(jié)果減少。解：模型求解設(shè)購(gòu)買(mǎi)單位重量貨物的費(fèi)用為k對(duì)于不允許缺貨模型，每天平均費(fèi)用為：令解得由與不考慮購(gòu)貨費(fèi)的結(jié)果比較，T、Q的最優(yōu)結(jié)果沒(méi)有變對(duì)于允許缺貨模型，每天平均費(fèi)用為：令解得均比不考慮費(fèi)用時(shí)的結(jié)果減小9. 建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型。設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)，銷售

16、速率為常數(shù)，在每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，開(kāi)始的一段時(shí)間一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來(lái)的一段時(shí)間()只銷售不生產(chǎn)，畫(huà)出貯存量的圖形。設(shè)每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為，單位時(shí)間每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為，以總費(fèi)用最小為目標(biāo)確定最優(yōu)生產(chǎn)周期。討論和的情況。解：由題意可得貯存量g(t)的圖形如下： q k-r r o T t貯存費(fèi)為又貯存費(fèi)變?yōu)橛谑遣辉试S缺貨的情況下，生產(chǎn)銷售的總費(fèi)用（單位時(shí)間內(nèi)）為令易得函數(shù)處取得最小值，即最優(yōu)周期為當(dāng)，相當(dāng)于不考慮生產(chǎn)的情況。當(dāng)，此時(shí)產(chǎn)量與銷量相抵消，無(wú)法形成貯存量。10. 在森林救火模型中，如果考慮消防隊(duì)員的滅火速度與開(kāi)始救火時(shí)的火勢(shì)有關(guān)，試假設(shè)一個(gè)合理的函數(shù)關(guān)系，重新求解模型。解：模型分析考慮滅火速度與

17、火勢(shì)有關(guān)，可知火勢(shì)越大，滅火速度將減小模型假設(shè)，分母中的1是防止而加的模型求解總費(fèi)用函數(shù)最優(yōu)解為11 設(shè)某種動(dòng)物種群最高年齡為30，按10歲為一段將此種群分為3組。設(shè)初始時(shí)三組中的動(dòng)物為，相應(yīng)的Leslie矩陣為試求10，20，30年后各年齡組的動(dòng)物數(shù)，并求該種群的穩(wěn)定年齡分布，指出該種群的發(fā)展趨勢(shì)。解：模型分析：根據(jù)Leslie矩陣的意義及公式很容易求出各年齡組的動(dòng)物數(shù)。而Leslie矩陣的唯一的正特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量分別表示種群的發(fā)展趨勢(shì)及種群的穩(wěn)定分布。模型的建立與求解：（1）10年后各年齡組的動(dòng)物數(shù)：20年后各年齡組的動(dòng)物數(shù)：30年后各年齡組的動(dòng)物數(shù)：（2）很容易求出L矩陣的大于零的

18、特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量為所以種群的穩(wěn)定年齡分布：，其中，x表示0-10歲年齡組的動(dòng)物數(shù)，y表示10-20歲年齡組的動(dòng)物數(shù)，z表示20-30歲年齡組的動(dòng)物數(shù)。由于，所以該種群動(dòng)物數(shù)會(huì)逐漸減少。12. 對(duì)于71節(jié)蛛網(wǎng)模型討論下列問(wèn)題：（1）因?yàn)橐粋€(gè)時(shí)段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會(huì)影響到下一時(shí)段的價(jià)格，所以第時(shí)段的價(jià)格由第和第時(shí)段的數(shù)量和決定如果仍設(shè)仍只取決于，給出穩(wěn)定平衡的條件，并與71節(jié)的結(jié)果進(jìn)行比較.（2）若除了由和決定之外，也由前兩個(gè)時(shí)段的價(jià)格和確定試分析穩(wěn)定平衡的條件是否還會(huì)放寬解：（1） 模型假設(shè)簡(jiǎn)單地假設(shè)的平均值決定模型建立模型求解得，與7.1節(jié)（B）的結(jié)果相同，平衡點(diǎn)穩(wěn)定的

19、條件仍為（2） 模型假設(shè)設(shè)的平均值決定模型建立模型求解得決定，其特征方程為，該方程所有特征根的條件（即平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件）仍為13. 設(shè)階矩陣為一致陣，證明具有下列性質(zhì)：（1）的秩為，唯一的非零特征根為；（2）的任一列向量都是對(duì)應(yīng)于的特征向量。解：（1） 由一致陣的定義，所以A的任意兩行成比例，對(duì)A進(jìn)行初等變換得B，則，所以A的秩為1.由初等變換及初等矩陣的關(guān)系得，存在可逆陣P，使得PA=B，所以 ，則A與C相似，便有相同的特征根易知C的特征根為（一次根），0；由于對(duì)任意矩陣A有，于是，所以A的唯一非零特征值為n.(2)對(duì)于A的任一列向量有：所以，每一列均為對(duì)應(yīng)于n的特征向量14. 若發(fā)現(xiàn)一成對(duì)比較矩陣的非一致性較為嚴(yán)重，應(yīng)如何尋找引起非一致性的元素？例如，設(shè)已構(gòu)造了成對(duì)比較矩陣（1）對(duì)作一致性檢驗(yàn)；（2）若的非一致性較嚴(yán)重，應(yīng)如何作修正。解：（1） 模型分析對(duì)A作一致性檢驗(yàn)，算出A的最大特征值，A=1 1/5 3;5 1 6;1/3 1/6 1;A=max(eig（A）)；CI=（a-3）/(3-1);RI=0.58;C