結(jié)構(gòu)力學第9章位移法

1、南華大學城建學院道橋系結(jié) 構(gòu) 力 學講 授： 劉華良課件制作： 劉華良南華大學城建學院道橋系衡陽 2005年結(jié) 構(gòu) 力 學 講 授： 劉華良課件制作： 劉華良南華大學建資學院道橋教研室衡陽 2005年第八章 位移法 (Displacement Method)等截面直桿的物理方程位移法的基本概念位移法基本未知量數(shù)目的確定位移法的兩種思路:位移法典型方程和直接平衡方程剪力靜定桿的求算對稱性的利用有側(cè)移的斜柱剛架溫度改變時的計算支座移動的計算本章小結(jié)本章小結(jié)彈性支座問題聯(lián)合法和混合法課堂練習課堂練習求解超靜定結(jié)構(gòu)的兩種最基本的方法：力法力法位移法位移法 力法適用性廣泛，解題靈活性較大。（可選用各種各

2、樣的基本結(jié)構(gòu)）。 位移法在解題上比較規(guī)范，具有通用性，因而計算機易于實現(xiàn)。位移法可分為：手算手算位移法位移法電算電算矩陣位移法矩陣位移法位移法的基本概念位移法的基本概念力法與位移法最基本的區(qū)別：基本未知量不同力法與位移法最基本的區(qū)別：基本未知量不同力法：以多余未知力多余未知力基本未知量位移法：以某些結(jié)點位移某些結(jié)點位移基本未知量解題過程：超靜定結(jié)構(gòu)拆成基本結(jié)構(gòu)加上某些條件原結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件（力法基本方程）力法：先求多余未知力結(jié)構(gòu)內(nèi)力結(jié)構(gòu)位移力法和位移法的解題思路：位移法：先求某些結(jié)點位移結(jié)構(gòu)內(nèi)力解題過程：結(jié)構(gòu)拆成單根桿件的組合體加上某些條件1.桿端位移協(xié)調(diào)條件2.結(jié)點的平衡條件適用范圍：力法

3、力法: 超靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)位移法：位移法： 超靜定結(jié)構(gòu)，也可用于靜定結(jié)構(gòu)。超靜定結(jié)構(gòu)，也可用于靜定結(jié)構(gòu)。 一般用于結(jié)點少而桿件較多的剛架。一般用于結(jié)點少而桿件較多的剛架。例： 用位移法計算圖示剛架。用位移法計算圖示剛架。1. 在受彎桿件中，略去桿在受彎桿件中，略去桿件的軸向變形和剪切變件的軸向變形和剪切變形的影響。形的影響。2. 假定受彎桿兩端之間的假定受彎桿兩端之間的距離保持不變。距離保持不變。 為了使問題簡化，作如下為了使問題簡化，作如下計算假定：計算假定： 由此可知，結(jié)點由此可知，結(jié)點1只有轉(zhuǎn)角只有轉(zhuǎn)角Z1，而無線位移，匯交，而無線位移，匯交于結(jié)點于結(jié)點1的兩桿桿端也應有同樣的轉(zhuǎn)角的兩

4、桿桿端也應有同樣的轉(zhuǎn)角Z1。 整個剛架的變形只要用未整個剛架的變形只要用未知轉(zhuǎn)角知轉(zhuǎn)角Z1來描述，來描述，如果能設(shè)如果能設(shè)法求得轉(zhuǎn)角法求得轉(zhuǎn)角Z1，即可求出剛，即可求出剛架的內(nèi)力。架的內(nèi)力。 為了求出為了求出Z1值，可先對原結(jié)構(gòu)作些修改值，可先對原結(jié)構(gòu)作些修改這樣，原結(jié)構(gòu)就被改造成兩個單跨梁：這樣，原結(jié)構(gòu)就被改造成兩個單跨梁： lB是兩端固定梁，是兩端固定梁，1A是一端固定、另端鉸支梁。是一端固定、另端鉸支梁。1A1B 基本體系基本體系 基本結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)P 在基本結(jié)構(gòu)上加上原來的力P，由于附加剛臂不允許結(jié)點1轉(zhuǎn)動，此時只有梁lB發(fā)生變形，梁1A則不變形。 此時附加剛臂中產(chǎn)生了反力矩R1P，反力

5、矩規(guī)定以順時反力矩規(guī)定以順時針為正針為正。于是，基本結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)就發(fā)生了差別，表現(xiàn)為：1由于加了約束，使結(jié)點1不能轉(zhuǎn)動，而原來是能轉(zhuǎn)動的。 基本結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)PR1P2由于加了約束，產(chǎn)生了約束反力矩，而原來是沒有這個約束反力矩的。 為了消除基本結(jié)構(gòu)與原為了消除基本結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)的差別，在結(jié)點結(jié)構(gòu)的差別，在結(jié)點1的附的附加約束上人為地加上一個外加約束上人為地加上一個外力矩力矩R11，迫使結(jié)點，迫使結(jié)點1正好轉(zhuǎn)正好轉(zhuǎn)動了一個轉(zhuǎn)角動了一個轉(zhuǎn)角Z1，于是變形，于是變形復原到原先給定的結(jié)構(gòu)。復原到原先給定的結(jié)構(gòu)。R11Z1Z1R11Z1Z1 基本結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)PR1P=+ 結(jié)點結(jié)點1正好轉(zhuǎn)動一個轉(zhuǎn)角正好轉(zhuǎn)動一

6、個轉(zhuǎn)角Z1時，所加的附加約束不再時，所加的附加約束不再起作用，其數(shù)學表達式為：起作用，其數(shù)學表達式為：R1=0 即外荷載和應有的轉(zhuǎn)角即外荷載和應有的轉(zhuǎn)角Z1共同作用于基本結(jié)構(gòu)時，附共同作用于基本結(jié)構(gòu)時，附加約束反力矩等于零。加約束反力矩等于零。 根據(jù)疊加原理，共同作用等于單獨作用的疊加：根據(jù)疊加原理，共同作用等于單獨作用的疊加：R1R11R1P=0 （a) R11為強制使結(jié)點發(fā)生轉(zhuǎn)角Z1時所產(chǎn)生的約束反力矩。 R1P為荷載作用下所產(chǎn)生的約束反力矩。為了將式(a)寫成未知量Z1的顯式，將R11寫為 11111ZrR 為單位轉(zhuǎn)角（Z11）產(chǎn)生的約束反力矩。11rR11=r11Z1Z1=1式（a）變

7、為01111PRZr1111rRZP 其物理意義是，基本結(jié)構(gòu)由于轉(zhuǎn)角基本結(jié)構(gòu)由于轉(zhuǎn)角Z1及外荷載共同作用，及外荷載共同作用，附加剛臂附加剛臂1處所產(chǎn)生的約束反力矩總和等于零。處所產(chǎn)生的約束反力矩總和等于零。由此方程可得 11r可見，只要有了系數(shù) 及自由項R1P，Z1值很容易求得。 為了確定上式中的 R1P 和 ，可先用力法分別求出各用力法分別求出各單跨超靜定梁單跨超靜定梁在梁端、柱頂1處轉(zhuǎn)動 Z1=1時產(chǎn)生的彎矩圖及外荷載作用下產(chǎn)生的彎矩圖。11r1Mr11Z1=1P1AR1PP8Pl8PlMP圖 現(xiàn)取 圖、MP圖中的結(jié)點1為隔離體，由力矩平衡方程 ，求出 ：1M 01MlEIr711PlRP

8、811將這些結(jié)果代入位移法基本方程中解方程，即得 EIPlZ5621最后，根據(jù)疊加原理 ，即可求出最后彎矩圖 。11ZMMMP 1.在原結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移的結(jié)點上設(shè)置附加約束，使結(jié)點固定，從而得到基本結(jié)構(gòu)，然后加上原有的外荷載； 通過上述兩個步驟，使基本結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)的受力和變通過上述兩個步驟，使基本結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)的受力和變形完全相同，從而可以通過基本結(jié)構(gòu)來計算原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力形完全相同，從而可以通過基本結(jié)構(gòu)來計算原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形。和變形。綜上所述，位移法的基本思路是： .人為地迫使原先被“固定”的結(jié)點恢復到結(jié)構(gòu)原有的位移。ABAB等截面直桿的物理方程1.轉(zhuǎn)角位移方程轉(zhuǎn)角位移方程 Slope-Deflec

9、tion Equation由線性小變形，由疊加原理可得由線性小變形，由疊加原理可得xyA B AB P+t1t2Ai 4Bi 2liAB/6 Ai 2Bi 4liAB/6 FABMFBAM FBAABABBAFABABBAABMliiiMMliiiM 624624符號規(guī)定符號規(guī)定:桿端彎矩桿端彎矩-繞桿端順時針為正繞桿端順時針為正桿端剪力桿端剪力-同前同前桿端轉(zhuǎn)角桿端轉(zhuǎn)角-順時針為正順時針為正桿端相對線位移桿端相對線位移-使桿軸順時針轉(zhuǎn)為正使桿軸順時針轉(zhuǎn)為正固端彎矩固端彎矩轉(zhuǎn)角位移方程轉(zhuǎn)角位移方程 FBAABABBAFABABBAABMliiiMMliiiM 624624其中：其中：lEIi

10、稱桿件的稱桿件的。FBAFABMM,為由荷載和溫度變化引起的為由荷載和溫度變化引起的桿端彎矩，稱為桿端彎矩，稱為。轉(zhuǎn)角位移方程轉(zhuǎn)角位移方程(剛度方程剛度方程) Slope-Deflection (Stiffness) EquationFABABAABMliiM 33轉(zhuǎn)角位移方程為轉(zhuǎn)角位移方程為AB轉(zhuǎn)角位移方程為轉(zhuǎn)角位移方程為FBAABAFABAABMiMMiM 12位移法基本未知量數(shù)目的確定22 lann25 lann位移法的兩種思路位移法典型方程直接按平衡條件建立位移法方程qFPFPMFPFP0 MMMAD 832qliMAC 84PlFiMAB 2PlFiMAE qFPFPMFPFP FF

11、KF 0 RK 0 RK 2.平衡方程法建立位移法方程平衡方程法建立位移法方程14iZMDA 0 DCDBDAMMM1.轉(zhuǎn)角位移方程轉(zhuǎn)角位移方程 Slope-Deflection EquationEI=CPlADBl2/ l2/ lCDAMDDBMDCM14iZMDB 16/331PliZMDC 016/3111 PliZ12iZMAD 12iZMBD 2i2i4i4i3iP3Pl/16ir1111 01111 PRZr16/31PlRP 016/3111 PliZ 0 RK iijRk ,), 1(0niRkijij PMMMjj 02 lanniPijRk 、1M圖圖4i4i8i2i11

12、Z2M圖圖12 Z8i8i4i4i4i2i11k4i8i21k4iik1211 ik421 12k4iik412 22k4i8i8iik2022 取結(jié)點考慮平衡取結(jié)點考慮平衡P2R122qlP1R0P1 R122P2qlR 122qlPM圖圖取結(jié)點考慮平衡取結(jié)點考慮平衡 00P2222121P1212111RkkRkk 位移法典型方程：位移法典型方程： 0122040041222121qliiii iqliql2246722221 P2211MMMM 最終內(nèi)力：最終內(nèi)力：請自行作出請自行作出最終最終M圖圖11 lanniPijRk 、4i6i6ik116i/lk12 = k21k12 = k2

13、1k21 = k126i/lk223i/l23i/l212i/l2R1P6i6i4i2i3i/l3i/l6i/lql2/8ql2/8R2P3ql/802 lanniCijRk 、4m10 lann40iPijRk 、3EI/16 對于對于有側(cè)移的斜柱剛架在計算上的特點是，確定基本結(jié)構(gòu)發(fā)生線有側(cè)移的斜柱剛架在計算上的特點是，確定基本結(jié)構(gòu)發(fā)生線位移時與平行柱的區(qū)別位移時與平行柱的區(qū)別,見圖見圖a和圖和圖b。 對于圖對于圖a，在單位線位移作用下，兩平行柱的兩端相對線位移數(shù)值相同，在單位線位移作用下，兩平行柱的兩端相對線位移數(shù)值相同，且都等于且都等于1，而橫梁僅平行移動，其兩端并無相對線位移，故不彎曲

14、。而對于圖，而橫梁僅平行移動，其兩端并無相對線位移，故不彎曲。而對于圖b則就不同了，在單位線位移作用下，桿則就不同了，在單位線位移作用下，桿AB、CD的垂直線位移不等于的垂直線位移不等于1，水平桿，水平桿BC的兩端產(chǎn)生了相對線位移，發(fā)生彎曲變形。因此，在非平行柱剛架中，在單的兩端產(chǎn)生了相對線位移，發(fā)生彎曲變形。因此，在非平行柱剛架中，在單位線位移作用下：（位線位移作用下：（1）柱與橫梁發(fā)生彎曲；（）柱與橫梁發(fā)生彎曲；（2）各桿端垂直于桿軸線的相對）各桿端垂直于桿軸線的相對線位移亦各不相同。線位移亦各不相同。有側(cè)移的斜柱剛架有側(cè)移的斜柱剛架 如何確定對于如何確定對于斜柱剛架在當結(jié)點發(fā)生線位移時各

15、桿兩端的相對線位斜柱剛架在當結(jié)點發(fā)生線位移時各桿兩端的相對線位移？以下面圖所示一具有斜柱剛架發(fā)生結(jié)點線位移的情為例來說明。移？以下面圖所示一具有斜柱剛架發(fā)生結(jié)點線位移的情為例來說明。 應該注意到，各桿的線位移雖然不同，但它們是互相有關(guān)的。確應該注意到，各桿的線位移雖然不同，但它們是互相有關(guān)的。確定當結(jié)點發(fā)生單位線位移時各桿兩端的相對線位移，可采用作結(jié)點位定當結(jié)點發(fā)生單位線位移時各桿兩端的相對線位移，可采用作結(jié)點位移圖的方法。移圖的方法。 首先將剛結(jié)點改為鉸，然后觀察在單位線位移條件下各結(jié)點的新首先將剛結(jié)點改為鉸，然后觀察在單位線位移條件下各結(jié)點的新位置及由此所產(chǎn)生的線位移數(shù)值方向。位置及由此所

16、產(chǎn)生的線位移數(shù)值方向。 圖圖a：結(jié)點結(jié)點A的線位移的線位移 垂直于桿垂直于桿AB，其水平位移分量為，其水平位移分量為1。由此可確。由此可確定定B的新位置的新位置 。當機構(gòu)。當機構(gòu)ABCD作機動時，桿作機動時，桿CD將繞鉸將繞鉸D轉(zhuǎn)動，故鉸轉(zhuǎn)動，故鉸C的位移的位移 必垂直于必垂直于 桿桿CD。于是在。于是在 的作用下，桿的作用下，桿BC將最終占有位置將最終占有位置 。桿件桿件BC的運動可分解為平移（從的運動可分解為平移（從BC到到 ）與轉(zhuǎn)動（從）與轉(zhuǎn)動（從 到到 ）。因）。因此，各桿的相對線位移為（圖此，各桿的相對線位移為（圖b）：）：BB CB BCC 13ZCBCB CBCCBBCCCCAB

17、BCCD ,作結(jié)點位移圖的方法（圖作結(jié)點位移圖的方法（圖b）如下所述：）如下所述： 只需直接作出三角形只需直接作出三角形 即可。其即可。其方法為：任選一點方法為：任選一點O代表位移為零的點，代表位移為零的點，如如A、D點，稱為極點。按適當比例繪出點，稱為極點。按適當比例繪出 ，然后作，然后作OB垂直于桿垂直于桿AB；再過；再過B點作桿點作桿BC的垂線；又過的垂線；又過O點作桿點作桿CD的垂線，便的垂線，便得出交點得出交點C。在此圖中，向量。在此圖中，向量OB、OC即即代表代表B、C點的位移，而點的位移，而AB、BC、CD則則代表代表AB桿、桿、BC桿、桿、CD桿兩端的相線位桿兩端的相線位移。則

18、圖移。則圖b稱為結(jié)點位移圖。稱為結(jié)點位移圖。CCC 13Z例例8-30022221211212111PPRZrZrRZrZr由圖由圖d得：桿得：桿AB兩端相對線位移為兩端相對線位移為 ，桿，桿 CD兩端相對線位移兩端相對線位移2AB1CD由圖由圖 f 得：得：24611r由圖由圖 g 得：得：lr62612由圖由圖 h 得得由圖由圖 i得得由圖由圖 j 得得1631PlRP22202129,0lrM1611,020PRMP將各系數(shù)和自由項代如位移法基本方程，得將各系數(shù)和自由項代如位移法基本方程，得2212212102869. 0,02218. 0:,0161121296260163626246

19、PlZPlZPZlZlPlZlZ解得按疊加法繪最后彎矩圖按疊加法繪最后彎矩圖PMZMZMM2211試求圖試求圖a a所示帶斜桿結(jié)構(gòu)的系數(shù)項和自由項所示帶斜桿結(jié)構(gòu)的系數(shù)項和自由項 位移法基本方程位移法基本方程: : 解：圖解：圖a a所示結(jié)構(gòu)雖然橫梁剛度無限大所示結(jié)構(gòu)雖然橫梁剛度無限大，但柱子不平行，橫梁不僅能產(chǎn)生線位移，但柱子不平行，橫梁不僅能產(chǎn)生線位移，也能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動，也即橫量作平面運動。在小也能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動，也即橫量作平面運動。在小變形情況下結(jié)點位移如圖變形情況下結(jié)點位移如圖b b、c c所示，獨立的所示，獨立的位移只有一個線位移，因此可取圖位移只有一個線位移，因此可取圖d d作為基作為基本結(jié)構(gòu)

20、。本結(jié)構(gòu)。01111PRZr91169.10645584.532,22,045584.5328218182121026,0221102222110PllPZPllPRMlllllllllrMP 圖圖 示示 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 在在 作作 用用 下下 的的 單單 位位 彎彎 矩矩 圖圖 中中 正正 確確 的的 為為 ： A. ; B. ; C. ; ; D. 。（）。（） 11ZBAABMM , liMMBAAB/6=2liMMBAAB/34=2liliMAB3/34/6=22liliMBA3/32/6=22BAABMliliM3/34/6=22試用位移法計算圖示結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖。試用位移法計算圖示結(jié)構(gòu)

21、，并作彎矩圖。EI=常數(shù)。常數(shù)。 0022221211212111PPRZrZrRZrZr37 . 736 . 14 . 1335 . 14 . 16 . 1302 .1438. 322211211iiiiiriirriiiir剪力靜定桿的求算剪力靜定桿帶來的簡化剪力靜定桿帶來的簡化桿桿ABAB稱為剪力靜定桿，稱為剪力靜定桿，即用靜力平衡條件可直即用靜力平衡條件可直接求得其剪力（見教材接求得其剪力（見教材P230P230所述及圖所述及圖11-1311-13）。 判斷下面哪些結(jié)構(gòu)是屬于剪力靜定結(jié)構(gòu)？判斷下面哪些結(jié)構(gòu)是屬于剪力靜定結(jié)構(gòu)？本題特點是：本題特點是：（1 1） 柱柱ABAB的的B B端雖

22、然有側(cè)向線位移，但柱端雖然有側(cè)向線位移，但柱ABAB的剪力是靜定的，稱它為剪力的剪力是靜定的，稱它為剪力靜定柱。靜定柱。（2 2） 橫梁的兩端無垂直于桿軸的相對線位移，稱它為無側(cè)移桿。橫梁的兩端無垂直于桿軸的相對線位移，稱它為無側(cè)移桿?？紤]到上述特點，所以在確定位移法的獨立未知量時，可以不把柱端的側(cè)移考慮到上述特點，所以在確定位移法的獨立未知量時，可以不把柱端的側(cè)移作為獨立的位移未知量，從而使原來兩個未知量（一個角位移和一個線位移）減作為獨立的位移未知量，從而使原來兩個未知量（一個角位移和一個線位移）減為一個角位移未知量，使計算得以簡化。在選取位移法的基本結(jié)構(gòu)時，只須在剛為一個角位移未知量，使

23、計算得以簡化。在選取位移法的基本結(jié)構(gòu)時，只須在剛結(jié)點結(jié)點B B處附加阻止轉(zhuǎn)動的剛臂約束即可，如圖處附加阻止轉(zhuǎn)動的剛臂約束即可，如圖b b所示。在該基本結(jié)構(gòu)中，由于所示。在該基本結(jié)構(gòu)中，由于B B端端無側(cè)向約束，柱子兩端有相對線位移，而無角位移，所以無側(cè)向約束，柱子兩端有相對線位移，而無角位移，所以ABAB柱的柱的B B端可視為滑動端可視為滑動支座，下端為固定支座，從而滿足剪力靜定的要求。支座，下端為固定支座，從而滿足剪力靜定的要求。各橫梁的梁端雖然有水平位移，但對桿的內(nèi)力無影響。因此各橫梁可視為一各橫梁的梁端雖然有水平位移，但對桿的內(nèi)力無影響。因此各橫梁可視為一端固定另一端鏈桿支座（圖端固定另

24、一端鏈桿支座（圖b b）。）。08. 212)4129(3334311EIEIEIEIr375. 41PR1 . 21ZPPPRZrZrZrRZrZrZrRZrZrZr3333232131232322212113132121110109312111ririiir252323216112163321PlPlPlRPlPlPlRPlPlPlRPPPiriiiirir322212119iiiirirr1190332313對稱結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與變形特點對稱結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與變形特點 對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下產(chǎn)生對稱的內(nèi)力與變形；對對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下產(chǎn)生對稱的內(nèi)力與變形；對 稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下產(chǎn)生反對稱

25、的內(nèi)力與變形稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下產(chǎn)生反對稱的內(nèi)力與變形。 半結(jié)構(gòu)的選取原則半結(jié)構(gòu)的選取原則 利用結(jié)構(gòu)對稱性取半結(jié)構(gòu)利用結(jié)構(gòu)對稱性取半結(jié)構(gòu)( (或四分之一結(jié)構(gòu)或四分之一結(jié)構(gòu)) )進行進行計算時計算時, , 其半結(jié)構(gòu)分開處的約束支座是根據(jù)其變其半結(jié)構(gòu)分開處的約束支座是根據(jù)其變形條件來確定的。形條件來確定的。 對稱性的利用1.奇數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)奇數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu) （1）對稱荷載（圖）對稱荷載（圖a） 在對稱軸上的截面在對稱軸上的截面C沒有轉(zhuǎn)角和水平位移，但可有豎向位沒有轉(zhuǎn)角和水平位移，但可有豎向位 移。計算中所取半邊結(jié)構(gòu)如圖（移。計算中所取半邊結(jié)構(gòu)如圖（b）所示，）所示，C處取為滑動支承處取為滑動支承

26、端。端。 （2）反對稱荷載（圖）反對稱荷載（圖a） 在對稱軸上的截面在對稱軸上的截面C沒有豎向位移，但可有轉(zhuǎn)角和水平?jīng)]有豎向位移，但可有轉(zhuǎn)角和水平 位移。計算中所取半結(jié)構(gòu)如圖（位移。計算中所取半結(jié)構(gòu)如圖（b）所示，）所示，C處取為鏈桿處取為鏈桿 支座。支座。2.偶數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)偶數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu) （1）對稱荷載（圖）對稱荷載（圖a） 在對稱軸上，截面在對稱軸上，截面C沒有轉(zhuǎn)角和水平位移，柱沒有轉(zhuǎn)角和水平位移，柱CD沒有彎矩沒有彎矩 和剪力。因為忽略桿和剪力。因為忽略桿CD的軸向變形，故半邊結(jié)構(gòu)如圖（的軸向變形，故半邊結(jié)構(gòu)如圖（b） 所示，所示，C端為固定支座。端為固定支座。 （2）反對稱荷載（圖）反

27、對稱荷載（圖a） 在對稱軸上，柱在對稱軸上，柱CD沒有軸力和軸向位移。但有彎矩和彎曲變形?？蓪⒅袥]有軸力和軸向位移。但有彎矩和彎曲變形?？蓪⒅?間柱分成兩根柱，分柱的抗彎剛度為原柱的一半，間柱分成兩根柱，分柱的抗彎剛度為原柱的一半， 這樣問題就變?yōu)槠鏀?shù)這樣問題就變?yōu)槠鏀?shù) 跨跨 的問題（圖的問題（圖b），其中在兩根分柱之間增加一跨，但其跨度為零。半），其中在兩根分柱之間增加一跨，但其跨度為零。半 邊結(jié)構(gòu)如圖邊結(jié)構(gòu)如圖c所示。因為忽略軸向變形的影響，所示。因為忽略軸向變形的影響，C處的豎向支桿可取消，處的豎向支桿可取消， 半邊結(jié)構(gòu)也可按圖半邊結(jié)構(gòu)也可按圖d選取。中間柱選取。中間柱CD的總內(nèi)力為兩根

28、分柱內(nèi)力之和。由于的總內(nèi)力為兩根分柱內(nèi)力之和。由于 兩根分兩根分 柱彎矩、剪力相同，故總彎矩總剪力為分柱彎矩和剪力的兩倍。柱彎矩、剪力相同，故總彎矩總剪力為分柱彎矩和剪力的兩倍。 又由于兩根分柱的軸力絕對值相同而正負號相反，故總軸力為零。又由于兩根分柱的軸力絕對值相同而正負號相反，故總軸力為零。用位移法計算圖用位移法計算圖a所示結(jié)構(gòu)，繪制彎矩圖。所示結(jié)構(gòu)，繪制彎矩圖。E=常數(shù)。常數(shù)。 根據(jù)正對稱性質(zhì)，圖根據(jù)正對稱性質(zhì)，圖a中中AB桿不會彎曲而只受軸力。在這里我們又不計桿不會彎曲而只受軸力。在這里我們又不計 軸向變形影響，故將軸向變形影響，故將AB桿看作軸向剛度無限的鏈桿，則桿看作軸向剛度無限的

29、鏈桿，則A，B兩點的豎兩點的豎 向位移相同，簡化分析半結(jié)構(gòu)如圖向位移相同，簡化分析半結(jié)構(gòu)如圖b所示。所示。 本題有兩個獨立未知數(shù)，位移法基本方程為本題有兩個獨立未知數(shù)，位移法基本方程為 0022221211212111PPRZrZrRZrZriiiir1144311lirr621122222215123lililir01PRkNRP202iZ43801ilZ1292202按疊加法按疊加法 2211ZMZMMMP用位移法計算圖用位移法計算圖a a所示結(jié)構(gòu)，繪制彎矩圖。所示結(jié)構(gòu)，繪制彎矩圖。E=E=常數(shù)。常數(shù)。 聯(lián)合法：上述這種求解同一問題時，聯(lián)合應用力法、位移法求解的方法，聯(lián)合法：上述這種求解同

30、一問題時，聯(lián)合應用力法、位移法求解的方法，稱為聯(lián)合法。稱為聯(lián)合法。聯(lián)合法聯(lián)合法01111PRZr01111PXimkNimkNrRZmkNmkNqlRiiirPP3889. 195 .125 .12125612945111122111kNmmkNXmkNmPP0764. 610825.65625.65610833111131311PPMXMMMZMM1111 注意點：用聯(lián)合法求解對稱結(jié)構(gòu)時，每個半結(jié)構(gòu)的計算簡圖的求注意點：用聯(lián)合法求解對稱結(jié)構(gòu)時，每個半結(jié)構(gòu)的計算簡圖的求解是很方便的，但從半結(jié)構(gòu)的結(jié)果，利用對稱性和進行疊加時必須細解是很方便的，但從半結(jié)構(gòu)的結(jié)果，利用對稱性和進行疊加時必須細心，否

31、則將前功盡棄。心，否則將前功盡棄。 前面介紹的超靜定結(jié)構(gòu)的解法，即使是聯(lián)合法，對每一個計算簡圖選用基前面介紹的超靜定結(jié)構(gòu)的解法，即使是聯(lián)合法，對每一個計算簡圖選用基本結(jié)構(gòu)未知量都是相同性質(zhì)的，但對圖示結(jié)構(gòu)，不管是用位移法或力法，其位本結(jié)構(gòu)未知量都是相同性質(zhì)的，但對圖示結(jié)構(gòu)，不管是用位移法或力法，其位知數(shù)數(shù)目均知數(shù)數(shù)目均 7 7 個，手算是不可能的。個，手算是不可能的。 分析：左邊分析：左邊“主廠房主廠房”部分一次超靜定，但獨立位移有部分一次超靜定，但獨立位移有 5 5個。由邊個。由邊“附屬附屬廠房廠房”部分獨立位移只有部分獨立位移只有 2 2個，而超靜定次數(shù)為六次。個，而超靜定次數(shù)為六次。 如

32、果左邊部分以力如果左邊部分以力作未知量，右邊部分以位移作未知量，混合用兩類未知量的總未知量只有作未知量，右邊部分以位移作未知量，混合用兩類未知量的總未知量只有 3 3個，個，如圖所示。下面說明混合法解題思路如圖所示。下面說明混合法解題思路混合法混合法 此例說明此例說明, ,解決問題不能墨守成規(guī)，要深刻理解和掌握力學概念、解決問題不能墨守成規(guī)，要深刻理解和掌握力學概念、原理和方法，在此基礎(chǔ)上靈活應用知識，才能既好又省地解決問題。原理和方法，在此基礎(chǔ)上靈活應用知識，才能既好又省地解決問題。000333323213123232221211313212111PPPRZrZrXrRZrZrXrZZX 溫

33、度改變時的計算，與支座位移時的計算基本相同。這里只作一溫度改變時的計算，與支座位移時的計算基本相同。這里只作一點補充：除了桿件內(nèi)外溫差使桿件彎曲，因而產(chǎn)生一部分固端彎矩外；點補充：除了桿件內(nèi)外溫差使桿件彎曲，因而產(chǎn)生一部分固端彎矩外；溫度改變時桿件的軸向變形不能忽略，而這種軸向變形會使結(jié)點產(chǎn)生已溫度改變時桿件的軸向變形不能忽略，而這種軸向變形會使結(jié)點產(chǎn)生已知位移，從而使桿端產(chǎn)生相對橫向位移，又產(chǎn)生另一部分固端彎矩。具知位移，從而使桿端產(chǎn)生相對橫向位移，又產(chǎn)生另一部分固端彎矩。具體計算通過下面的例題來說明。體計算通過下面的例題來說明。 例如圖示剛架的范例如圖示剛架的范EI=常數(shù)，橫梁溫度均勻升高

34、常數(shù)，橫梁溫度均勻升高 , 兩柱溫度不變化，試繪兩柱溫度不變化，試繪彎矩圖。彎矩圖。 Cto溫度改變時的計算溫度改變時的計算HlHtllEIHEIHEItlrRZ2232413221111HlHEIHltlHEItlHlHtlHEIMAB2332232222HlHEItlHlHtllEIMBC2322322按疊按疊加法繪制最后彎矩圖加法繪制最后彎矩圖 ，即，即tMZMM11 超靜定結(jié)構(gòu)當支座產(chǎn)生已知的位移超靜定結(jié)構(gòu)當支座產(chǎn)生已知的位移(移動或轉(zhuǎn)動移動或轉(zhuǎn)動)時，結(jié)構(gòu)中一般會引起內(nèi)時，結(jié)構(gòu)中一般會引起內(nèi) 力。用位移法計算時力。用位移法計算時,基本未知量和基本方程以及作題步驟都與荷載作用基本未知量

35、和基本方程以及作題步驟都與荷載作用 時一樣時一樣,不同的只有固端力一項，例如由荷載產(chǎn)生的固端彎矩改變成由已不同的只有固端力一項，例如由荷載產(chǎn)生的固端彎矩改變成由已 知位移產(chǎn)生的固端彎矩，具體計算通過下面的例題來說明。知位移產(chǎn)生的固端彎矩，具體計算通過下面的例題來說明。 圖示剛架的圖示剛架的A支座產(chǎn)生了水平位移支座產(chǎn)生了水平位移a、豎向位移、豎向位移b=4a及轉(zhuǎn)角及轉(zhuǎn)角 ，試繪其彎矩圖。，試繪其彎矩圖。la支座移動的計支座移動的計算算01111RZr 根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在 及支座位移的共同影向下（圖及支座位移的共同影向下（圖b），附加剛臂），附加剛臂上的反力矩為零的平衡條件，可建立典型方

36、程為上的反力矩為零的平衡條件，可建立典型方程為 計算系數(shù)及自由項，繪出單位彎矩圖及已知位移的彎矩圖。在這里我計算系數(shù)及自由項，繪出單位彎矩圖及已知位移的彎矩圖。在這里我 們將已知位移的彎矩圖由疊加法繪出如下：們將已知位移的彎矩圖由疊加法繪出如下：lEIlEIlEIRlEIlEIlEIr281216,118311111281Z解得：解得：剛架的最后彎矩圖為剛架的最后彎矩圖為PMZMM11彈性支座135o7.071i/l7.071i/l5.657i/lql2/89i/l27.071i/l8-9 思考題及習題課思考題及習題課1.1. 位移法如何體現(xiàn)結(jié)構(gòu)力學應滿足的三個方面條件（平衡位移法如何體現(xiàn)結(jié)構(gòu)

37、力學應滿足的三個方面條件（平衡條件、幾何條件與物理條件）？條件、幾何條件與物理條件）？ 答：位移法的兩種計算方法（基本結(jié)構(gòu)法和直接列桿端力建立平衡答：位移法的兩種計算方法（基本結(jié)構(gòu)法和直接列桿端力建立平衡方程）都是按兩大步驟進行，即單桿分析和整體分析。單桿分析是利用方程）都是按兩大步驟進行，即單桿分析和整體分析。單桿分析是利用轉(zhuǎn)角位移方程和固端力表得到桿端力和桿端位移和荷載的關(guān)系，或得到轉(zhuǎn)角位移方程和固端力表得到桿端力和桿端位移和荷載的關(guān)系，或得到單位、荷載彎矩圖；整體分析得到位移法的基本方程。單位、荷載彎矩圖；整體分析得到位移法的基本方程。 在整體分析中，確定位移法的基本未知量，考慮了交于結(jié)

38、點的諸桿在整體分析中，確定位移法的基本未知量，考慮了交于結(jié)點的諸桿端的變形條件，而基本方程反應了平衡條件。因此，整體分析是在結(jié)點端的變形條件，而基本方程反應了平衡條件。因此，整體分析是在結(jié)點處考慮了上述三個方面條件。處考慮了上述三個方面條件。FBAABBABAFABABBAABMliiMMliiiM642624單桿分析單桿分析 鉸結(jié)端角位移和滑動支座線位移為什么不鉸結(jié)端角位移和滑動支座線位移為什么不作為位移法的基本未知量？作為位移法的基本未知量？ 在轉(zhuǎn)角位移方程中，在轉(zhuǎn)角位移方程中，鉸結(jié)端角位移和滑動支座線位移鉸結(jié)端角位移和滑動支座線位移都不是獨立的桿端位移分量，而與其它桿端位移分量保持都不是

39、獨立的桿端位移分量，而與其它桿端位移分量保持確定的關(guān)系。在手算中，為了減少基本方程數(shù)目，上述位確定的關(guān)系。在手算中，為了減少基本方程數(shù)目，上述位移分量不引如基本未知量。移分量不引如基本未知量。 什么情況下獨立的結(jié)點線位移可以不作什么情況下獨立的結(jié)點線位移可以不作為位移法基本未知量？為位移法基本未知量？ 若剛架的有側(cè)移桿都是剪力靜定桿，則用位移若剛架的有側(cè)移桿都是剪力靜定桿，則用位移法求解時，獨立結(jié)點立的線位移也可以不作為位移法求解時，獨立結(jié)點立的線位移也可以不作為位移法的基本未知量。這時剛架中桿件分為兩類：一類法的基本未知量。這時剛架中桿件分為兩類：一類是無側(cè)移桿件，其桿端彎矩計算公式照舊。另

40、一類是無側(cè)移桿件，其桿端彎矩計算公式照舊。另一類是有側(cè)移但剪力靜定桿，這類桿件無論其桿端連接是有側(cè)移但剪力靜定桿，這類桿件無論其桿端連接剛結(jié)點還是固定端，其轉(zhuǎn)角位移方程一律與一端剛剛結(jié)點還是固定端，其轉(zhuǎn)角位移方程一律與一端剛結(jié)一端滑動約束桿相同。結(jié)一端滑動約束桿相同。 答：可以。因為在靜定結(jié)構(gòu)中總是存在具有角位答：可以。因為在靜定結(jié)構(gòu)中總是存在具有角位移或線位移的結(jié)點，其位移就可作為位移法基本未移或線位移的結(jié)點，其位移就可作為位移法基本未知量；對應于每個角位移或線位移可建立一個平衡知量；對應于每個角位移或線位移可建立一個平衡方程，對應于任意單桿總可以建立相應的剛度方程方程，對應于任意單桿總可以

41、建立相應的剛度方程。 力法只能用于求解超靜定結(jié)構(gòu)。其原因是：力力法只能用于求解超靜定結(jié)構(gòu)。其原因是：力法是以多于未知力為基本未知數(shù)，而靜定結(jié)構(gòu)的幾法是以多于未知力為基本未知數(shù)，而靜定結(jié)構(gòu)的幾何特征是，幾何不變，且無多余約束的結(jié)構(gòu)。何特征是，幾何不變，且無多余約束的結(jié)構(gòu)。位移可否求解靜定結(jié)構(gòu)位移可否求解靜定結(jié)構(gòu)？8-10 本章小結(jié) 1.位移法計算基礎(chǔ)：位移法計算基礎(chǔ)： 以三類桿件為計算基礎(chǔ)（即教材表以三類桿件為計算基礎(chǔ)（即教材表8-1 等截面直桿的桿端彎矩和剪等截面直桿的桿端彎矩和剪力力 ）。）。 2.位移法計算原理：位移法計算原理： 幾何不變的結(jié)構(gòu)在一定的外因作用下，其內(nèi)力與位移之間恒具有一幾

42、何不變的結(jié)構(gòu)在一定的外因作用下，其內(nèi)力與位移之間恒具有一定的關(guān)系，確定的內(nèi)力只與確定的位移相對應。位移法是以結(jié)點處的獨定的關(guān)系，確定的內(nèi)力只與確定的位移相對應。位移法是以結(jié)點處的獨立角位移和線位移為基本未知量。立角位移和線位移為基本未知量。 3.位移法的基本思路：位移法的基本思路： 在相應的基本未知量處人為地附加約束而將原結(jié)構(gòu)在相應的基本未知量處人為地附加約束而將原結(jié)構(gòu)“化分化分”為若干為若干個單跨等截面超靜定梁，取這些單跨梁（或稱為單元）作為計算的基本個單跨等截面超靜定梁，取這些單跨梁（或稱為單元）作為計算的基本結(jié)構(gòu)。這些桿端位移應與其所在結(jié)點的其它桿端位移相協(xié)調(diào)。而后利用結(jié)構(gòu)。這些桿端位移應與其所在結(jié)點的其它桿端位移相協(xié)調(diào)。而后利用原結(jié)構(gòu)在荷載和結(jié)點位移的共同作用下，使每個附加約束中的反力（或原結(jié)構(gòu)在荷載和結(jié)點位移的共同作用下，使每個附加約束中的反力（或反力矩）都應等于零的平衡條件建立位移法的基本方程，解此方程，得反力矩）都應等于零的平衡條件建立位移法的基本方程，解此方程，得結(jié)點位移。求得結(jié)點位移后，原結(jié)構(gòu)的計算就轉(zhuǎn)化為單個桿件的計算問結(jié)點位移。求得結(jié)點位移后，原結(jié)