合肥工業(yè)大學(xué)(非數(shù)學(xué)專業(yè))高等數(shù)學(xué)競賽模擬六套試卷及答案(最新版)

1、合肥工業(yè)大學(xué)2011年大學(xué)生（非數(shù)學(xué)）高數(shù)競賽模擬題及答案（一）一、簡答題：1. 求，其中.分析：當(dāng)時，原式為型，當(dāng)時，原式為型解：當(dāng)時，原式， 其中，故 原式=.當(dāng)時 原式2求不定積分，其中：.解： 令：，代入有：,故有：,所以，原式=.3設(shè)二階線性微分方程（均為常數(shù)）有特解，求此方程的通解.解：由題設(shè)可知函數(shù)均為該方程相應(yīng)的齊次線性微分方程特解，為原方程的一個特解，故此方程的通解為.4. 設(shè)求函數(shù)u在點M(1,1,1)處沿曲面在點M處的外法線方向的方向?qū)?shù)解：， 即為曲面的外法線方向， 又 5. 設(shè)曲線是平面與球面的交線，試求積分.解：利用對稱性，因于是積分為： .二、設(shè)當(dāng)時，方程有且僅有

2、一個解，求的取值范圍.解：設(shè),1）當(dāng)時，單減，又（其中當(dāng)時，只有一個零點.2）當(dāng)時，令得唯一駐點且是內(nèi)的極小值，也是最小值,當(dāng)?shù)?，此時方程有且僅有一個根;當(dāng)?shù)?，此時方程無根;當(dāng)?shù)?，方程恰有兩個根.當(dāng)或時，方程有且有一根.三、求最小的實數(shù)C，對于連續(xù)函數(shù)，總有成立。解：一方面，,另一方面令，則有：,而,從而最小實數(shù).四、設(shè)其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明：證明: ，兩邊對x求導(dǎo)得結(jié)合方程（2）得又同理，原方程組兩邊對y求導(dǎo)得 故五、設(shè)球和球的公共部分體積為時，求的表面位于內(nèi)的部分的面積.解：記,其中是在平面上的投影,的體積 由題設(shè).由此得的面積.六、設(shè)函數(shù)是方程滿足條件的特解，求廣義積分.解：方

3、程的通解為，方程的特解可設(shè)為代人原方程可解得，所以方程的通解為，由初始條件可得，所以，考察函數(shù)，則，當(dāng)時,故函數(shù)在上是單增的，因而當(dāng)時有，所以當(dāng)時有,所以當(dāng),時，當(dāng),時，由此可得，而，所以.七、設(shè)，其中是曲面的第一卦限部分上側(cè)，求滿足的二階可導(dǎo)函數(shù) ，使得是某個二元函數(shù)的全微分.解: 其中，分別是在平面與平面上的投影，方向分別為右側(cè)與前側(cè)，是在平面上的投影，方向為下側(cè)，其中：而由于是某個二元函數(shù)的全微分,所以對應(yīng)的齊次方程通解為，此外（1）有特解，所以（1）的通解為，由得方程組解因此.合肥工業(yè)大學(xué)2011年大學(xué)生（非數(shù)學(xué)）高數(shù)競賽模擬題答案（二）一、 簡答題：1求.解：由于所以于是由夾逼準(zhǔn)則.

4、2設(shè)，求曲線與x軸所圍封閉圖形的面積S.解：首先，尋找函數(shù)的零點。容易看出，x = -1是一個零點，再由積分的奇偶性可得到另一個零點x=1；而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知不存在其他的零點。其次，注意到函數(shù)在上取負(fù)數(shù)，故：S= =.3設(shè)函數(shù)f（x，y)可微，且對任意x,y,t,滿足，是曲面上的一點，求當(dāng)時，在點處的法線方程.解：兩邊對t求導(dǎo)得 將代入得 將代入上式得由及得.所以在點處的法向量，故法線方程為4設(shè)連續(xù)函數(shù)在u=0處可導(dǎo),且，。試求：.解： =因此，原式=.5求方程的通解.解：令則方程可變化為，方程的通解為，方程的特解可設(shè)為代人方程解得，所以，方程的特解可設(shè)為代人方程解得，由此可得

5、原方程通解為.二、設(shè)函數(shù)在上可微，且對滿足證明： 分析：令當(dāng)時，單增， 存在或為，設(shè)，則對在上利用公式得存在，使得令，對上式兩邊取極限得即，而矛盾, .三、是否存在上的連續(xù)函數(shù)，使得： 與 成立解：不存在。事實上， =如果兩不等式同時成立，則有，矛盾！四、設(shè)二元函數(shù)，其定義域為（1）設(shè)點求過點的方向向量，使為最大，并記此最大值為.(2)設(shè)在D的邊界上變動，求的最大值.解：（1）使最大的方向為.（2）設(shè)，下面求在條件下的最大值.令，由（1）+（2）得，若 再由（3）式得，若，由式（3）得.于是得4個可能極值點：，而，故最大值.五、設(shè)在上半平面內(nèi)，函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對任意的都有.證明：對D內(nèi)的

6、任意分段光滑的有向簡單閉曲線L,都有.證明： 由格林公式知，對D內(nèi)的任意有向簡單閉曲線L, 的充分必要條件是：對任意，有由于對任意的及都有，兩邊對t求導(dǎo)，得.令，得.所以 .六、設(shè)在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，證明級數(shù)條件收斂.證明：由可得，又連續(xù)，故，當(dāng)時恒有，因而在上單增，由此可得當(dāng)時單減，且，由萊布尼茨判別法知級數(shù)收斂.又當(dāng)時由Lagrange中值定理可知使得，而級數(shù)是發(fā)散的，從而級數(shù)也是發(fā)散的，因此級數(shù)條件收斂.七、設(shè)函數(shù)在區(qū)間0,1上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足，其中.求的表達(dá)式.解：又 ，由題設(shè)有兩邊求導(dǎo)整理得 ，解得 將代入得 故 合肥工業(yè)大學(xué)2011年大學(xué)生（非數(shù)學(xué)）高數(shù)競賽模擬題答案（三

7、）一、簡答題1求極限，其中二元函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對均有。解：，因為時，對等式兩邊關(guān)于同時求導(dǎo)可得，令，可得，因而有，故原式。2求的整數(shù)部分。解：由于時有，因而有，又時有，所以，所以的整數(shù)部分是。3求經(jīng)過直線且與橢球面相切的平面方程。解：設(shè)切點為，則橢球面在該點處的切平面方程為，由題設(shè)有解得或者因而所求的平面方程為或。4設(shè)是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域，是的整個邊界的外側(cè)，計算。解：由高斯公式可得原式。5求級數(shù)的收斂域。解：，且時，所以該級數(shù)的收斂域是。二、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且存在使得，證明：使得。證明：令，則，此時有（1）若，由Rolle定理知使得即有；（2）若，不妨設(shè)，則，由導(dǎo)數(shù)的定義知使

8、得，再由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，使得，再對函數(shù)在區(qū)間上應(yīng)用Rolle定理知使得，即有。三、設(shè)在上連續(xù)，證明：。證明：在上連續(xù)，因而有界，所以，當(dāng)時有。對于，因為，故當(dāng)時有。在處連續(xù)， ，當(dāng)時有，因而有，若令，當(dāng)時有，因此，故原結(jié)論成立。四、設(shè)函數(shù)可微，且滿足，求。解：方法一 先計算極限并由題意得所以， ，兩邊積分得：故 ，由又由，再由知.方法二 視為常數(shù)，由方程得，即. 又由題意得所以 ，兩邊積分得：又，。五、設(shè)二元函數(shù)，求。解：記為位于第一象限內(nèi)的部分，由對稱性可知，記，則有，。六、設(shè)函數(shù)是函數(shù)的一個原函數(shù)，且，求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)。解：由題設(shè)有，即，由此可得，因是一個周期為的周期函數(shù)，故

9、有，所以該級數(shù)為，它的收斂域為，由于，因而該級數(shù)的的和函數(shù)為。七、在軸上有一動點從開始以常速度沿軸正向移動，在面上另一動點同時從點以常速率開始移動，且運動方向總是對著。（1）求動點運動軌跡方程；（2）求追趕到點時所走過的路程。解：（1）設(shè)在時刻動點所在的位置為，則有且滿足等式可變形為，兩邊同時對求導(dǎo)可得由式可得代人到式可得，令，則上述方程可變化為，積分后可得，即有由時可得，所以，積分后可得，由時可得，因而動點的軌跡方程為；（2）當(dāng)追趕到點時，此時走過的路程為，動點走過的路程為。合肥工業(yè)大學(xué)2011年大學(xué)生（非數(shù)學(xué)）高數(shù)競賽模擬題（四）一、簡答題1求曲線的斜漸近線方程。解：，因而所求斜漸近線方程

10、為。2設(shè)為周期函數(shù)，證明：。證明：設(shè)，則有，因為是周期為的周期函數(shù)，故有。3設(shè)函數(shù)，若為的極大值，求常數(shù)滿足的條件。解：由題設(shè)應(yīng)有即有，又，因此當(dāng)時，為的極大值；當(dāng)時，則一定不是的極大值；當(dāng)時，因而也是的極大值。4設(shè)，計算。解：由對稱性可得，同理有，所以。5求級數(shù)的和。解：，考察級數(shù)，所以。二、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，且，證明：，使得。證明：由及極限的保號性知使得，且，對函數(shù)分別在區(qū)間，和上應(yīng)用Lagrange中值定理知，使得，再對函數(shù)分別在區(qū)間及上應(yīng)用Lagrange中值定理知使得。三、設(shè)函數(shù)滿足，且對時，有，證明：(1)存在；（2）。證明：（1）由題設(shè)可知函數(shù)在上單增，因此時有，由單

11、調(diào)有界收斂原理可知存在；（2）由（1）的證明過程可知，對上述不等式兩邊同時取極限可得。四、設(shè)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且滿足，用變量代換，將變成，試求滿足的常數(shù)和。解：，代人到可得，再把代人可得，所以有，即。五、求曲線積分，其中是球面與柱面的交線在的部分，的方向規(guī)定為：從軸正向往下看曲線所圍成的球面部分總在的左邊。解：由斯托克斯公式得，其中，是上側(cè)法向量的方向余弦，由題設(shè)應(yīng)有，因而有。六、設(shè)數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列且極限為零，且對任意正整數(shù)均有是有界的。證明級數(shù)收斂。證明：由題設(shè)知，若記，那么只要證明數(shù)列有界即可。因為有界，因而，對均有，又因為那么對于任意取定的正整數(shù)，使得。由此可得所以，即，由的任意性

12、，可得數(shù)列有界，因而級數(shù)收斂。七、設(shè)，對任意的成立，證明：。證明：設(shè)函數(shù)在處取最大值，并考察在處的Taylor展開，有：兩邊積分，得：即：由于取最大值，故結(jié)論成立。 合肥工業(yè)大學(xué)2011年大學(xué)生（非數(shù)學(xué)）高數(shù)競賽模擬題答案（五）一、簡答題1設(shè)，試討論在處的連續(xù)性。解答：， 左連續(xù)當(dāng)且時，在處連續(xù)2對于連續(xù)函數(shù)，證明：。解答：3設(shè)，證明：在（0,0）處可微，并求。解答：故， = （）所以，在（0，0）處可微，且：。.4設(shè)是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域，是的整個邊界的外側(cè)，試求：解答：=5設(shè)函數(shù)的正弦級數(shù)展開式為，其中系數(shù)，若記為級數(shù)的和函數(shù)，求與的值。解答：，。二、設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且存在

13、，使得，證明：存在，使得分析：將結(jié)論中的改為得上式兩邊乘以得解答：令，則：1）若即時，由羅爾定理，存在使，即2）若，不妨設(shè)，則而在上利用Lagrange公式得，使所以由在上連續(xù)及連續(xù)函數(shù)的零點定理得，存在，使即三、設(shè)，證明：發(fā)散。解答：對于正項級數(shù)，有：故，結(jié)論成立。四、設(shè)在上半空間上函數(shù)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且其中，存在，求的表達(dá)式。解答：由 得 ，即化簡得：，即，通解為 由存在，從而 由此可得：所以 ，又由故：。五、設(shè)函數(shù)連續(xù)且恒大于零，其中，。1討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；2證明：當(dāng)時，。解答：1因為：所以在內(nèi)，故：在內(nèi)單調(diào)增加。2因為 ：要證明時，只需證明時即：令：則：，故：在內(nèi)單調(diào)增加。因為

14、在處連續(xù)，所以當(dāng)時，有。而，故當(dāng)時，。因此，當(dāng)時。六、設(shè)，判別級數(shù)的斂散性。解答：由正項級數(shù)的比值審斂法可知當(dāng)時該級數(shù)收斂。而當(dāng)時，由于時，當(dāng)時有，由此可知，該級數(shù)不收斂。七、設(shè)拋物面及圓柱面1求的一個切面，使得由它及與圍成的立體體積達(dá)到最??；2當(dāng)由（1）確定的最小體積的立體上有質(zhì)量分布，其密度，求的質(zhì)心坐標(biāo)。解答：1設(shè)是上的任一點，則在點處的法向量為所以，在點處的切平面的方程為：即：于是，由，和圍成的立體的體積其中極坐標(biāo)記令解得唯一解所以在約束條件下只有唯一可能極值點，由問題本身知有最小值，因此最小值必在處達(dá)到，所以切平面方程為。2設(shè)由，和圍成的立體的質(zhì)心為則，其中極坐標(biāo) （由于關(guān)于平面對稱

15、）極坐標(biāo) ,合肥工業(yè)大學(xué)2011年大學(xué)生（非數(shù)學(xué)）高數(shù)競賽模擬題答案（六）一、簡答題：1 求分析：由于=且：解答：原式=2設(shè)正值函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，證明：成立。解答：記，則：3證明：曲面任意點處的切平面在軸上的截距與切點到坐標(biāo)原點的距離之比為常數(shù)。并求出此常數(shù)。解答：為方便起見，記（即原點到點的距離），則， 曲面在任意點P(x，y，z)處切平面的法向量為，所以 ，切平面方程為，即 ，當(dāng) 時，切平面在軸上的截距，故 ，即截距與切點到坐標(biāo)原點的距離之比為常數(shù)。4試求的值。解答：=5求以函數(shù)為特解的四階常系數(shù)齊次線性微分方程的表達(dá)式和通解。解答：由題設(shè)及常系數(shù)齊次線性微分方程解的性質(zhì)可知為該方程相應(yīng)的特征方程的2重根，而為該方程相應(yīng)的特征方程的單根。因而它的特征方程為，因此該方程的表達(dá)式為，它的通解為：。 二、求。解答：由于又因為因而，原式=1。三、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)，證明：解答：=當(dāng)時，有：=四、設(shè)函數(shù)是可微函數(shù)，如果證明：u僅為的函數(shù)。解答：將u寫成球坐標(biāo)為自變量的函數(shù)，只要證明，即無關(guān)，只與r有關(guān)。設(shè)，令，于是 ，所以u僅是r的函數(shù)。五、設(shè)對于半空間內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面S，都有其中函