《直線的一般式方程》

1、3.2.3 3.2.3 直線的一般式方程直線的一般式方程問題提出問題提出 1. 1.直線方程有點斜式、斜截式、直線方程有點斜式、斜截式、兩點式、截距式等基本形式，這些兩點式、截距式等基本形式，這些方程的外在形式分別是什么方程的外在形式分別是什么? ? (一)填空名稱 已知條件 標(biāo)準(zhǔn)方程 適用范圍 點斜式 斜截式 兩點式 截距式 有斜率的直線有斜率的直線不垂直于x,y軸的直線不垂直于x,y軸的直線不過原點的直線(x0,y0) , kk,y軸上截距b(x1,y1)(x2,y2)x軸上截距ay軸上截距by-y0=k(x-x0)y=kx+by-y1y2-y1=x-x1x2-x1xa+yb=1過點 與x

2、軸垂直的直線可表示成 ， 過點 與y軸垂直的直線可表示成 。）（00, yx）（00, yx0 xx 0yy 2.從事物的個性與共性，對立與統(tǒng)一的觀點看問題，從事物的個性與共性，對立與統(tǒng)一的觀點看問題，我們希望這些直線方程能統(tǒng)一為某個一般形式，我們希望這些直線方程能統(tǒng)一為某個一般形式，對此我們從理論上作些探究對此我們從理論上作些探究.上述四種直線方程，能否寫成如下統(tǒng)一形式？上述四種直線方程，能否寫成如下統(tǒng)一形式？? x+ ? y+ ? =0)(11xxkyy bkxy 121121xxxxyyyy 1 byax0) 1(11 kxyykx0) 1( bykx0)()()()(121211211

3、2 xxyyyxyxxxyy0)( abaybx上述四式都可以寫成直線方程的上述四式都可以寫成直線方程的一般一般形式：形式：Ax+By+C=0, A、B不同時為不同時為0。 知識探究（三）：直線方程的一般式知識探究（三）：直線方程的一般式思考思考1:1:直線的點斜式、斜截式、兩直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程都是關(guān)于點式、截距式方程都是關(guān)于x x，y y的的方程，這些方程所屬的類型是什么？方程，這些方程所屬的類型是什么？思考思考2:2:二元一次方程的一般形式是二元一次方程的一般形式是什么？什么？Ax+By+CAx+By+C=0=0講解新課：講解新課：直角坐標(biāo)系中，任何一條直線的方程都是

4、關(guān)于直角坐標(biāo)系中，任何一條直線的方程都是關(guān)于x，y的一的一次方程。次方程。直線和直線和Y軸相交時：此時傾斜斜角軸相交時：此時傾斜斜角/2，直線的斜，直線的斜率率k存在，直線可表示成存在，直線可表示成y =k x+b（是否是二元一次方程？）（是否是二元一次方程？）直線和直線和Y軸平行（包括重合）時：此時傾斜角軸平行（包括重合）時：此時傾斜角=/2，直線的斜率直線的斜率k不存在，不能用不存在，不能用y =表示，可以表示表示，可以表示為為 x - a=0,亦可看作亦可看作y的系數(shù)為的系數(shù)為0的二元一次方程的二元一次方程(x-a+0y=0) 。結(jié)論：任何一條直線的方程都是關(guān)于，的二元一次方程。結(jié)論：任

5、何一條直線的方程都是關(guān)于，的二元一次方程。任何關(guān)于任何關(guān)于x，y的一次方程的一次方程Ax+By+c=0（A，B不同時為零）不同時為零）的圖象是一條直線的圖象是一條直線B0時時，方程化成，方程化成 這是直線的斜截這是直線的斜截 式，式，它表示為斜率為它表示為斜率為 ,縱截距為縱截距為 的直線。的直線。BCxBAy BAkBCB0時，由于時，由于A，B不同時為零所以不同時為零所以A0，此時，此時，Ax+By+C=0可化為可化為x= -C / A，它表示為與，它表示為與Y軸平行（當(dāng)軸平行（當(dāng)C=0時）或重合時）或重合（當(dāng)（當(dāng)C=0時）的直線。時）的直線。思考：直線與二元一次方程具有什么樣的關(guān)系？思考

6、：直線與二元一次方程具有什么樣的關(guān)系？結(jié)論結(jié)論:(1)直線方程都是關(guān)于直線方程都是關(guān)于x,y的二元一次方程的二元一次方程 （2）關(guān)于）關(guān)于x,y的二元一次圖象又都是一條直線。的二元一次圖象又都是一條直線。 我們把方程我們把方程Ax+By+c=0（A，B不同時為零）不同時為零）叫做叫做直線方程的一般式。所以直線和二元一次方程是直線方程的一般式。所以直線和二元一次方程是一一對應(yīng)。一一對應(yīng)。知識探究（二）：知識探究（二）：一般式方程的變式探究一般式方程的變式探究思考思考1:1:設(shè)設(shè)A A，B B不同時為不同時為0 0，那么集合，那么集合M=(xM=(x，y)| Ax+By+Cy)| Ax+By+C=

7、0 =0 的幾何意義如的幾何意義如何？何？思考思考2:2:如何由直線的一般式方程如何由直線的一般式方程Ax+By+CAx+By+C=0=0，求直線的斜率及在兩坐，求直線的斜率及在兩坐標(biāo)軸上的截距？標(biāo)軸上的截距？ 思考2：對于任意一個二元一次方程 （A，B不同時為零） 能否表示一條直線？0CByAxB 時,方程變?yōu)?y=-ABx-CB 表示過點(0,-CB),斜率為-AB的直線B=0 時,方程變?yōu)?x=-CA 表示垂直于x軸的一條直線)0A（思考思考3:3:當(dāng)當(dāng)A A，B B，C C分別為何值時，直分別為何值時，直線線Ax+By+CAx+By+C=0=0平行于平行于x x軸？平行于軸？平行于y

8、y軸？軸？與與x x軸重合？與軸重合？與y y軸重合？過原點？軸重合？過原點？思考思考4:4:過點過點P(xP(x0 0，y y0 0) )，且與直線，且與直線l：Ax+By+CAx+By+C=0=0平行的直線方程如何？平行的直線方程如何？探究：在方程探究：在方程 中，中， 1.當(dāng)當(dāng) 時，方程表示的直線與時，方程表示的直線與x軸軸 ；2.當(dāng)當(dāng) 時，方程表示的直線與時，方程表示的直線與x軸垂直；軸垂直；3.當(dāng)當(dāng) 時，方程表示的直線與時，方程表示的直線與x軸軸_ ；4.當(dāng)當(dāng) 時，方程表示的直線與時，方程表示的直線與y軸重合軸重合 ；5.當(dāng)當(dāng) 時，方程表示的直線過原點時，方程表示的直線過原點.平行重

9、合0AxByC000ABC，00ABC， 為任意實數(shù)000ABC，000ABC，0, ,0CA B不同時為思考思考5:5:設(shè)直線設(shè)直線l1 1、 l2 2的方程分別為的方程分別為 l1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0，l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0， 在什么條件下有在什么條件下有l(wèi)1 1l2 2？A1A2+B1B2=0理論遷移理論遷移 例例1 1 已知直線經(jīng)過點已知直線經(jīng)過點A A（6 6，-4-4），），斜率為斜率為 ，求直線的點斜式和一般式方，求直線的點斜式和一般式方程程. . 例例2 2 把直線把直線l的一般式方程的一般式

10、方程 x-2y+6=0 x-2y+6=0化成斜截式，求出直線化成斜截式，求出直線l的的斜率以及它在斜率以及它在x x軸與軸與y y軸上的截距，軸上的截距，并畫出圖形并畫出圖形. .43注：對于直線方程的一般式，一般作如下注：對于直線方程的一般式，一般作如下約定：一般按含約定：一般按含x x項、含項、含y y項、常數(shù)項順序項、常數(shù)項順序排列；排列；x x項的系數(shù)為正；項的系數(shù)為正；x x，y y的系數(shù)和常數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)；無特別說明時，最好項一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)；無特別說明時，最好將所求直線方程的結(jié)果寫成一般式。將所求直線方程的結(jié)果寫成一般式。 求直線的一般式方程求直線的一般式方程 的斜

11、率和截距的方法：的斜率和截距的方法：（1）直線的斜率）直線的斜率 （2）直線在）直線在y軸上的截距軸上的截距b令令x=0，解出，解出 值，則值，則 (3) 直線與直線與x軸的截距軸的截距a令令y=0，解出，解出 值，則值，則0(,AxByCA B在都不為零時)BAkBCyBCbACxACa例例3：設(shè)直線：設(shè)直線l的方程為（的方程為（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6根據(jù)下列條件確定根據(jù)下列條件確定m的值（的值（1）l在在x軸上的軸上的截距是截距是-3；（；（2）斜率是）斜率是-1。解解：（：（1）由題意得）由題意得332622 mmm 623322 mmm353 mm或或解解得

12、得032,32 mmm時時而而當(dāng)當(dāng)35,3 mm2)由題意得由題意得1323222 mmmm0) 12(3222 mmmm341 mm或或解解得得 例例3 3 已知直線已知直線l1 1：ax+(x+(a+1)y-+1)y-a=0=0和和l2 2：( (a+ +2)x+2(2)x+2(a+1)y-4=0+1)y-4=0，若，若l1 1/l2 2，求求a的值的值. . 例例4 4 已知直線已知直線l1 1：x-x-ay-1=0y-1=0和和l2 2: :a2 2x+y+2=0 x+y+2=0，若，若l1 1l2 2，求，求a的值的值. .鞏固訓(xùn)練（二）鞏固訓(xùn)練（二）設(shè)直線設(shè)直線l的方程為的方程為A

13、x+By+c=0（A，B不同時為不同時為零）零）根據(jù)下列各位置特征，寫出根據(jù)下列各位置特征，寫出A，B，C應(yīng)滿足的應(yīng)滿足的關(guān)系：關(guān)系：直線直線l過原點過原點:_直線直線l過點過點(1,1):_直線直線l平行于平行于 軸軸:_直線直線l平行于軸平行于軸:_C=0A+B+C=0A=0,B=0,C=0A=0,B=0,C=02已知直線已知直線Ax+By+C=0 當(dāng)當(dāng)B0時，斜率是多少？當(dāng)時，斜率是多少？當(dāng)B=0呢？呢？ 系數(shù)取什么值時，方程表示通過原點的直系數(shù)取什么值時，方程表示通過原點的直線？線？答：B0時，k= -A/B；B=0時，斜率不存在；答：答：C=0時，表示直線過原點。時，表示直線過原點。思考：利用直線方程的一般式，求過點（思考：利用直線方程的一般式，求過點（0，3）并且與坐標(biāo)軸圍并且與坐標(biāo)軸圍 成三角形面積是成三角形面積是6的直線方程。的直線方程。解：設(shè)直線為解：設(shè)直線為Ax+By+C=0，直線過點（直線過點（0，3）代入直線方程）代入直線方程得得3B= -C， B= C/3A=C/4又直線與又直線與x，y軸的截距分別為軸的截距分別為x= -C/A ,y= -C/B由三角形面積為由三角形面積為6得得122 ABC方程方程為034 CyCxC所求直線方程為所求直線方程為3x-