第一章第二課時命題及其關(guān)系、充分與必要條件

1、第2課時 命題及其關(guān)系、充分 條件與必要條件1命題命題用語言、符號或式子表達的，用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫作命題，可以判斷真假的陳述句叫作命題，其中判斷為真的語句叫作其中判斷為真的語句叫作 ，判斷為假的語句叫作判斷為假的語句叫作 基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理真命題真命題假命題假命題2四種命題及其關(guān)系四種命題及其關(guān)系(1)四種命題四種命題若原命題為若原命題為“若若p，則，則q”，則其逆命題是則其逆命題是 ；否命；否命題是題是 ；逆否命題；逆否命題是是 .基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理若若q，則，則p若若p，則，則 q若若 q，則，則 p“否命題否命題”與與“命題的否定命題的否定”有何

2、有何不同？不同？【思考思考提示提示】“否命題否命題”與與“命命題的否定題的否定”是兩個不同的概念，如果是兩個不同的概念，如果原命題是原命題是“若若p，則，則q”，那么這個原，那么這個原命題的否定是命題的否定是“若若p，則非，則非q”，即只，即只否定結(jié)論，而原命題的否命題是否定結(jié)論，而原命題的否命題是“若若 p，則，則 q”，即既否定命題的條件，即既否定命題的條件，又否定命題的結(jié)論又否定命題的結(jié)論基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理(2)四種命題間的關(guān)系四種命題間的關(guān)系基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理 3充要條件充要條件 (1)若若pq且且q/ p，則，則p是是q的的 條件，條件，q是是p的的 條件；條件；若若pq

3、且且qp，則，則p是是q的的 條件，條件，q也是也是p的的 條件條件 (2)若若A、B為兩個集合，滿足為兩個集合，滿足AB，設(shè)設(shè)Ax|p(x)，Bx|q(x)，則，則p是是q的的 條件，條件，q是是p的的 條條件；若件；若AB，則，則p是是q的的 條件條件基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理充分不充分不必要必要必要不充分必要不充分充分必要充分必要充分必要充分必要充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分充分必要充分必要1下列命題是假命題的是下列命題是假命題的是()A若若ac2bc2，則，則abB53C若若MN，則，則lnMlnND若若sinsin，則，則的逆命題的逆命題答案：答案：C三基能力強化三基能力強化

4、2(2009年高考湖南卷改編年高考湖南卷改編)對于對于非零向量非零向量a、b，“a2b0”是是“ab”的的()A充分不必要條件充分不必要條件B必要不充分條件必要不充分條件C充分必要條件充分必要條件 D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件答案：答案：A三基能力強化三基能力強化3(教材習(xí)題改編教材習(xí)題改編)命題命題“若若a2b20，a，bR，則，則ab0”的逆否命題是的逆否命題是()A若若ab0(a，bR)，則，則a2b20B若若ab0(a，bR)，則，則a2b20C若若a0且且b0(a，bR)，則，則a2b20D若若a0或或b0(a，bR)，則，則a2b20答案：答案：D三基能力強化三基能力

5、強化4a1是直線是直線yax1與與y(a2)x3垂直的垂直的_條條件件答案：充要答案：充要三基能力強化三基能力強化5下列命題：下列命題：若一個整數(shù)的末尾數(shù)字為若一個整數(shù)的末尾數(shù)字為0，則這，則這個整數(shù)能被個整數(shù)能被5整除；整除；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱；矩形的對角線相等矩形的對角線相等其逆否命題為真命題的序號為其逆否命題為真命題的序號為_答案：答案：三基能力強化三基能力強化(1)判斷命題的真假，可先寫出判斷命題的真假，可先寫出命題，分清條件與結(jié)論，直接判斷；命題，分清條件與結(jié)論，直接判斷；(2)如果不易判斷，可根據(jù)互為如果不易判斷，可根據(jù)互為逆否命題的兩個命題

6、是等價命題來逆否命題的兩個命題是等價命題來判斷判斷課堂互動講練課堂互動講練考點一考點一命題的判定命題的判定課堂互動講練課堂互動講練判斷下列語句是否是命題，若是，判判斷下列語句是否是命題，若是，判斷其真假，并說明理由斷其真假，并說明理由(1)矩形難道不是平行四邊形嗎？矩形難道不是平行四邊形嗎？(2)垂直于同一條直線的兩條直線必平垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？行嗎？(3)一個數(shù)不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù)；一個數(shù)不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù)；(4)大角所對的邊大于小角所對的邊；大角所對的邊大于小角所對的邊；(5)xy是有理數(shù)，則是有理數(shù)，則x，y也都是有理也都是有理數(shù)；數(shù)；(6)求證：求證：xR，方程，方程x2x1

7、0無無實數(shù)根實數(shù)根課堂互動講練課堂互動講練【思路點撥思路點撥】根據(jù)命題、真根據(jù)命題、真命題、假命題的概念進行判定命題、假命題的概念進行判定【解解】(1)通過反意疑問句，通過反意疑問句，對矩形是平行四邊形作出判斷，是對矩形是平行四邊形作出判斷，是真命題真命題(2)疑問句，沒有對垂直于同一疑問句，沒有對垂直于同一直線的兩條直線平行作出判斷，不直線的兩條直線平行作出判斷，不是命題是命題(3)是命題，是假命題，是命題，是假命題，1不是合數(shù)不是合數(shù)也不是質(zhì)數(shù)也不是質(zhì)數(shù)(4)是命題，是假命題，沒有考慮是命題，是假命題，沒有考慮到必須在同一個三角形中到必須在同一個三角形中(5)是命題，是假命題，若是命題，是

8、假命題，若x ，y .(6)祈使句，不是命題祈使句，不是命題課堂互動講練課堂互動講練【名師點評名師點評】判斷一個語句判斷一個語句是否是命題，關(guān)鍵在于能否判斷其是否是命題，關(guān)鍵在于能否判斷其真假，一般地，陳述句、反意疑問真假，一般地，陳述句、反意疑問句是命題，而感嘆句、祈使句、疑句是命題，而感嘆句、祈使句、疑問句都不是命題，含有變量的語句問句都不是命題，含有變量的語句叫開語句，不能判斷真假的開語句叫開語句，不能判斷真假的開語句也不是命題也不是命題課堂互動講練課堂互動講練在判斷四種命題之間的關(guān)系時，在判斷四種命題之間的關(guān)系時，首先要分清命題的條件與結(jié)論，再首先要分清命題的條件與結(jié)論，再比較每個命題

9、的條件與結(jié)論之間的比較每個命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系，要注意四種命題關(guān)系的相對關(guān)系，要注意四種命題關(guān)系的相對性，一旦一個命題定為原命題，也性，一旦一個命題定為原命題，也就相應(yīng)地有了它的就相應(yīng)地有了它的“逆命題逆命題”“否命否命題題”和和“逆否命題逆否命題”課堂互動講練課堂互動講練考點二考點二四種命題及其關(guān)系四種命題及其關(guān)系課堂互動講練課堂互動講練分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假否命題，并判斷它們的真假(1)面積相等的兩個三角形是全等三角形面積相等的兩個三角形是全等三角形(2)若若q1，則方程，則方程x22xq0有實根有實根(3)若

10、若x2y20，則實數(shù)，則實數(shù)x、y全為零全為零(4)若若x、y都是奇數(shù)，則都是奇數(shù)，則xy是偶數(shù)是偶數(shù)課堂互動講練課堂互動講練【思路點撥思路點撥】寫成寫成“若若p，則，則q”的形式的形式寫出逆命題、否命題、寫出逆命題、否命題、逆否命題逆否命題判斷真假判斷真假【解解】(1)逆命題：全等三角逆命題：全等三角形的面積相等，真命題形的面積相等，真命題否命題：面積不相等的兩個三否命題：面積不相等的兩個三角形不是全等三角形，真命題角形不是全等三角形，真命題逆否命題：兩個不全等的三角逆否命題：兩個不全等的三角形的面積不相等，假命題形的面積不相等，假命題(2)逆命題：若方程逆命題：若方程x22xq0有實根，則

11、有實根，則q1，真命題，真命題否命題：若否命題：若q1，則方程，則方程x22xq0無實根，真命題無實根，真命題逆否命題：若方程逆否命題：若方程x22xq0無實根，則無實根，則q1，真命題，真命題課堂互動講練課堂互動講練(3)逆命題：若實數(shù)逆命題：若實數(shù)x，y全為零，全為零，則則x2y20，真命題，真命題否命題：若否命題：若x2y20，則實數(shù)，則實數(shù)x，y不全為零，真命題不全為零，真命題逆否命題：若實數(shù)逆否命題：若實數(shù)x，y不全為不全為零，則零，則x2y20，真命題，真命題課堂互動講練課堂互動講練(4)逆命題：若逆命題：若xy是偶數(shù)，則是偶數(shù)，則x、y都都是奇數(shù)，是假命題；是奇數(shù)，是假命題；否命

12、題：若否命題：若x、y不都是奇數(shù)，則不都是奇數(shù)，則xy不是偶數(shù)，是假命題；不是偶數(shù)，是假命題；逆否命題：若逆否命題：若xy不是偶數(shù)，則不是偶數(shù)，則x、y不都是奇數(shù)，是真命題不都是奇數(shù)，是真命題課堂互動講練課堂互動講練【名師點評名師點評】(1)“都是都是”的否定是的否定是“不都是不都是”，而不是，而不是“都不是都不是”，因為，因為“x、y不都是奇數(shù)不都是奇數(shù)”包含包含“x是奇數(shù)是奇數(shù)y不是奇數(shù)不是奇數(shù)”、“x不是奇數(shù)不是奇數(shù)y是奇數(shù)是奇數(shù)”、“x、y都不是奇數(shù)都不是奇數(shù)”三種情況；三種情況；(2)“x0或或y0”的否定是的否定是“x0且且y0”，而不是，而不是“x0或或y0”，因為，因為“x0或

13、或y0”包含包含“x0且且y0”、“x0且且y0”、“x0且且y0”三種情況三種情況課堂互動講練課堂互動講練判斷一個命題是另一個命題的什么條判斷一個命題是另一個命題的什么條件，關(guān)鍵是利用定義如果件，關(guān)鍵是利用定義如果pq，則，則p叫叫做做q的充分條件，原命題的充分條件，原命題(或逆否命題或逆否命題)成成立，命題中的條件是充分的，也可稱立，命題中的條件是充分的，也可稱q是是p的必要條件；如果的必要條件；如果qp，則，則p叫做叫做q的必要的必要條件，逆命題條件，逆命題(或否命題或否命題)成立，命題中的成立，命題中的課堂互動講練課堂互動講練考點三考點三充分條件與必要條件的判定充分條件與必要條件的判定

14、課堂互動講練課堂互動講練條件為必要的，也可稱條件為必要的，也可稱q是是p的充分條件；的充分條件；如果既有如果既有pq，又有，又有qp，記作，記作pq，則，則p叫做叫做q的充分必要條件，簡稱充要條件，的充分必要條件，簡稱充要條件，原命題和逆命題原命題和逆命題(或逆否命題和否命題或逆否命題和否命題)都都成立，命題中的條件是充要的成立，命題中的條件是充要的課堂互動講練課堂互動講練指出下列各組命題中，指出下列各組命題中，p是是q的什么條件？的什么條件？(1)p：ab2，q：直線：直線xy0與圓與圓(xa)2(yb)22相切；相切；(2)p：|x|x，q：x2x0；(3)設(shè)設(shè)l，m均為直線，均為直線，為

15、平面，其中為平面，其中l(wèi) ，m，p：l，q：lm；課堂互動講練課堂互動講練【思路點撥思路點撥】(1)先分清命題的條先分清命題的條件與結(jié)論；件與結(jié)論；(2)分析由前者能否推出后者，由后分析由前者能否推出后者，由后者能否推出前者，也可利用反例來推證者能否推出前者，也可利用反例來推證【解解】(1)若若ab2，圓心，圓心(a，b)到直線到直線xy0的距離的距離d r，所以直線與圓相切，所以直線與圓相切，反之，若直線與圓相切，則反之，若直線與圓相切，則|ab|2，ab2，故故p是是q的充分不必要條件的充分不必要條件課堂互動講練課堂互動講練(2)若若|x|x，則，則x2xx2|x|0成立成立反之，若反之，

16、若x2x0，即即x(x1)0，則，則x0或或x1.當(dāng)當(dāng)x1時，時，|x|xx，因此，因此，p是是q的充分不必要條件的充分不必要條件(3)l lm，但，但lml，p是是q的必要不充分條件的必要不充分條件課堂互動講練課堂互動講練且且時，時，tantan，反之也成立，反之也成立p是是q的充要條件的充要條件課堂互動講練課堂互動講練【名師點評名師點評】(1)要分清充分性和要分清充分性和必要性；必要性；(2)注意兩種說法注意兩種說法“p是是q的必要不充分的必要不充分條件條件”與與“q的必要不充分條件是的必要不充分條件是p”是等價是等價的；的；(3)從集合的角度理解，小范圍可以從集合的角度理解，小范圍可以推

17、出大范圍，大范圍不能推出小范圍推出大范圍，大范圍不能推出小范圍課堂互動講練課堂互動講練 解：解：(1)若若ab2，圓心，圓心(a，b)到直線到直線xy0的距離的距離d r，所以直線，所以直線與圓相切，若直線與圓相切，則與圓相切，若直線與圓相切，則|ab|2，ab2，故，故q是是p的必要不充分條件的必要不充分條件課堂互動講練課堂互動講練例例3中其他條件不變，中其他條件不變，q是是p的什么條件？的什么條件？(2)若若|x|x，則，則x2xx2|x|0成立，成立，若若x2x0，即，即x(x1)0，則則x0或或x1.當(dāng)當(dāng)x1時，時，|x|xx，因此，因此，q是是p的必要不充分條件的必要不充分條件(3)

18、l/ lm，lml，q是是p的充分不必要條件的充分不必要條件課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練證明分為兩個環(huán)節(jié)，一是充分性；證明分為兩個環(huán)節(jié)，一是充分性；二是必要性證明時，不要認(rèn)為它是二是必要性證明時，不要認(rèn)為它是推理過程的推理過程的“雙向書寫雙向書寫”，而應(yīng)該進行，而應(yīng)該進行由條件到結(jié)論，由結(jié)論到條件的兩次由條件到結(jié)論，由結(jié)論到條件的兩次證明證明課堂互動講練課堂互動講練考點四考點四充要條件的證明充要條件的證明課堂互動講練課堂互動講練(解題示范解題示范)(本題滿分本題滿分12分分)求證方程求證方程ax22x10有有且只有一個負(fù)數(shù)根的充要條件且只有一個負(fù)數(shù)根的充要條件為為a0或或a

19、1.【思路點撥思路點撥】(1)注意討注意討論論a的不同取值情況；的不同取值情況；(2)利用根的判別式求利用根的判別式求a的取的取值范圍值范圍課堂互動講練課堂互動講練【證明證明】充分性：充分性：當(dāng)當(dāng)a0時，方程變?yōu)闀r，方程變?yōu)?x10，其根為其根為x ，方程只有一負(fù)根，方程只有一負(fù)根. 2分分當(dāng)當(dāng)a1時，時，方程為方程為x22x10，其根為，其根為x1，方程只有一負(fù)根方程只有一負(fù)根. 4分分當(dāng)當(dāng)a0時，時，4(1a)0，方程有兩個不相等的根，且方程有兩個不相等的根，且 0，方，方程有一正一負(fù)根程有一正一負(fù)根. 6分分必要性：必要性：若方程若方程ax22x10有且僅有一有且僅有一負(fù)根負(fù)根當(dāng)當(dāng)a0時

20、，適合條件時，適合條件當(dāng)當(dāng)a0時，方程時，方程ax22x10有有實根，實根，則則44a0，a1， 8分分當(dāng)當(dāng)a1時，方程有一負(fù)根時，方程有一負(fù)根x1.課堂互動講練課堂互動講練若方程有且僅有一負(fù)根，則若方程有且僅有一負(fù)根，則 ，a0.綜上，方程綜上，方程ax22x10有且僅有有且僅有一負(fù)根的充要條件為一負(fù)根的充要條件為a0或或a1. 12分分課堂互動講練課堂互動講練【思維總結(jié)思維總結(jié)】(1)條件已知證明條件已知證明結(jié)論成立是充分性結(jié)論已知推出條結(jié)論成立是充分性結(jié)論已知推出條件成立是必要性；件成立是必要性；(2)證明時易出現(xiàn)必要性與充分性證明時易出現(xiàn)必要性與充分性混淆的情形，這就要分清哪是條件，混

21、淆的情形，這就要分清哪是條件，哪是結(jié)論哪是結(jié)論課堂互動講練課堂互動講練(本題滿分本題滿分10分分)求證：關(guān)于求證：關(guān)于x的方程的方程x2mx10有兩個負(fù)實根的充要條件是有兩個負(fù)實根的充要條件是m2.證明：證明：(1)充分性：因為充分性：因為m2，所以所以m240，方程方程x2mx10有實根有實根設(shè)設(shè)x2mx10的兩個實根為的兩個實根為x1、x2，由根與系數(shù)的關(guān)系知由根與系數(shù)的關(guān)系知x1x210，所以所以x1、x2同號同號又因為又因為x1x2m2，所以所以x1、x2同為負(fù)根同為負(fù)根. 4分分課堂互動講練課堂互動講練(2)必要性：因為必要性：因為x2mx10的兩個的兩個實根實根x1、x2均為負(fù)，且均為負(fù)，且x1x21，所以所以m2(x1x2)2(x1 )2 0， 8分分所以所以m2.綜合綜合