第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)(1.5)-精簡(jiǎn)

1、1.5 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)一、基本概念一、基本概念二、圖形表示二、圖形表示三、極限三、極限四、連續(xù)四、連續(xù)按照一定法則，有確定的按照一定法則，有確定的復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) w 與它對(duì)應(yīng)，與它對(duì)應(yīng)，. )(zfw 上定義一個(gè)上定義一個(gè)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)，記作，記作對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) 有唯一的有唯一的 w 與它對(duì)應(yīng)；與它對(duì)應(yīng)；,Dz 單值函數(shù)單值函數(shù).)(2zzfw 比如比如 多值函數(shù)多值函數(shù)對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) 有多個(gè)有多個(gè) w 與它對(duì)應(yīng)；與它對(duì)應(yīng)；,Dz ,3zw .Arg zw 比如比如則稱(chēng)在則稱(chēng)在 D一、基本概念一、基本概念定義定義 設(shè)設(shè) D 是復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)集，對(duì)于是復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)集，對(duì)于 D 中任意的一點(diǎn)中任意

2、的一點(diǎn) ，z一般情形下，所討論的一般情形下，所討論的“函數(shù)函數(shù)”都是指單值函數(shù)。都是指單值函數(shù)。一、基本概念一、基本概念 一個(gè)復(fù)變函數(shù)對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)。一個(gè)復(fù)變函數(shù)對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)。分析分析則則 可以寫(xiě)成可以寫(xiě)成)(zfw )(yixfv iuw 設(shè)設(shè) ,yixz ,viuw , ),(),(yxviyxu 其中，其中， 與與 為實(shí)值二元函數(shù)。為實(shí)值二元函數(shù)。),(yxu),(yxv, ),(yxuu . ),(yxvv 分開(kāi)上式的實(shí)部與虛部得到分開(kāi)上式的實(shí)部與虛部得到 , )2()1(22yxiyx 比較兩邊實(shí)部與虛部即得比較兩邊實(shí)部與虛部即得12 zw代入代入 得得解解 記記

3、,yixz ,viuw 1)(2 yixviuP21 例例1.13 例例將復(fù)變函數(shù)將復(fù)變函數(shù)12 zw化為一對(duì)實(shí)變函數(shù)?；癁橐粚?duì)實(shí)變函數(shù)。, 122 yxu.2xyv G GG二、圖形表示二、圖形表示C映射映射平面平面z平面平面w其中，點(diǎn)集其中，點(diǎn)集 稱(chēng)為稱(chēng)為像像，點(diǎn)集，點(diǎn)集 稱(chēng)為稱(chēng)為原像原像。DG 函數(shù)函數(shù)和和映射映射可視為同一個(gè)概念。可視為同一個(gè)概念。D)(zfw zxywuv 同理可定義反函數(shù)和逆映射同理可定義反函數(shù)和逆映射)(wfz )(wfz G GG二、圖形表示二、圖形表示C映射映射平面平面z平面平面w其中，點(diǎn)集其中，點(diǎn)集 稱(chēng)為稱(chēng)為像像，點(diǎn)集，點(diǎn)集 稱(chēng)為稱(chēng)為原像原像。DGD)(zf

4、w zxywuv)(wfz 雙方單值或一一映射雙方單值或一一映射若若映射映射 與它的逆映射與它的逆映射 都是單值都是單值的，的，)(zfw )(wfz 則稱(chēng)映射則稱(chēng)映射 是是雙方單值的雙方單值的或者或者一一映射一一映射。)(zfw 解解 (1) 點(diǎn)點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的像對(duì)應(yīng)的像( (點(diǎn)點(diǎn)) )為為 iz2121 .21iw (2) 區(qū)域區(qū)域 D 可改寫(xiě)為：可改寫(xiě)為：, 2/arg0,1|0:zzzD 令令,e irz ,222e irzw 則則可得區(qū)域可得區(qū)域 D 的像的像( (區(qū)域區(qū)域) )G 滿(mǎn)足滿(mǎn)足.arg0, 1|0ww P22 例例;2121iz (1)(2).1| , 0Re, 0Im: z

5、zzzD,2zw 已知函數(shù)已知函數(shù)求下列點(diǎn)集的像。求下列點(diǎn)集的像。點(diǎn)點(diǎn)區(qū)域區(qū)域三、極限三、極限定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 的的去心領(lǐng)域去心領(lǐng)域 內(nèi)有定義內(nèi)有定義 ,)(zfw 0z |00zz若存在復(fù)數(shù)若存在復(fù)數(shù), A使得使得,0,0 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，有有 |00zz,|)(| Azf記作記作Azfzz )(lim0或或. )()(0zzAzf注注 (1) 函數(shù)函數(shù) 在在 點(diǎn)點(diǎn)可以無(wú)定義可以無(wú)定義；)(zf0z(2) 趨向于趨向于 的方式是的方式是任意任意的。的。0zz則稱(chēng)則稱(chēng) A 為函數(shù)為函數(shù) 當(dāng)當(dāng) z 趨向于趨向于 z0 時(shí)的時(shí)的極限極限，)(zfw P23定義定義 1.1 性質(zhì)性質(zhì) 如果

6、如果則則,)(lim,)(lim00BzgAzfzzzz 三、極限三、極限,)()(lim0BAzgzfzz (1)(2)(3),)()(lim0BAzgzfzz ).0(,)()(lim0 BBAzgzfzz 對(duì)于有限個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)：對(duì)于有限個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)：極限運(yùn)算與四則運(yùn)算互換極限運(yùn)算與四則運(yùn)算互換定理定理三、極限三、極限設(shè)設(shè), ),(),()(yxviyxuzf ,00viuA ,000yixz 證明證明,|,|00 vvuu.),(lim,),(lim000000vyxvuyxuyyxxyyxx 如果如果則則,0,0 ,)(lim0Azfzz 當(dāng)當(dāng) 20200)()(|0yyxxzz時(shí)，時(shí)，,

7、)()(|)(|2020 vvuuAzf.),(lim,),(lim000000vyxvuyxuyyxxyyxx 則則Azfzz )(lim0必要性必要性 “ ” P23定理定理 1.1 充分性充分性 “ ”(略略)三、極限三、極限 所所關(guān)心的兩個(gè)問(wèn)題關(guān)心的兩個(gè)問(wèn)題：(1) 如何證明復(fù)變函數(shù)的極限如何證明復(fù)變函數(shù)的極限存在存在？(2) 如何說(shuō)明復(fù)變函數(shù)的極限如何說(shuō)明復(fù)變函數(shù)的極限不存在不存在？a. 選擇選擇不同的路徑不同的路徑進(jìn)行討論進(jìn)行討論 (由定義由定義)放大技巧放大技巧 。|)(|)(|0zzgAzf b. 對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的二元函數(shù)其中一個(gè)的極限二元函數(shù)其中一個(gè)的極限不存在不存在(由定理由定

8、理)定理定理 設(shè)設(shè), ),(),()(yxviyxuzf ,00viuA ,000yixz .),(lim,),(lim000000vyxvuyxuyyxxyyxx 則則Azfzz )(lim0 P23定理定理 1.1 a. 從定義出發(fā)：從定義出發(fā)： 對(duì)應(yīng)的二元函數(shù)的極限都存在。對(duì)應(yīng)的二元函數(shù)的極限都存在。b. 從定理出發(fā)：從定理出發(fā)： xy討論函數(shù)討論函數(shù) 在在 的極限。的極限。例例 )(zfzz0z )(zf2|z2z, yxiyx222 22yx ,),( yxu22yx 22yx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0,0 xy,1),(yxu當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0,0 yx,1),( yxu因此極限不存在。因此

9、極限不存在。解解 方法一方法一 P24 例例1.15 l解解當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0,0 xy,1)(zf當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0,0 yx,1)( zf因此極限不存在。因此極限不存在。方法二方法二,)( zfyix yix xy方法三方法三沿著射線沿著射線: l,0,e rrzi ,)(lim)2(0e izlzzf與與 有關(guān)，因此極限不存在。有關(guān)，因此極限不存在。 討論函數(shù)討論函數(shù) 在在 的極限。的極限。例例 )(zfzz0zxy四、連續(xù)四、連續(xù)定義定義則稱(chēng)則稱(chēng) 在在 點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)連續(xù)。, )()(lim00zfzfzz 若若z0)(zf若若 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)處處連續(xù)，則稱(chēng)內(nèi)處處連續(xù)，則稱(chēng) 在在 D 內(nèi)內(nèi)

10、連續(xù)連續(xù)。)(zf)(zf注注 (1) 連續(xù)連續(xù)的三個(gè)要素：的三個(gè)要素：)(0zf存在；存在；)(lim0zfzz存在；存在；相等相等(2) 連續(xù)連續(xù)的等價(jià)表示：的等價(jià)表示：)()(lim00zfzfzz .0|lim0| wz0lim0 wz這里，這里，. )()(,000zfzzfwzzz P24定義定義 1.2 例如例如函數(shù)函數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外)()(ln)(2222yxiyxzf 是處處連續(xù)的。是處處連續(xù)的。 因?yàn)橐驗(yàn)?除原點(diǎn)外是處處連續(xù)的，除原點(diǎn)外是處處連續(xù)的，而而 是處處連續(xù)的。是處處連續(xù)的。)(ln),(22yxyxu 22),(yxyxv P25定理定理

11、1.2 四、連續(xù)四、連續(xù)函數(shù)函數(shù)和和),(),()(yxivyxuzf 在在點(diǎn)連續(xù)的點(diǎn)連續(xù)的充要條件充要條件是是定理定理000iyxz ),(00yx),(yxv在在),(yxu點(diǎn)連續(xù)。點(diǎn)連續(xù)。性質(zhì)性質(zhì)四、連續(xù)四、連續(xù)(1) 在在 連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)連續(xù)的兩個(gè)函數(shù) 與與 的和、差、積、的和、差、積、商商( (分母在分母在 不為零不為零) )在在 處連續(xù)。處連續(xù)。z0)(zf)(zgz0z0(2) 如果函數(shù)如果函數(shù) 在在 處連續(xù)，函數(shù)處連續(xù)，函數(shù) 在在連續(xù)，則函數(shù)連續(xù)，則函數(shù) 在在 處連續(xù)。處連續(xù)。)(zg z0)( fw )(00zg )(zgfw z0(3) 如果函數(shù)如果函數(shù) 在有界閉區(qū)域在有界

12、閉區(qū)域 D 上連續(xù)，則上連續(xù)，則)(zf P26上必有界；上必有界；D| )(|zf在在 上必能取到最大值與最小值；上必能取到最大值與最小值；D| )(|zf在在 上必一致連續(xù)。上必一致連續(xù)。D)(zf在在 )0(arg)( zzzf例例 證明證明在復(fù)平面上在復(fù)平面上除去原點(diǎn)除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的區(qū)域和負(fù)實(shí)軸的區(qū)域上連續(xù)。上連續(xù)。yx z0 P25 例例1.16 為全平面除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的區(qū)域上為全平面除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的區(qū)域上任一點(diǎn)任一點(diǎn)。0z證證 設(shè)設(shè), 0 考慮任意充分小的正數(shù)考慮任意充分小的正數(shù) |0zz使得當(dāng)使得當(dāng)時(shí)，時(shí)，. zzfarg)( 因此因此點(diǎn)連續(xù)。點(diǎn)連續(xù)。0z在在再由再由0z知知的的任意性任意性，zzfarg)( 在所述區(qū)域內(nèi)連續(xù)。在所述區(qū)域內(nèi)連續(xù)。 存在正數(shù)存在正數(shù)| )()(|0zfzf 有有|argarg|0zz ,sin|0 z （請(qǐng)記住此例結(jié)論）（請(qǐng)記住此例結(jié)論）補(bǔ)充補(bǔ)充 關(guān)于含關(guān)于含 的極限作如下規(guī)定：的極限作如下規(guī)定： )(limzfz)(f1z.0lim0 z1(3) 關(guān)于定義的描述關(guān)于定義的描述(舉例舉例)：Azfz )(lim(1);lim)(0Afz 1z )(lim0zfzz(2);0lim0 zz)(zf1,0,0 M 使得使得當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，有有 |zM,|)(| AzfAzfz )(lim 已知復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，求模與已知復(fù)數(shù)的實(shí)部