有限元復(fù)習(xí)大綱

1、有限元復(fù)習(xí)大綱1 .有限元程序設(shè)計的基本原理是什么？實際上就是最小勢能原理，不同之處，即技術(shù)核心所在就是采用分段離散的方式來組合出全場 幾何域上的試函數(shù)，而不是直接尋找全場上的試函數(shù)。2 .有限元程序的具體實現(xiàn)步驟？請以桿系結(jié)構(gòu)為例子進行闡述說明。Ansys步驟：1進入ANSYS ; 2設(shè)置計算類型；3選擇單元類型；4定義材料參數(shù)；5定義截 面；6生成幾何模型；7網(wǎng)格劃分；8模型施加約束、荷載；9分析計算；10結(jié)果顯示；11退出系 統(tǒng)。3 .你所了解的有限元軟件都有哪些？ANSYS、ADINA、ABAQUS、MSC4 .計算力學(xué)涉及哪些領(lǐng)域？涉及領(lǐng)域：有限元方法、理論及應(yīng)用力學(xué)、應(yīng)用數(shù)值分析和

2、計算機及信息科學(xué)。計算力學(xué)的應(yīng)用范圍擴大到固體力學(xué)、巖土力學(xué)、水力學(xué)、流體力學(xué)、生物力學(xué)等領(lǐng)域。5 .解決計算固體力學(xué)的靜力問題都有哪些常用方法？在固體力學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的數(shù)值方法是有限元法，其他數(shù)值方法還有有限差分法、加權(quán)殘量法、邊界元法、有限條法、自由網(wǎng)格法等。6 .為什么要采用有限元方法來解決工程問題？與常規(guī)解析方法有什么不同？運用有限元方法解決工程實際問題時， 不管是簡單結(jié)構(gòu)或者是復(fù)雜的結(jié)構(gòu)， 其求解過程是完全 相同的，由于每個步驟都具有標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范性的特征， 可以在計算機上進行編程而自行實現(xiàn)， 這是 常規(guī)解析方法無法實現(xiàn)的。7 .從物理模型到有限元求解結(jié)果，中間存在哪些可能誤差？有限

3、元分析是用較簡單的問題代替復(fù)雜問題后再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個合適的（較簡單的）近似解，然后推導(dǎo)求解這個域總的滿足 條件（如結(jié)構(gòu)的平衡條件），從而得到問題的解。這個解不是準(zhǔn)確解，而是近似解，因為實際問題被 較簡單的問題所代替。由于大多數(shù)實際問題難以得到準(zhǔn)確解， 而有限元不僅計算精度高，而且能適 應(yīng)各種復(fù)雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。按位移法求解的有限元法中，應(yīng)力解答的精度要小于位移解答精度的原因：應(yīng)用位移元進行有限元分析時，未知場函數(shù)是位移，從系統(tǒng)平衡方程解得的是各個結(jié)點的位移 值。Be, D D B e而應(yīng)變矩陣B是插值函數(shù)N對坐

4、標(biāo)進行求導(dǎo)后得到的矩陣。求導(dǎo)一次，插值多項式的次數(shù) 就降低一次。所以通過導(dǎo)數(shù)運算得到的應(yīng)變和應(yīng)力 精度較位移u降低了，即利用以上兩式得到的應(yīng)變和應(yīng)力的解答可能具有較大的誤差。應(yīng)力解的誤差表現(xiàn)于：單元內(nèi)部不滿足平衡方程 單元與單元的交界面上應(yīng)力一般不連續(xù)在力的邊界上一般不滿足力的邊界條件用非協(xié)調(diào)單元反而比協(xié)調(diào)單元精度高的原因：單元原是連續(xù)體的一部分，具有無限多個自由度。在假定了單元的位移函數(shù)后，自由度限制為 只有以結(jié)點位移表示的有限自由度，即位移函數(shù)對單元的變形進行了約束和限制， 使單元的剛度較 實際連續(xù)體加強了，因此連續(xù)體的整體剛度隨之增加，離散后的 K較小。8 .有限元分析的兩種典型力學(xué)模型

5、是什么？我們目前常用的模型是哪類？集中參數(shù)模型（彈簧一質(zhì)點體系）、基壬連續(xù)力學(xué)慢型工梁、桁架、板殼）9 .桿系結(jié)構(gòu)包括哪些類型？哪些結(jié)構(gòu)可以采用桿系結(jié)構(gòu)模擬，請舉例說明。桿系結(jié)構(gòu)：梁、拱、框架、桁架等。它們?？呻x散成桿元和梁元，用桿件相互連接組成的幾何 不變體系。如連續(xù)梁、桁架、剛架、拱、懸索結(jié)構(gòu)、網(wǎng)架結(jié)構(gòu)等。10 .有限元法的基本思路？有限元方法的基本思路：將連續(xù)系統(tǒng)分割成有限個分區(qū)或單元，對每個單元提出一個近似解， 再將所有單元按標(biāo)準(zhǔn)方法組合成一個與原有系統(tǒng)近似的系統(tǒng)。有限單元法解題步驟：結(jié)構(gòu)的離散化，即單元網(wǎng)格劃分；選擇位移模式；分析單元的 力學(xué)特征，利用幾何方程導(dǎo)出結(jié)點位移表示的單元應(yīng)

6、變，利用本構(gòu)方程建立單元內(nèi)任意一點的應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，利用變分原理建立單元的平衡方程； 集合所有單元的平衡方程，建立整個結(jié)構(gòu)的 平衡方程（即總的平衡方程），包括將剛度集成總剛，以及將單元的等效結(jié)點力列陣集成總的荷載 列陣；求解結(jié)點位移和計算單元應(yīng)力， 包括邊界條件修正； 解方程，得到未知問題的節(jié)點值； 后處理。11 .掌握直接剛度法，掌握單元剛度矩陣合成整體剛度矩陣，掌握子塊搬家。12 .能夠采用直接剛度法求解簡單的桁架結(jié)構(gòu)受力。作業(yè)一（去年考題） P99P10513 .掌握桁架單元的整體坐標(biāo)和單元坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換過程。作業(yè)一（去年考題） P99P10514 .勢能，應(yīng)變能和外力功之間的關(guān)系是什么？

7、勢能=應(yīng)變能-外力功15 .求解數(shù)學(xué)模型的三種模式？強形式：偏微分方程+邊界條件；弱形式：加權(quán)余量法、伽遼金法；變分形式：瑞利-里茲法16 .了解加權(quán)余量法的基本概念和實現(xiàn)流程，掌握伽遼金法（Galerkin加權(quán)殘值法）的計算。加權(quán)余量法求解流程：1.初步選取嘗試函數(shù)、構(gòu)造近似解2.結(jié)合問題的邊界條件對嘗試函數(shù)進 行修正，以簡化求解3.寫出加權(quán)余數(shù)表達式（伽遼金法選取加權(quán)函數(shù)）4.令權(quán)余數(shù)表達式在各嘗試 函數(shù)下為0,得到代數(shù)方程組，解之得到待定系數(shù)，從而確定近似解。伽遼金法（Galerkin加權(quán)殘值法）：作業(yè)二第1題，P5617 .了解變分原理的基本概念。變分命題的實質(zhì)是求泛函的極值問題。18

8、 .彈性力學(xué)對應(yīng)的變分原理是什么？我們常用的是哪一種？彈性力學(xué)對應(yīng)的變分原理是能量法，具體有最小勢能原理和最小金筐原理/其中最小勢能原理 用于位移法，是以位移作為基本的未知數(shù)；最小余能原理用于力法，以應(yīng)力作為基本未知數(shù)求解。 目前常用的是最小勢能原理。19 .什么是最小勢能原理，其表述？設(shè)有滿足位移邊界條件BC（u）的許可位移場，其中真實的位移場U?使物體的總勢能取最小值， 即：minuu? U W20 .了解最小勢能原理的變分基礎(chǔ)，掌握桿系以及梁單元的變分原理及其推導(dǎo)過程P65 （作業(yè)二）。1、桿單元，左邊固定，右邊施加一集中力EJ h5r*cZv + (£4)f7.vdx-PMA

9、)-(/TJ)，& Ml).t心考慮到許可位移場的性質(zhì)，它事先已滿足位移邊界條件，因此在位移邊界上，它的微分增量為 零，即 &40） = 0由變分方法，對泛函取極值，令 =0由于u是變分增量，具有任意性，要使上式包滿足，則有:Setting tlie coetlicieuls of A/ ui (口上)and 45" at L to ztio seperatelv,- Fnler Fqiiationn Nnnirnl b e.-EAdx * duEA dxdu2、受均布外荷載簡支梁的平面彎曲問題G八-EI-vt -/dxBC(u)： vUFyRBC(p): MU=EI

10、v*U=0ML 4“k=0該問題的最小勢能原理，其數(shù)學(xué)變分提法為：設(shè)有滿足位移邊界條件的許可位移場函數(shù)v其中真實的一組v' x使得以下泛函取極小值，即miji n（wX）取推的叫應(yīng)變能C7 = -f q/dQ *- f RjdQj J 2a v.r)也 於2 J口 0 b2 J口 l*=( E/_(2 J 口fix1 dx? 20八外力功n = t/-r =i1£fr& - J 孤*> 城gy必-史代的LhIL'V下出來證明，由Q-月）式所得到的代工）忒是真雪的解.口56)燈加丹叩擊）63標(biāo)以f的符號6為殳分符號（即曳合的敬求依分工對式右端的第一項作兩次

11、分部積分，有也自然名城；dx ax=E嗡）等E嘿的口孚哈油'法 JoJ=MJ嚙兒JM血韻小 田禮6一+尸噌”法持口-57）代回（2-56中.考慮到許可位移場性質(zhì)（2衛(wèi)8）（它滿足位移邊界條件，因此在位禱邊界上，它的噬分港量為零萬即，=則058）變?yōu)?lt;sn =2敬 L -加礴）k +阿餐）-為甘沁5鋁京曷小勢能原理*對系統(tǒng)的勢能n取極值，令伍隴<5n=oM，M剽k M.5（第k，!回（*）一妣卜血”0的由于$3及3（片）具有任意性1要使Q*的）式恒淅足.則必有 L'Kr*-61,Q-。Q-63：(26 4Q65；町產(chǎn)口A心。揖 取?。?% =。 dr這就是力的邊界條件

12、BC3）0.51）, 1253式.以及平衡方程（249）式.若再對Q-%）取一次變分.即求取勢能口的二次變分,有，哈4由于的5則有占力>021 .了解一般彈性問題的最小勢能原理的變分過程。P6722 .求解彈性問題，采用微分形式和積分形式有哪些不同之處？最常用的是哪種形式？求解過程、函數(shù)的要求及形式、泛函形式、技術(shù)關(guān)鍵、難易程度、求解精度、方程的最后形式、 方法的規(guī)范性、方法的通用性、解題范圍不同。由于工程問題非常復(fù)雜，要求所采用的方法具有較 好的規(guī)范性、較低的難度、較低的函數(shù)連續(xù)性要求、較明確的物理概念、較好的通用性。而基于最 小勢能原理的積分形式求解方法具有較明顯的綜合優(yōu)勢。23 .

13、虛功原理的概念?變形體中滿足平衡的力系在任意滿足協(xié)調(diào)條件的變形狀態(tài)上作的虛功等于零，即體系外力的虛功與內(nèi)力的虛功之和等于零，即 PA A PB B 0024 .純彎梁的假設(shè)？當(dāng)桿件受一對方向相反、作用面位于桿的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的力偶作用時，桿件將發(fā)生彎曲變形， 受彎桿件常簡稱為梁。梁發(fā)生純彎時， 其橫截面上只有彎矩一種內(nèi)力。根據(jù)平截面假定，梁的橫截面在彎曲變形后仍保持為平面，且仍垂直于撓曲后的梁軸線。25 .什么是鐵木辛柯梁，與經(jīng)典梁的區(qū)別？鐵木辛柯梁：位移撓度的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，如果對撓度函數(shù)和截面轉(zhuǎn)角進行獨立插值，并且考 慮剪切變形的影響，這樣所構(gòu)造出來的梁單元 。普通梁耒蒼虛剪切變女的影響，而

14、鐵木辛柯梁考慮了剪切變形的影響， 并對撓度函數(shù)進行獨立 插值。鐵木辛柯梁的撓度值包含了彎曲和剪切引起的變形， 且長細比越小，對剪切變形的影響越大。 26.什么叫做剪切閉鎖，可以采用什么方法處理和避免？剪切閉鎖：是由于約束條件未能精確滿足（dw/dx-巾金0）,在梁很薄時導(dǎo)致不確當(dāng)?shù)乜鋸埩?剪切應(yīng)變能項的量級而造成的現(xiàn)象。避免產(chǎn)生剪切閉鎖的方法： 減縮積分、假設(shè)剪切應(yīng)變、替代插值函數(shù)。27 .單元的剛度存儲有哪些方法？掌握半帶寬的計算。（去年考）全矩陣存貯法、對稱三角存貯法、平帶寬存貯法、一維壓縮存貯法。帶寬：反應(yīng)非零數(shù)據(jù)集中程度的一個指標(biāo)。半帶寬存貯法：存貯上三角形（或下三角形）半帶寬以內(nèi)的元

15、素。半寬帶的計算：di =（第i個單元中節(jié)點編號的最大差值 +1）則整體剛度矩陣的最大半寬帶為d = max di （i=1,2,3,4,n）對于2D問題，=2,對于3D問題， =328 .平面三節(jié)點三角形單元的特性？與四邊形相比，其精度如何？三節(jié)點三角形單元：是常應(yīng)變單元，應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣為常數(shù)，對于應(yīng)變梯度較大的區(qū)域， 單元劃分應(yīng)適當(dāng)密集，否則不能反映出應(yīng)變的真實變化，從而導(dǎo)致較大的誤差。而四節(jié)點矩形單元， 其應(yīng)變和應(yīng)力為一次線性變化，這種單元的位移模式是完備和協(xié)調(diào)的， 因而比三節(jié)點常應(yīng)變單元的 精度局。29 .三角形單元剛度矩陣的性質(zhì)，整體剛度矩陣的性質(zhì)。單元剛度矩陣k的性質(zhì)：單元剛度

16、矩陣中每個元素有明確的物理意義例如， %表示單元第j 個自由度產(chǎn)生單位位移（j 1）,其他自由度固定（=0）時，在第i個自由度產(chǎn)生的節(jié)點力Fi；它反 應(yīng)了單元抵抗變形的能力。由于剛體位移不引起內(nèi)力，因此同一行或同一列的系數(shù)之和為零。 每 一行或每一列元素之和為零；對稱矩陣；奇異矩陣，即 k的行列式為零；常量矩陣。整體剛度矩陣K的特性：對稱性；Kii >0;稀疏；帶狀矩陣；奇異；正定；各 列相加等于零。30 .掌握三角形單元剛度矩陣的計算，掌握三角形等效節(jié)點力的計算。 (1)平面應(yīng)力三角形單元kHk kjikmikj kjj kmjkimkjmkmmkrsEh4(12)AbrbsCrbs1

17、212CQsbrCsbrCsCrCs Crbs brbsbiyj(2)C Xjxm平面應(yīng)變?nèi)切螁卧猭rsE(1 )h4(1)(1 2 )Abrbs12(12)CrCs1 2Crbs brCs12(1),1 2brCs 2(11 2-crbs )CrCs brbs2(1)31 .掌握總剛集成。32 .掌握位移函數(shù)和形函數(shù)的概念，掌握二者之間的關(guān)系。位移函數(shù)u:是單元內(nèi)部位移變化的數(shù)學(xué)表達式，設(shè)為坐標(biāo)的函數(shù)，由于有限元法采用能量原 理進行單元分析，因而必須事先設(shè)定位移函數(shù)。 但在有限元中，當(dāng)單元劃分得足夠小時，把位移函 數(shù)設(shè)定為簡單的多項式就可以獲得相當(dāng)好的精確度。形函數(shù)N:是用單位結(jié)點位移分量

18、來描述位移函數(shù)的插值函數(shù)。二者關(guān)系式：u(x)=N(x)qe33 .選擇單元位移函數(shù)需要滿足的條件有哪些？選擇單元位移函數(shù)應(yīng)滿足一下條件：1)反映單元的剛體位移與常量應(yīng)變。2)相鄰單元在公共邊界上的位移連續(xù)，即單元之間不能重疊，也不能脫離34 .什么是Co階和Ci階問題？C0型單元：指在泛函(勢能)中位移函數(shù)出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)是 1階，在單元交界面上具有 0 階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即節(jié)點上只要求位移連續(xù)。一般的桿單元、平面問題單元、空間問題單元都是Co型單元。Ci型單元：指在泛函(勢能)中位移函數(shù)出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)是2階，在單元交界面上具有1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即節(jié)點上除要求位移連續(xù)外，還要求 1階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。梁

19、單元、板單元、殼單元都是 Ci型單元。35 .掌握基于自然坐標(biāo)的矩形單元形函數(shù)的推導(dǎo)。線性矩形單元，沿著12= L/i + J%線性矩形單元，沿著43, 我分= £氏4 +沿著y軸平行線:"-%r"l三 十-I < < 1同理:v=£工"&!-Where £%£)=(1+工)1 + m) ”123,4若原點坐標(biāo)為（工。，,。），則有:工=/ +試01y = yn 也，36 .了解基于面積坐標(biāo)的三角形單元高階形式的推導(dǎo)由面積坐標(biāo)表示，則 L1 A1,L2 A2,L3 &AAANp Lip mL1j

20、1j 1j形函數(shù)公式為M Np L1 Nq L2 Nr L3 其中 m 3,m p q r,i 1,2,L ,101p0由圖可知 N10 N1 L1 N1 L2 N1 L31237 .了解serendipity單元形函數(shù)構(gòu)造。盡量在邊界上增加節(jié)點的單元叫做 serendipity單元，P25738 .可以采用哪些方法提高有限元的計算精度？不同單元連接時需要注意哪些問題？1、提高計算分析精度方法：h方法、p方法、r方法、自適應(yīng)方法及組合方法 h-p adaptive。h方法：不改變各單元上基底函數(shù)的配置情況，只通過逐步加密有限元網(wǎng)格來使結(jié)果向正 確解逼近。p方法：保持有限元的網(wǎng)格剖分固定不變，增

21、加各單元上基底函數(shù)的階次，從而改善計算 精度。r方法：不改變單元類型和單元數(shù)目，通過移動節(jié)點來減少離散誤差，因而，單元的總自 由度保持不變。自適應(yīng)方法：運用反饋原理，利用上一步的計算結(jié)果來修改有限元模型，其計算量較小，計算精度卻得到顯著提高。2、不同單元連接時需要注意：、單元之間不能沒有連接；、連接要協(xié)調(diào)，兩節(jié)點的邊不能與三節(jié)點的邊相連接;、邊節(jié)點不能與角節(jié)點連接。39 .掌握等參單元的基本概念。等參變換：單元幾何形狀的變換和單元內(nèi)的場函數(shù)采用相同數(shù)目的節(jié)點參數(shù)及相同的插信函 數(shù)進行變換。采用等參變換的單元稱為等參單元。等參元：幾何形狀函數(shù)矩陣N中的插值階次二位移形狀函數(shù)矩陣N中的插值階次。（

22、超參元“>”， 亞參元“ <”）40 .掌握雅可比矩陣的計算，掌握等參單元等效節(jié)點力的計算。作業(yè)6 （去年考題）41 .掌握等參變換的條件。對于兩個坐標(biāo)系，即物理坐標(biāo)系（x, v）和基準(zhǔn)坐標(biāo)系其，“），若要進行一對一的變換，具條 件是雅可比行列式I JI *0,等參單元的變換作為一種坐標(biāo)變換也必須服從此條件。因為如果IJI =0,基準(zhǔn)坐標(biāo)系其，“）中的面積微元將對應(yīng)于物理坐標(biāo)系（x, V）的一個點，顯然這種變換不是 一一對應(yīng)的。另外因為I JI =0, J1將不成立，所以兩個之間偏導(dǎo)數(shù)的變換式也就不可能實現(xiàn)。42 .如何確定高斯積分的階數(shù)？為何高斯積分點上的精度最高？通過數(shù)值分析和測試確定合理的高斯積分的階數(shù)。 積分的階數(shù)對精確性、計算時間和消耗具有 很大影響，選取合理的高斯積分通?；冢壕_性和非奇異矩陣non-singularK在等參單元中，單元中n 1階n p m高斯積分點上的應(yīng)變或應(yīng)力