《電磁場理論》課件2

1、第二章 恒定電場電流密度是一矢量，任意點上的電流密度矢量J的方向與該點上正電荷運動的方向一致。由已知電流密度矢量J，可以計算某點上通過面積元矢量dS的電流dI 2-1導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流2.1.1 電流密度和元電流 電荷的運動形成電流，單位時間通過某面積的電荷稱為電流強度或簡稱電流。在垂直與電荷運動方向的平面里，單位面積所通過的電流稱為電流密度，其大小為 ndSdIJ 其中代表矢量J與矢量dS的交角。通過面積S的電流是上式的積分 I=SdS電流密度決定于電荷密度和運動速度。不同的電荷分布運動時，所形成的電流密度具有不同的表達式： 體電流密度矢量 J=v (A/m2) 面電流密度矢量 K=v (A/

2、m) 線電流 I=v (A)如有元電荷dq以速度v運動，則dqv這一量的單位為庫侖米/秒=安培米，我們稱之為元電流段。相應(yīng)地，可以得到作不同分布的元電荷運動后形成的元電流段。在以后的討論中，我們常常要用到元電流段的概念。元電流段有下列不同形式：cosJdSSdJdIvdq JdV KdS Idl 導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)部存在一定數(shù)量的自由電荷，當(dāng)內(nèi)部有電場時，會引起自由電荷的宏觀運動。導(dǎo)電媒質(zhì)中電荷的運動稱為傳導(dǎo)電傳導(dǎo)電流流。傳導(dǎo)電流密度與電場強度成正比，其關(guān)系為 J=E比例系數(shù)稱為媒質(zhì)的電導(dǎo)率，它的單位為1/歐姆米或西門子/米。 的倒數(shù)稱為電阻率，用r表示，單位是歐姆米（m）因此上式又可寫成 E=rJ以

3、上二式都是歐姆定律的微分形式2.1.2 歐姆定律的微分形式 導(dǎo)電物質(zhì)中的電流場是消耗能量的，我們也可求得一個表示消耗功率的場函數(shù)。在電流場中取一段長度為dl，截面為dS的圓狀體積元，可認為其上電流密度是均勻的。假若靜電場將這體元中的電荷dq在dt時間內(nèi)搬運出這體積元，也就是使dq移過dl的路程，所作的功即轉(zhuǎn)化為熱能消耗。設(shè)體積元兩端的電壓差為dU，則靜電場所作的功 dA =dUdq =dUdI dt =Edl JdSdt=EJ dV dt2.1.3 焦耳定律的微分形式dVJEdtdAdP于是功率故功率體密度為JEdVdPp此即焦耳定律的微分形式。不論場是否均勻，都能適用。電路理論中的焦耳定律由

4、它積分而得。2-2電源電動勢與局外場強22JEEJp 要在導(dǎo)體內(nèi)維持一定的電流，必須依靠外源。也就是必須與電源相連接。在含源區(qū)，除電荷的電場E外，還有電源引起的電場Ee，叫做局外電場強度。它表示電源內(nèi)推動電荷運動的非靜電力（如機械力、化學(xué)力等）的大小。它可使電源兩極的電荷維持恒定，從而維持電源外導(dǎo)體內(nèi)的電流恒定。與電荷引起的靜電場不同，局外電場是非守恒的，它沿閉合回路的積分不等于零，而等于回路中的電動勢。2.2.1 電源電動勢與局外場強 =lEedl它的物理意義是，把單位正電荷從負極通過電源內(nèi)部移到正極時，局外電場Ee所作的功。當(dāng)導(dǎo)電媒質(zhì)中有局外電場Ee時，通過含源導(dǎo)電媒質(zhì)的電流為J=(E+E

5、e)2.2.2 恒定電場 研究導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場，可使我們進一步理解直流電路中的有關(guān)規(guī)律，可以解決絕緣電阻、接地電阻的計算等實際問題，并為用實驗方法研究場的問題提供了依據(jù)。 我們要研究的恒定電場有兩種情況：一種是導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場；另一種是通有恒定電流的導(dǎo)電媒質(zhì)周圍介質(zhì)中的恒定電場。后一種是我們要著重討論的問題。 當(dāng)導(dǎo)電媒質(zhì)中存在恒定電流時，一些自由電子流走了，一些新的自由電子又來補充，但媒質(zhì)中任何一點的電荷密度仍然保持不變。因此，通有電流的導(dǎo)電媒質(zhì)周圍介質(zhì)中的電場，實際上是導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定分布的電荷所產(chǎn)生的恒定電場，它和介質(zhì)中的靜電場具有相似的特點。2-3 恒定電場的基本方程 分界面上的銜

6、接條件tqSdJS對恒定電流0SSdJ則有：2.3.1 電流連續(xù)性方程 根據(jù)電荷守恒定律，流出任一閉合面的電流，應(yīng)等于閉合面內(nèi)電荷的減少率。即0tq上式稱為電流連續(xù)性方程。把它用到電路的節(jié)點，則有：0ISdJS即得到直流電流的基爾霍夫第一定律。2.3.2 電場強度的環(huán)路積分恒定電場具有與靜電場類似的性質(zhì)，故在不包含電源的區(qū)域內(nèi)，同樣有0lldE0UldEl把它用到電路中任一閉合回路，則得：即得到直流電路的基爾霍夫第二定律。 若積分路線經(jīng)過了電源，考慮到局外場后lelelleldEEldEldEldEE0可見2.3.3 恒定電場的基本方程上面給出了導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場（電源外）的基本方程：00lS

7、ldESdJ兩場量間的關(guān)系EJ由高斯散度定理0VSdVJSdJ從而有表明在恒定電場中，電流線是無源的，即無始端又無終端。高斯散度定理SVSdFdVF下面我們來推導(dǎo)這些基本方程的微分形式。由斯托克斯定理0E從而有表明在電源以外導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場是無旋場斯托克斯定理SdFldFSl0SlSdEldE0 J將恒定電場積分形式的基本方程應(yīng)用到電導(dǎo)率為1、2的邊界處的小區(qū)域內(nèi)，并趨近于邊界取極限，得到恒定電場的邊界條件為：nnttJJEE21212121tgtg及1J2J1212圖2-12.3.4 分界面上的銜接條件2221112211coscossinsinEEEE兩種不同導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的銜接條件

8、當(dāng)?shù)谝环N媒質(zhì)1為良導(dǎo)體，第二種媒質(zhì)2為不良導(dǎo)體時，因12，故有：01212tgtg電流線近似與分界面垂直，分界面近似地可以看作等位面。電流從良導(dǎo)體電極漏電到介質(zhì)中去就屬于這種情況。式中1、2分別為E1、E2與法線方向的夾角（如圖2-1）良導(dǎo)體與不良導(dǎo)體分界面上的銜接條件導(dǎo)體與理想介質(zhì)（2=0）分界面上的銜接條件 由于理想介質(zhì)中不存在恒定電流，J2=0，必然有J1n=J2n=0。且E1t=E2t，電場強度的切向分量連續(xù)。導(dǎo)體一側(cè)只存在切向分量的電流和電場強度111111JJEEtt對于理想介質(zhì)一側(cè)，雖然E1n=J1n/1=0，但E2n0。因為J2=2E2，2=0，J2=0，所以E2不一定等于0。

9、根據(jù)靜電場理論，分界面上應(yīng)滿足D2nD1n=D1n=1E1n=0，所以，=D2n=2E2n。說明在導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面上有面電荷分布。02nE2tE1tE212E圖2-2兩種有損介質(zhì)分界面上的銜接條件 在兩種有損介質(zhì)的分界面上應(yīng)有：1E1n=2E2n （J1n=J2n） 同時，基于激化效應(yīng)，應(yīng)有：2E2n1E1n= （D2nD1n=）由此得出，分界面上的電荷面密度nnEE1121221212)()(在恒定電場情況下，近似地認為金屬導(dǎo)體的介電常數(shù) 0。因此，兩種不同金屬導(dǎo)體分界面上的電荷面密度為nnnnEEEE1020210211211 根據(jù) 的特點，可引入電位函數(shù)。在均勻介質(zhì)中，電位應(yīng)滿足拉普

10、拉斯方程0E02因此，對于恒定電場中的某些問題，可先解拉氏方程，解出電位函數(shù)，然后通過電位梯度求得場強E。nn2211212.3.5 恒定電場的邊值問題 在兩種不同導(dǎo)電媒質(zhì)的分界面上，由電位函數(shù)表示的銜接條件為 例例2-1 長直接地金屬槽，底面、側(cè)面電位均為零，頂蓋電位為 。求槽內(nèi)導(dǎo)電媒質(zhì)中的電位分布。axUsin0axUsin00000 xyba圖2-3 解解：如圖建立坐標系，則槽內(nèi)待求恒定電場的邊值問題為），（byaxyx0002222在x=0，0yb處，在y=0，0 xa處，在y=b，0 xa處，在x=a，0yb處，。；0sin000axU 由邊界條件和，在解的表達式中，需選擇在x=0和

11、x=a處都為0的函數(shù)，故應(yīng)取x的周期函數(shù)，y的雙曲函數(shù)。因此，(x,y)的通解為10000)sinhcosh)(sincos()(),(nnnnnnnnnykDykCxkBxkADyCBxAyx把條件代入得1000)sinhcosh()(0nnnnnnykDykCADyCB為了保證y在0b范圍內(nèi)取任何值時電位都等于零，應(yīng)?。?， 21000nABn1000)sinhcosh)(sin()(),(nnnnnnnykDykCxkBDyCxAyx在x=0，0yb處，0再由邊界條件得1000)sinhcosh)(sin()(0nnnnnnnykDykCxkBDyCaA根據(jù)同樣的理由，應(yīng)取0sin00

12、akAn，），（ 21nankn因而1)sinhcosh)(sin(),(nannannannyDyCxByx由條件得1sin0nannnxCB為了保證x在0a范圍內(nèi)取任何值時電位都等于零，應(yīng)?。?210 nCn在x=a，0yb處，0在y=0，0 xa處，01sinhsin),(nanannnyxDByx因此，電位的通解簡化為把邊界條件代入得10sinsinhsinnanannnaxUbxDB比較等號兩邊 各項的系數(shù)，得axxsin），（；10sinh011nDBabUDBnn最后，得到電位的解為在y=b，0 xa處，axUsin0ayaxabUyxsinhsinsinh),(02-4導(dǎo)電

13、媒質(zhì)中的恒定電場與靜電場的比擬通過前面的討論，我們發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場（電源外）與電介質(zhì)中的靜電場（體電荷密度=0的區(qū)域）在許多方面有相似之處。為了清楚起見，列表比較如下：表2-1恒定電場與靜電場的比較EDDE00比較內(nèi)容電介質(zhì)中的靜電場（=0）導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場（電源外）EJJE00基本方程導(dǎo)出方程SDlSdDql dEE02SdJIldEESl02邊界條件物理量的對應(yīng)關(guān)系nnnnttDDEE2121212121nnnnttJJEE2121212121電場強度矢量E電位移矢量D電位電量q介電常數(shù)電場強度矢量E電流密度矢量J電位電流強度I電導(dǎo)率由表2-1可以看出，兩種場的基本方程是相似

14、的，只要把J與D，與相互置換，一個場的基本方程就變?yōu)榱硪粋€場的基本方程了。特別是兩種場的電位函數(shù)有相同的定義，而且都滿足拉普拉斯方程。如果矢量J和D分別在導(dǎo)電媒質(zhì)和電介質(zhì)中滿足相同的邊界條件（即兩種場內(nèi)導(dǎo)體電極的形狀、尺寸、相對位置和相應(yīng)導(dǎo)體電極上的電位都相同），則根據(jù)唯一性定理，這兩個場的電位函數(shù)必有相同的解。也就是說，兩種場的等位面分布相同，恒定電場的電流線與靜電場的電位移線分布相同。這樣的對比和分析，給我們一個重要的啟示，即在相同的邊界條件下，如果通過實驗或計算已經(jīng)得到了一種場的解，只要按表2-1將對應(yīng)的物理量置換一下，就能得到另一種場的解。恒定電場與靜電場的區(qū)別 靜電場靜電場 由靜止電

15、荷產(chǎn)生 無電流、不消耗功率 導(dǎo)體表面是等位面 導(dǎo)體內(nèi)E內(nèi)=0 無磁場 恒定電（流）場恒定電（流）場 由局外電源產(chǎn)生 有電流、消耗功率 導(dǎo)體表面不是等位面 E內(nèi)0 周圍有磁場在許多實際問題中，金屬電極之間，如電容器的兩極板間、同軸電纜的芯線與外殼之間等，常常需要填充絕緣材料，雖然其電導(dǎo)率都遠遠小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不等于零。因此，在電極板間加上直流電壓時，總會有微小的電流通過絕緣材料。這種電流叫做漏電流漏電流。電流I與兩極的電壓U之比值叫做漏電導(dǎo)漏電導(dǎo)，即：IUGR1漏電導(dǎo)的倒數(shù)叫做漏電組漏電組，又叫絕緣電阻絕緣電阻，即UIG 西門子2-5電導(dǎo)和部分電導(dǎo)2.5.1 漏電導(dǎo)及絕緣電阻絕緣電阻

16、可用下面的三種方法計算： 1.直接用公式lSdlR式中dl是沿電流方向的長度元，S是垂直于電流方向的面積，它可能是坐標變量的函數(shù)2.解拉普拉斯方程求出電位后，再由SdIEEScc求得電流強度I后，再由下式求出絕緣電阻： IIR12當(dāng)電極具有某種對稱性時，也可以先假定一電流I，然后按IURldEUESIIlcc求得電阻R。當(dāng)然也可以先假設(shè)一電壓U，然后按IURSdIEEUScc求電阻。.根據(jù)靜電比擬原理，當(dāng)恒定電場與靜電場兩者邊界條件相同時，由電導(dǎo)和電容之間的關(guān)系：所以，絕緣電阻為：GCCGR1例例2-2 計算同軸電纜單位長度的絕緣電阻R0。同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體（芯線）半徑是R1，外導(dǎo)體（外殼）的半

17、徑是R2，內(nèi)外導(dǎo)體之間充滿一種介電常數(shù)為，電導(dǎo)率為的絕緣材料。如圖2-4所示R1R2d圖-4例-2的示意圖 解法一解法一在內(nèi)外導(dǎo)體之間的絕緣材料中，取半徑為，厚度為d的單位長度的同軸柱殼。則此圓柱殼的絕緣電阻元是dddR211201200ln212121RRddRRRR然后積分得： 解法二解法二假設(shè)同軸電纜的內(nèi)外導(dǎo)體間由于絕緣材料的電導(dǎo)率不等于零而產(chǎn)生漏電流I，考慮到軸對稱性，漏電流沿徑向，而且在絕緣材料中的同一個同軸柱面上的電流密度J相等，所以eIJ12eIJE2內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓電場強度12ln222121RRIdIdEURRRR所以單位長度的絕緣電阻是120ln21RRIUR 解法三解法三

18、在物理學(xué)中，已求得同軸電纜（圓柱形電容器）單位長度的電容是：120ln2RRC由靜電比擬法，即可得到單位長度的漏電流120ln2RRG和絕緣電阻1200ln211RRGRGC以上三種方法得到了完全相同的結(jié)果。以上三種方法得到了完全相同的結(jié)果。2.5.2 部分電導(dǎo) 在導(dǎo)電媒質(zhì)中，對于由三個及三個以上的良導(dǎo)體電極組成的多電極系統(tǒng)，任意兩個之間的電流不僅要受到它們自身之間電壓的影響，還要受其它電極間電壓的影響。這時系統(tǒng)中電極間的電壓與電流的關(guān)系不能再僅用一個電導(dǎo)來表示，引入部分電導(dǎo)的概念。 多電極系統(tǒng)的部分電導(dǎo)與靜電系統(tǒng)的部分電容非常相似，根據(jù)靜電比擬原理，兩者之間可以相互比擬。在電工技術(shù)中常常利用

19、大地作為一根“導(dǎo)線”，需尋求地中的電阻，這稱為接地電阻。它包括接地導(dǎo)線電阻、接地體的電阻、接地體和大地之間的接觸電阻以及土壤電阻。其中以土壤電阻為主。因此，我們所說的接地電阻，主要是指土壤的電阻。接地電阻與接地導(dǎo)體的形狀、尺寸、埋入深度及土壤的電導(dǎo)率有關(guān)。計算接地電阻常常需尋求地中電流的分布。它與靜電場問題的性質(zhì)是一樣的，也可借助靜電比擬法來求解。例如，已知半徑為R0的孤立球體的電容為 C=4R0因此，對深埋的球形接地體，忽略地面的影響時，其接地電導(dǎo)為 G=4R0 而接地電阻為：2.5.3 接地電阻當(dāng)電極埋的離地面較近時,必須考慮地面對地中電流分布的影響。如圖2-5所示。在這種情況下,可以用鏡像法來處理。設(shè)想在地面上空被大地充滿，在其對稱位置上有一鏡像電流（它的大小和方向與原電流相同）。R0I圖2-5041RR將地面上空用鏡像電極代替以后，就可以計算電極及其鏡像電極構(gòu)成的系統(tǒng)的電導(dǎo)。但因?qū)嶋H上電流只在地面下方通過，故電導(dǎo)只有上述的一半。BAblR0圖2-6對于圖2-6所示半球形接地體，將地面上空用鏡像代替后，變成無限大區(qū)域中的圓球形電極的場的問題。由前述可知，G=4R0 實際半球形電極的電導(dǎo)則為 G=2R0 從而得:在大電力系