定解問(wèn)題與偏微分方程

1、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1Email: 數(shù)理方程與特殊函數(shù)數(shù)理方程與特殊函數(shù)任課教師：楊春任課教師：楊春數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2(一一)、波動(dòng)方程的建立、波動(dòng)方程的建立第二章第二章 定解問(wèn)題與偏微分方程理論定解問(wèn)題與偏微分方程理論本次課主要內(nèi)容本次課主要內(nèi)容(二二)、定解條件、定解條件 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 3(一

2、一)、波動(dòng)方程的建立、波動(dòng)方程的建立第二章第二章 定解問(wèn)題與偏微分方程理論定解問(wèn)題與偏微分方程理論1、什么叫物理規(guī)律？、什么叫物理規(guī)律？ 某物理量在空間和時(shí)間中的變化規(guī)律。某物理量在空間和時(shí)間中的變化規(guī)律。它反映同一類物理現(xiàn)象的共同規(guī)律。它反映同一類物理現(xiàn)象的共同規(guī)律。 若物理量?jī)H隨時(shí)間變化，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為若物理量?jī)H隨時(shí)間變化，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為常微分方程；若與時(shí)空均有關(guān)，則為偏微分常微分方程；若與時(shí)空均有關(guān)，則為偏微分方程。方程。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 4 數(shù)學(xué)物理方程是指從物理問(wèn)題導(dǎo)出的函數(shù)方程，數(shù)學(xué)物理方程

3、是指從物理問(wèn)題導(dǎo)出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程與積分方程。主要指偏微分方程與積分方程。 我們將重點(diǎn)討論物理上的三種典型的二階線性我們將重點(diǎn)討論物理上的三種典型的二階線性方程的一些基本解法，以便借助于數(shù)學(xué)物理方程方程的一些基本解法，以便借助于數(shù)學(xué)物理方程這一工具，更好地描述基本的物理現(xiàn)象，研究一這一工具，更好地描述基本的物理現(xiàn)象，研究一些重要的物理規(guī)律。些重要的物理規(guī)律。 這些物理規(guī)律包括：彈性體的振動(dòng)、熱的傳導(dǎo)這些物理規(guī)律包括：彈性體的振動(dòng)、熱的傳導(dǎo)和粒子擴(kuò)散、電磁波的傳播等。和粒子擴(kuò)散、電磁波的傳播等。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5

4、0 0.5 1 n 5 常用物理規(guī)律常用物理規(guī)律( (一一) )1、牛頓第二定律、牛頓第二定律2、虎克定律、虎克定律22d sdvFmmdtdtfkx xPYu 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 6對(duì)虎克定律的說(shuō)明：對(duì)虎克定律的說(shuō)明：xPYu 公式中公式中P稱為協(xié)強(qiáng)或應(yīng)力。它表示彈性物稱為協(xié)強(qiáng)或應(yīng)力。它表示彈性物體單位截面所受作用力，體單位截面所受作用力，P=F/S。 公式中公式中ux表示伸長(zhǎng)率，稱為協(xié)變。表示伸長(zhǎng)率，稱為協(xié)變。 Y表示楊氏彈性模量，等于協(xié)強(qiáng)比協(xié)變。表示楊氏彈性模量，等于協(xié)強(qiáng)比協(xié)變。 楊氏彈性模量由材料決

5、定楊氏彈性模量由材料決定. 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 73、克希荷夫定律、克希荷夫定律0kI (1).節(jié)點(diǎn)電流定律節(jié)點(diǎn)電流定律(2).回路電壓定律回路電壓定律kkkI R 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 82 2、波動(dòng)方程、波動(dòng)方程如何建立偏微分方程？如何建立偏微分方程？(1).明確物理過(guò)程與研究對(duì)象明確物理過(guò)程與研究對(duì)象(待研究物理量待研究物理量);(2).進(jìn)行微元分析；進(jìn)行微元分析； 分析微元和相鄰部分的相互作用，根據(jù)分析微元和相鄰部

6、分的相互作用，根據(jù)物理定律用算式表達(dá)這種作用。物理定律用算式表達(dá)這種作用。(3).化簡(jiǎn)、整理算式?；?jiǎn)、整理算式。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 9例例1 1、均勻細(xì)弦微小橫振動(dòng)問(wèn)題、均勻細(xì)弦微小橫振動(dòng)問(wèn)題 一根均勻柔軟的細(xì)弦線，一端固定在坐標(biāo)原點(diǎn)，一根均勻柔軟的細(xì)弦線，一端固定在坐標(biāo)原點(diǎn)，另一端沿另一端沿x軸拉緊固定在軸拉緊固定在x軸上的軸上的L處，受到擾處，受到擾動(dòng)，開(kāi)始沿動(dòng)，開(kāi)始沿x軸（平衡位置）上下作微小橫振軸（平衡位置）上下作微小橫振動(dòng)（細(xì)弦線上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向垂直于動(dòng)（細(xì)弦線上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向垂直于x軸）。試軸）

7、。試建立細(xì)弦線上任意點(diǎn)位移函數(shù)建立細(xì)弦線上任意點(diǎn)位移函數(shù)u(x，t)所滿足的所滿足的規(guī)律。規(guī)律。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 10分析：分析：(1). 研究對(duì)象：研究對(duì)象：u(x,t)(2). 微元分析微元分析:在時(shí)刻在時(shí)刻t, 取弦微元取弦微元ds,其對(duì)應(yīng)區(qū)其對(duì)應(yīng)區(qū)間為：間為：x, x + dx ; 分析微元和相鄰部分的相互作用，根據(jù)物理分析微元和相鄰部分的相互作用，根據(jù)物理定律用算式表達(dá)這種作用。定律用算式表達(dá)這種作用。 uxT1T2Ox x+dxgdxds 1 2 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x

8、t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 11設(shè)細(xì)弦線各點(diǎn)線密設(shè)細(xì)弦線各點(diǎn)線密度為度為，細(xì)弦線質(zhì)細(xì)弦線質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)之間相互作用力為之間相互作用力為張力張力T(x，t) 水平合力為零水平合力為零 = T2 cos 2T1 cos 1 = 0 T2T1T 鉛直合力鉛直合力: T( sin 2 sin 1) =T( tan 2 tan 1) T( tan 2 tan 1) = dx utt 由牛二律得：由牛二律得： uxT1T2Ox x+dxgdxds 1 2 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 12 utt=

9、a2 uxx 其中其中2aT一維齊次波動(dòng)方程一維齊次波動(dòng)方程: : utt = a2 uxx 下面考慮強(qiáng)迫振動(dòng)情形：下面考慮強(qiáng)迫振動(dòng)情形：T ux(x+dx，t)ux(x，t) = dx uttT uxx (x+dx，t) dx = dx utt 考慮細(xì)繩在振動(dòng)中受向上的恒外力密度考慮細(xì)繩在振動(dòng)中受向上的恒外力密度F(x，t)的作用和細(xì)繩的重力作用。的作用和細(xì)繩的重力作用。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 13鉛直合力為：鉛直合力為：f(x,t)=F(x,t)/-g-g(, )( , )( , )xxT u xdx t

10、u x tF x t dxgdx由牛二律得：由牛二律得：(, )( , )( , )xxttT u x dx tu x tF x t dxgdxdxu整理后得：整理后得：2( , )ttxxua uf x t其中：其中： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 14例例2、細(xì)桿的縱向振動(dòng)問(wèn)題、細(xì)桿的縱向振動(dòng)問(wèn)題。設(shè)均勻細(xì)桿長(zhǎng)為設(shè)均勻細(xì)桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，線密度為線密度為 ，楊氏模量為，楊氏模量為Y，桿桿的一端固定在坐標(biāo)原點(diǎn)，細(xì)桿受到沿桿長(zhǎng)方向的的一端固定在坐標(biāo)原點(diǎn)，細(xì)桿受到沿桿長(zhǎng)方向的擾動(dòng)（沿?cái)_動(dòng)（沿x軸方向的振動(dòng)）。試建立桿上質(zhì)點(diǎn)位移

11、軸方向的振動(dòng)）。試建立桿上質(zhì)點(diǎn)位移函數(shù)函數(shù)u(x，t)的縱向振動(dòng)方程。的縱向振動(dòng)方程。 u(x,t)u(x+dx,t)x x+dxLO 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 15 由牛頓第二定律由牛頓第二定律SYux(x+dx，t)ux(x，t)= Sdxutt令令a2 = Y/ ?；?jiǎn)，得化簡(jiǎn)，得utt = a2 uxx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 16例例3 長(zhǎng)為長(zhǎng)為l 密度為密度為的均勻柔軟細(xì)繩在的均勻柔軟細(xì)繩在x x=0=0端端固定，在重

12、力作用下，垂直懸掛。橫向拉它固定，在重力作用下，垂直懸掛。橫向拉它一下作微小橫振動(dòng)。寫(xiě)出振動(dòng)方程。一下作微小橫振動(dòng)。寫(xiě)出振動(dòng)方程。xx+dx12( )T x( )T xdx( , )u x txO 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 17 取微元：取微元：x,x+dx 豎直方向：豎直方向：21()cos( )cos0(1)T xdxT xgdx xx+dx12( )T x( )T xdx( , )u x txO 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 18

13、 水平方向：水平方向：21()sin( )sin(2)ttT xdxT xdxu 對(duì)于對(duì)于(1)，1與與2很小，于是得：很小，于是得：()( )0T xdxT xgdxxx+dx12( )T x( )T xdx( , )u x txO 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 19即：即： 在在x = 0處張力等于處張力等于 , 于是得：于是得：( )()T xgl lx 對(duì)于對(duì)于(2)，1與與2很小，于是得：很小，于是得：()(, )( )( , )xxttT xdx u xdx tT x u x tdxu0()xd TgTx

14、g d xg xCd x 由有限增量公式得：由有限增量公式得： ( )xxttT x uug l 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 20例例4 4、高頻傳輸方程、高頻傳輸方程 考慮雙線傳輸線，把單位傳輸線所具有的導(dǎo)線電考慮雙線傳輸線，把單位傳輸線所具有的導(dǎo)線電阻、線間電導(dǎo)、電容以及電感分別記作阻、線間電導(dǎo)、電容以及電感分別記作R,g,cR,g,c和和L.L.建建立電壓立電壓u(x,tu(x,t) )和電流強(qiáng)度和電流強(qiáng)度i(x,ti(x,t) )所滿足的微分方程。所滿足的微分方程。 1、物理背景簡(jiǎn)介、物理背景簡(jiǎn)介 對(duì)于直流

15、電或低頻交流電，同一支路的電流相等。對(duì)于直流電或低頻交流電，同一支路的電流相等。 但對(duì)于高頻交流電，電路中的自感和電容效應(yīng)將但對(duì)于高頻交流電，電路中的自感和電容效應(yīng)將使得電路中電流與電壓不僅與時(shí)間有關(guān)，而且與空使得電路中電流與電壓不僅與時(shí)間有關(guān)，而且與空間位置有關(guān)。間位置有關(guān)。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 21 所以，對(duì)于高頻傳輸線，我們要討論傳輸線所以，對(duì)于高頻傳輸線，我們要討論傳輸線上電壓與電流隨時(shí)空的變化規(guī)律。上電壓與電流隨時(shí)空的變化規(guī)律。分析分析 (仍采用微元分析方法仍采用微元分析方法)： 傳輸線上電阻、電

16、感，線間電容、電導(dǎo)考慮為均傳輸線上電阻、電感，線間電容、電導(dǎo)考慮為均勻分布，于是可畫(huà)出微元等效電路圖：勻分布，于是可畫(huà)出微元等效電路圖： 也就是研究電壓也就是研究電壓 u(x,tu(x,t) )與電流與電流i(x,ti(x,t) )所要滿所要滿足的微分方程。足的微分方程。i 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 22由克希荷夫定律得：由克希荷夫定律得：( , )(, )( , )(, )ttu x tu xdx tRidxLdxii x ti xdx tCdxugdxu由有限增量公式得：由有限增量公式得：i 0.8 1 0.

17、6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 23 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 24(二二)、具體物理過(guò)程描述、具體物理過(guò)程描述定解條件定解條件 首先指出：具體物理系統(tǒng)所處物理狀首先指出：具體物理系統(tǒng)所處物理狀況除受一般物理規(guī)律支配外，還受系統(tǒng)所況除受一般物理規(guī)律支配外，還受系統(tǒng)所處的處的“環(huán)境環(huán)境”和系統(tǒng)的和系統(tǒng)的“歷史狀況歷史狀況”的影的影響。響。 系統(tǒng)所處的系統(tǒng)所處的“環(huán)境環(huán)境”狀況：邊界條狀況：邊界條件件. 系統(tǒng)的系統(tǒng)的“歷史歷史”狀況：初值條件狀況：初值條件.

18、 求解一個(gè)具體物理問(wèn)題，都要考慮定求解一個(gè)具體物理問(wèn)題，都要考慮定解條件！解條件！ 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 25II. 第二類邊界條件第二類邊界條件:),(tzyxnuS III. 第三類邊界條件第三類邊界條件:),(tzyxunuS I. 第一類邊界條件第一類邊界條件:),(tzyxuS 1、三類邊界條件、三類邊界條件 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 26如何寫(xiě)出三類邊界條件？如何寫(xiě)出三類邊界條件？(1)、明確環(huán)境影響通過(guò)的所有邊界；

19、、明確環(huán)境影響通過(guò)的所有邊界；(2)、分析邊界所處的物理狀況；、分析邊界所處的物理狀況；(3)、利用物理規(guī)律寫(xiě)出待求物理量在邊界、利用物理規(guī)律寫(xiě)出待求物理量在邊界上的表達(dá)式。上的表達(dá)式。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 27L-LF(t)例例5 細(xì)桿在細(xì)桿在x=0處固定，在處固定，在x=L端受外力端受外力F(t)的作用，作微小縱振動(dòng)。寫(xiě)出其邊界的作用，作微小縱振動(dòng)。寫(xiě)出其邊界條件。條件。分析分析：環(huán)境影響通過(guò)的邊界為：環(huán)境影響通過(guò)的邊界為：x=0與與x=L.顯然：顯然：u(0,t)=0.用微元法分析邊界用微元法分析邊界

20、X=L的狀況。的狀況。( )xxLF tuYS00 xu 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 28 例例6 長(zhǎng)為長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻桿兩端受到拉力的均勻桿兩端受到拉力F的的 作用而振動(dòng)，寫(xiě)出邊界條件。作用而振動(dòng)，寫(xiě)出邊界條件。分析：分析：環(huán)境影響通過(guò)的邊界是環(huán)境影響通過(guò)的邊界是x=0與與x=L 桿的兩端所受的拉力桿的兩端所受的拉力F等于兩端面所受的等于兩端面所受的楊氏彈性力。楊氏彈性力。 0 L F F n n T1 T2 x 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1

21、n 29102,xx LuuTYSF TYSFxx00 xxuuYSYSFnx x Lx LuuYSYSFnx0,.xx LuFuFnYSnYS 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 30注意：注意：在例在例5，6中，如果端面自由，則中，如果端面自由，則 課外思考：課外思考： 長(zhǎng)為長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻桿，一端固定在的均勻桿，一端固定在車壁上，另一端自由。車子以速度車壁上，另一端自由。車子以速度v行駛行駛突然停止，寫(xiě)出邊界條件。突然停止，寫(xiě)出邊界條件。00,0.xx Luunn00,0 xxx Luu 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 312、初始條件、初始條件 初始條件是系統(tǒng)在初始條件是系統(tǒng)在t = 0 時(shí)的狀態(tài)。時(shí)的狀態(tài)。初始條件的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)。初始條件的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)。例例7、一根長(zhǎng)為、一根長(zhǎng)為L(zhǎng)，兩端固定的弦，用手，兩端固定的弦，用手把它的中點(diǎn)橫向拉開(kāi)距離把它的中點(diǎn)橫向拉開(kāi)距離h，然后松手讓，然后松手讓其自由振動(dòng)。寫(xiě)出其初始條件。其自由振動(dòng)。寫(xiě)出其初始條件。