格林函數(shù)Word版

1、§2.4  格林函數(shù)法 解的積分公式 在第七章至第十一章中主要介紹用分離變數(shù)法求解各類定解問題，本章將介紹另一種常用的方法格林函數(shù)方法。 格林函數(shù)，又稱點(diǎn)源影響函數(shù)，是數(shù)學(xué)物理中的一個重要概念。格林函數(shù)代表一個點(diǎn)源在一定的邊界條件和（或）初始條件下所產(chǎn)生的場。知道了點(diǎn)源的場，就可以用迭加的方法計(jì)算出任意源所產(chǎn)生的場。一、 泊松方程的格林函數(shù)法 為了得到以格林函數(shù)表示的泊松方程解的積分表示式，需要用到格林公式，為此，我們首先介紹格林公式。 設(shè)u（r）和v（r）在區(qū)域 T 及其邊界 S 上具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，而在 T 中具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，應(yīng)用矢量分析的高斯定理將曲面積分化成體積積

2、分（12-1-1）這叫作第一格林公式。同理，又有（12-1-2）（12-1-1）與（12-1-2）兩式相減，得亦即（12-1-3）整理為word格式 表示沿邊界 S 的外法向求導(dǎo)數(shù)。（12-1-3）叫作第二格林公式。 現(xiàn)在討論帶有一定邊界條件的泊松方程的求解問題。泊松方程是（12-1-4）第一、第二、第三類邊界條件可統(tǒng)一地表為（12-1-5）其中 j（M）是區(qū)域邊界 S 上的給定函數(shù)。a0，b 0為第一類邊界條件，a 0，b0是第二類邊界條件，a、b 都不等于零是第三類邊界條件。泊松方程與第一類邊界條件構(gòu)成的定解問題叫作第一邊值問題或狄里希利問題，與第二類邊界條件構(gòu)成的定解問題叫作第二邊值問題

3、或諾依曼問題，與第三類邊界條件構(gòu)成的定解問題叫作第三邊值問題。為了研究點(diǎn)源所產(chǎn)生的場，需要找一個能表示點(diǎn)源密度分布的函數(shù)。§5.3中介紹的 d 函數(shù)正是描述一個單位正點(diǎn)量的密度分布函數(shù)。因此，若以v（r，r0）表示位于r0點(diǎn)的單位強(qiáng)度的正點(diǎn)源在r點(diǎn)產(chǎn)生的場，即v（r，r0）應(yīng)滿足方程（12-1-6）現(xiàn)在，我們利用格林公式導(dǎo)出泊松方程解的積分表示式。以v（r，r0）乘（12-1-4），u（r）乘（12-1-6），相減，然后在區(qū)域T中求積分，得SOyzxTSer0Ke圖12-1（12-1-7）應(yīng)用格林公式將上式左邊的體積分化成面積分。但是，注意到在rr0點(diǎn)，Dv具有d 函數(shù)的奇異性，格林

4、公式不能用。解決的辦法是先從區(qū)域T中挖去包含r0的小體積，例如半徑為整理為word格式 e 的小球Ke（圖12-1），Se 的邊界面為Se 。對于剩下的體積，格林公式成立， （12-1-8）把（12-1-8）代入挖去Ke 的（12-1-7），并注意rr0，故 d（rr0）0，于是（12-1-9）當(dāng)，方程（12-1-6）的解 v（r，r0） 位于點(diǎn)r0而電量為 e 0 的點(diǎn)電荷的靜電場中的電勢，即14p。令 e 0，得（12-1-9）右邊 左邊的左邊的 （12-1-10）這樣，（12-1-7）成為 （12-1-11）（12-1-11）稱為泊松方程的基本積分公式。（12-1-11）將（12-1-4

5、）的解u用區(qū)域 T 上的體積分及其邊界上的面積分表示了出來。那么，能否用（12-1-11）來解決邊值問題呢？我們看到，（12-1-11）中需要同時知道整理為word格式u及 在邊界 S 上的值，但是，在第一邊值問題中，已知的只是 u 在邊界 S 上的值；在第二邊值問題中，已知的只是 在邊界S上的值。在第三邊值問題中，已知的是u和 的一個線性關(guān)系在邊界 S 上的值，三類邊界條件均未同時分別給出u和 的邊界 S 上的值。因此，我們還不能直接利用（12-1-11）解決三類邊值問題。其實(shí)，這里距離問題的解決已經(jīng)很近了。原來，對于函數(shù)v（r，r0），我們還只考慮其滿足方程（12-1-6）。如果我們對v（

6、r，r0）提出適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，則上述困難就得以解決。對于第一邊值問題，u在邊界 S 上的值是已知的函數(shù) j（M）。如果要求v滿足齊次的第一類邊界條件（12-1-12）則（12-1-11）中含 的一項(xiàng)等于零。從而不需要知道 在邊界 S 上的值。滿足方程（12-1-6）及邊界條件（12-1-12）的解稱為泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)，用G（r，r0）表示。這樣，（12-1-11）式成為 （12-1-13）對于第三邊值問題，令v滿足齊次的第三類邊界條件，（12-1-14）滿足方程（12-1-6）及邊界條件（12-1-14）的解稱為泊松方程第三類邊值問題的格林函數(shù)，也用G（r，r0）表示。以G（r，

7、r0）乘（12-1-5）式兩邊，得整理為word格式又以 u 乘（12-1-14），并以 G 代替其中的 v，得將這兩式相減，得將此式代入（12-1-11），得（12-1-15）至于第二邊值問題，表面看來，似乎可以按上述同樣的辦法來解決，即令G為定解問題（12-1-16）（12-1-17）的解，而由（12-1-11）得到（12-1-18）可是，定解問題（12-1-16）（12-1-17）的解不存在。這在物理上是容易理解的：不妨把這個格林函數(shù)看作溫度分布。泛定方程（12-1-16）右邊的 d 函數(shù)表明在 S 所圍區(qū)域 T 中有一個點(diǎn)熱源。邊界條件（12-1-17）表明邊界是絕熱的。點(diǎn)熱源不停地放

8、也熱量。而熱量又不能經(jīng)由邊界散發(fā)出去，T 里的溫度必然要不停地升高，其分布不可能是穩(wěn)定的。這就需要引入推廣的格林函數(shù)。對于三維空間，整理為word格式式中VT 是T 的體積。對于二維空間，式中 AT 是 T 的面積，方程右邊添加的項(xiàng)是均勻分布的熱匯密度，這些熱匯的總體恰好吸收了點(diǎn)熱源所放出的熱量，不多也不少。（12-1-13）和（12-1-15）的物理解釋有一個困難。公式左邊u的宗量r0 表明觀測點(diǎn)在r0，而右邊積分中的f（r）表示源在r，可是，格林函數(shù)G（r，r0）所代表的是r0的點(diǎn)源在r點(diǎn)產(chǎn)生的場。這個困難如何解決呢？原來，這個問題里的格林函數(shù)具有對稱性G（r，r0）G（r0，r），將（1

9、2-1-13）和（12-1-15）中的r和r0對調(diào)，并利用格林函數(shù)的對稱性，（12-1-13）成為 （12-1-19）這就是第一邊值問題解的積分表示式。（12-1-15）成為 （12-1-20）這就是第三邊值問題解的積分表示式。 （12-1-19）和（12-1-20）的物理意義就很清楚了，右邊第一個積分表示區(qū)域T中分布的源f（r0）在r點(diǎn)產(chǎn)生的場的總和。第二個積分則代表邊界上的狀況對r點(diǎn)場的影響的總和。兩項(xiàng)積分中的格林函數(shù)相同。這正說明泊松方程的格林函數(shù)是點(diǎn)源在一定的邊界條件下所產(chǎn)生的場。整理為word格式現(xiàn)在來證明格林函數(shù)的對稱性。在 T 中任取兩個定點(diǎn)r1和r2。以這兩點(diǎn)為中心，各作半徑為

10、 e 的球面 S 1和 S 2。從 T 挖去 S 1和 S 2 所圍的球K1和K2。在剩下的區(qū)域TK1K2上，G（r，r1）和G（r，r2）并無奇點(diǎn)。以uG（r，r1），vG（r，r2）代入格林公式（12-1-3）由于G（r，r1）和G（r，r2）是調(diào)和函數(shù)，上式右邊為零。又由于格林函數(shù)的邊界條件，上式左邊。這樣令e 0，上式成為0v（r1）u（r2）00，即G（r1，r2）G（r2，r1）。對于拉普拉斯方程，即（12-1-4）式右邊的 f（r）0，這時，我們只要令（12-1-19）和（12-1-20）兩式右邊的體積分值等于零，便可得到拉普拉斯方程第一邊值問題的解（12-1-21）以及第三邊值

11、問題的解 （12-1-22）我們看到，借助格林公式，也可利用格林函數(shù)方法得到齊次方程定解問題的解。二、用電像法求格林函數(shù)  （一）無界空間的格林函數(shù)  基本解 從§12.1討論可知，確定了G，就能利用積分表式求得泊松方程邊值問題的解。雖然，求格林函數(shù)的問題本身也是邊值問題，但這是特殊的邊值問題，其求解比一般邊值問題簡單。特別是對于無界區(qū)域的情形，常常還可以得到有限形式的解。無界區(qū)域的格林函數(shù)稱為相應(yīng)方程的整理為word格式基本解。 我們將一個一般邊值問題的格林函數(shù) G 分成兩部分（12-2-1）其中G0是基本解。對于三維泊松方程，即G0滿足（12-2-2）G1則滿

12、足相應(yīng)的齊次方程（拉普拉斯方程）（12-2-3）及相應(yīng)的邊界條件。例如在第一邊值問題中，從而有（12-2-4）拉普拉斯方程（12-2-3）的邊值問題的求解是熟知的。至于方程（12-2-2），它描述的是點(diǎn)r0的點(diǎn)源在無界空間產(chǎn)生的穩(wěn)定場。以靜電場為例，它描述在點(diǎn)r0電量為e 0的點(diǎn)電荷在無界空間中所產(chǎn)生電場的r點(diǎn)的電勢，即?，F(xiàn)在再給出（12-2-2）的一種解法。先假設(shè)點(diǎn)源位于坐標(biāo)原點(diǎn)，由于區(qū)域是無界的，點(diǎn)源產(chǎn)生的場應(yīng)與方向無關(guān)，如果選取球坐標(biāo)（r，q，j），則G0只是r的函數(shù)，方程（12-2-2）變成一個常微分方程，當(dāng)r0時，G0滿足拉普拉斯方程 （12-2-5）其解為 （12-2-6）整理為w

13、ord格式令無窮遠(yuǎn)處G00，于是C20。為了求出C1，將方程（12-2-2）在包含r00的區(qū)域作體積分，這個區(qū)域可取為以 r00為球心，半徑為 e 的小球 Ke ，其邊界面為S e（參見圖12-1），利用（12-1-3）（令其中的u1），將上式右邊體積分化成面積分。則，從而若電荷位于任意點(diǎn)r 0，則 （12-2-7） 類似地，用平面極坐標(biāo)可求得二維泊松方程的基本解 （12-2-8）（二）用電像法求格林函數(shù)讓我們來考慮這樣一個物理問題。設(shè)在一接地導(dǎo)體球內(nèi)的M0（r 0）點(diǎn)放置一帶電量為 e 0的點(diǎn)電荷。則球內(nèi)電勢滿足泊松方程 （12-2-9）邊界條件是 （12-2-10）整理為word格式此處G

14、便是泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)。從電磁學(xué)知道，在接地導(dǎo)體球內(nèi)放置電荷時，導(dǎo)體球面上將產(chǎn)生感應(yīng)電荷。因此，球內(nèi)電勢應(yīng)為球內(nèi)電荷直接產(chǎn)生的電勢與感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電勢之和。因此，我們可將G寫成兩部分之和 （12-2-11）其中G0是不考慮球面邊界影響的電勢，G1則是感應(yīng)電荷引起的。由前面的討論可知，G0滿足 （12-2-12）從而G1滿足 （12-2-13）以及邊界條件 （12-2-14）這樣，G0就是基本解，。至于G1則可從方程（12-2-13）及邊界條件（12-1-14）用分離變數(shù)等方法求得。但這樣得到的解往往是無窮級數(shù)?，F(xiàn)在介紹另一種方法 電像法，用電像法可以得到有限形式的解。PMM0r0

15、OM1圖 12-2電像法的基本思想是用另一設(shè)想的等效點(diǎn)電荷來代替所有的感應(yīng)電荷，于是可求得G1的類似于G0的有限形式的解。顯然，這一等效點(diǎn)電荷不能位于球內(nèi)，因?yàn)楦袘?yīng)電荷在球內(nèi)的場滿足（12-2-13），即球內(nèi)是無源的。又根據(jù)對稱性，這個等效電荷必位于OM0 的延長線上的某點(diǎn)M1，記等效電荷的電量為q，其在空間任意點(diǎn)M（r）引起的電勢是 。若將場點(diǎn)取在球面上的P點(diǎn)，如圖12-2所示，則 DOPM0和 DOM1P具有公共角 POM1，如果按比例關(guān)系 r0aar1（a為球的半徑）選定M1（這M1必在球外），則 DOPM0 跟 DOM1P 相似，從而整理為word格式因此，若取 ，則球面上的總電勢是正

16、好滿足邊界條件（12-2-10）。這個設(shè)想的位于M1點(diǎn)的等效點(diǎn)電荷稱為M0點(diǎn)點(diǎn)電荷的電像。這樣，球內(nèi)任一點(diǎn)的總電勢是 （12-2-15）§10.1例6求出球外點(diǎn)電荷的電像（在球內(nèi)），讀者不妨把這兩種情況中的電像加以對比。若M0（r0）為圓內(nèi)的一點(diǎn)，則圓內(nèi)泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)滿足 （12-2-16） （12-2-17）這個問題也可用電像法求解，結(jié)果是（12-2-18）式中a為圓的半徑。例1 在球ra內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題整理為word格式 解 前面已用電像法求得球的第一邊值問題的格林函數(shù)把它代入第一邊值問題的解的積分公式（12-1-13）就行了。為了把G（r，r0）

17、代入（12-1-19），還必須先算出。引用球坐標(biāo)系，極點(diǎn)就取在球心。（12-2-19）其中Q是矢徑r跟r0之間的夾角，計(jì)算法向?qū)?shù)分子里的cosQ 可利用（12-2-19）消去，同理，整理為word格式于是代入（12-1-13），得到球的第一邊值問題的解的積分公式作代換：這叫作球的泊松積分。例2 在半空間 z0內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題解 先求格林函數(shù)G（r，r0）整理為word格式zM0(x0, y0, z0)OxyM(x, y, z)圖 12-3M1(x0, y0, -z0)這相當(dāng)于接地導(dǎo)體平面z0上方的電勢，在點(diǎn)M0（x，y，z）放置著電量為e 0的點(diǎn)電荷。這電勢可用電像法求得。設(shè)

18、想在M0的對稱點(diǎn)M1（x0，y0，z0）放置電量為e 0的點(diǎn)電荷，不難驗(yàn)證，在兩個點(diǎn)電荷的電場中，平面z0上的電勢確實(shí)是零。在點(diǎn)M1的點(diǎn)電荷就是電像。格林函數(shù) 為了把G（r，r0）代入第一邊值問題的解的積分公式（12-1-13），需要先計(jì)算即。代入（12-1-13）即得半空間的第一邊值問題的解的積分公式 （12-2-21）整理為word格式作代換這叫作半空間的泊松積分。例3 在圓ra內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題 答案（12-2-22）例4 在半平面y0內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題答案 （12-2-23）三、含時間的格林函數(shù) §12.1§12.2討論的是穩(wěn)定場問題的格

19、林函數(shù)方法。至于波動與輸運(yùn)這類含時間的問題，同樣可以運(yùn)用格林函數(shù)方法求解。本節(jié)以波動問題為例介紹含時間的格林函數(shù)，并導(dǎo)出波動方程定解問題解的積分表式；對于輸運(yùn)問題，亦給出相應(yīng)的結(jié)果。整理為word格式 一般強(qiáng)迫振動的定解問題是（12-3-1） （12-3-2） （12-3-3）§5.3中曾指出，持續(xù)作用的力f（r，t）可年作是前后相繼的脈沖力f（r，t）d（tt）dt 的疊加。現(xiàn)在我們再進(jìn)一步將一個個連續(xù)分布于空間的脈沖力看作是鱗次櫛比排列在許許多多點(diǎn)上的力的疊加。總之，把持續(xù)作用的連續(xù)分布力f（r，t）看作是許許多多脈沖點(diǎn)力的疊加 （12-3-4）把單位脈沖點(diǎn)力所引起的振動記作G（

20、r，t；r0，t0），稱之為波動問題的格林函數(shù)。求得了G，就可用疊加的方法求出任意力f（r，t）所引起的振動。G所滿足的定解問題是 （12-3-5） （12-3-6） （12-3-7）我們可以用類似于求解泊松方程的方法求得定解問題（12-3-1）（12-3-3）的解的積分表式。需注意的是含時間的格林函數(shù)的對稱性不同于泊松方程格林函數(shù)的對稱性， （12-3-8）現(xiàn)在證明對稱關(guān)系（12-3-8）。在定解問題（12-3-5）（12-3-7）中將變量t，r0，t0分別換為t，r1，t1，而成為 （12-3-9）整理為word格式 （12-3-10） （12-3-11）以G（r，t；r1，t1）乘方程（12-3-5）。同時以G（r，t；r0，t0）乘方程（12-3-9），相減，再對r在區(qū)域T上積分，同時對t在區(qū)間（其中t0和t1）上積分，得（12-3-12）利用第二格林公式（12-1-3），上式左端成為由定解條件（12-3-6）（12-3-7）和（12-3-10）（12-3-