西工大線性系統(tǒng)理論第四章

1、線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論第四章第四章傳遞函數(shù)矩陣的狀態(tài)空間實現(xiàn)傳遞函數(shù)矩陣的狀態(tài)空間實現(xiàn) 由傳遞函數(shù)矩陣確定對應(yīng)的狀態(tài)空間方程稱為實現(xiàn)。由傳遞函數(shù)矩陣確定對應(yīng)的狀態(tài)空間方程稱為實現(xiàn)。在在1.21.2節(jié)已經(jīng)研究了將單輸入節(jié)已經(jīng)研究了將單輸入- -單輸出系統(tǒng)的外部描述（系單輸出系統(tǒng)的外部描述（系統(tǒng)傳遞函數(shù)）化為狀態(tài)空間描述的問題，并導(dǎo)出了能觀測統(tǒng)傳遞函數(shù)）化為狀態(tài)空間描述的問題，并導(dǎo)出了能觀測規(guī)范型、能控規(guī)范型、規(guī)范型、能控規(guī)范型、A A為對角型和約當(dāng)型等四種典型的為對角型和約當(dāng)型等四種典型的狀態(tài)空間方程，這便是傳遞函數(shù)的實現(xiàn)。狀態(tài)空間方程，這便是傳遞函數(shù)的實現(xiàn)。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論本章研究多

2、變量系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)理論和一般方法。本章研究多變量系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)理論和一般方法。研究實現(xiàn)問題，能深刻揭示系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特性，便于分研究實現(xiàn)問題，能深刻揭示系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特性，便于分析與計算系統(tǒng)的運動，便于在狀態(tài)空間對系統(tǒng)進行綜合，析與計算系統(tǒng)的運動，便于在狀態(tài)空間對系統(tǒng)進行綜合，便于對系統(tǒng)進行計算機仿真，在理論和應(yīng)用上均具有重要便于對系統(tǒng)進行計算機仿真，在理論和應(yīng)用上均具有重要意義。意義。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論4.14.1實現(xiàn)問題基本概念實現(xiàn)問題基本概念4.24.2傳遞函數(shù)矩陣的能控規(guī)范性和能觀測規(guī)傳遞函數(shù)矩陣的能控規(guī)范性和能觀測規(guī)范型實現(xiàn)范型實現(xiàn) 4.3 4.3 最小實現(xiàn)及其

3、特性最小實現(xiàn)及其特性4.4 4.4 多變量系統(tǒng)最小實現(xiàn)的求法多變量系統(tǒng)最小實現(xiàn)的求法線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論4.1 4.1 實現(xiàn)問題基本概念實現(xiàn)問題基本概念 給定線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣給定線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 尋求一個狀態(tài)空間描述尋求一個狀態(tài)空間描述 使使則稱此狀態(tài)空間描述是給定傳遞函數(shù)矩陣則稱此狀態(tài)空間描述是給定傳遞函數(shù)矩陣 的一個實現(xiàn)，的一個實現(xiàn)，簡稱簡稱 是是 的一個實現(xiàn)。的一個實現(xiàn)。,xAxBu yCxDu1()( )C sIABDG s G s G s()ABCD G s線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論以上定義表明，實現(xiàn)問題的實質(zhì)就是已知系統(tǒng)的外部以上定義表明，實現(xiàn)問題的實質(zhì)就是已

4、知系統(tǒng)的外部描述，去尋求一個與外部描述等同的假想的狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)。描述，去尋求一個與外部描述等同的假想的狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)。由于狀態(tài)變量（狀態(tài)空間基底）選取不同，同一由于狀態(tài)變量（狀態(tài)空間基底）選取不同，同一 能能導(dǎo)出維數(shù)相同但數(shù)值特性不同的導(dǎo)出維數(shù)相同但數(shù)值特性不同的 ，這一點，這一點已由已由1.2節(jié)傳遞函數(shù)的四種典型實現(xiàn)所證實；基于傳遞函數(shù)節(jié)傳遞函數(shù)的四種典型實現(xiàn)所證實；基于傳遞函數(shù)矩陣矩陣 只反映系統(tǒng)能控且能觀測部分的特性這一研究只反映系統(tǒng)能控且能觀測部分的特性這一研究結(jié)論，不難分析得知，由同一還能導(dǎo)出結(jié)論，不難分析得知，由同一還能導(dǎo)出A具有不同維數(shù)的具有不同維數(shù)的實現(xiàn)，其中含有不同個數(shù)的不能控

5、或和不能觀測的狀態(tài)實現(xiàn)，其中含有不同個數(shù)的不能控或和不能觀測的狀態(tài)變量。變量。 G s()ABCD G s線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論故故 的實現(xiàn)具有非唯一性，且有無窮多種實現(xiàn)方式，某的實現(xiàn)具有非唯一性，且有無窮多種實現(xiàn)方式，某特定實現(xiàn)稱的一個實現(xiàn)。特定實現(xiàn)稱的一個實現(xiàn)。在眾多實現(xiàn)中，能控類和能觀測類是最常見的典型實在眾多實現(xiàn)中，能控類和能觀測類是最常見的典型實現(xiàn)方式，這時，所尋求的現(xiàn)方式，這時，所尋求的 不但能滿足傳遞不但能滿足傳遞函數(shù)矩陣關(guān)系式，且是函數(shù)矩陣關(guān)系式，且是 能控或是能控或是 能觀測的。能觀測的。由于這類典型實現(xiàn)本身已經(jīng)從某個方面揭示了系統(tǒng)的內(nèi)部由于這類典型實現(xiàn)本身已經(jīng)從某個方面揭

6、示了系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特性，于是更容易過渡到尋求結(jié)構(gòu)特性，于是更容易過渡到尋求 的維數(shù)最小的實現(xiàn)的維數(shù)最小的實現(xiàn)問題。問題。 G s()ABCD()AB()AC G s線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論所謂維數(shù)最小的實現(xiàn)，是指所謂維數(shù)最小的實現(xiàn)，是指A的維數(shù)最小，從而也使的維數(shù)最小，從而也使B，C，D的維數(shù)最小，它能以最簡單的狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)去獲得等價的維數(shù)最小，它能以最簡單的狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)去獲得等價的外部傳遞特性。無疑，最小實現(xiàn)問題中是最為重要的。的外部傳遞特性。無疑，最小實現(xiàn)問題中是最為重要的。如果已經(jīng)確定某真實系統(tǒng)是能控且能觀測的，則在該如果已經(jīng)確定某真實系統(tǒng)是能控且能觀測的，則在該的眾多實現(xiàn)方式中，唯有最

7、小實現(xiàn)才是真實系統(tǒng)的狀的眾多實現(xiàn)方式中，唯有最小實現(xiàn)才是真實系統(tǒng)的狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)。態(tài)空間結(jié)構(gòu)。 為了有助于理解多變量系統(tǒng)為了有助于理解多變量系統(tǒng) 的實現(xiàn)問題，看下面兩的實現(xiàn)問題，看下面兩個引例。個引例。 G s G s線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 設(shè)雙輸入設(shè)雙輸入-雙輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣雙輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣 為為若將若將 中的四個傳遞函數(shù)看作四個單變量子系統(tǒng)的傳遞中的四個傳遞函數(shù)看作四個單變量子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即函數(shù)，即 G s121(1)(2)( )11(1)(3)3sssG ssss G s1111( )1( )( )1y sgsu ss線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論1122( )12( )( )1

8、2y sgsu sss2211( )11( )( )13y sgsu sss2222( )1( )( )3y sgsu ss線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論圖圖4.1 引例引例1 諸元的單變量系統(tǒng)實現(xiàn)諸元的單變量系統(tǒng)實現(xiàn) G s線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論其實現(xiàn)的狀態(tài)變量圖見圖其實現(xiàn)的狀態(tài)變量圖見圖4.1。其動態(tài)方程為。其動態(tài)方程為A、B、C、D分別為分別為111223332442556661112245,2,3,3,2,xxu xxx xxuxxuxxx xxuyxxyxx 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論100000021000001000000300000031000001A100001010010B120

9、000000110C0000D線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論所以矩陣所以矩陣A為為6維。但經(jīng)計算，維。但經(jīng)計算， 得次數(shù)得次數(shù) 。由多變。由多變量系統(tǒng)能控能觀測的充要條件可知，能控且能觀測的狀態(tài)量系統(tǒng)能控能觀測的充要條件可知，能控且能觀測的狀態(tài)空間實現(xiàn)的空間實現(xiàn)的A陣應(yīng)為陣應(yīng)為 維，故以上按單變量系統(tǒng)實現(xiàn)諸元維，故以上按單變量系統(tǒng)實現(xiàn)諸元傳遞函數(shù)的方式，使傳遞函數(shù)的方式，使 的維數(shù)增高，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)復(fù)雜的維數(shù)增高，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)復(fù)雜（如需（如需6個積分器），仿真精度變差，且含有不能控或個積分器），仿真精度變差，且含有不能控或/或或和不能觀測的狀態(tài)變量。和不能觀測的狀態(tài)變量。 G s4nn( , ,)A B C

10、線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 已知下列傳遞函數(shù)矩陣已知下列傳遞函數(shù)矩陣按單變量系統(tǒng)實現(xiàn)方式實現(xiàn)諸元傳遞函數(shù)，狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)按單變量系統(tǒng)實現(xiàn)方式實現(xiàn)諸元傳遞函數(shù)，狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)將含將含4個積分器，見圖個積分器，見圖4.2(a)；若諸積分環(huán)節(jié)；若諸積分環(huán)節(jié) 移到綜合點移到綜合點之后，可變換成圖之后，可變換成圖4.2(b)，這時只含有，這時只含有2個積分環(huán)節(jié)；個積分環(huán)節(jié)； G s41( )41ssG sss1s線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論進一步將兩條支路并為一條，最終得結(jié)構(gòu)圖進一步將兩條支路并為一條，最終得結(jié)構(gòu)圖4.2(c)，這時，這時僅含一個積分環(huán)節(jié)。從傳遞特性等同的觀點看，上述三種僅含一個積分環(huán)節(jié)。從傳遞特

11、性等同的觀點看，上述三種結(jié)構(gòu)均能導(dǎo)出給定的結(jié)構(gòu)均能導(dǎo)出給定的 ，但，但A陣的維數(shù)卻不相同，顯然陣的維數(shù)卻不相同，顯然圖圖4.2(c)維數(shù)最小，結(jié)構(gòu)最簡單。計算維數(shù)最小，結(jié)構(gòu)最簡單。計算 的次數(shù)可的次數(shù)可知，知， ，表征了最小實現(xiàn)的維數(shù)。由圖，表征了最小實現(xiàn)的維數(shù)。由圖4.2(a)和和(b)列出列出動態(tài)方程，必含有不能控或動態(tài)方程，必含有不能控或/和不能觀測的狀態(tài)變量。和不能觀測的狀態(tài)變量。 G s1n G s線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論(a)(b) (c)圖圖4.2 引例引例2 的三種實現(xiàn)的三種實現(xiàn)線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論下面來研究多變量系統(tǒng)的能控類和能觀測類的典型實下面來研究多變量系統(tǒng)的能控類和

12、能觀測類的典型實現(xiàn)方法，進而討論最小實現(xiàn)的特性和尋求最小實現(xiàn)的方法。現(xiàn)方法，進而討論最小實現(xiàn)的特性和尋求最小實現(xiàn)的方法。線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論4.24.2 傳遞函數(shù)矩陣的能控規(guī)范性和能觀測規(guī)范型傳遞函數(shù)矩陣的能控規(guī)范性和能觀測規(guī)范型實現(xiàn)實現(xiàn) 就單輸入就單輸入多輸出、多輸入多輸出、多輸入單輸出、多輸入單輸出、多輸入多輸多輸出系統(tǒng)的情況分別進行研究。出系統(tǒng)的情況分別進行研究。單輸入單輸入多輸出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)見圖多輸出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)見圖4.3，函，函q個子系統(tǒng)：個子系統(tǒng)：線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論（4.1）圖圖4.3 單輸入單輸入多輸出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)多輸出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)( )( ) ( )iiy sg s u s1,2

13、,iq線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論輸入輸入輸出關(guān)系的向量輸出關(guān)系的向量矩陣形式為矩陣形式為 （4.2）其中其中 為一列向量，其展開式為為一列向量，其展開式為 （4.3） ( )( ) ( )y sG s u s( )G s11111( )( )( )( )( )( )( )( )qqqqqg sdg sdg sG sdG sgsddgsgs線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論式中式中 為真有理分式；為真有理分式； 為常數(shù)；為常數(shù)； 為嚴(yán)格真有理分為嚴(yán)格真有理分式。真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣式。真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣 的實現(xiàn)問題就是尋求的實現(xiàn)問題就是尋求 問題，嚴(yán)格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣問題，嚴(yán)格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣 的實現(xiàn)問題就是尋求的實現(xiàn)問

14、題就是尋求 問題。故不失一般性，研究實現(xiàn)問題可從問題。故不失一般性，研究實現(xiàn)問題可從 的的實現(xiàn)入手。實現(xiàn)入手。取取 的最小公分母且記為的最小公分母且記為 ，有，有（4.4） ( )ig sid( )ig s( )G s( , , , )A b C d( , ,)A b C( )G s( )G s( )ig s( )D s1110( )nnnD ssasa sa線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論則則 的一般形式為的一般形式為（4.5）式中式中是是q個子系統(tǒng)傳遞函數(shù)的公共部分。對個子系統(tǒng)傳遞函數(shù)的公共部分。對 作作串聯(lián)分解，并引入中間變量串聯(lián)分解，并引入中間變量 ，便有：，便有：（4.6）( )G s11,

15、11,11,01,1,1,01( )( )nnnq nqqssG sD sss1( )D s( )G s( )z s1( )( )( )z su sD s線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論若令若令 （4.7）可列出該系統(tǒng)的能控規(guī)范性狀態(tài)方程，它對可列出該系統(tǒng)的能控規(guī)范性狀態(tài)方程，它對q個子系統(tǒng)是個子系統(tǒng)是同一的?？紤]到單輸入同一的?？紤]到單輸入多輸出情況，輸入矩陣只有一列，多輸出情況，輸入矩陣只有一列，輸出矩陣則有輸出矩陣則有q行，故據(jù)行，故據(jù) 諸系數(shù)寫出能控規(guī)范性諸系數(shù)寫出能控規(guī)范性是方便的，且寫不出能觀測規(guī)范型實現(xiàn)。故式是方便的，且寫不出能觀測規(guī)范型實現(xiàn)。故式(4.6)的的實現(xiàn)為實現(xiàn)為 （4.8）(

16、1)12,nnxz xzxz( )D s( , )A b1011001nnIxxuAxbuaaa 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論諸子系統(tǒng)的輸出諸子系統(tǒng)的輸出 均可表示為及其各階倒數(shù)的線性組合，均可表示為及其各階倒數(shù)的線性組合，其向量其向量矩陣形式為矩陣形式為（4.9）于是便確定了于是便確定了 的實現(xiàn)的實現(xiàn) 。該實現(xiàn)是一定能控。該實現(xiàn)是一定能控的，但不一定能觀測。注意到上述實現(xiàn)是由單輸入的，但不一定能觀測。注意到上述實現(xiàn)是由單輸入多輸多輸出系統(tǒng)的能控規(guī)范性實現(xiàn)推廣而來的。出系統(tǒng)的能控規(guī)范性實現(xiàn)推廣而來的。 ( )iy s1,01,11,1,0,1,1nqqq nyxCx( )G s( , , , )A

17、 b C d線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論多輸入多輸入單輸出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)見圖單輸出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)見圖4.4，含，含p個子系統(tǒng)：個子系統(tǒng)： （4.10）圖圖4.4 多單輸入多單輸入單輸出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)單輸出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)( )( ) ( )iiy sg s u s1,2,ip線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)輸出為諸子系統(tǒng)輸出之和，即系統(tǒng)輸出為諸子系統(tǒng)輸出之和，即 （4.11）其中其中 為一行，其展開式為為一行，其展開式為 （4.12） 1111( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )ppTppy sg s u sgs usg sgsu susG s u s( )G s11( )( )( )( )

18、ppG sdg sdgsdG s線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論同理，取同理，取 的最小公分母且記為的最小公分母且記為 ，可得，可得 的的一般形式為一般形式為 （4.13）考慮到多輸入考慮到多輸入單輸出情況，輸入矩陣有單輸出情況，輸入矩陣有p列，輸出矩陣列，輸出矩陣只有一行，據(jù)只有一行，據(jù)p個子系統(tǒng)傳遞函數(shù)的公共部分個子系統(tǒng)傳遞函數(shù)的公共部分 寫出寫出能觀測規(guī)范型能觀測規(guī)范型 是方便的，且寫不出能控規(guī)范型實現(xiàn)。是方便的，且寫不出能控規(guī)范型實現(xiàn)。( )ig s( )D s( )G s111,11,11,0,1,1,01( )( )nnnq nqqG sssssD s1( )D s( , )A c線性系統(tǒng)

19、理論線性系統(tǒng)理論該實現(xiàn)也可由單輸入該實現(xiàn)也可由單輸入單輸出系統(tǒng)的能觀測規(guī)范型實現(xiàn)推單輸出系統(tǒng)的能觀測規(guī)范型實現(xiàn)推廣得到廣得到 （4.14）（4.15） 01,0,01,1,1111,1,110qqnnq nnaxaxuAxBuIa ( )01y sxcx線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論于是便確定了于是便確定了 的實現(xiàn)的實現(xiàn) ，該實現(xiàn)一定能觀，該實現(xiàn)一定能觀測，但不一定能控。測，但不一定能控。例例4.1 試求傳遞函數(shù)矩陣試求傳遞函數(shù)矩陣 的能控規(guī)范型的能控規(guī)范型（能觀測規(guī)范型）實現(xiàn)。（能觀測規(guī)范型）實現(xiàn)。( )G s( , , , )A b C d12( )( )G s G s13(1)(2)( )41

20、sssG sss 234( )(1)(2)1ssG ssss線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論解：解： 為單輸入為單輸入雙輸入情況，雙輸入情況， 為一列，為一列， 為兩行，為兩行， 由由 確定。確定。故其能控規(guī)范型實現(xiàn)為：故其能控規(guī)范型實現(xiàn)為：1( )G sbCA( )D s1103311( )13(2)36(1)(2)( )ssG sdssssD s 010231310631xAxbuxuyCxduxu 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論為雙輸入為雙輸入單輸入情況，單輸入情況， 為兩列，為兩列， 為一行，為一行， 由由確定。確定。故其能觀測規(guī)范型實現(xiàn)為：故其能觀測規(guī)范型實現(xiàn)為：2( )G sBcA( )D s2

21、111( )0133(2)336(1)(2)( )G sssdssssD s023613130101xAxbuxuyCxduxu線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論假定嚴(yán)格真假定嚴(yán)格真 傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣其能控或者能觀測規(guī)范型實現(xiàn)可由單輸入其能控或者能觀測規(guī)范型實現(xiàn)可由單輸入單輸出系統(tǒng)傳單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)的對應(yīng)規(guī)范型實現(xiàn)推廣而來。遞函數(shù)的對應(yīng)規(guī)范型實現(xiàn)推廣而來。 的展開式有：的展開式有：()qp,( )( ) ,1, ,1,i jG sgsiq jp( )G s線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 （4.16） 1,11,11,1,11,11,121210( )( )( )( )( )( )( )1( )( )

22、( )1( )pqppqpnnnngsgsG sgsgsmsmsD smsmssssD s線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論式中式中 ，為，為 的最小公的最小公分母，分母， 是同分母處理后所得的多項式矩陣，且表為是同分母處理后所得的多項式矩陣，且表為矩陣多項式形式，矩陣多項式形式， 均為均為 常值矩陣。對常值矩陣。對式（式（4.16）進行串連分解并引入中間變量）進行串連分解并引入中間變量 ，它與，它與 同為同為向量，于是向量，于是 滿足下列向量微分方程滿足下列向量微分方程 （4.17）（4.18）1110( )nnnD ssasa sa,( )i jgs,( )i jms(0,1)iin()qpzu(1

23、)pzy、( )(1)110nnnzaza z au(1)(2)1210nnnnyzzzz線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論定義下列一組定義下列一組 狀態(tài)子向量狀態(tài)子向量 （4.19）則狀態(tài)方程為則狀態(tài)方程為(1)p(1)12,nnxz xzxz12230112101121nnnnnxxxxxa xa xaxuyxxx 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論其矩陣分塊形式的能控規(guī)范型實現(xiàn)為其矩陣分塊形式的能控規(guī)范型實現(xiàn)為（4.20）式中式中,cccxA xB u yC x121012101,pppppppppppppppccpppppnpppnppncnOIOOOxOOIOOxOOOOOxABOOOIOxa Ia I

24、a IaIIxC線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 為為 維，維， 為為 維，維， 為為 維維, 為為 維維, 為為 維維, 為為 階零陣和階零陣和 階單位陣。該階單位陣。該實現(xiàn)一定能控，但不一定能觀測。實現(xiàn)一定能控，但不一定能觀測。還可以導(dǎo)出矩陣分塊形式的能觀測規(guī)范型實現(xiàn)為還可以導(dǎo)出矩陣分塊形式的能觀測規(guī)范型實現(xiàn)為（4.21）式中式中ix(1)px(1)npcA()npnpcB()nppcC()qnpppOI、pp,oooxA xB u yC x線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 為為 維，維， 為為 維，維， 為為 維維, 為為 維維, 為為 維維, 為為 階零陣和階零陣和 階單位陣。該階單位陣。該實現(xiàn)一定能

25、觀測，但不一定能控。實現(xiàn)一定能觀測，但不一定能控。01012122111,qqqqqqqqqqqqoonqqqnqnnoqqqOOOa IxIOOa IxOIOa IxABxOOIaIxCOOIix(1)qx(1)nqoA()nqnqoB()nqpoC()qnqqqOI、qq線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論例例4.2試求試求 的能控和能觀測規(guī)范型實現(xiàn)的能控和能觀測規(guī)范型實現(xiàn)解：本例解：本例( )G s2113( )112sssG sssss2pq111013( )( )111112ssG sDG sss、線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論故能控規(guī)范型實現(xiàn)為故能控規(guī)范型實現(xiàn)為232(2)(3)(1)(2)1( )

26、(2)(3)(1)(3)(1)(2)(3)11536211154636116ssssG sssssssssssss、222222222222012,611662531110,63541111cccOIOOAOOIBOIIIICD線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論能觀測規(guī)范型實現(xiàn)為能觀測規(guī)范型實現(xiàn)為22202221222222262636531 011,541 161111oooOOIAIOIBCOOIDOII線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論4.3 4.3 最小實現(xiàn)及其特性最小實現(xiàn)及其特性給定嚴(yán)格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣給定嚴(yán)格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣 ，尋求一個維數(shù)最小的，尋求一個維數(shù)最小的 ,使使，則稱該，則稱該 是是 的最小實

27、現(xiàn)，也稱為不可簡約實現(xiàn)。從等價的輸入的最小實現(xiàn)，也稱為不可簡約實現(xiàn)。從等價的輸入輸出輸出傳遞函數(shù)特性來看，最小實現(xiàn)的狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)是最簡單的，傳遞函數(shù)特性來看，最小實現(xiàn)的狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)是最簡單的，其中包含的積分器個數(shù)最少，其狀態(tài)變量都是能控且能觀其中包含的積分器個數(shù)最少，其狀態(tài)變量都是能控且能觀測的，用于計算機仿真的精度也最好，故而在理論及應(yīng)用測的，用于計算機仿真的精度也最好，故而在理論及應(yīng)用上均占有重要地位。上均占有重要地位。( )G s( , ,)A B C1()( )C sIABG s( , ,)A B C( )G s線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論關(guān)于最小實現(xiàn)的特性，有下列幾個重要結(jié)論。關(guān)于最小實

28、現(xiàn)的特性，有下列幾個重要結(jié)論。 為嚴(yán)格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣為嚴(yán)格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣的最的最小實現(xiàn)的充要條件是：小實現(xiàn)的充要條件是： 能控且能控且 能觀測。能觀測。證證 先證必要性，即已知先證必要性，即已知為最小實現(xiàn)，欲證為最小實現(xiàn)，欲證 能控和能控和能觀測。采用反證法。反設(shè)能觀測。采用反證法。反設(shè) 不不能控或不能觀測，則可通過結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解找出能控且能能控或不能觀測，則可通過結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解找出能控且能觀測的觀測的，使，使 ，且有，且有（4.22） ( , ,)A B C( )G s( , )A B( ,)A C( , ,)A B C( , )A B( ,)A C( , ,)A B C121(,)A B

29、C111()( )C sIA BG s1dimdimAA線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論表明表明 不是不是 的最小實現(xiàn)，從而與已知條件矛盾，的最小實現(xiàn)，從而與已知條件矛盾，故反設(shè)不成立，故反設(shè)不成立， 必為能控且能觀測。必要性得證。必為能控且能觀測。必要性得證。 再證充分性，即已知再證充分性，即已知 能控且能觀測，欲證能控且能觀測，欲證 為最小實現(xiàn)。也采用反證法，反設(shè)為最小實現(xiàn)。也采用反證法，反設(shè) 能控能控能觀測，但不是最小實現(xiàn)，這時必存在另一最小實現(xiàn)能觀測，但不是最小實現(xiàn)，這時必存在另一最小實現(xiàn) ，使使 （4.23）( , ,)A B C( )G s( , ,)A B C( , ,)A B C( ,

30、 ,)A B C( , ,)A B C( , ,)A B CdimdimAA線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論且對任意相同的輸入且對任意相同的輸入 u，必有相同的輸出，必有相同的輸出y，即，即（4.24）考慮到考慮到u和和t的任意性，進一步有的任意性，進一步有 （4.25）若令若令，且記，且記（4.26）則則 （4.27） ()()00( )( )ttA tA tCeBudCeBud()()( )( )A tA tCeBudCeBud, t0( )AtG tCe B( )AtG tCe B0t ( )( )G tG t線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論式中式中 ， 分別為分別為 ， 的單位脈沖相應(yīng)的單位脈沖相應(yīng)矩

31、陣。對矩陣。對 求各階導(dǎo)數(shù)有求各階導(dǎo)數(shù)有( )G t( )G t( , ,)A B C( , ,)A B C( )G t(1)(2)22(1)11(1)11( )( )( )( )AtAtAtAtnnAtAtnnnAtnGtCAe BCe ABGtCA e BCe A BGtCAe BCe ABGtCAe AB線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論于是可構(gòu)造下列于是可構(gòu)造下列L（t）矩陣）矩陣(1)(1)(1)(2)( )(1)( )2(1)( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnG tGtGtGtGtGtL tGtGtGt111111AtAtAtnAtAtAtnnAtnAtn

32、AtnCe BCe ABCe ABCe ABCAe ABCAe ABCAe BCAe ABCAe AB線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論（4.28）式中式中 ， 分別為分別為 的能觀測性和能控性判別陣。的能觀測性和能控性判別陣。當(dāng)當(dāng)t=0時有時有（4.29）101AtnAtcnCCAeBABABQ e QCA0t 0QcQ( , ,)A B C0(0)CLQ Q線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論同理可導(dǎo)出同理可導(dǎo)出 ， （4.30）式中式中 ， 分別為分別為 的能觀測性和能控性判別陣。的能觀測性和能控性判別陣。由于由于 ，又有，又有 ， ，故，故 （4.31）由已知由已知 能控且能觀，則能控且能觀，則（4.32）

33、 0(0)CLQ Q0( )AtCL tQ e QcQ0Q( , ,)A B C( )( )G tG t( )( )L tL t(0)(0)LL00CCQ QQ Q( , ,)A B CcrankQn0rankQn線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論表表 （4.33）有有 （4.34）又因又因 ，從而，從而 有有 （4.35） 0cHQ Q0min,crankHrankQ rankQn000TTcQ HQ Q Q1000()TTcQQ QQ H000min,TcnrankQrankQ Q rankQ rankHrankH線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論由于式（由于式（4.34）和（）和（4.35）同時成立，必有）

34、同時成立，必有（4.36）于是于是 （4.37）也即也即 （4.38）這表示這表示 ，與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，即不，與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，即不存在比存在比 維數(shù)更小的實現(xiàn)。充分性得證。證畢。維數(shù)更小的實現(xiàn)。充分性得證。證畢。0crankHrankQ Qn00min,ccnrankQ QrankQ rankQ0,crankQnrankQndimdimAA( , ,)A B C線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 嚴(yán)格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣嚴(yán)格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣 的任意兩個最的任意兩個最小實現(xiàn)小實現(xiàn) 與與 之間必代數(shù)等價，即兩個最小實之間必代數(shù)等價，即兩個最小實現(xiàn)之間由非奇異線形變化陣現(xiàn)之間由非奇異線形變化陣T使下

35、式成立使下式成立（4.39） 證證 已知已知 和和 均為最小實現(xiàn)，故均為均為最小實現(xiàn)，故均為能控且能觀測的，且維數(shù)相同，即能控且能觀測的，且維數(shù)相同，即 ( )G s( , ,)A B C( , ,)A B C1ATAT1BT BCCT( , ,)A B C( , ,)A B C00ccrankQrankQrankQrankQndimdimAA線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論且進而可知且進而可知 和和 均為非奇異均為非奇異n階方陣。階方陣。由由 分別左乘分別左乘 和右乘和右乘 ，可導(dǎo)出，可導(dǎo)出 （4.40） （4.41）式中式中 ， 均為非奇異矩陣，且有均為非奇異矩陣，且有TccQ Q00TQ Q00

36、CCQ QQ Q0TQTcQ10000()TTcccQQ QQ Q QTQ1000() TTccccQQ Q QQ QQ TTT110000()()TTTTccccQ QQ QQ QQ QI110000()() TTTTccccTTQ QQ QQ QQ Q線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論故故 （4.42）于是由于是由 的展開式的展開式可得可得 （4.43）由由 的展開式的展開式1TT1ccQT Q111nnBABABTBABAB1BT B00QQ T線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論可得可得 （4.44）由由 的展開式的展開式11nnCCCACATCACACCT00CCQ QQ Q線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論可得可

37、得（4.45）從而有從而有112212(1)12(1)nnnnnnnnnnCBCABCABCBCABCABCABCA BCA BCABCA BCA BCABCA BCABCABCA BCABkkCA BCA B0,1,K 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 （4.46） 101ncnCCAA AABABQ AQCA11nOCnCCAQ AQA AABABCA線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論由式（由式（4.46）兩端左乘）兩端左乘 且右乘且右乘 ，有，有（4.47）證畢。以上證明的代數(shù)等價關(guān)系是針對最小實現(xiàn)，即證畢。以上證明的代數(shù)等價關(guān)系是針對最小實現(xiàn)，即 能控且能觀測做的，非最小實現(xiàn)之間則不存在代能控且能觀測做

38、的，非最小實現(xiàn)之間則不存在代數(shù)等價關(guān)系。數(shù)等價關(guān)系。 嚴(yán)格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣嚴(yán)格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣 的最小實現(xiàn)的的最小實現(xiàn)的維數(shù)為維數(shù)為 下列漢克爾矩陣下列漢克爾矩陣 的秩，即的秩，即0TQTcQ0000TTTTccccQ Q AQ QQ Q AQ Q( , ,)A B C( )G sminnH線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 （4.48）式中式中 ， ， 為馬爾科夫參數(shù)矩陣。為馬爾科夫參數(shù)矩陣。12231min121nnnnnHHHHHHnrankHrankHHH1( )iiiG sH s1iiHCA B(1,2,2)iHins線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論證證 令令 是是 的一個最小實現(xiàn)，的一個最小實現(xiàn)，A 的

39、維度為的維度為 由由(4.49) ( , ,)A B C( )G sminnn1( )()AtG sC sIABC eB1223()C IsAsA sB11111iiiiCA Bshs線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論故故 (4.50)101ncnCCABABABQ QCA1122231122121nnnnnnnnnnHHHCBCABCABHHHCABCA BCA BHHHHCABCA BCAB線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論因因 能控能觀測，故有能控能觀測，故有 (4.51) 傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣 的最小實現(xiàn)的維數(shù)為的最小實現(xiàn)的維數(shù)為 的次數(shù)的次數(shù) ，或，或 的極點多項式的最高次數(shù)。的極點多項式的最高次數(shù)

40、。證證 已知多變量系統(tǒng)的能控能觀測的充分條件是已知多變量系統(tǒng)的能控能觀測的充分條件是 的極點多項式的極點多項式 的特征多項式的特征多項式 (4.52)( , ,)A B C0crankQrankQn( )G s( )G sn( )G s( )G s( ) sAdet()sIA線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論故故 的最高次數(shù)（或的最高次數(shù)（或 的次數(shù)）的次數(shù)） 等于等于A的維數(shù)；又的維數(shù)；又知知 能控，能控， 能觀測，能觀測， 故為最小實現(xiàn)。故為最小實現(xiàn)。( ) s( )G sn( , )A B( ,)A C( , ,)A B C線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論4.4 4.4 多變量系統(tǒng)最小實現(xiàn)的求法多變量系統(tǒng)

41、最小實現(xiàn)的求法求多變量系統(tǒng)最小實現(xiàn)的一般方法為降階法：根據(jù)給求多變量系統(tǒng)最小實現(xiàn)的一般方法為降階法：根據(jù)給定傳遞函數(shù)矩陣定傳遞函數(shù)矩陣 ，第一步先寫出滿足，第一步先寫出滿足 的能控型的能控型實現(xiàn)，第二步從中找出能控子系統(tǒng)，均可求得最小實現(xiàn)。實現(xiàn)，第二步從中找出能控子系統(tǒng)，均可求得最小實現(xiàn)。有時有時 諸元容易分解為部分分式形式，運用直接求取約諸元容易分解為部分分式形式，運用直接求取約當(dāng)型最小實現(xiàn)是較為方便的。下面分別研究。當(dāng)型最小實現(xiàn)是較為方便的。下面分別研究。( )G s( )G s( )G s線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論1.先求解能控型再求能觀測子系統(tǒng)的方法先求解能控型再求能觀測子系統(tǒng)的方法設(shè)設(shè)

42、 傳遞函數(shù)矩陣，且傳遞函數(shù)矩陣，且 時，優(yōu)先采用本法。時，優(yōu)先采用本法。取取 的第的第 列，記為列，記為 ，是，是 至至 的傳遞函數(shù)矩的傳遞函數(shù)矩陣，有陣，有 (4.53)記記 為為 的最小公倍數(shù)，則的最小公倍數(shù)，則pq()qp( )G sj( )jG sju( )y s111( )( )( )( )( )( )( )jqjTTijqjjqjpspsG sgsgsqsqs1( ),( )jqjqsqs( )jds線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論(4.54)設(shè)設(shè) (4.55)則則 (4.56)在此，在此， 是是q個子系統(tǒng)傳遞函數(shù)的公共部分，由單輸個子系統(tǒng)傳遞函數(shù)的公共部分，由單輸入入-多輸出系統(tǒng)的實現(xiàn)可

43、知，能用能控規(guī)范多輸出系統(tǒng)的實現(xiàn)可知，能用能控規(guī)范 型的型的 實實現(xiàn)現(xiàn) ，由，由 的諸系數(shù)確定的諸系數(shù)確定 ,這時這時 的實現(xiàn)為的實現(xiàn)為11( )( )( )( )TjjqjjG snsnsds1,1.1.0( )jjjnnjj njjdssasa sa12.1.2.1.0( )1,jjjjnnijij nij nijijn ssssiq( )jdsI,jjA b( )jds( )ijnsjC( )jG s線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 (4.57) 1.0.1.10jjjjnjjjj nnnIAaaa1001jjnb 1 .01 .11 .1.0.1.1jjjjjj njqjqjqj nq nC線

44、性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論令令 便可得便可得 的實現(xiàn)為的實現(xiàn)為(4.58) ( )G s1,jp 12n npAAAA12n ppbbBb12q nPCCCC線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論當(dāng)當(dāng) 時，顯見時，顯見A、B、C的維度均較小。且有的維度均較小。且有 。上述實現(xiàn)一定能控，但不一定能觀，需找出能觀測部分，上述實現(xiàn)一定能控，但不一定能觀，需找出能觀測部分，為此需判別（為此需判別（A，C）的能觀性。若（）的能觀性。若（A，C）能觀測，則）能觀測，則（A，B，C）為最小實現(xiàn)；若）為最小實現(xiàn)；若 pq1pjjnn001nCCArankQranknnCA線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論則從則從 中選出中選出 個線性無

45、關(guān)行，記為個線性無關(guān)行，記為S；在附加；在附加 個個任意行（通常為單位矩陣任意行（通常為單位矩陣 的任意行），記為的任意行），記為 ，即，即(4.59)構(gòu)造構(gòu)造 非奇異變換陣非奇異變換陣T; (4.60) 0Q0n0()nnnI1S01TTnvSv0011TnTnvSvn n1STS線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論引入變換引入變換 ,由按能觀測性的結(jié)構(gòu)分解可知由按能觀測性的結(jié)構(gòu)分解可知(4.61)其中能觀測子系統(tǒng)其中能觀測子系統(tǒng) 即為所求的最小實現(xiàn)。即為所求的最小實現(xiàn)。 尚有如下簡化求法。記尚有如下簡化求法。記 為為 (4.62)xTx012100AATATAA00BBTBB100CCTC000(,)

46、A B C000(,)A B C1T00()0()01111nn nn nnnn nnSTUUS 線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論由由 有有 (4.63)(4.63)由由 有有 (4.64)(4.64)由由 00111111100nn nISSUSUTTUUSSUSUI 0nSUI 1010CTC UUC0CCU011121011110SSAUSAUATTA UUSS AUS AUAA線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論有有(4.65)由由 有有 (4.66)于是由能控型化為能觀測型的簡化步驟可歸結(jié)為：于是由能控型化為能觀測型的簡化步驟可歸結(jié)為：1.構(gòu)造構(gòu)造S陣（從陣（從 中選出中選出 個線性無關(guān)行）；個線性無關(guān)

47、行）；2.由由 求出求出U陣；陣；3.計算最小實現(xiàn)：計算最小實現(xiàn)： ， ， 。0ASAU0011SSBBTBBSS BB0BSB0Q0n0nSUI0CCU0ASAU0BSB線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論 由于由于S選擇的任意性及求解選擇的任意性及求解U的任意性，最小實現(xiàn)不唯一，的任意性，最小實現(xiàn)不唯一，但最小實現(xiàn)的維數(shù)是唯一的，且系統(tǒng)都是能控能觀測的。但最小實現(xiàn)的維數(shù)是唯一的，且系統(tǒng)都是能控能觀測的。2.先求能觀測型再求能控子系統(tǒng)的方法先求能觀測型再求能控子系統(tǒng)的方法當(dāng)當(dāng) 時，優(yōu)先采用本法。這時取出時，優(yōu)先采用本法。這時取出 的第的第 行，行，記為記為 ，是，是p維輸入維輸入 至至 的傳遞函數(shù)矩陣，

48、有的傳遞函數(shù)矩陣，有 （4.67）pq( )G si( )iG s( )u s( )iy s111( )( )( )( )( )( )( )ipTTiiiipiippspsG sgsgsqsqs線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論記記 為為 的最小公倍數(shù)，則的最小公倍數(shù)，則(4.68)(4.68)設(shè)設(shè) (4.69)(4.69)則則 (4.70)(4.70)( )id s1( ),( )iipqsqs11( )( )( )( )iiipiG snsnsd s1,1.1.0( )iinnii niiid ssasa sa12.1.2.1.0( )1,iijinnijij nij nijijnssssjp線性系

49、統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論在此，在此， 是是p個子系統(tǒng)傳遞函數(shù)的公共部分，由單輸入個子系統(tǒng)傳遞函數(shù)的公共部分，由單輸入-多輸出系統(tǒng)的實現(xiàn)可知，能用能控規(guī)范多輸出系統(tǒng)的實現(xiàn)可知，能用能控規(guī)范 型型 的實現(xiàn)的實現(xiàn) 由由 的諸系數(shù)確定的諸系數(shù)確定 ,這時這時 的實現(xiàn)為的實現(xiàn)為（4.714.71） ( )id sII,iiA c( )id s( )ijnsiB( )iG s,0,11,10iiiiiiini nn naaAIa1.0.11.1.11.1.1iiiiipiipii nip nnpB1001iinC線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論令令i=1,2,q,可得可得G(s)的實現(xiàn)為的實現(xiàn)為(4.72) 11122

50、2qqqcccABABA =,B =,CAB線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論當(dāng)當(dāng)pq時，顯見時，顯見A、B、C的維數(shù)均較小。且有的維數(shù)均較小。且有 。上述實現(xiàn)一定能觀測，若上述實現(xiàn)一定能觀測，若 （A,B）能控，則（）能控，則（A,B,C）為最小實現(xiàn)。若）為最小實現(xiàn)。若 則從則從 中選出中選出 個線性無關(guān)列個線性無關(guān)列 ，附加，附加 個個任意列（通常為單位矩陣任意列（通常為單位矩陣 的任意列）的任意列） ，構(gòu)成，構(gòu)成非奇異變換陣非奇異變換陣 ：(4.73) 1qiinn-1ncrankranknQBABA BccranknnQcQcn12,cnv vv()cnnnI1,cnnvv-1P( -)-112

51、11cccnn ncnnnn nPvvvvvUU線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論引入變換引入變換 ，由按能控性結(jié)構(gòu)分解可知，由按能控性結(jié)構(gòu)分解可知(4.74)其中能控子系統(tǒng)其中能控子系統(tǒng) 即為所求最小實現(xiàn)。即為所求最小實現(xiàn)。也有如下簡化求法。記也有如下簡化求法。記P為為 (4.75) x = Px-1-112,cccccAABA = PAPBC = CPCC0A0,ccc(A B C ),ccc(A B C )111( -)ccnnn nnSPUUS線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論由由可得可得(4.76)由由 還可導(dǎo)出還可導(dǎo)出(4.77)-111-ccnn nI0SPP=UU=S0IcnSU = IABC、

52、、cccA =SAU,B =SB,C =CU線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論于是由能觀測型化為能控能觀測型的簡化步驟可歸結(jié)為：于是由能觀測型化為能控能觀測型的簡化步驟可歸結(jié)為：(1).(1).構(gòu)造構(gòu)造U U陣（從陣（從 選出選出 個線性無關(guān)列）；個線性無關(guān)列）；(2).(2).由由 求出求出S S陣；陣；(3).(3).計算最小實現(xiàn)：計算最小實現(xiàn)： 。由于由于U U選擇的任意性及求解選擇的任意性及求解S S的任意性，最小實現(xiàn)不唯一，的任意性，最小實現(xiàn)不唯一，但最小實現(xiàn)維數(shù)唯一且系統(tǒng)都是能控能觀測的。但最小實現(xiàn)維數(shù)唯一且系統(tǒng)都是能控能觀測的。cQcncnSU = IcccA =SAU,B =SB,C =

53、CU線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論例例4.5 已知傳遞函數(shù)矩陣已知傳遞函數(shù)矩陣G(s),求最小實現(xiàn)。求最小實現(xiàn)。解解 化化G(s)為嚴(yán)格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣為嚴(yán)格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣 ：2113( )112ssssssssG( ) sG111013( )( )111112ssssssGG+D線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論求求 的最小實現(xiàn)：的最小實現(xiàn)：設(shè)取其第一列，將分母最小公倍式提到矩陣以外，則設(shè)取其第一列，將分母最小公倍式提到矩陣以外，則同理同理( ) sG11111( )1111ssssg21213( )13(2)(3)2sssssss g線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論式中式中 ，據(jù)，據(jù) 分別構(gòu)分別構(gòu)造能控規(guī)范造能控規(guī)

54、范I型實現(xiàn)為型實現(xiàn)為的能控型實現(xiàn)為的能控型實現(xiàn)為212( )1,( )56d ssdsss12( )( )d sds、11111,1,1 AbC22201021,65131 AbC( ) sG線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論（A,C）的能觀測性判別：由于）的能觀測性判別：由于rankC=2=m,故故121122100001,0651012100 ,13101A0A0Ab0BCCC0b線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論即（即（A,C）能觀測。（）能觀測。（A,B,C）能控能觀測，即）能控能觀測，即 為的為的最小實現(xiàn)。最小實現(xiàn)。G(s)的最小實現(xiàn)為（的最小實現(xiàn)為（A,B,C,D）。）。-1211313163162o

55、n mrankrankrankranknCCQCACA( ) sG線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論例例4.6 試求下列試求下列G(s)的最小實現(xiàn)的維數(shù)及兩種最小實現(xiàn)。的最小實現(xiàn)的維數(shù)及兩種最小實現(xiàn)。解解 （1）確定最小實現(xiàn)維數(shù)）確定最小實現(xiàn)維數(shù) ：所有所有G(s)的一階子式的最小公分母為的一階子式的最小公分母為(s+1)(s+2)；二階子；二階子式只有一個為式只有一個為0，其分母為任意常數(shù)。故所有子式的首，其分母為任意常數(shù)。故所有子式的首1最最小公分母仍為小公分母仍為(s+1)(s+2),有有4623(1)(2)(1)(2)( )21(1)(2)(1)(2)sssssssssssGn2n線性系統(tǒng)理論線

56、性系統(tǒng)理論（2）先求能控型實現(xiàn)再求能觀測型實現(xiàn)的方法。由）先求能控型實現(xiàn)再求能觀測型實現(xiàn)的方法。由G(s)諸列諸列 有有式中式中 ，其能控規(guī)范，其能控規(guī)范I型為型為( )jsg12462311( ),( )21(1)(2)(1)(2)ssssssssgg12( )( )(1)(2)d sdsss1212120106432,2312010 A = Ab = bCC111222,A0b0ABCCC0A0b線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論判別（判別（A,C）的能觀測性：）的能觀測性：rankC=m=2,故故（A,C）不完全能觀測。從）不完全能觀測。從 選出二行構(gòu)成選出二行構(gòu)成S陣陣2-64322010864

57、32402011210654623on mrankrankrankrankCCCAQCACACAoQ線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論由由 ,求求U陣：陣：四個方程含四個方程含8個未知數(shù)，設(shè)任意規(guī)定個未知數(shù)，設(shè)任意規(guī)定 可解得可解得2SU = I1112212231324142643210201001uuuuuuuu313241420uuuu10213440000U線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論故最小實現(xiàn)為故最小實現(xiàn)為（3）先求能觀測型實現(xiàn)再求能控能觀測型實現(xiàn)的方法。）先求能觀測型實現(xiàn)再求能控能觀測型實現(xiàn)的方法。由由G(s)諸行諸行 有有31421022,13000122oooA = SAUB = SBC =

58、 CU( )jsg11( )4623(1)(2)sssssg21( )21(1)(2)sssg線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論式中式中 ，其能觀測規(guī)范，其能觀測規(guī)范I型為型為判別（判別（A,B）的能控性：由于）的能控性：由于rankB=1=k,故故12( )( )(1)(2)d sdsss121212026321,01 ,134200A = Ac = cBB111222,A0Bc0ABC0AB0c線性系統(tǒng)理論線性系統(tǒng)理論（A,B）不完全能控，從）不完全能控，從 中選出二個線性無關(guān)列構(gòu)成中選出二個線性無關(guān)列構(gòu)成U陣陣-236384126201042631051892210042126002163147n kcrankrankr