基本立體表面的截交線

1、第4章 基本立體表面交線4.14.1 平面平面立體表面的截交線立體表面的截交線4.24.2 曲面立體表面的截交線曲面立體表面的截交線4.34.3 立體表面的相貫線立體表面的相貫線第4章 基本立體表面交線 平面與立體、立體與立體兩處相交形成不同的表面平面與立體、立體與立體兩處相交形成不同的表面交線，可分為兩大類：交線，可分為兩大類： 截截 交交: :平面與立體相交，截去立體的一部分。平面與立體相交，截去立體的一部分。 相相 貫貫: :兩立體相交。兩立體相交。第4章 基本立體表面交線 u截交線的形狀是由直線段圍成的截交線的形狀是由直線段圍成的平面多邊形。平面多邊形。 多邊形的頂點(diǎn)是立體棱線與截平面

2、的多邊形的頂點(diǎn)是立體棱線與截平面的交點(diǎn)，交點(diǎn)， 多邊形的各邊是截平面與立體各表面的多邊形的各邊是截平面與立體各表面的交線交線。 u截交線既在截平面上，又在截交線既在截平面上，又在立體表面上，是截平面與立立體表面上，是截平面與立體表面的體表面的共有線。共有線。 4.1 4.1 平面立體表面的截交線平面立體表面的截交線一、平面立體的截交線性質(zhì)一、平面立體的截交線性質(zhì)第4章 基本立體表面交線A A. .求各棱線與截平面的交點(diǎn)求各棱線與截平面的交點(diǎn)線面交點(diǎn)法線面交點(diǎn)法B B. .求各棱面與截平面的交線求各棱面與截平面的交線面面交線法面面交線法三、求平面立體截交線的步驟：三、求平面立體截交線的步驟：1)

3、 1) 空間分析及投影分析空間分析及投影分析2) 2) 畫出截交線的投影畫出截交線的投影a a、截平面與立體的相對位置、截平面與立體的相對位置: :確定截交線的確定截交線的形狀。形狀。確定截交線的確定截交線的投影特性。投影特性。b b、截平面與投影面的相對位置：、截平面與投影面的相對位置：分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。二、平面與平面立體截交線的求法二、平面與平面立體截交線的求法第4章 基本立體表面交線3 2 1 (4 )3 2 4 1 3241) 1) 空間分析空間分析12) 2) 投影分析投影分析3) 3) 求截交線求截交線4) 4)

4、 補(bǔ)全棱線的投影補(bǔ)全棱線的投影檢查檢查: :尤其注意檢查截交線投影的相仿性尤其注意檢查截交線投影的相仿性SS S 截平面與體的幾個(gè)棱面相交？截平面與體的幾個(gè)棱面相交？截交線的形狀？截交線的形狀？采用的是哪種解題方法？采用的是哪種解題方法？四邊形四邊形線 面 交 點(diǎn) 法線 面 交 點(diǎn) 法例例: :四棱錐被正垂面四棱錐被正垂面P P 切割，求其截交線的投影。切割，求其截交線的投影。第4章 基本立體表面交線1Ssa aab (c )bccPvQvS (3 )2 2314324 1 41)1)分析分析: : 截平面為正垂面和水平面，截平面為正垂面和水平面，正面投影積聚；正面投影積聚；2)2)求出點(diǎn)求出

5、點(diǎn)1 1、2 2、3 3、4 4；3)3)順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見；別可見；4)4)補(bǔ)全、整理輪廓線。補(bǔ)全、整理輪廓線。 解題步驟解題步驟:例：求例：求P P、Q Q 兩平面與三棱錐截交線的投影兩平面與三棱錐截交線的投影 。b第4章 基本立體表面交線87162534例：已知立體的例：已知立體的V V、W W 投影，試求其投影，試求其H H 投影。投影。第4章 基本立體表面交線4.2 4.2 曲面立體表面的截交線曲面立體表面的截交線 平面與曲面體表面相交，截交線是曲面體和截平面與曲面體表面相交，截交線是曲面體和截平面的共有點(diǎn)的集合。平面的共有點(diǎn)的

6、集合。 在一般情況下，截交線是由平面曲線或平面曲在一般情況下，截交線是由平面曲線或平面曲線和直線所組成的封閉圖形。線和直線所組成的封閉圖形。 求回轉(zhuǎn)體截交線，常利用求回轉(zhuǎn)體截交線，常利用描點(diǎn)法描點(diǎn)法進(jìn)行。進(jìn)行。第4章 基本立體表面交線空間及投影分析空間及投影分析 分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置，以便確定截交線的的相對位置，以便確定截交線的形狀形狀。 分析截平面與投影面的相對位置，明確截交分析截平面與投影面的相對位置，明確截交線的線的投影特性投影特性，如積聚性、相仿性等。找出截交，如積聚性、相仿性等。找出截交線的已知投影，預(yù)見未知投影。線的

7、已知投影，預(yù)見未知投影。畫出截交線的投影畫出截交線的投影 * * 先找先找特殊點(diǎn)特殊點(diǎn)，補(bǔ)充，補(bǔ)充中間點(diǎn)中間點(diǎn)。* * 光滑連接各點(diǎn)，并判斷截交線的光滑連接各點(diǎn)，并判斷截交線的可見性可見性。 當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為：為：求平面與回轉(zhuǎn)體截交線的一般步驟：求平面與回轉(zhuǎn)體截交線的一般步驟：第4章 基本立體表面交線 平面與圓柱面相交時(shí)，根據(jù)平面與圓柱軸線的相對平面與圓柱面相交時(shí)，根據(jù)平面與圓柱軸線的相對位置不同，其截交線有三種情況：位置不同，其截交線有三種情況：圓圓、橢圓橢圓和和矩形矩形。一、平面和圓柱相交一、平面和圓柱相交第4章 基本立體表面交

8、線 截平面與柱軸斜交，截交線為橢圓。從圖中還可截平面與柱軸斜交，截交線為橢圓。從圖中還可知，截平面為正垂面，截交線的正面投影與截平面的知，截平面為正垂面，截交線的正面投影與截平面的正面投影重合。圓柱軸線為側(cè)垂線，圓柱的側(cè)面投影正面投影重合。圓柱軸線為側(cè)垂線，圓柱的側(cè)面投影為圓，截交線的側(cè)面投影在此圓周上。為圓，截交線的側(cè)面投影在此圓周上。 例：例： 已知圓柱被截后的正面投影和側(cè)面投影，試作已知圓柱被截后的正面投影和側(cè)面投影，試作該圓柱的水平投影及截交線的實(shí)形。該圓柱的水平投影及截交線的實(shí)形。第4章 基本立體表面交線第4章 基本立體表面交線 多個(gè)平面截切立多個(gè)平面截切立體時(shí)，要分別對各截體時(shí)，要

9、分別對各截平面進(jìn)行截交線的分平面進(jìn)行截交線的分析和作圖。析和作圖。1)1)空間及投影空間及投影分析分析3)3)求截交線。求截交線。2)2)分析圓柱體分析圓柱體輪廓素線輪廓素線的投影。的投影。截平面與截平面與立體立體的相對位置；的相對位置；截平面與截平面與投影面投影面的相對位置；的相對位置；解題步驟解題步驟確定截交線形狀為確定截交線形狀為矩形矩形和和圓弧圓弧。a ac cb bd de ee e b b ( (d d ) )a a ( (c c ) )e e a a ( (b b ) ) c c ( (d d ) )例：圓柱體被例：圓柱體被P P、Q Q 兩平面截切，試完成其三視圖。兩平面截切，

10、試完成其三視圖。第4章 基本立體表面交線 截平面與圓柱軸線的傾角為截平面與圓柱軸線的傾角為，其交線的，其交線的H H 投影為投影為橢圓，且橢圓的長、短軸隨橢圓，且橢圓的長、短軸隨的變化而變化的變化而變化 。截平面與圓柱軸線成截平面與圓柱軸線成4545時(shí)時(shí), ,投影為圓。投影為圓。第4章 基本立體表面交線例例: :已知頂部開有長方槽圓柱的主視圖和俯視圖，試已知頂部開有長方槽圓柱的主視圖和俯視圖，試畫出其左視圖。畫出其左視圖。第4章 基本立體表面交線例例: :空心圓柱上部開有長方槽，若已知其空心圓柱上部開有長方槽，若已知其V V、H H投影，投影，試求試求W W投影。投影。第4章 基本立體表面交線

11、 根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截交線根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截交線有五種形狀。有五種形狀。二、平面和圓錐相交二、平面和圓錐相交第4章 基本立體表面交線分析：分析： 截平面與圓錐的截平面與圓錐的所有素線相交，截交所有素線相交，截交線為橢圓。線為橢圓。例：已知截頭圓錐的正面投影例：已知截頭圓錐的正面投影, ,試作其截交線的水平試作其截交線的水平投影、側(cè)面投影和實(shí)形。投影、側(cè)面投影和實(shí)形。 第4章 基本立體表面交線圓球的截交線總是圓。圓球的截交線總是圓。 由于截平面相對于投影面的位置不同，截交由于截平面相對于投影面的位置不同，截交線的投影可能是圓、橢圓或直線。線的投影可能是圓、橢

12、圓或直線。三、平面和圓球相交三、平面和圓球相交第4章 基本立體表面交線例：已知球被鉛垂面例：已知球被鉛垂面P P 截?cái)啵囎鞒霰唤睾笄虻恼財(cái)啵囎鞒霰唤睾笄虻恼嫱队?、?cè)面投影和截交線的實(shí)形。面投影、側(cè)面投影和截交線的實(shí)形。分析：分析： 截交線的水平投截交線的水平投影為直線，其余兩影為直線，其余兩投影為橢圓，可利投影為橢圓，可利用球面上作點(diǎn)的方用球面上作點(diǎn)的方法作出橢圓上的點(diǎn)。法作出橢圓上的點(diǎn)。第4章 基本立體表面交線 兩個(gè)側(cè)平面截切圓球，交線在左視圖上為部分圓弧，在兩個(gè)側(cè)平面截切圓球，交線在左視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。俯視圖上積聚為直線。 水平面截切水平面截切圓球，交線在俯圓

13、球，交線在俯視圖上為部分圓視圖上為部分圓弧，在左視圖上弧，在左視圖上積聚為直線。積聚為直線。例：已知上部開有通槽的半圓球的主視圖，求其俯例：已知上部開有通槽的半圓球的主視圖，求其俯視圖和左視圖。視圖和左視圖。第4章 基本立體表面交線4.3 4.3 立體表面的相貫線立體表面的相貫線兩立體相交，表面形成的交線稱為相貫線。兩立體相交，表面形成的交線稱為相貫線。一、相貫線的定義一、相貫線的定義第4章 基本立體表面交線平面體與平面體相貫平面體與平面體相貫平面體與曲面體相貫平面體與曲面體相貫曲面體與曲面體相貫曲面體與曲面體相貫立體相貫的三種情況：立體相貫的三種情況：第4章 基本立體表面交線 相貫線是兩立體

14、表面的共有線相貫線是兩立體表面的共有線; ; 同時(shí)也是兩立體表面的分界線。同時(shí)也是兩立體表面的分界線。 相貫線一般是封閉的光滑的空間曲線相貫線一般是封閉的光滑的空間曲線; ; 特殊情況下為不封閉或直線或平面曲線。特殊情況下為不封閉或直線或平面曲線。1 1、 封閉性。封閉性。2 2、 共有性。共有性?？臻g曲線空間曲線平面曲線平面曲線直線直線不封閉不封閉二、相貫線的基本性質(zhì)二、相貫線的基本性質(zhì)第4章 基本立體表面交線 求相貫線的求相貫線的作圖實(shí)質(zhì)是作圖實(shí)質(zhì)是找出相貫的兩立體表找出相貫的兩立體表面一系列共有點(diǎn)的投影。面一系列共有點(diǎn)的投影。作圖方法：作圖方法： 積聚性法積聚性法 輔助平面法輔助平面法

15、輔助球面法輔助球面法三、求畫相貫線的作圖方法三、求畫相貫線的作圖方法第4章 基本立體表面交線u分析兩立體的幾何形狀、相對大小和相對位置，分析兩立體的幾何形狀、相對大小和相對位置，弄清相貫線空間形狀弄清相貫線空間形狀u明確相貫線的投影特點(diǎn)，選擇求明確相貫線的投影特點(diǎn)，選擇求相貫線的作圖方相貫線的作圖方法法 作特殊點(diǎn)作特殊點(diǎn) 作中間點(diǎn)作中間點(diǎn)4 4、檢查、整理、加深相貫體的輪廓線。、檢查、整理、加深相貫體的輪廓線。3 3、依次光滑連線，并判別可見性。、依次光滑連線，并判別可見性。1 1、空間分析及投影分析。、空間分析及投影分析。2 2、找點(diǎn)。、找點(diǎn)。確定曲線確定曲線的范圍的范圍確定曲線確定曲線彎曲

16、方向彎曲方向四、求兩曲面立體相貫線的作圖步驟四、求兩曲面立體相貫線的作圖步驟第4章 基本立體表面交線u相貫線的水平投影與直相貫線的水平投影與直立小圓柱的水平投影重立小圓柱的水平投影重合，是一個(gè)圓。合，是一個(gè)圓。u相貫線的側(cè)面投影積聚相貫線的側(cè)面投影積聚在水平大圓柱側(cè)面投影在水平大圓柱側(cè)面投影上，即為圓的一部分。上，即為圓的一部分。作圖步驟：作圖步驟：1、空間分析及投影分析、空間分析及投影分析 相貫線的形狀為相貫線的形狀為空間空間閉合曲線。閉合曲線。例：求軸線正交兩相交圓柱體相貫線的投影。例：求軸線正交兩相交圓柱體相貫線的投影。關(guān)鍵問題關(guān)鍵問題求相貫線的正面投影求相貫線的正面投影1 1、利用積聚

17、性法求相貫線、利用積聚性法求相貫線第4章 基本立體表面交線yyyyfefec(d)abf（e ）2 2、求相貫線上點(diǎn)的投影、求相貫線上點(diǎn)的投影找全找全特殊點(diǎn)；特殊點(diǎn)； 補(bǔ)充補(bǔ)充中間點(diǎn)；中間點(diǎn)；ACFEbacda(b)cd3 3、光滑連線，判別可見性、光滑連線，判別可見性4 4、整理、加深輪廓線。、整理、加深輪廓線。mnm(n) (n) (m)第4章 基本立體表面交線思考：圓柱體上挖圓柱孔的情況？思考：圓柱體上挖圓柱孔的情況？第4章 基本立體表面交線 兩外表面相交兩外表面相交外表面與內(nèi)表面相交外表面與內(nèi)表面相交兩內(nèi)表面相交兩內(nèi)表面相交曲面立體相貫的三種基本形式曲面立體相貫的三種基本形式第4章 基

18、本立體表面交線交線為兩條平面交線為兩條平面曲線（橢圓）曲線（橢圓）相貫線彎向直徑較大圓相貫線彎向直徑較大圓柱軸線一側(cè)柱軸線一側(cè)兩圓柱直徑的變化對相貫線的影響兩圓柱直徑的變化對相貫線的影響第4章 基本立體表面交線例：求軸線交叉垂直圓柱相貫線的投影。例：求軸線交叉垂直圓柱相貫線的投影。 a(b)abcabcdd(d)e(f )ef(e)(f)ghyg(h)ghcy第4章 基本立體表面交線2 2、利用輔助平面法求相貫線、利用輔助平面法求相貫線作圖原理作圖原理 ： 如圖，為了求作部分球如圖，為了求作部分球體與圓錐臺(tái)相交的表面共有體與圓錐臺(tái)相交的表面共有點(diǎn)，假想用一平面點(diǎn)，假想用一平面P P （稱為（稱

19、為輔助平面）截切兩立體。平輔助平面）截切兩立體。平面面P P 與部分球體的截交線為與部分球體的截交線為一個(gè)圓一個(gè)圓L LA A，平面，平面P P 與圓錐臺(tái)與圓錐臺(tái)的截交線也為一個(gè)圓的截交線也為一個(gè)圓L LB B。 L LA A與與L LB B的交點(diǎn)的交點(diǎn)K K1 1和和K K2 2 即為輔助即為輔助平面平面P P、球體和圓錐臺(tái)三個(gè)表、球體和圓錐臺(tái)三個(gè)表面的共有點(diǎn)，因此也是相貫面的共有點(diǎn)，因此也是相貫線上的點(diǎn)。線上的點(diǎn)。 這種利用三面共點(diǎn)的原這種利用三面共點(diǎn)的原理求相貫線上的點(diǎn)的方法叫理求相貫線上的點(diǎn)的方法叫做做輔助平面法輔助平面法。第4章 基本立體表面交線(1) (1) 空間分析及投影分析：空

20、間分析及投影分析： 部分球體為部分球體為1 14 4球前后對稱地切去兩塊而成，圓錐臺(tái)的軸球前后對稱地切去兩塊而成，圓錐臺(tái)的軸線垂直于水平面但不線垂直于水平面但不通過球心，其相貫線為前后對稱的封閉空通過球心，其相貫線為前后對稱的封閉空間曲線。間曲線。因?yàn)榍蚺c錐臺(tái)的各投影都沒有積聚性因?yàn)榍蚺c錐臺(tái)的各投影都沒有積聚性, , 故需用輔助平故需用輔助平面法求作相貫線。面法求作相貫線。 例：求作如圖所示部分球體與圓錐臺(tái)的相貫線。例：求作如圖所示部分球體與圓錐臺(tái)的相貫線。第4章 基本立體表面交線第4章 基本立體表面交線 求作特殊位置點(diǎn)。求作特殊位置點(diǎn)。 很明顯很明顯, , 輔助平面輔助平面P P截球體及圓錐

21、臺(tái)均為它們截球體及圓錐臺(tái)均為它們的主視輪廓素線的主視輪廓素線, , 其交點(diǎn)其交點(diǎn)I I、IIIIII就是相貫線上的點(diǎn)。就是相貫線上的點(diǎn)。可先求出可先求出1 1、3, 3, 然后然后作出作出1 1、3 3及及11、3, 3, 如如圖圖 (b)(b)所示。所示。(2) 作圖：作圖：第4章 基本立體表面交線 為了作出圓錐臺(tái)左視為了作出圓錐臺(tái)左視輪廓素線上相貫線點(diǎn)的投輪廓素線上相貫線點(diǎn)的投影影, , 可過圓錐臺(tái)軸線作側(cè)可過圓錐臺(tái)軸線作側(cè)平面平面Q Q為輔助平面為輔助平面, , 平面平面Q Q與圓錐臺(tái)的截交線即圓錐與圓錐臺(tái)的截交線即圓錐臺(tái)左視輪廓線臺(tái)左視輪廓線, , 平面平面Q Q與球與球體的截交線是以

22、體的截交線是以r1r1為半徑為半徑的圓弧的圓弧, , 它們的交點(diǎn)它們的交點(diǎn)、就是相貫線上的點(diǎn)?？删褪窍嘭灳€上的點(diǎn)?？上惹蟮孟惹蟮?2、 4, 4, 然后作出然后作出22、 (4)(4)及及2 2、4, 4, 如圖如圖 (c)(c)所示。所示。 第4章 基本立體表面交線 作一般位置點(diǎn)。作一般位置點(diǎn)。 在點(diǎn)在點(diǎn)I I、IIIIII的高度范圍的高度范圍內(nèi)內(nèi), , 選取水平面選取水平面R R為輔助平為輔助平面面, ,平面平面R R與球及圓錐臺(tái)的截與球及圓錐臺(tái)的截交線分別是以交線分別是以r2r2、r3r3為半徑為半徑的圓弧的圓弧, , 它們的交點(diǎn)它們的交點(diǎn)、就是相貫線上的點(diǎn)。先求出就是相貫線上的點(diǎn)。先求

23、出水平投影水平投影5 5、6, 6, 然后找到然后找到55、66和和55、 6, 6, 如圖如圖 (d)(d)所示。所示。 第4章 基本立體表面交線 依次光滑連接各點(diǎn)的依次光滑連接各點(diǎn)的投影投影, 并判別可見性并判別可見性, 完完成相貫線的投影。最后成相貫線的投影。最后注意，圓錐臺(tái)左視輪廓注意，圓錐臺(tái)左視輪廓素線畫到素線畫到2、4兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，球體左視輪廓素線上有球體左視輪廓素線上有一段虛線一段虛線, 如圖如圖 (e)所示。所示。第4章 基本立體表面交線從這個(gè)例子我們應(yīng)該掌握輔助平面法的兩個(gè)要點(diǎn)：從這個(gè)例子我們應(yīng)該掌握輔助平面法的兩個(gè)要點(diǎn)： 輔助平面法的實(shí)質(zhì)，輔助平面法的實(shí)質(zhì)， 是求輔助平面分別截兩立是求輔助平面分別截兩立體所得截交線的交點(diǎn)。體所得截交線的交點(diǎn)。 輔助平面位置選取的原則，是使輔助平面分別輔助平面位置選取的原則，是使輔助平面分別截兩立體所得截交線的形狀最簡單截兩立體所得截交線的形狀最簡單( (直直線和圓線和圓) )，以便用，以便用工具作圖。工具作圖。 第4章 基