概率論與數(shù)理統(tǒng)計模擬試題

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計模擬試題概率論與數(shù)理統(tǒng)計模擬試題一、填空題一、填空題（兩組選一組）兩組選一組）(A)1、已知、已知P(A|B) = 0.3, P(B|A) = 0.4, P(A|B) = 0.7, 則則 P( AB) = _P(A|B) +P(A|B) = 0.3+0.7=1故故A、B獨立獨立，P(AB) =P(A)+P(B)-P(AB)P(A)=P(A|B) = 0.3, P(B)=P(B|A) = 0.4, P(AB)=P(A)P(B)=0.12P(AB) =P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.4-0.12=0.580.582、設、設XU1,3, YP(2),且且X 與與Y獨立獨立

2、, 則則D(X-Y-3)=_2.3333、一間宿舍內(nèi)住有、一間宿舍內(nèi)住有6個同學，求他們之中恰好有個同學，求他們之中恰好有4個人的生日個人的生日在同一個月份的概率為在同一個月份的概率為_。沒有任何人的生日在同一個。沒有任何人的生日在同一個月份的概率為月份的概率為 C 61266!12C ?4、設、設X1,X2,X5是總體是總體XN(0,1)的簡單隨機樣本，則當?shù)暮唵坞S機樣本，則當 12222345(XX ) t(3)kYXXXk=_時，時，322222345(3)WXXX1212222345(XX)(XX)33kkYWXXX221222(XX ) N(0,)1333k

3、kk(4.412,5.588)22(,)XuXunn5、設由來自總體、設由來自總體X N(a,0.92)容量為容量為9的樣本，樣本均值的樣本，樣本均值X=5，則參數(shù)則參數(shù)a的置信度為的置信度為0.95的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為_(1.96)0.975)0.0250.05,(u)1 0.0250.975 0.025u1.960.90.9(51.96,51.96)99?故故P(AB)=P(A)P(B)=P(AB)=P(A)P(B) 因而因而P(A)=P(B)又又P(AB)=P(A)P(B)=1-P(A)1-P(B)=1-P(A)2=1/9 P(A)=2/31、設事件、設事件A與與B獨立，獨立，A與與

4、B都不發(fā)生的概率為都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生且發(fā)生且B不發(fā)生的概率與不發(fā)生的概率與B發(fā)生且發(fā)生且A不發(fā)生的概率相等，則不發(fā)生的概率相等，則A發(fā)生的概率發(fā)生的概率為：為：_ 2/3因事件因事件A與與B獨立，所以獨立，所以A與與B，A與與B，A與與B都相互獨立。都相互獨立。(B)2、設隨機變量、設隨機變量X B(2，p)、Y B(1，p)，若，若PX1=5/9，則，則p =_。若。若X與與Y獨立，則獨立，則Z=max(X,Y)的分布律：的分布律：_1/3Z 0 1 2 P 8/27 16/27 3/27；因因PX1=5/9，所以，所以PX=0=4/9即即(1-p)2=4/9 X Y 0 1 p

5、i. 0 8/27 4/27 4/9 1 8/27 4/27 4/9 2 2/27 1/27 1/9 p.j 2/3 1/33、袋中有、袋中有a只白球、只白球、b只紅球，大小相同，每次取一球只紅球，大小相同，每次取一球(不放回不放回)，第第k(1ka+b)次取到紅球的概率為次取到紅球的概率為_.bab根據(jù)抽簽原理，不論先抽還是后抽，概率相同，所以理解根據(jù)抽簽原理，不論先抽還是后抽，概率相同，所以理解為第一次抽中紅球，故為為第一次抽中紅球，故為bab4、設、設XN(0，1)，X1,X2,Xn是來自總體是來自總體X的一個樣本的一個樣本，若，若Y=X12+X22+Xn2，則則EY=_，DY=_n2n

6、5、設、設X1，X2，,Xn是來自總體是來自總體X的一個樣本，已知的一個樣本，已知EX=，DX=8，試用切比雪夫不等式估計，試用切比雪夫不等式估計P(|X-|0，則（則（ ）22112211(A)cov(,);(B)cov(,);(C)()(2)2;(D)()(1)XXnXXD XXnD XXnnA222221122211112()(1)(1)niinnnD XXDXXnnnnn222221122211111()(1)(1)niinnnD XXDXXnnnnn2111111111cov(,)cov(,)cov(,)()X XXXX XD Xnnnn5、設總體、設總體XN(,2),為未知參數(shù)，樣

7、本為未知參數(shù)，樣本X1,X2,Xn的方差為的方差為S2，對假設檢驗對假設檢驗H0：2，H1： 0,0,則則c=( )c=( )(A) e;(B) e ;(C) e1;(D) e11、111111()!(1)1kkkkkPkckckce4、設、設(x)是標準正態(tài)分布函數(shù)，是標準正態(tài)分布函數(shù)，1,0iX，事件事件A發(fā)生發(fā)生否則否則i=1,2,100，且P(A)=0.8，X1，X2，,X100相互獨立，相互獨立，1001iiYX令，則由中心極限定理知，則由中心極限定理知，Y的分布函數(shù)近似為（的分布函數(shù)近似為（ ）80( )( );(B)();( )(1680);()(480)4yAyCyDyB100

8、1(100,0.8)iiYXB由中心極限定理知，由中心極限定理知，1001(80,16)iiYXN5、設隨機變量、設隨機變量Xt(n)(n1)，Y=1/X2，則，則( )22( )Y ( );(B) Y (1);( )Y ( ,1);()Y (1, )AnnCF nDFnC由于由于Xt(n)，所以，所以X2F(1，n)1、設某人從外地趕來參加緊急會議，他乘火車、輪船、汽車或飛、設某人從外地趕來參加緊急會議，他乘火車、輪船、汽車或飛機來的概率分別是機來的概率分別是3/10，1/5，1/10，2/5。如果他乘飛機來，不會。如果他乘飛機來，不會遲到；而乘火車、輪船或汽車來，遲到的概率分別是遲到；而乘

9、火車、輪船或汽車來，遲到的概率分別是1/4，1/3，1/2?，F(xiàn)此人遲到，試推斷他乘哪一種交通工具的可能性最大？。現(xiàn)此人遲到，試推斷他乘哪一種交通工具的可能性最大？解：設解：設A1，A2，A3，A4分別表示乘火車、輪船、汽車和飛機，其分別表示乘火車、輪船、汽車和飛機，其概率分別等于概率分別等于3/10，1/5，1/10和和2/5，B表示表示“遲到遲到”，由概率判斷他乘火車的可能性最大。由概率判斷他乘火車的可能性最大。已知概率已知概率 分別等于分別等于1/4，1/3，1/2，0(|),1,2,3,4iP B Ai 4123( )() (|)120iiiP BP A P B A111() (|)9(

10、|)( )23P A P B AP A BP B222() (|)8(|)( )23P A P B AP ABP B333() (|)6(|)( )23P A P B AP ABP B444() (|)(|)0( )P A P B AP ABP B三、計算題三、計算題1、將、將A、B、C三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為0.8，而輸出為其它一字母的概率都為，而輸出為其它一字母的概率都為0.1。今將字母。今將字母AAAA，BBBB，CCCC之一輸入信道，輸入之一輸入信道，輸入AAAA，BBBB，CCCC的概的概率分別為率分別為0.5，0.4，0.

11、1。已知輸出為。已知輸出為ABCA，問輸入的是，問輸入的是AAAA的概率是多少？（設信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的）。的概率是多少？（設信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的）。解：設解：設A1,A2,A3分別表示輸入分別表示輸入AAAA，BBBB，CCCC的事件，的事件，B1表示輸出為表示輸出為ABCA的隨機事件。則的隨機事件。則P(A1)=0.5，P(A2)=0.4，P(A3)=0.1P(B1|A1)=0.0064，P(B1|A2)=0.0008，P(B1|A3)=0.0008P(A1|B1)=8/9由貝葉斯公式得：由貝葉斯公式得：2、設連續(xù)型隨機變量、設連續(xù)型隨機變量(X，Y)的密度函數(shù)

12、為的密度函數(shù)為,01,01( , )=0,xyxyf x y其他（1）求邊緣密度函數(shù)；）求邊緣密度函數(shù)；（2）判斷）判斷X與與Y的獨立性；的獨立性；（3）判斷）判斷X與與Y是否相關(guān)；是否相關(guān)；（2） 由（由（1）知，）知，X與與Y不獨立。不獨立。101( )20,Yyyfy，其他解：解：（1）由圖可知）由圖可知xy101(),01( )( , )20,Xxy dyxxfxf x y dy其他同理同理（3）cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)1017()( )()212XE Xxfx dxx xdx同理同理7( )12E Y 11001()( , )()3E XYxyf x y dxd

13、ydxxy xy dy cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)0， 故故X與與Y不相關(guān)不相關(guān)xy3、設隨機變量、設隨機變量X與與Y相互獨立，且同分布于相互獨立，且同分布于B(1,p)(0p1)。X Y 1 2 31 1/3 2 1/6 1/9 1/18X Y 1 2 3pi.1 1/3 1/3+2 1/6 1/9 1/181/3p.j 1/2 1/9+ 1/18+解：解：(1)由題可知由題可知(1/9+)1/3=1/9 =2/9=1/9(1/18+)1/3=1/18（2）因）因X,Y相互獨立，所以相互獨立，所以P(X=2|Y1)=P(X=2)=1/33、已知隨機變量、已知隨機變量 E(

14、XY)=5/8，求，求P(X+Y1).0101,13134444XY解：由解：由E(XY)=0?p11+0?p12+0?p21+1?p22=5/8,得得p22=5/8即即P(X=1，Y=1)=5/8故故P(X+Y1)=1-P(X=1，Y=1)=3/84、設、設(X,Y)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為(2),0,0( , )0,x yAexyf x y，其他（1）確定常數(shù)）確定常數(shù)A; (2)求求fY|X(y|x); (3)求求P(X2|Y1).解：（解：（1）由歸一化，）由歸一化， 得：得：A=2(2)001x yAedxdy (2)2022,0(2)( ),0,0 x yxXedyexfx

15、x當當x0時，時，|,0( | ),0,0yY Xeyfy xy當當x0時，時，fY|X(y|x)不存在。不存在。(3) P(X2|Y1)= P(X2，Y1) /P(Y1)2121(2)4100(2,1)( , )2(1)(1)x yP XYf x y dxdyedxdyee 1110(1)( )(1)yYP Yfy dye dye故故P(X2|Y1)=1-e-45、已知隨即向量（、已知隨即向量（X,Y)的協(xié)方差矩陣為的協(xié)方差矩陣為9666求求(X+Y,X-Y)協(xié)方差矩陣和相關(guān)系數(shù)。協(xié)方差矩陣和相關(guān)系數(shù)。()2(, )27D XYDXDYCov X Y()2(, )3D XYDXDYCov X

16、 Y(,)3Cov XY XYDXDY,(,)13()()X Y X YCov XY XYD XYD XY27333解：解：(X+Y,X-Y)協(xié)方差矩陣為協(xié)方差矩陣為(X+Y,X-Y)相關(guān)系數(shù)為相關(guān)系數(shù)為6、設總體密度函數(shù)為、設總體密度函數(shù)為 ，其中，其中0為未知參為未知參 1, 01( )0,xxf x其他數(shù)，若數(shù)，若X1，X2，,Xn是來自母體的簡單子樣，試求是來自母體的簡單子樣，試求的矩估計的矩估計和極大似然估計。和極大似然估計。 解：（解：（1）母體的期望為）母體的期望為1101xxdx=1X令2=()1XX解得(2)似然函數(shù)為似然函數(shù)為11( )()niiLx對數(shù)似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)為111ln ( )ln()ln(1)ln2nniiiinLxx對上式求導，并令其等于對上式求導，并令其等于0，得，得1ln022niixn221=,01(ln)iniinxx故7、根據(jù)環(huán)境保護條例，在排放的工業(yè)廢水中，某有害物質(zhì)不得超、根據(jù)環(huán)境保護條例，在排放的工業(yè)廢水中，某有害物質(zhì)不得超過過0.5，假定有害物質(zhì)含量，假定有害物質(zhì)含量X服從正態(tài)分布?，F(xiàn)在取服從正態(tài)分布。現(xiàn)在取5份水樣，測份水樣，測定該有害物質(zhì)含量，得如下數(shù)據(jù)：定該有害物質(zhì)含量，得如下數(shù)據(jù)：0.530，0.542，0.510，0.495，0.515能否據(jù)此抽樣結(jié)果說明