二元函數(shù)的極值

1、2022-7-41一、二元函數(shù)的極值一、二元函數(shù)的極值二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法第六節(jié)第六節(jié) 二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值2022-7-42實(shí)例：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品1與與2，出售單位分，出售單位分別為別為10元與元與9元，生產(chǎn)元，生產(chǎn)x單位的產(chǎn)品單位的產(chǎn)品1與生產(chǎn)與生產(chǎn)y單單位的產(chǎn)品位的產(chǎn)品2的總費(fèi)用是的總費(fèi)用是求兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少，工廠可以取得最大求兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少，工廠可以取得最大利潤(rùn)利潤(rùn)( , )L x y 利潤(rùn)函數(shù)22(109 )400230.01(33)xyxyxxyy求最大利潤(rùn)即為求二元函數(shù)的求最大利潤(rùn)即為求二元函數(shù)的最大值.I、

2、問(wèn)題的提出22400230.01 33xyxxyy2022-7-43一一. 二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值定義定義 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z = f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) ( x0 , y0 ) 的的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，某個(gè)鄰域內(nèi)有定義， 如果對(duì)于該鄰域內(nèi)異于如果對(duì)于該鄰域內(nèi)異于 ( x0 , y0 )的點(diǎn)的點(diǎn) ( x , y ) 都有都有),(),(00yxfyxf ),(),(00yxfyxf ( (或或 ) )， 極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值極值. 則稱(chēng)則稱(chēng) f (x0 , y0) 為函數(shù)為函數(shù) f (x , y ) 的的極大值極大值( (或極小值或極小值) ).2022

3、-7-44 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z = f (x , y ) )在點(diǎn)在點(diǎn) P0( x0 , y0 ) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 極大值點(diǎn)和極小值極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)極值點(diǎn). 稱(chēng)為極大值點(diǎn)稱(chēng)為極大值點(diǎn)( (或極小值點(diǎn)或極小值點(diǎn)) )，使函數(shù)取得使函數(shù)取得極大值的點(diǎn)極大值的點(diǎn)( (或極小值的點(diǎn)或極小值的點(diǎn)) )(x0 , y0)，定理定理 1 ( (極值存在的必要條件極值存在的必要條件) )且在點(diǎn)且在點(diǎn) P0 處有極值，處有極值， 則在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為則在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零，零，即即 ,0,00) )( (yxfx. 0,00 ) )( (yxfy, ),(00yxfx ),(00yxfy 存

4、在，存在，2022-7-45例如例如, 點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點(diǎn)，的駐點(diǎn)，但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn). 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱(chēng)為函數(shù)的的點(diǎn)，均稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn). .駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)Problem：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注注意意無(wú)無(wú)極極值值。是是駐駐點(diǎn)點(diǎn)，但但再再如如：函函數(shù)數(shù)zyxz)0 , 0( ,22 22yxz 在點(diǎn)在點(diǎn) (0,0) 有有極大值極大值,(0,0)不是駐點(diǎn)不是駐點(diǎn)2022-7-46 設(shè)設(shè) P0( (x0 , y0) )是函數(shù)是函數(shù) z = f ( (

5、x , y) )的駐點(diǎn)，的駐點(diǎn)， 且函數(shù)在點(diǎn)且函數(shù)在點(diǎn) P0 的某個(gè)的某個(gè)鄰域內(nèi)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，鄰域內(nèi)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，定理定理 2 ( (極值存在的充分條件極值存在的充分條件) )令令 ,00)yxfAxx( ( ,00) )( (yxfBxy ,00) )( (yxfCyy 2,PBAC則，則， ( (1) ) 當(dāng)當(dāng) P 0 且且 A 0 時(shí)時(shí),f(x0, y0) 是極大值，是極大值，當(dāng)當(dāng) P 0 時(shí)，時(shí)， f(x0, y0) 是極小值；是極小值；2022-7-47也可能沒(méi)有極值也可能沒(méi)有極值. 函數(shù)函數(shù) f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn) P0(x0 , y0 )可能有極值，可能有極值，(

6、(3) ) 當(dāng)當(dāng) P=0 時(shí)，時(shí)，( (2) ) 當(dāng)當(dāng) P 0 時(shí)，時(shí)，) )( (00, yxf不是極值；不是極值；2022-7-48(1) 先求偏導(dǎo)數(shù)先求偏導(dǎo)數(shù) ；yyxyxxyxfffff ,(2) 解方程組解方程組 , 0),(, 0),(yxfyxfxy求出駐點(diǎn)；求出駐點(diǎn)；(3) 確定駐點(diǎn)處確定駐點(diǎn)處),(00yxfAxx 據(jù)此判斷出極值點(diǎn)，據(jù)此判斷出極值點(diǎn)，并求出極值并求出極值.若函數(shù)若函數(shù) z = f (x , y) 的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)， 就可以就可以按照下列步驟求該函數(shù)的極值：按照下列步驟求該函數(shù)的極值：(xyfB , ),00yx),(00yxfCyy 及及

7、的符號(hào)，的符號(hào)，2PBAC的值的值2022-7-49例例 1 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值. 124),(223 yxyxxyxf解解 ( (1) ) 求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),283),(2yxxyxfx ,22),(yxyxfy ,86),( xyxfxx,2),( yxfxy.2),( yxfyy( (2) ) 解方程組解方程組 ,0283,0222yxxfyxfxy 得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)(0, 0) 及及 (2, 2) .2022-7-410(3) 列表判斷極值點(diǎn)列表判斷極值點(diǎn).駐點(diǎn)駐點(diǎn)(x0, y0)(0, 0)(2, 2)結(jié)結(jié) 論論極大值極大值 f (0, 0) = 1 f(2, 2) 不是極值不是

8、極值A(chǔ)8 4B22C2 2 2PBAC的符 +2022-7-411例2.求函數(shù)求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn). .得駐點(diǎn)得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.(1)(1)在點(diǎn)在點(diǎn)(1,0) 處處為為極小值極小值; ;解方程組解方程組( , )xfx y09632 xx( , )yfx y0632 yy的極值的極值. .求二階偏導(dǎo)數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù)( , )66,xxfx yx( , )0,xyfx y( , )66y yfx yy 1,0120P 5)0,1( f1,0120,xxf xyxyxyxf933),(2233

9、機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ,06666P x yxy得：2022-7-412(3)(3)在點(diǎn)在點(diǎn)( 3,0) 處處不是極值不是極值; ;(4)(4)在點(diǎn)在點(diǎn)( 3,2) 處處為極大值為極大值. .3,0120P )0,3( f31)2,3( f3,26 120P 3,2120,xxf (2)(2)在點(diǎn)在點(diǎn)(1,2) 處處不是極值不是極值; ;1,21260P )2, 1 (f機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ,06666P x yxy( , )66,xxfx yx2022-7-413二、最大、最小值應(yīng)用問(wèn)題(Applications)

10、 最值可疑點(diǎn)最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且且只有一個(gè)只有一個(gè)極值點(diǎn)極值點(diǎn)P 時(shí)時(shí), )(Pf為極小為極小 值值)(Pf為最小為最小 值值( (大大) )( (大大) )機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2022-7-414例3：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品1與與2，出售單位分，出售單位分別為別為10元與元與9元，生產(chǎn)元，生產(chǎn)x單位的產(chǎn)品單位的產(chǎn)品1與生產(chǎn)與生產(chǎn)y單單位的產(chǎn)品位的產(chǎn)品2的總費(fèi)用是的總費(fèi)用是求兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少，工廠可以取得最大求兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少，工廠可以取得最大利潤(rùn)利潤(rùn)(

11、 , )L x y 利潤(rùn)函數(shù)22(109 )400230.01(33)xyxyxxyy22400230.01 33xyxxyy22860.01 33400 xyxxyy2022-7-415解方程組解方程組( , )80.01 60( , )60.0160 xyfx yxyfx yxy( , )L x y22860.01 33400 xyxxyy0.060,0.01,0.06xxxyyyLLL 223120,800.010.063.5 100,P 120,80故為極大值點(diǎn)，由于只有一個(gè)駐點(diǎn)，故為最大值點(diǎn)2022-7-416例4.解解: 設(shè)水箱長(zhǎng)設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為寬分別為 x , y m ,則高為

12、則高為則水箱所用材料的面積為則水箱所用材料的面積為令令得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水的有蓋長(zhǎng)方體水問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí)問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí), 才能使用料最省才能使用料最省?,m2yx 2 Ayxyxy2 yxx2 yxyx222 00yx0)(222 xxyA0)(222 yyxA因此可因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn)斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn). 即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為高為時(shí)時(shí), 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.3m)2,2(3332322

13、2233 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2022-7-417實(shí)例： 小王有小王有200元錢(qián)，他決定用來(lái)購(gòu)買(mǎi)兩元錢(qián)，他決定用來(lái)購(gòu)買(mǎi)兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤(pán)和錄音磁帶，設(shè)他種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤(pán)和錄音磁帶，設(shè)他購(gòu)買(mǎi)購(gòu)買(mǎi) 張磁盤(pán)，張磁盤(pán)， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為效果函數(shù)為 設(shè)每張磁設(shè)每張磁盤(pán)盤(pán)8元，每盒磁帶元，每盒磁帶10元，問(wèn)他如何分配這元，問(wèn)他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果元以達(dá)到最佳效果xyyxyxUlnln),( 問(wèn)題的實(shí)質(zhì)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：求：求 在條在條件件 下的下的極值點(diǎn)極值點(diǎn)yxyxUlnln),( 200108 yx三、

14、條件極值拉格朗日乘數(shù)法2022-7-418 條件極值 (Conditional Maximum and Minimum Values )極值問(wèn)題極值問(wèn)題無(wú)條件極值無(wú)條件極值:條條 件件 極極 值值 :條件極值的求法條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制還有其它條件限制例如例如 ,轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化,0),(下下在條件在條件 yx的極值的極值求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出中解出從條件從條件)(,(xxfz 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目

15、錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2022-7-419第一步：引入輔助函數(shù)第一步：引入輔助函數(shù)如求二元函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值下的極值,第二步：解方程組第二步：解方程組在條件在條件得駐點(diǎn)得駐點(diǎn) . ),(yxfz 0),( yx),(),(yxyxfF 0 xxxFf0yyyFf0F 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 00,xy第三步：判別第三步：判別 是否為極值是否為極值00,xy方法2 拉格朗日乘數(shù)法(Lagrange Multipliers).2022-7-420Extension拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量

16、和多個(gè)約束條件的情形個(gè)約束條件的情形. 設(shè)設(shè)解方程組解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn)可得到條件極值的可疑點(diǎn) . 例如例如, 求函數(shù)求函數(shù)下的極值下的極值.在條件在條件),(zyxfu ,0),( zyx0),( zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF 021 xxxxfF021 yyyyfF021 zzzzfF01 F01 F機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2022-7-421例6.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為2單位單位則問(wèn)題為求則問(wèn)題為求x , y ,令令解方程組解方程組解解: 設(shè)設(shè) x , y , z 分別表示長(zhǎng)、寬、高分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表

17、面積下水箱表面積最小最小.z 使在條件使在條件 xF220zyyz yF220zxxz zF0)(2 yxyx F20 xyz 水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最?。康拈L(zhǎng)方體開(kāi)口水箱的長(zhǎng)方體開(kāi)口水箱, 試問(wèn)試問(wèn) 2xyz 2()Sxzyzxy2()(2)Fxzyzxyxyzxyz機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2022-7-422得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn)32,xyz 由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為相等時(shí)，所用材料最省長(zhǎng)、寬為相等時(shí)，所用材料最省.因此因此 , 當(dāng)高當(dāng)高xyz機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)

18、上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2022-7-423000(,)0.xyzAxByCzD例7：求由一定點(diǎn)到平面 的最短距離000222000: (,)( , , )()()SOLUTIONxyzx y zrxxyyzz到平面上的點(diǎn)的距離是0rAxByCzD問(wèn)題規(guī)結(jié)為求 在條件 下的條件極值考慮 輔助函數(shù)2, ,F x y zrAxByCzD2022-7-4242,Fx y zrAxByCzD222000()()xxyyzzAxByCzD0000 xyzFAFBFCAxByCzD000 =2 x-x =2 y-y解方程 =2 z-z20002222222,4AxByCzDABCABC2r000min222AxByCzDrABC2022-7-425Conclusions1. 函數(shù)的極值問(wèn)題函數(shù)的極值問(wèn)題第一步第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn)利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組即解方程組第二步第二步 利用充分條件利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .2. 函數(shù)的條件極值問(wèn)題函數(shù)的條件極值問(wèn)題(1) 簡(jiǎn)單問(wèn)題用代入法簡(jiǎn)單問(wèn)題用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對(duì)二元函數(shù)如對(duì)二元函數(shù)(2) 一般問(wèn)題用拉格朗日乘數(shù)法一般問(wèn)題用拉格朗日