2013年高考數(shù)學熱點重點難點專題透析（二輪）：專題10

1、高考數(shù)學學科考試大綱明確指出:數(shù)學學科的考試,按照“考查根底知識的同時,注重考查能力.“以能力立意命題,這是近幾年來高考數(shù)學題遵循的原那么與命題指導思想,將知識、能力和素質融為一體,全面檢測考生的數(shù)學素養(yǎng)和考生進入高等學校繼續(xù)學習的潛能,考查考生的數(shù)學根本能力應用意識和創(chuàng)新意識,考查考生對數(shù)學本質的理解,表達?課程標準?中對知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀等目標的要求.能力主要指空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應用意識和創(chuàng)新意識.【高考中的空間想象能力】空間想象能力指的是:能根據(jù)條件作出正確的圖形,根據(jù)圖形想象出直觀形象;能正確地分析出圖形中根本

2、元素及其相互關系;能對圖形進行分解、組合;會運用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質. 近幾年來,立體幾何高考命題形式比較穩(wěn)定,一般有“1大2小,題目難易適中,解答題常常立足柱體、錐體、臺體等幾何體中位置關系的證明和夾角、距離的求解,而選擇題、填空題又經(jīng)常研究空間幾何體的幾何特征和幾何體積、外表積的求解.熱點一:圖形處理立體幾何是研究空間圖形中的點、線、面之間的位置關系與數(shù)量關系的學科,因此解答立體幾何問題時,正確理解空間圖形中點、線、面的位置關系和數(shù)量關系,充分借助圖形的直觀性所提供的信息,常常有助于探尋問題的求解思路,優(yōu)化問題的解答過程.對空間圖形的處理能力是空間想象能力深化的標志,是高考

3、從深層次上考查空間想象能力的主要方面.【解析】由正視圖和側視圖可知該幾何體是一個上面為正四棱錐下面是一個圓柱的組合體,故其俯視圖為B.【答案】B (2021年石家莊市高中畢業(yè)班第二次模擬考試)一個幾何體的正視圖與側視圖相同,均為右圖所示,那么其俯視圖可能是( )【歸納拓展】以空間三視圖為背景,考查常見組合體的體積、外表積和空間想象能力,是近年來熱點題型.解決此類問題的關鍵是抓住三視圖之間的關系,平常在生活中要多多觀察身邊的實物都是由什么幾何形體構成的,以及它們的三視圖的畫法. 熱點二:概念與推理的結合立體幾何就是通過概念、公理、定理等來演繹的,對概念的理解是解決立體幾何的根底.因此,理解概念的

4、本質,能夠根據(jù)概念,畫出圖形,通過圖形直觀來思考,分解出解題的元素,從而進行推理與運算,提高空間想象能力.假設a,那么ab;假設ab,那么a;假設b,那么;假設,那么b.(A).(B).(C).(D).(山東省濰坊市2021年高三第二次模擬考試)兩條直線a、b,與兩個平面、,b,那么以下命題中正確的選項是( )【解析】由b且a,可得ab,正確;又由b且ab,得a或a,故不正確;由b且b,可得,正確;由b且,得b或b,故不正確.【答案】A【歸納拓展】線面平行、垂直問題是高考備考的重點.從解決“平行與垂直的有關根本問題著手,熟悉公理、定理的內(nèi)容和功能,掌握解決問題的規(guī)律充分利用線線平行(垂直)、線

5、面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互轉化的思想,以提高推理論證、空間想象能力.(1)證明:BDPC;(2)假設AD=4,BC=2,直線PD與平面PAC所成的角為30,求四棱錐P-ABCD的體積. (2021年湖南)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,ADBC,ACBD.【解析】(1)因為PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又ACBD,PA,AC是平面PAC內(nèi)的兩條相交直線,所以BD平面PAC,而PC平面PAC,所以BDPC.(2)如圖,設AC和BD相交于點O,連結PO,由(1)知,BD平面PAC,所以DPO是直線PD和平面PAC所成的角,從而D

6、PO=30.由BD平面PAC,PO平面PAC,知BDPO.在RtPOD中,由DPO=30,得PD=2OD.因為四邊形ABCD為等腰梯形,ACBD,所以AOD,BOC均為等腰直角三角形,從而梯形ABCD的高為AD+BC=(4+2)=3,于是梯形ABCD的面積為S=(4+2)3=9.在等腰三角形AOD中,OD=AD=2,所以PD=2OD=4,PA=4.故四棱錐P-ABCD的體積為V=SPA=94=12.【歸納拓展】此題考查空間直線垂直關系的證明,考查空間角的應用,及幾何體體積的計算.熱點三:折展問題對于空間想象力的考查雖然已從幾何思想方法向代數(shù)計算方法轉化,但不可否認立體幾何對于空間想象能力的訓練

7、是向量這一工具所無法取代的.因此,折展與剪拼題就承擔起了這一重要使命,它能很好地考查空間想象能力、動手操作能力、探究能力和靈活運用所學知識解決現(xiàn)實問題的能力.(1)假設Q為A1B中點,求證:PQ平面A1EF;(2)求證:A1EEP.(2021年北京市東城區(qū)高三一模)如圖1,在邊長為3的正三角形ABC中,E,F,P分別為AB,AC,BC上的點,且滿足AE=FC=CP=1.將AEF沿EF折起到A1EF的位置,使平面A1EF平面EFB,連結A1B,A1P(如圖2).【解析】(1)取A1E中點M,連結QM,MF. 在A1BE中,Q,M分別為A1B,A1E的中點,所以 QMBE,且QM=BE. 因為=,

8、所以PFBE,且PF=BE,所以QMPF,且QM=PF.所以四邊形PQMF為平行四邊形.所以PQFM.又因為FM平面A1EF,且PQ平面A1EF,所以PQ平面A1EF.(2)取BE中點D,連結DF.因為AE=CF=1,DE=1,所以AF=AD=2,而A=60,即ADF是正三角形. 又因為AE=ED=1, 所以EFAD.所以在圖2中有A1EEF.因為平面A1EF平面EFB,平面A1EF平面EFB=EF,所以A1E平面BEF,又EP平面BEF,所以A1EEP.【歸納拓展】把一個平面圖形折疊成一個幾何體,再研究其性質,是考查空間想象能力的常用方法,所以幾何體的展開與折疊是高考的一個熱點.此類問題,通

9、過動手操作,把幾何體折疊或展開,由平面問題向立體問題轉化,通過折疊前后的邊角的“不變與“變,判斷所給問題的答案.(2021年福建)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M為棱DD1上的一點.(1)求三棱錐A-MCC1的體積;(2)當A1M+MC取得最小值時,求證:B1M平面MAC.【解析】(1)由長方體ABCD-A1B1C1D1知,AD平面CDD1C1,點A到平面CDD1C1的距離等于AD=1,又=CC1CD=21=1,=AD=.(2)將側面CDD1C1繞DD1逆時針轉90展開,與側面ADD1A1共面,如圖,當A1,M,C共線時,A1M+MC取得最小值.由AD

10、=CD=1,AA1=2,得M為DD1中點.連結C1M,在C1MC中,MC1=,MC=,CC1=2,C=M+MC2,得CMC1=90,即CMMC1,又由長方體ABCD-A1B1C1D1知,B1C1平面CDD1C1,B1C1CM.又B1C1C1M=C1,CM平面B1C1M,得CMB1M;同理可證:B1MAM,又AMMC=M,B1M平面MAC.【歸納拓展】沿著幾何體外表形成的折線的最短問題,一般考慮幾何體的平面展開圖.熱點四:探究性問題由于立體幾何中的探究性問題, 描述的是動態(tài)的過程,結果具有隱藏性或不唯一性,需要嘗試及等價轉化,能夠很好地考查學生的空間想象能力、探究能力,因此它是命題的熱點.解決在

11、立體幾何中的探究性問題主要有探究條件型、探求結論型、探究存在型,解決此類問題的關鍵是合理利用空間概念進行適當轉化.(海南省瓊海市2021屆高考一模)在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA平面ABCD,E,F分別是線段AB,BC的中點.(1)證明:PFFD;(2)判斷并說明PA上是否存在點G,使得EG平面PFD.【解析】(1)(法一)設PA=x,因為PA平面ABCD,且AD,AF平面ABCD,所以PAAD,PAAF.所以PD2=AD2+PA2=4+x2,FD2=CF2+CD2=12+12=2,PF2=PA2+AF2=x2+AB2+BF2=x2+12+12=x2+2

12、,所以FD2+PF2=2+2+x2=4+x2=PD2,所以PFFD.(法二)連結AF,那么AF=,DF=,又AD=2, DF2+AF2=AD2,DFAF,又PA平面ABCD, DFPA,又PAAF=A,PFFD.(2)線段PA上存在點G,且AG=AP,使得EG平面PFD.(法一)如圖,取AD的中點Q,連結BQ,那么可證得BQFD,再取AQ的中點H,那么因為E是AB的中點,所以EHBQ,所以EHFD,且有AH=AD,再過點H作HGDP交PA于點G,那么HGPD,且AG=AP,平面EHG平面PFD,EG平面PFD.從而滿足AG=AP的點G即為所求.(法二)如圖,延長AB、DF交于點H,連結PH;再

13、過E在平面APB中作EGPH交PA于G,那么EG平面PFD.因為F是BC的中點,所以BF=AD.又因為BFAD,所以HB=BA,而E是AB的中點,所以AE=AH,所以AG=AP.【歸納拓展】立體幾何中的存在性問題,常是先假設“假設,假設經(jīng)推理無矛盾,那么假設成立;假設推出矛盾,那么結論為“不存在.其中分析法或反證法是解這類題常用的方法.總結:高考中的空間想象能力考查的主要題型有:(1)以空間幾何體為載體設置有關線線、線面、面面關系的證明題,有關空間角或空間距離的計算題.此類問題需要有較強的邏輯推理能力與運算能力,在高考中為必考題,且屬于中檔題.(2)以空間幾何體為載體設置有關軌跡、排列組合、函

14、數(shù)圖象等與代數(shù)方面綜合的試題,此類試題屬于創(chuàng)新題,一般以選擇題或填空題為主.解答此類題主要依靠空間想象能力及知識遷移能力和邏輯推理能力,是一種“多想少寫的試題,應該在平時加強這方面的訓練.【高考中的抽象概括能力】抽象概括能力離不開思維,是一種數(shù)學思維能力,是人腦和數(shù)學思維對象、空間形式、數(shù)量關系等相互作用并按一般思維規(guī)律認識數(shù)學內(nèi)容的內(nèi)在理性活動的能力,是高層次的數(shù)學思維能力.抽象是指舍棄事物非本質的屬性,揭示其本質屬性;概括是指把僅僅屬于某一類對象的共同屬性區(qū)分出來的思維過程.抽象和概括是相互聯(lián)系的,沒有抽象就不可能有概括,而概括必須在抽象的根底上得出某種觀點或某個結論.高考中對抽象概括能力

15、的考查要求是:對具體的、生動的實例,在抽象概括的過程中,發(fā)現(xiàn)研究對象的本質;從給定的大量信息材料中,概括出一些結論,并能應用于解決問題或作出新的判斷.高考主要從數(shù)學語言、數(shù)學模式與數(shù)學模型等方面對抽象概括能力進行考查,可以涉及高考中的每個試題.熱點一:從數(shù)學語言方面對抽象概括能力的考查數(shù)學語言包括文字語言、符號語言、圖形語言,在高考中主要集中用文字語言和符號語言,并輔以圖形語言,呈現(xiàn)試題內(nèi)容,其考查的重點是文字語言,并要求考生能夠根據(jù)實際情況進行三種形式語言的理解與轉換.設奇函數(shù)f(x)在(0,+)上為增函數(shù),且f(1)=0,那么不等式0的解集為( )(A)(-1,0)(1,+).(B)(-,

16、-1)(0,1).(C)(-,-1)(1,+).(D)(-1,0)(0,1).【解析】f(x)為奇函數(shù),f(x)-f(-x)=2f(x),0等價于0 (k=1,2,20),集合B=(a,b)|aA,bA,且ab,那么集合B中的元素至多有( )(A)210個.(B)200個.(C)190個.(D)180個.【解析】不妨設a1a2a20,那么當a=a1時,b=a2,a3,a20,有19個;當a=a2時,b=a3,a4,a20,有18個;依次類推, 當a=a19時,b=a20,有1個.故集合B中的元素至多有19+18+1=190.【答案】C【歸納拓展】內(nèi)容的高度抽象是數(shù)學的主要特征之一,此題的解決就

17、是在正確理解抽象的集合語言和符號語言的前提下,將問題具體化、熟悉化.熱點二:從數(shù)學模式、數(shù)學模型、數(shù)學方法方面對抽象概括能力進行考查不管是把實際問題轉化為數(shù)學問題,還是單純解數(shù)學題,都離不開把問題和解決問題的方法進行比較分類,抽象概括出一種數(shù)學結構形式,然后利用這種結構形式來熟練地解決同類型的實際問題與數(shù)學問題.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC=,BB1=2,ABC=90,E、F分別為AA1、C1B1的中點,沿棱柱的外表從E到F的最短路徑的長度為.【解析】把平面A1ABB1與平面B1BCC1展開到同一平面內(nèi),如圖:A1E=AA1=1,A1F=A1B1+B1F=,所以EF=;把A

18、1B1C1與側面A1B1BA展開如下圖:連結EF,過E作EMBB1于M,那么EM=AB=,FM=1+,所以EF=;假設把A1B1C1與側面A1ACC1展開如圖:連結EF,過E作EMCC1于M,作FDEM于D點,那么ED=,FD=,所以EF=.比較可得,最小值為.【答案】 【歸納拓展】沿著幾何體外表形成的折線的最短問題,解決此類問題的數(shù)學模式與方法往往是將幾何體展開成平面圖,利用平面內(nèi)兩點間的線段最短.(1)當a=1時,判斷f(x)的單調性;(2)假設g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實數(shù)a的取值范圍;(3)設函數(shù)h(x)=x2-mx+4,當a=2時,假設x1(0,1),x21,2,總有g(x1

19、)h(x2)成立,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)f(x)的定義域為(0,+),且f(x)=,f(x)在(0,+)上單調遞增.(湖南省衡陽市2021屆高三六校聯(lián)考)函數(shù)f(x)=ln x-,g(x)=f(x)+ax-6ln x,其中aR.(2)g(x)=ax-5ln x,g(x)的定義域為(0,+),g(x)=a+-=,因為g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),所以x(0,+),g(x)0ax2-5x+a0a(x2+1)5xaamax,而=,當且僅當x=1時取等號,所以a.(3)當a=2時,g(x)=2x-5ln x,g(x)=,由g(x)=0得x=或x=2,當x(0,)時,g(x)0;當x(,1)

20、時,g(x)0.所以在(0,1)上,g(x)max=g()=-3+5ln 2,而“x1(0,1),x21,2,總有g(x1)h(x2)成立等價于“g(x)在(0,1)上的最大值不小于h(x)在1,2上的最大值,而h(x)在1,2上的最大值為maxh(1),h(2),所以有 m8-5ln 2.所以實數(shù)m的取值范圍是8-5ln 2,+).【歸納拓展】此題深入考查對函數(shù)單調性和導數(shù)關系的理解,通過問題的設置從數(shù)學模式與數(shù)學方法上考查抽象概括能力.總結:對數(shù)學語言、數(shù)學模式、數(shù)學模型的抽象概括.抽象與概括是形成概念的思維過程和科學方法,只有經(jīng)過抽象與概括才能使人們對事物的認識由感性轉化為理性.【高考中

21、的推理論證能力】推理是思維的根本形式之一,也是學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式,它由前提和結論兩局部組成.論證是由已有的正確的前提到被論證的結論正確的一連串的推理過程.推理既包括演繹推理,也包括合情推理.論證方法既包括按形式劃分的演繹法和歸納法,也包括按思考方法劃分的直接證法和間接證法.一般運用合情推理進行猜測,再運用演繹推理進行證明.高考對推理能力的考查歷來以演繹推理為重點,新課標下的高考,更關注以歸納和類比推理為主的合情推理,考查觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括能力;注意數(shù)學語言、普通語言的理解和運用;注意思維品質的考查.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)設數(shù)列an的前n項和為Sn,求證:

22、對任意的nN+,Sn+1-4an都為定值.【解析】(1)an+1=2an+2n,-=.數(shù)列是以=為首項,為公差的等差數(shù)列.(陜西師大附中2021屆高考模擬)在數(shù)列an中,a1=1,且對任意的nN+,都有an+1=2an+2n.(2)由(1)知=+(n-1)=,an=n2n-1.Sn=120+221+322+n2n-1.2Sn=121+222+323+(n-1)2n-1+n2n.由-可得Sn=n2n-(1+2+22+2n-1)=(n-1)2n+1.Sn+1-4an=n2n+1+1-4n2n-1=1,故結論成立.【歸納拓展】此題直接從條件出發(fā),根據(jù)等差數(shù)列的定義、通項公式,利用錯位相減法求和,進行

23、一系列的化簡,到達解決問題的目的.(1)求實數(shù)a的取值范圍;(2)當x-1,1時,函數(shù)y=f(x)的圖象上是否存在一點P,使得點P到x軸的距離不小于.試證明你的結論.【解析】(1)f(x)=3x2-3a-3a,+),對任意mR,直線x+y+m=0都不與y=f(x)相切,-1-3a,+),-1-3a,實數(shù)a的取值范圍是a1;當0a時,f(x)=3x2-3a=3(x+)(x-),列表: x(-,-)-(-,)(,+)f(x)+0-0+f(x)極大值2a極小值-2af(x)在(0,)上遞減,在(,1)上遞增, 注意到f(0)=f()=0,且1,x(0,)時,g(x)=-f(x),x(,1)時,g(x

24、)=f(x),g(x)max=maxf(1),-f(),由f(1)=1-3a及0a,解得0a,此時-f()f(1)成立.g(x)max=f(1)=1-3a.由-f()=2a及0a,解得a,此時-f()f(1)成立.g(x)max=-f()=2a.在x-1,1上至少存在一個x0,使得|f(x0)|成立. (法二:反證法)假設在x-1,1上不存在x0,使得|f(x0)|成立,即x-1,1,|f(x)|恒成立,設g(x)=|f(x)|,那么g(x)在x-1,1上是偶函數(shù),x0,1時,|f(x)|max,當a0時,f(x)0,f(x)在0,1上單調遞增,且f(0)=0,g(x)=f(x),g(x)ma

25、x=f(1)=1-3a與a0矛盾;當0a時,f(x)=3x2-3a=3(x+)(x-),列表: f(x)在(0,)上遞減,在(,1)上遞增, 注意到f(0)=f()=0,且1,x(0,)時,g(x)=-f(x),x(,1)時,g(x)=f(x),g(x)max=maxf(1),-f(),x(-,-)-(-,)(,+)f(x)+0-0+f(x)極大值2a極小值-2a注意到0a,由:得矛盾,得矛盾,x-1,1,|f(x)|與a0),O為坐標原點,F為拋物線焦點,直線y=x截拋物線C所得弦|ON|=4.(2)顯然直線l的斜率一定存在,設其方程為y=kx+1,l與x軸交于M(-,0),設直線l交拋物線

26、于A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-4kx-4=0,=(4k)2-(-16)=16(k2+1)0,x1+x2=4k,x1x2=-4.又由=a,得(x1+,y1)=a(-x1,1-y1),即a=-,同理有b=-,a+b=-(+)=-(2+)=-1,對任意的直線l,a+b為定值-1.【歸納拓展】此題主要考查直線與拋物線等根底知識,考查運算求解能力、推理論證能力及探究能力,考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想.總結:高考中思維能力型問題的常見考查類型有:(1)運用演繹推理求解型.演繹推理是從一般規(guī)律出發(fā),運用邏輯證明或數(shù)學運算,得出特殊事實應遵循的規(guī)律,即從一般到特殊.它是由普遍性的前提推

27、出特殊性結論的一種推理.(2)運用歸納推理求解型.根據(jù)一類事實對象具有的性質,推出這類事物的所有對象都具有這種性質,它是從特殊到一般的過程,屬于合情推理的一種.(3)運用聯(lián)想類比求解型.根據(jù)兩類不同事物之間具有的某些類似(或一致)性,推測其中一類事物具有與另一類事物類似(或相同)的性質的推理,也是合情推理的一種.(4)運用直覺思維求解型.直覺思維就是具有意識的人腦由于思維的高度活動,對于數(shù)學對象、結構及規(guī)律的直接領悟和整體把握.【高考中的運算求解能力】數(shù)學中的運算能力,是指根據(jù)運算定義及其性質從數(shù)據(jù)及算法式推導出結果的一種綜合能力.運算能力具體表現(xiàn)在三個方面:會根據(jù)概念、公式和法那么對數(shù)、式和

28、方程進行正確的運算和變形;能分析條件,尋求與設計合理、簡捷的運算途徑;能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估計,并能進行近似計算.中學數(shù)學的運算包括數(shù)的計算,式的恒等變形,方程和不等式同解變形,初等函數(shù)的運算和求值,各種幾何量的測量與計算,求數(shù)列和函數(shù)、積分、概率、統(tǒng)計的初步計算等.?高中數(shù)學課程標準?對高中階段運算求解能力作了明確要求,而高考命題對運算求解能力的考查主要是針對算法、推理及以代數(shù)運算的.無論是選擇題、填空題,還是解答題,均要考查運算求解能力的準確性、敏捷性、靈活性和合理性.當然,高考試題大多考查的是運算的通性、通法,且控制在一定的運算難度范圍之內(nèi).(1)求A的大小;(2)求sin B+sin

29、C的最大值.【解析】(1)由,根據(jù)正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,故cos A=-,A=120.在ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A, B, C的對邊,且2asin A=(2a+c)sin B+(2c+b)sin C.(2)由(1)得:sin B+sin C=sin B+sin(60-B)=cos B+sin B=sin(60+B),故當B=30時,sin B+sin C取得最大值1. 【歸納拓展】此題需要把正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦等知識點結合起來進行運算. (廣東省韶關市

30、二模)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=1,且S1,2S2,3S3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設bn=an+n,求數(shù)列bn的前n項和Tn.【解析】設等比數(shù)列an的公比為q,(法一)假設q=1,那么S1=a1=1,2S2=4a1=4,3S3=9a1=9,故S1+3S3=1022S2,與矛盾,故q1,從而得Sn=,由S1,2S2,3S3成等差數(shù)列,得S1+3S3=22S2,即1+3=4,解得q=.所以an=a1qn-1=()n-1.(法二)由S1,2S2,3S3成等差數(shù)列,得S1+3S3=22S2,那么a1+3(a1+a2+a3)=4(a1+a2),整理得3a3=a2,所以=,

31、即q=.所以an=a1qn-1=()n-1.(2)由(1)得,bn=an+n=()n-1+n,所以Tn=(a1+1)+(a2+2)+(an+n)=Sn+(1+2+n)=+ =+=.【歸納拓展】本小題主要考查等差、等比數(shù)列的通項、求和等知識,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,以及抽象概括能力、運算求解能力.在求公比時,法二防止了運用等比數(shù)列前n項和公式的分類討論,計算過程簡捷. (安徽省宣城市2021屆高三第三次調研測試)如圖,正方形ABCD所成平面與圓O所在平面相交于CD,線段CD為圓O的弦,AE垂直于圓O所成平面,垂足E是圓O上異于C、D的點,AE=3,圓O的直徑為9.(1)求證:平面ABCD平

32、面ADE;(2)求二面角D-BC-E的平面角的正切值.【解析】(1)AE圓O所在的平面,CD在圓O所在的平面上,AECD,在正方形ABCD中,CDAD,ADAE=A,CD平面ADE,CD在平面ABCD內(nèi),平面ABCD平面ADE.(2)(法一)CD平面ADE,DE在平面ADE內(nèi),CDDE,CE為圓O的直徑,即CE=9,設正方形ABCD邊長為a,在直角三角形CDE中DE2=CE2-CD2=81-a2,而DE2=AD2-AE2=a2-9或a=3,DE=6,過點E作EFDA交DA于點F,作FGCD交BC于點G,連結GE,由于CD平面ADE,EF在平面ADE內(nèi),EFCD,ADCD=D,EF平面ABCD,

33、EFBC,BCFG,BC平面EFG,BCEG,FGE是二面角D-BC-E的平面角,在直角三角形ADE中,AD=3,AE=3,DE=6,ADEF=AEEF,EF=,在直角三角形EFG中,FG=AB=3,tanEGF=,故二面角D-BC-E的平面角的正切值是.(法二)CD平面ADE,DE在平面ADE內(nèi),CDDE,CE為圓O的直徑,即CE=9,設正方形ABCD邊長為a,在直角三角形CDE中DE2=CE2-CD2=81-a2,而DE2=AD2-AE2=a2-9,故a=3,DE=6,過點E作EFDE于點F,作FGCD交BC于點G,連結GE,由于CD平面ADE,EF在平面ADE內(nèi),EFCD,ADCD=D,

34、EF平面ABCD,EFBC,BCFG,BC平面EFG,BCEG,FGE是二面角D-BC-F的平面角,在直角三角形ADE中,AD=3,AE=3,DE=6,以D為原點,分別以ED,CD所在的直線為x軸,y軸建立如下圖的空間直角坐標系.那么D(0,0,0),E(-6,0,0),C(0,-3,0),A(-6,0,3),B(-6,-3,3),設平面ABCD的法向量為n1=(x1,y1,z1),可求n1=(1,0,2),設平面BCE的法向量為n2=(x2,y2,z2),可求n2=(,2,2),cos=,tan=.【歸納拓展】本小題主要考查空間線面、面面關系等根底知識,考查數(shù)形結合思想、化歸轉化思想,以及空

35、間想象能力、推理論證能力、運算求解能力.在計算二面角的平面角的三角函數(shù)值時,可以根據(jù)自己的情況選擇自己熟悉的方法,給考生以發(fā)揮的空間.(1)假設x1=-,x2=1,求函數(shù)f(x)的解析式;(2)假設|x1|+|x2|=2,求b的最大值.【解析】(1)因為f(x)=ax3+bx2-a2x(a0),所以f(x)=3ax2+2bx-a2,依題意,-和1是方程3ax2+2bx-a2=0的兩根,所以且a0,解得a=1,b=-1.所以經(jīng)檢驗f(x)=x3-x2-x. (江西省南昌市20212021學年度高三第三次模擬測試)假設x1、x2(x1x2)是函數(shù)f(x)=ax3+bx2-a2x(a0)的兩個極值點

36、.(2)f(x)=3ax2+2bx-a2(a0),依題意:x1,x2是方程f(x)=0的兩個根;x1x2=-0,且|x1|+|x2|=2,(x1-x2)2=12,(-)2+=12.b2=3a2(9-a),b20,00得0a6,由p(a)6,即函數(shù)p(a)在區(qū)間(0,6上是增函數(shù),在區(qū)間6,9上是減函數(shù),當a=6時,p(a)有極大值為324,p(a)在(0,9上的最大值是324,b的最大值為18.【歸納拓展】此題考查函數(shù)、導數(shù)知識及應用,考查運算求解能力及抽象概括能力,考查函數(shù)與方程、化歸與轉化等數(shù)學思想方法.求解時,利用根與系數(shù)之間的關系,可使求解簡便.總結:針對高考的“運算能力考查,我們必須

37、有意識地進行運算能力訓練,以提高自身的運算能力.一般地,在二輪復習時應注意:(1)加強雙基練習,提高運算的準確性.根底知識是運算的依據(jù),對運算具有指導意義,根底知識混淆、模糊,往往引起運算錯誤,所以加強和落實雙基教學是提高運算能力的首要問題.具體地說,就是要熟記公式和法那么,正確的記憶公式和法那么是運算準確的前提.正確理解概念,并能掌握公式的推導,只有理解某些概念與公式的推導,才能做到公式的正用、反用和活用,從而提高運算能力.(2)優(yōu)化解題途徑,提高運算速度.運算速度是運算能力的重要標志,在運算準確的前提下,首先加強通性、通法的訓練,優(yōu)化解題途徑,努力做到準確合理、快速.合理利用概念、性質、法

38、那么、原理去簡化運算,以提高速度.除公式、法那么外,善于記住一些常用的結論,便可大大提高運算速度.如常用的勾股數(shù)、奇函數(shù)y=f(x)在x=0時有定義,那么f(0)=0等.(3)注意培養(yǎng)自己的運算靈活性.抓好心理和思維靈活性訓練可以促進運算的靈活性.心理和思維靈活性訓練的核心是識別文字語言、圖形語言、符號語言等各種表達形式的本質,迅速抓住運算的實質,以迅速聯(lián)想、形成策略、提高自己的洞察能力.(4)善于分析題目條件,尋求合理簡捷的算法.要做一個運算問題,首先要善于分析題目條件,做到審視性讀題、多角度觀察、綜合性思考,以確定運算方向及方法.(5)有意識地進行比較復雜的運算.每年高考都說要控制運算量,

39、但結果是每年都控制不了.理由很簡單:有數(shù)學就有運算.不厭其煩的運算(或加大運算量,或一題多設問,或參數(shù)要屢次討論等),可以培養(yǎng)我們的耐性和堅忍不拔的性格.當然,在進行這方面的訓練時,要根據(jù)自身的實際情況而精心設計,切不可盲目加大難度.【高考中的數(shù)據(jù)處理能力】高考中的數(shù)據(jù)處理能力,是指會收集、整理、分析數(shù)據(jù),能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息,并作出判斷.數(shù)據(jù)處理能力主要依據(jù)統(tǒng)計或統(tǒng)計案例中的方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析,并解決給定的實際問題.統(tǒng)計是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的科學,它可以為人們制定決策提供依據(jù),它逐漸成為未來公民的一個必備常識,統(tǒng)計的教學具有重要的地位,新課標高考題對統(tǒng)計

40、的知識的考查力度得到加強.高考中的數(shù)據(jù)處理能力在高考考查中主要表現(xiàn)在:(1)在概率統(tǒng)計中命制試題,它是把有關數(shù)據(jù)處理與概率統(tǒng)計題綜合在一起,試題側重點在于概率統(tǒng)計的有關知識.具體表現(xiàn)在抽樣方法、統(tǒng)計圖表、用樣本估計總體等.(2)在線性回歸分析中命制試題,具體表現(xiàn)在求回歸方程并由此解決其他有關問題,其側重在于最小二乘估計,此類試題有較復雜的運算過程,同時考查運算能力.(3)在獨立性檢驗方面命制試題,具體表達在22列聯(lián)表(關聯(lián)表)與相關系數(shù)的理解與應用.日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日溫差()101113128發(fā)芽數(shù)(顆)2325302616(江蘇省南通市2021屆高三上學期

41、第一次調研測試)某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行分析研究,他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到如下資料:該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率;(2)假設選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù),求出y關于x的線性回歸方程y=bx+a;(3)假設由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,那么認為得到的線性回歸方程是可靠的,

42、試問(2)中所得的線性回歸方程是否可靠?2組數(shù)據(jù)共有10種情況,每種情況都是等可能出現(xiàn)的,其中抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的情況有4種, 所以P(A)=1-=. 【解析】(1)設抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)為事件A,因為從5組數(shù)據(jù)中選取(2)由數(shù)據(jù),求得=12,=27.由公式,求得b=,a=-b=-3.所以y關于x的線性回歸方程為y=x-3. (3)當x=10時,y=10-3=22,|22-23|2; 同樣,當x=8時,y=8-3=17,|17-16|10.828,所以有99.9%的把握認為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異. (1)在概率統(tǒng)計中命制試題,它是把有關數(shù)據(jù)處理與概率統(tǒng)計題綜合在一起

43、,試題側重點在于要概率統(tǒng)計的有關知識考查之中.具體表現(xiàn)為概率分布列、頻率分布直方圖、正態(tài)分布曲線等方面的試題.(2)在線性回歸分析中命制試題,具體表現(xiàn)為求回歸方程并由此解決其他有關問題,其重點在于最小二乘法,此類試題有較復雜的運算過程,因此也考查了運算能力.(3)在獨立性檢驗方面命制試題,具體表現(xiàn)為22列聯(lián)表與相關系數(shù)的理解與應用.【高考中的應用意識】應用意識就是指能綜合應用所學數(shù)學知識、思想和方法解決問題,包括解決在相關學科、生產(chǎn)、生活中簡單的數(shù)學問題,能理解對問題陳述的材料,并對所提供的信息資料進行歸納、整理和分類,將實際問題抽象為數(shù)學問題,建立數(shù)學模型,應用相關的數(shù)學知識和方法解決問題并

44、加以驗證,并用數(shù)學語言正確地表述和說明.應用的主要過程是依據(jù)現(xiàn)實生活背景,提煉相關的數(shù)量關系,將現(xiàn)實問題轉化為數(shù)學問題,構造數(shù)學模型,并加以解決.縱觀近幾年高考試題,高考命題在“用中必考,問題的設計多與函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何等高中數(shù)學知識聯(lián)系,考查貼近生活、有社會意義和時代意義的應用題,立意考查“群眾數(shù)學應用題是高考命題的一個趨勢,也是高考的一個熱點問題.在應用題中主要考查閱讀能力、應用能力和探究能力,關注當前國內(nèi)外的政治、經(jīng)濟、文化,緊扣時代的主旋律,凸現(xiàn)了學科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗風景線,其解題的關鍵在于構建適當?shù)臄?shù)學模型.試求該商品的日銷售額

45、S(t)的最大值和最小值.(江蘇省南通市2021屆高三第一次調研考試)經(jīng)市場調查,某商品在過去100天內(nèi)的銷售量和價格均為時間t(天)的函數(shù),且日銷售量近似地滿足g(t)=-t+(1t100,tN).前40天價格為f(t)=t+22(1t40,tN),后60天價格為f(t)=-t+52(41t100,tN),【解析】當1t40,tN時,S(t)=g(t)f(t)=(-t+)(t+22)=-t2+2t+ =-(t-12)2+,所以768=S(40)S(t)S(12)=.當41t100,tN時,S(t)=g(t)f(t)=(-t+)(-t+52)=t2-36t+=(t-108)2-,所以8=S(1

46、00)S(t)S(41)=.所以S(t)的最大值為,最小值為8.【歸納拓展】此題是一道函數(shù)應用題,在解題思維中蘊含著分類討論思想,主要考查運用函數(shù)知識分析問題、解決實際問題的能力. (湖北省武昌區(qū)2021屆高三年級元月調研測試)某同學利用暑假時間到一家商場勤工儉學,該商場向他提供了三種付酬方案:第一種,每天支付38元;第二種,第一天付4元,第二天付8元,第三天付12元,依此類推;第三種,第一天付0.4元,以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍,工作時間為n天.(1)工作n天,記三種付費方式薪酬總金額依次為An,Bn,Cn,寫出An,Bn,Cn關于n的表達式; (2)如果n=10,你會選擇哪種方式

47、領取報酬?【解析】(1)三種付酬方式每天金額依次為數(shù)列an,bn,cn,它們的前n項和依次為An,Bn,Cn.依題意,第一種付酬方式每天金額組成數(shù)列an為常數(shù)數(shù)列,An=38n.第二種付酬方式每天金額組成數(shù)列bn為首項為4,公差為4的等差數(shù)列,那么Bn=4n+4=2n2+2n.第三種付酬方式每天金額組成數(shù)列cn為首項是0.4,公比為2的等比數(shù)列,那么Cn=0.4(2n-1).(2)由(1)得,當n=10時, An=38n=380, Bn=2n2+2n=220, Cn=0.4(210-1)=409.2.所以B10A100,0,|),x4,8時的圖象,圖象的最高點為B(5,),DFOC,垂足為F.

48、 如下圖,某市準備在一個湖泊的一側修建一條直路OC;另一側修建一條觀光大道,它的前一段OD是以O為頂點,x軸為對稱軸,開口向右的拋物線的(1)求函數(shù)y=Asin(x+)的解析式;(2)假設在湖泊內(nèi)修建如下圖的矩形水上樂園PMFE,問點P落在曲線OD上何處時,水上樂園的面積最大?【解析】(1)對于函數(shù)y=Asin(x+),由圖象知,A=,=,將B(5,)代入到y(tǒng)=sin(x+)中,得+=2k+(kZ),=2k-.又|0,S遞增;當t(,4)時,S0,S遞減,所以當t=時,S最大,此時點P的坐標為(,).【歸納拓展】此題是一道三角函數(shù)與拋物線綜合的應用問題,考查學生提煉相關的數(shù)量關系,將現(xiàn)實問題轉

49、化為數(shù)學問題,構造數(shù)學模型,并加以解決.總結:數(shù)學學習的目的全在于應用,所以我們必須“在用中學,高考命題也必“在用中考.考查貼近生活、有社會意義和時代意義的應用題,適當降低難度,立意考查群眾數(shù)學是高考命題的一個趨勢.在應用題中主要考查閱讀能力、應用能力和探究能力.高考中的實際應用問題,已逐漸成為高考的一個熱點題型,而熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型, 另外,估測計算型和信息遷移型也時有出現(xiàn).當然,數(shù)學高考應用性問題關注當前國內(nèi)外的政治、經(jīng)濟、文化,緊扣時代的主旋律,凸顯了學科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風景線,其解題的關鍵在于構建適當?shù)臄?shù)學模型.【高考中的創(chuàng)新意識】對創(chuàng)新意識的考查是

50、對高層次理性思維的考查,主要要求考生不僅能理解一些概念、定義,掌握一些定理、公式,更重要的是能夠應用這些知識和方法解決數(shù)學和現(xiàn)實生活中的比較新穎的問題.回憶近年來的高考數(shù)學試題,不難發(fā)現(xiàn):關注探究創(chuàng)新意識,考查數(shù)學理性思維,已成為高考命題的一種趨勢.在高考試題中常常通過創(chuàng)設一些比較新穎的問題情境,構造一些具有一定深度和廣度、能表達數(shù)學素養(yǎng)的問題,著重考查數(shù)學主體內(nèi)容. 正項數(shù)列為“調和數(shù)列,且b1+b2+b9=90,那么b4b6的最大值是( )(1)(江西師大附中2021年高三數(shù)學模擬試卷)假設數(shù)列an滿足-=d(nN*,d為常數(shù)),那么稱數(shù)列an為“調和數(shù)列.(A)10.(B)100. (C

51、)200. (D)400.(2)(山東省日照一中2021屆高三第七次考試)對a、bR,定義運算“、“為:ab=ab=給出以下各式:(sin xcos x)+(sin xcos x)=sin x+cos x;(2xx2)-(2xx2)=2x-x2,(sin xcos x)(sin xcos x)=sin xcos x,(2xx2)(2xx2)=2xx2.其中等式恒成立的是.(將所有恒成立的等式的序號都填上)【解析】(1)由“調和數(shù)列的定義可得bn+1-bn=d,從而正項數(shù)列bn是等差數(shù)列,所以=90,所以b1+b9=20,那么由等差數(shù)列的性質得b4+b6=20,所以b4b6()2=()2=100

52、.(2)由題意可得sin xcos x= sin xcos x= 所以當sin xcos x時, sin xcos x=sin x,sin xcos x=cos x,那么sin xcos x+sin xcos x=sin x+cos x,(sin xcos x)(sin xcos x)=sin xcos x;當sin xcos x時, sin xcos x=cos x,sin xcos x=sin x,那么sin xcos x+sin xcos x=cos x+sin x=sin x+cos x,(sin xcos x)(sin xcos x)=cos xsin x=sin xcos x故恒成

53、立.而2xx2=2xx2= 所以當2xx2時,(2xx2)-(2xx2)=2x-x2, (2xx2)(2xx2)=2xx2.當2x0).由a2-b2=4-3=1,得c=1.拋物線的焦點為(1,0),p=2,拋物線D的方程為y2=4x. (2)設A(x1,y1),B(x2,y2).()直線l的方程為:y=x-4, 聯(lián)立整理得:x2-12x+16=0 AB=4.(ii)設存在直線m:x=a滿足題意,那么圓心M(,),過M作直線x=a的垂線,垂足為E,設直線m與圓M的一個交點為G,可得:|EG|2=|MG|2-|ME|2,即|EG|2=|MA|2-|ME|2=-(-a)2=+a(x1+4)-a2=x

54、1-4x1+a(x1+4)-a2=(a-3)x1+4a-a2,當a=3時,|EG|2=3,此時直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值2.因此存在直線m:x=3滿足題意.【歸納拓展】此題主要考查直線、圓、橢圓、拋物線等根底知識,考查運算求解能力、推理論證、探究創(chuàng)新能力與創(chuàng)新意識.(1)求f(x)在x=1處的切線方程;(2)假設不等式f(x)0恒成立,求a的取值范圍;(3)數(shù)列an中,a1=2,2an+1=an+1,數(shù)列bn滿足bn=nln an,記bn的前n項和為Tn,求證:Tn0,f(x)=+a,f(1)=a+1,切點是(1,a+1),所以切線方程為y-(a+1)=(a+1)(x-1)

55、,即y=(a+1)x. 函數(shù)f(x)=ln x+ax+1,aR.(2)(法一)x0,f(x)=,當a0時,x(0,+),f(x)0,f(x)單調遞增,顯然當x1時,f(x)0,f(x)0不恒成立.當a0,f(x)單調遞增,x(-,+),f(x)0,所以不等式f(x)0恒成立,等價于ax-ln x-1,即a,令h(x)=,那么h(x)=-+=,當x(0,1)時,h(x)0,h(x)單調遞增. h(x)min=h(x)極小值=h(1)=-1,a-1.所以不等式f(x)0恒成立時,a的取值范圍是(-,-1.(3)2an+1=an+1,an+1-1=(an-1),a1=2,an-1=()n-1,an=

56、()n-1+1,bn=nln()n-1+1,由(2)知,當a=-1時,ln x-x+10恒成立,即ln xx-1,當且僅當x=1時取等號.b1=1ln()1-1+11()1-1+1-1,b2=2ln()2-1+12()2-1+1-1,bn=nln()n-1+1n()n-1+1-1,Tn1()1-1+1-1+2()2-1+1-1+n()n-1+1-1=1()1-1+2()2-1+n()n-1,令Sn=1()0+2()1+n()n-1,那么Sn=1()1+2()2+(n-1)()n-1+n()n,Sn=()0+()1+()n-1-n()n=-n()n=2-(n+2)()n,Sn=4-(n+2)()

57、n-1,Tn4-.【歸納拓展】此題是一道函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合試題,主要考查函數(shù)與導數(shù)、函數(shù)圖象與性質、數(shù)列等根底知識,考查學生抽象概括能力、推理論證能力、創(chuàng)新能力,考查函數(shù)與方程思想,有限與無限思想,分類與整合思想. (福建省泉州市2021屆高三下學期高中畢業(yè)班5月質量檢測)某工廠欲加工一件藝術品,需要用到三棱錐形狀的坯材,工人將如下圖的長方體ABCD-EFPH材料切割成三棱錐H-ACF. (1)假設點M,N,K分別是棱HA,HC,HF的中點,點G是NK上的任意一點,求證:MG平面ACF;(2)原長方體材料中,AB=2 m,AD=3 m,DH=1 m,根據(jù)藝術品加工需要,工程師必須求

58、出該三棱錐的高.(i)甲工程師先求出AH所在直線與平面ACF所成的角,再根據(jù)公式h=AHsin 求出三棱錐H-ACF的高.請你根據(jù)甲工程師的思路,求該三棱錐的高.(ii)乙工程師設計了一個求三棱錐的高度的程序,其框圖如下圖,那么運行該程序時乙工程師應輸入的t的值是多少?(請直接寫出t的值,不要求寫出演算或推證的過程).【解析】(1)(法一)HM=MA,HN=NC,HK=KF,MKAF,MNAC.MK平面ACF,AF平面ACF,MK平面ACF,同理可證MN平面ACF,MN,MK平面MNK,且MKMN=M,平面MNK平面ACF, 又MG平面MNK,故MG平面ACF.(法二)連HG并延長交FC于T,

59、連結AT.HN=NC,HK=KF,KNFC,那么HG=GT,又HM=MA,MGAT, MG平面ACF,AT平面ACF,MG平面ACF.(2)(i)如圖,分別以DA,DC,DH所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系O-xyz.那么有A(3,0,0),C(0,2,0),F(3,2,1),H(0,0,1). =(-3,2,0),=(0,2,1),=(-3,0,1). 設平面ACF的一個法向量n=(x,y,z),那么有解得 令y=3,那么n=(2,3,-6),sin =|=,三棱錐H-ACF的高為AHsin =.(ii)t=2. 【歸納拓展】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置

60、關系和算法初步等根底知識,考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力,考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想及應用創(chuàng)新意識. 總結:高考中有關創(chuàng)新型的題型主要有:(1)條件探究型:這類題目的特點是給出了題目的結論,但沒有給出滿足結論的條件,并且這類條件常常是不唯一的,需要解題者從結論出發(fā),通過逆向思維去判斷能夠追溯出產(chǎn)生結論的條件,并通過推理予以確認.這種條件探究性問題實質上是尋找使命題為真的充分條件和充要條件.(2)結論開放型:這類題目的特點是給出一定的條件,要求從條件出發(fā)去探索結論,而結論往往是不唯一的,甚至是不確定的,需要解答者從條件出發(fā),運用所學過的知識進行推理、探究或實驗