《自動(dòng)控制理論》課件(夏德鈐第版)非線性系統(tǒng)的分析

1、第七章第七章 非線性系統(tǒng)的分析非線性系統(tǒng)的分析系統(tǒng)的非線性程度比較嚴(yán)重，無(wú)法用小范圍線性化方法化為線性系統(tǒng)，稱為非線性系統(tǒng)。有兩種情況 （1）系統(tǒng)中存在非線性元件；（2）為了某種控制目的，人為引進(jìn)的非線性。一一 、非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)、非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)1、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和零輸入響應(yīng)的性質(zhì)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而和系統(tǒng)的初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和零輸入響應(yīng)的性質(zhì)不僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。7.1 7.1 基本概念基本概念2、線性系統(tǒng)只有兩種基本運(yùn)動(dòng)形式：發(fā)散（不穩(wěn)定）和收斂（穩(wěn)定）。 非線性系統(tǒng)除了發(fā)散和收斂?jī)煞N運(yùn)動(dòng)形式外，即使無(wú)外界作用，也可能會(huì)發(fā)生自持振蕩

2、。3、在正弦輸入下，線性系統(tǒng)的輸出是同頻率正弦信號(hào)。 非線性系統(tǒng)在正弦輸入下，輸出是周期和輸入相同、含有高次諧波的非正弦信號(hào)。4、線性系統(tǒng)分析可用迭加原理，在典型輸入信號(hào)下系統(tǒng)分析的結(jié)果也適用于其它情況。 非線性系統(tǒng)不能應(yīng)用迭加原理，沒(méi)有一種通用的方法來(lái)處理各種非線性問(wèn)題。對(duì)非線性系統(tǒng)分析研究的重點(diǎn)是對(duì)非線性系統(tǒng)分析研究的重點(diǎn)是：（1）系統(tǒng)是否穩(wěn)定；（2）有無(wú)自持振蕩；（3）若存在自持振蕩，確定自持振蕩的頻率和振幅；（4）研究消除或減弱自持振蕩的方法。二、典型非線性系統(tǒng)及對(duì)系統(tǒng)性能的影響二、典型非線性系統(tǒng)及對(duì)系統(tǒng)性能的影響1、死區(qū)非線性常見(jiàn)于測(cè)量、放大元件中。死區(qū)非線性特性導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差

3、，且用提高增量的方法也無(wú)法消除。2、飽和非線性常見(jiàn)于放大器中，在大信號(hào)作用下，放大倍數(shù)小，因而降低了穩(wěn)態(tài)精度。3、間隙非線性常見(jiàn)于齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、鐵磁元件的磁滯現(xiàn)象?？墒瓜到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大，也使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性變差。4、繼電器特性繼電器特性中包含了死區(qū)、回環(huán)和飽和特性，因此對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能、暫態(tài)性能和穩(wěn)定性都有不利影響。相平面法是一種時(shí)域分析方法。設(shè)非線性系統(tǒng)框圖如圖所示，其中N表示非線性環(huán)節(jié)，G(S)是線性部分的傳遞函數(shù)。三、非線性系統(tǒng)的分析方法三、非線性系統(tǒng)的分析方法1、相平面法 時(shí)域方法2、描述函數(shù)法 頻域方法7.2 7.2 非線性系統(tǒng)的相平面分析方法非線性系統(tǒng)的相平面分析方法用相平面法分析

4、非線性系統(tǒng)，線性部分傳遞函數(shù)G(S)必須是二階。一、線性二階系統(tǒng)奇點(diǎn)的類型一、線性二階系統(tǒng)奇點(diǎn)的類型線性二階系統(tǒng)的齊次微分方程為：相平面圖是在 平面中，繪制 隨時(shí)間t 變化的軌跡，稱為相軌跡。相軌跡的起點(diǎn)是 。奇點(diǎn)是指 的點(diǎn)。根據(jù)奇點(diǎn)附近相軌跡的特征，奇點(diǎn)有不同名稱，據(jù)此可判斷系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。xx ,xx)0(),0(xx00dxxd022xxxnn xx ,xx)0(),0(xx00dxxd022xxxnn 1、無(wú)阻尼運(yùn)動(dòng)、無(wú)阻尼運(yùn)動(dòng)二階系統(tǒng)的極點(diǎn)分布和相平面圖如下無(wú)阻尼運(yùn)動(dòng)時(shí)，二階系統(tǒng)的相平面圖是一族同心橢圓，每個(gè)橢圓代表一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。這樣的奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)。0)(2、欠阻尼運(yùn)動(dòng)、欠阻尼運(yùn)動(dòng)

5、系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是衰減振蕩。相軌跡是對(duì)數(shù)螺旋線，收斂于原點(diǎn)。奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定焦點(diǎn)。1)0(3、過(guò)阻尼運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是非周期地趨向于原點(diǎn)。相軌跡是趨于原點(diǎn)的拋物線，原點(diǎn)是奇點(diǎn)，稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。1)(4、系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是發(fā)散振蕩。相軌跡是以原點(diǎn)出發(fā)的螺旋線，原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。0)-1(5、系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是非周期發(fā)散運(yùn)動(dòng)。相軌跡是由原點(diǎn)出發(fā)的發(fā)散型拋物線。原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。)-1(6、 是對(duì)稱于原點(diǎn)的實(shí)軸是對(duì)稱于原點(diǎn)的實(shí)軸系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是發(fā)散運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)。以上以上6種奇點(diǎn)，類似的奇點(diǎn)在非線性系統(tǒng)中也常見(jiàn)到。種奇點(diǎn)，類似的奇點(diǎn)在非線性系統(tǒng)中也常見(jiàn)到。21,二、非線性系統(tǒng)的相平

6、面分析二、非線性系統(tǒng)的相平面分析借助Matlab等軟件工具可以方便地繪制非線性系統(tǒng)的相平面圖。例1：有死區(qū)繼電器非線性的系統(tǒng)框圖如下系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù) ，該二階系統(tǒng)的無(wú)阻尼自然振蕩角頻率 ，阻尼比 ，根據(jù)前面對(duì)奇點(diǎn)的分類，可知為穩(wěn)定焦點(diǎn)。) 1(1)(SSSGsradn/15 . 0繼電器的輸入輸出關(guān)系為在 平面，根據(jù)繼電器的非線性特性，可分為三個(gè)區(qū)域， 設(shè)初始狀態(tài) ， ，繪制相軌跡如圖所示，(設(shè)r=3) 根據(jù)系統(tǒng)的相軌跡，可對(duì)系統(tǒng)的性能分析如下：)(efy, 1, 0, 1. 1; 11; 1eeeee3)0(e0)0(e 2、相軌跡最后沒(méi)有到達(dá)原點(diǎn)，即 ，說(shuō)明系統(tǒng)在階躍信號(hào)輸入下，存在

7、穩(wěn)態(tài)誤差，引起穩(wěn)態(tài)誤差的原因是死區(qū)繼電器特性。 系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù)表明，系統(tǒng)是型系統(tǒng)，對(duì)階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)為0，可見(jiàn)死區(qū)繼電器非線性對(duì)穩(wěn)態(tài)精度的影響。0)(limtet1、系統(tǒng)的相軌跡收斂于A點(diǎn)，是穩(wěn)定的，奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。e e是單調(diào)衰減的。例2：非線性系統(tǒng)框圖如下其中繼電器回環(huán)特性的參數(shù)M=0.2，a=0.2。系統(tǒng)的線性部分是欠阻尼情況，奇點(diǎn)是穩(wěn)定焦點(diǎn)。非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出關(guān)系為y M 0e, ae0e, ae或M 0e, ae0e, ae或根據(jù)上述關(guān)系，可將 平面分為二個(gè)區(qū)域。分別繪制初始狀態(tài)分別為 和 的兩條相軌跡。ee0)0( e5,. 0)0( e0)0( e1,. 0)0(

8、e從圖知，無(wú)論從哪一組初始條件出發(fā)，相軌跡均收斂于極限環(huán)，這是一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)，意味著系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。 一般不希望系統(tǒng)有自持振蕩。當(dāng)振蕩難以消除時(shí)，應(yīng)盡量將振蕩限制在一個(gè)較小的、可以接收的范圍內(nèi)。實(shí)際上，對(duì)于此系統(tǒng)，通過(guò)減少繼電器回環(huán)的寬度a，可減小振蕩。7.3 7.3 描述函數(shù)描述函數(shù) 描述函數(shù)是非線性特性的一種近似表示，是一種諧波線性化方法，忽略非線性環(huán)節(jié)輸出中的高次諧波，用基波分量表示其輸出。設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入為tsinx x其輸出的穩(wěn)定分量y是與x同周期的非正弦周期信號(hào)，可用傅氏級(jí)數(shù)表示11)sin()sincos(nnnnnntntntnYABAA00y式中BABAYBAnnnnn

9、nnnarctgtdtntytdtnty222020)(sin)(1)(cos)(1由于y的高次諧波幅值小于基波幅值，且系統(tǒng)的線性部分 都具有低通濾波性質(zhì)，可以假設(shè)只有基波分量起作用，而將高次諧波忽略不計(jì)。)(),(21ssGG一、描述函數(shù)的定義一、描述函數(shù)的定義設(shè)非線性特性為對(duì)稱型，則傅氏級(jí)數(shù)中的直流分量y的基波為00A)11111tsin(tsintcosYBAy非線性特性的描述函數(shù)定義為)(1)(1111ABeYjXXXNj這是一個(gè)復(fù)函數(shù)，模為輸出基波幅值與輸入幅值之比，相角是輸出基波對(duì)輸入的相位移。描述函數(shù)N(X)表示了當(dāng)X為正弦信號(hào)時(shí)，輸出基波分量與X在幅值和相位上的關(guān)系。二、典型非

10、線性特性的描述函數(shù)二、典型非線性特性的描述函數(shù)1、死區(qū)非線性的描述函數(shù)、死區(qū)非線性的描述函數(shù)aXxaxaxakaXN(X)xaxakxxaBY)21(arcsin2100)1(arcsin2121112、理想繼電器非線性的描述函數(shù)、理想繼電器非線性的描述函數(shù)XXN4)(7.4 7.4 非線性系統(tǒng)的諧波平衡法分析非線性系統(tǒng)的諧波平衡法分析和相平面法不同，諧波平衡法對(duì)非線性環(huán)節(jié)進(jìn)行諧波線性化處理，允許線性部分是任意階次。非線性系統(tǒng)的特征方程為)(1)(0)()(1XNjGjGXN即：稱 為描述函數(shù)的負(fù)倒幅特性。)(1XN如果滿足上式，表示 與 有交點(diǎn)，此時(shí)非線性系統(tǒng)將出現(xiàn)自持振蕩，這相當(dāng)于線性系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖 在復(fù)平面中穿過(guò)（1，j 0）點(diǎn)。)(1XN)(jG)(jG將非線性的負(fù)倒幅特性和線性部分的極坐標(biāo)圖繪制在一個(gè)復(fù)平面中，根據(jù)二者的相對(duì)位置可分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定一、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定包圍不被)()(1jGXN相交與)()(1jGXN三、非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩三、非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩圖示