數(shù)學建模之遺傳模型

1、遺傳模型遺傳模型1.常染色體遺傳常染色體遺傳2.X鏈遺傳鏈遺傳遺傳模型遺傳模型 隨著人類的進化，人們?yōu)榱私沂旧碾S著人類的進化，人們?yōu)榱私沂旧膴W妙，越來越注重遺傳學的研究，特別奧妙，越來越注重遺傳學的研究，特別是遺傳特征的逐代傳播，引起人們更多是遺傳特征的逐代傳播，引起人們更多的注意。無論是人，還是動、植物都會的注意。無論是人，還是動、植物都會將本身的特征遺傳給下一代，這主要是將本身的特征遺傳給下一代，這主要是因為后代繼承了雙親的基因，形成自己因為后代繼承了雙親的基因，形成自己的基因?qū)?，基因?qū)Υ_定了后代所表現(xiàn)的的基因?qū)?，基因?qū)Υ_定了后代所表現(xiàn)的特征。特征。 常染色體遺傳模型常染色體遺傳模

2、型 在常染色體遺傳中，后代是從每個親體在常染色體遺傳中，后代是從每個親體的基因?qū)χ懈骼^承一個基因，形成自己的基因?qū)χ懈骼^承一個基因，形成自己的基因?qū)?，基因?qū)σ卜Q為基因型。如果的基因?qū)?，基因?qū)σ卜Q為基因型。如果我們所考慮的遺傳特征是由兩個基因我們所考慮的遺傳特征是由兩個基因A A和和a a控制的，那么就有三種基因?qū)?，記控制的，那么就有三種基因?qū)Γ洖闉锳AAA，AaAa，aaaa。 常染色體遺傳模型常染色體遺傳模型 例如，金魚草是由兩個遺傳基因決定它例如，金魚草是由兩個遺傳基因決定它的花的顏色，基因型是的花的顏色，基因型是AA的金魚草開的金魚草開紅花，紅花， Aa型的開粉紅色花，而型的開粉紅色花

3、，而aa型的型的開白花。又如人類眼睛的顏色也是通過開白花。又如人類眼睛的顏色也是通過常染色體遺傳控制的?；蛐褪浅Ｈ旧w遺傳控制的?；蛐褪茿A或或Aa的人，眼睛為棕色，基因型是的人，眼睛為棕色，基因型是aa的人，的人，眼睛為藍色。眼睛為藍色。常染色體遺傳模型常染色體遺傳模型 這里因為這里因為Aa和和AA都表示了同一外部特都表示了同一外部特征，我們認為基因征，我們認為基因A支配基因支配基因a，也可認，也可認為基因為基因a對于對于A來說是隱性的。當一個親來說是隱性的。當一個親體的基因型為體的基因型為Aa，而另一個親體的基因，而另一個親體的基因型是型是aa，那么后代可以從，那么后代可以從aa型中得

4、到基型中得到基因因a，從，從Aa型中得到基因型中得到基因A，或得到基，或得到基因因a。這樣，后代基因型為。這樣，后代基因型為Aa或或aa的可的可能性相等能性相等常染色體遺傳模型常染色體遺傳模型 下面給出雙親體基因型的所有可能的結(jié)下面給出雙親體基因型的所有可能的結(jié)合，使其后代形成每種基因型的概率：合，使其后代形成每種基因型的概率： 父體父體母體的基因型母體的基因型AAAAAAAaAAaaAaAaAaaaaaaa后后 代代 基基 因因 型型AA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21常染色體遺傳模型常染色體遺傳模型 農(nóng)場的植物園中某種植物的基因型為農(nóng)場的植物園中某種

5、植物的基因型為AA，Aa和和aa。農(nóng)場計劃采用。農(nóng)場計劃采用AA型的植型的植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。那么經(jīng)過若干年后，這種植植物后代。那么經(jīng)過若干年后，這種植物的任一代的三種基因型分布如何？物的任一代的三種基因型分布如何？ 常染色體遺傳模型常染色體遺傳模型 假設(shè)：假設(shè)：(1)設(shè)設(shè)an，bn和和cn。分別表示第。分別表示第n代代植物中，基因型為植物中，基因型為AA，Aa和和aa的植物的植物占植物總數(shù)的百分率。令占植物總數(shù)的百分率。令x(n)為第為第n代植代植物的基因型分布：物的基因型分布：( )nnnnaxbcx(0)表示植物基因型的初始分布

6、表示植物基因型的初始分布(即培育開即培育開始時的分布始時的分布)，顯然有，顯然有 an+bn+cn=1 常染色體遺傳模型常染色體遺傳模型 (ii)第第n-1代的分布與第代的分布與第n代的分布關(guān)系代的分布關(guān)系是通過上表確定的：是通過上表確定的：常染色體遺傳模型常染色體遺傳模型 建模：建模： 根據(jù)假設(shè)根據(jù)假設(shè)(ii)，先考慮第，先考慮第n代中的代中的AA型。由于第型。由于第n1代的代的AA型與型與AA型結(jié)型結(jié)合，后代全部是合，后代全部是AA型：第型：第n-l代的代的Aa型型與與AA型結(jié)合，后代是型結(jié)合，后代是AA型的可能性為型的可能性為1、2，而第，而第nl代的代的aa型與型與AA型結(jié)合，后型結(jié)合

7、，后代不可能是代不可能是AA型。因此當型。因此當n=1，2，3. an1an1 +1/2bn1+0cn1常染色體遺傳模型常染色體遺傳模型 模型討論：模型討論： 若在上述問題中，不選用因型若在上述問題中，不選用因型AA植物植物與每一植物結(jié)合，而是將具有相同基因與每一植物結(jié)合，而是將具有相同基因型植物相結(jié)合，那么后代所具有三種基型植物相結(jié)合，那么后代所具有三種基因型的概率由下表給出：因型的概率由下表給出： 父體父體母體的基因型母體的基因型AAAAAaAaaaaa后后 代代 基基 因因 型型AA11/40Aa01/20aa01/41常染色體隱性病模型常染色體隱性病模型 現(xiàn)在世界上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的遺傳病將近

8、現(xiàn)在世界上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的遺傳病將近4000種。在一般情況下，遺傳疾病是與特殊種。在一般情況下，遺傳疾病是與特殊的種族、部落及群體有關(guān)。例如，遺傳的種族、部落及群體有關(guān)。例如，遺傳病庫利氏貧血癥的患者以居住在地中海病庫利氏貧血癥的患者以居住在地中海沿岸為多，鐮狀網(wǎng)性貧血癥一般流行在沿岸為多，鐮狀網(wǎng)性貧血癥一般流行在黑人中，家族黑蒙性白癡癥則流行在東黑人中，家族黑蒙性白癡癥則流行在東歐猶太人中間?；颊呓?jīng)常未到成年就痛歐猶太人中間?；颊呓?jīng)常未到成年就痛苦地死去，而他們的父母則是疾病的病苦地死去，而他們的父母則是疾病的病源。源。 常染色體隱性病模型常染色體隱性病模型 假若我們能識別這些疾病的隱性患者，假若

9、我們能識別這些疾病的隱性患者，并且規(guī)定隱性患者不能結(jié)合并且規(guī)定隱性患者不能結(jié)合(因為兩個隱因為兩個隱性病患者結(jié)合，他們的后代就可能成為性病患者結(jié)合，他們的后代就可能成為顯性患者顯性患者)，那么未來的兒童，雖然有可，那么未來的兒童，雖然有可能是隱性患者，但絕不會出現(xiàn)顯性特征，能是隱性患者，但絕不會出現(xiàn)顯性特征，不會受到疾病的折磨。現(xiàn)在，我們考慮不會受到疾病的折磨?，F(xiàn)在，我們考慮在控制結(jié)合的情況下，如何確定后代中在控制結(jié)合的情況下，如何確定后代中隱性患者的概率。隱性患者的概率。 常染色體隱性病模型常染色體隱性病模型 假設(shè)假設(shè) (i)常染色體遺傳的正?；蛴洖槌Ｈ旧w遺傳的正?；蛴洖锳，不，不正常

10、基因記為正?；蛴洖閍，并以，并以AA，Aa，aa分別分別表示正常人，隱性患者，顯性患者的基表示正常人，隱性患者，顯性患者的基因型因型 (ii)設(shè)設(shè)an，bn分別表示第分別表示第n代中基因型為代中基因型為AA，Aa 占總?cè)藬?shù)的百分數(shù)，記占總?cè)藬?shù)的百分數(shù)，記 ( )nnnaxb常染色體隱性病模型常染色體隱性病模型 (iii)為使每個兒童至少有一個正常的父為使每個兒童至少有一個正常的父親或母親，因此正常人或隱性患者必須親或母親，因此正常人或隱性患者必須與正常人結(jié)合，其后代的基因型概率由與正常人結(jié)合，其后代的基因型概率由表給出：表給出： 父體父體母體的基因型母體的基因型AAAAAAAa后后 代代 基

11、基 因因 型型AA11/4Aa01/2aa01/4常染色體隱性病模型常染色體隱性病模型 建模建模 由假設(shè)由假設(shè)(iii)，從第，從第n-1代到第代到第n代基因代基因型分布的變化取決于方程型分布的變化取決于方程常染色體隱性病模型常染色體隱性病模型 模型討論模型討論 研究在隨機結(jié)合的情況下，隱性患者研究在隨機結(jié)合的情況下，隱性患者的變化是很有意思的，但隨機結(jié)合導(dǎo)致的變化是很有意思的，但隨機結(jié)合導(dǎo)致了非線性化問題，超出范圍，了非線性化問題，超出范圍，X鏈遺傳模型鏈遺傳模型 X鏈遺傳是指雄性具有一個基因鏈遺傳是指雄性具有一個基因A或或a，雌性具有兩個基因雌性具有兩個基因AA，或，或Aa，或，或aa。其

12、遺傳規(guī)律是雄性后代以相等概率得到其遺傳規(guī)律是雄性后代以相等概率得到母體兩個基因中的一個，雌性后代從父母體兩個基因中的一個，雌性后代從父體中得到一個基因，并從母體的兩個基體中得到一個基因，并從母體的兩個基因中等可能地得到一個。下面，研究與因中等可能地得到一個。下面，研究與X鏈遺傳有關(guān)的近親繁殖過程。鏈遺傳有關(guān)的近親繁殖過程。X鏈遺傳模型鏈遺傳模型 假設(shè)假設(shè) (i)從一對雌雄結(jié)合開始，在它們的后代中，從一對雌雄結(jié)合開始，在它們的后代中，任選雌雄各一個成配偶，然后在它們產(chǎn)生的任選雌雄各一個成配偶，然后在它們產(chǎn)生的后代中任選兩個結(jié)成配偶。如此繼續(xù)下去。后代中任選兩個結(jié)成配偶。如此繼續(xù)下去。 (ii)父

13、體與母體的基因型組成同胞對，同胞對父體與母體的基因型組成同胞對，同胞對的形式有的形式有(A，AA)，(A，Aa)，(A，aa)，(a， AA)，(a，Aa)，(a，aa)。初始一對雌雄的同。初始一對雌雄的同胞對，是這六種類型中的任一種，其后代的胞對，是這六種類型中的任一種，其后代的基因型由表給出。基因型由表給出。X鏈遺傳模型鏈遺傳模型 父體一母體的基因型父體一母體的基因型 （A,AA）(A,Aa)(A,aa)(a,AA)(a,Aa)(a,aa)后后代代基基因因型型A11/2011/20a01/2101/21AA11/20000Aa01/2111/20aa00001/21X鏈遺傳模型鏈遺傳模型 (iii)在每一代中，配偶的同胞對也是六在每一代中，配偶的同胞對也是六種類型之一，并有確定的概率。為計算種類型之一，并有確定的概率。為計算這些概率，設(shè)這些概率，設(shè)an，bn，cn，dn，en和和fn分分別是第別是第n代中，配偶的同胞對為代中，配偶的同胞對為(A，AA)，(A，Aa)，(A，aa)，(a，AA)，(a,Aa)，(a，aa)型的概率，型的概率，n=0，1，。令。令 x(n)=(an，bn，cn，dn，en，fn)T，n=0，1，X鏈遺傳模型鏈遺傳模型 (iv)如果第如果第n1代配偶的同胞對是