確定性與隨機性混沌

1、 本文旨在本文旨在: 從實例出發(fā)，對非線性耗散系統(tǒng)從實例出發(fā)，對非線性耗散系統(tǒng)中的混沌及其控制與同步研究中遇到的有中的混沌及其控制與同步研究中遇到的有關(guān)基本概念與問題關(guān)基本概念與問題作一些哲理性解釋作一些哲理性解釋。包。包括：括： 一、確定性混沌的基本概念一、確定性混沌的基本概念 二、隨機混沌的約定含義二、隨機混沌的約定含義 三、對混沌控制與同步的幾點看法三、對混沌控制與同步的幾點看法混沌是什么混沌是什么？ 混沌代表一類混沌代表一類特定形式的確定性穩(wěn)態(tài)運動特定形式的確定性穩(wěn)態(tài)運動, 它有別于經(jīng)典的周期運動和概周期運動，它有別于經(jīng)典的周期運動和概周期運動，也不涉及其它非穩(wěn)態(tài)運動?；煦缡且蝗簶右膊?/p>

2、涉及其它非穩(wěn)態(tài)運動?；煦缡且蝗簶颖具\動的本運動的集合集合，由于兩個相鄰樣本軌道之，由于兩個相鄰樣本軌道之間存在間存在互斥性互斥性，故從不同的初始條件出發(fā)，故從不同的初始條件出發(fā)的穩(wěn)態(tài)軌道都不相同。但又共享一個相空的穩(wěn)態(tài)軌道都不相同。但又共享一個相空間間Poincare截面上的截面上的混沌吸引子混沌吸引子。各個穩(wěn)。各個穩(wěn)態(tài)樣本運動的映射點都不超越、又遍歷該態(tài)樣本運動的映射點都不超越、又遍歷該混沌吸引子。這就是混沌運動的混沌吸引子。這就是混沌運動的遍歷遍歷性。性。 混沌的發(fā)現(xiàn)清楚地告訴人們混沌的發(fā)現(xiàn)清楚地告訴人們, 即使確定的即使確定的 非線性系統(tǒng)在確定的激勵和確定的初始條非線性系統(tǒng)在確定的激勵和

3、確定的初始條件下，也可能產(chǎn)生不完全確定的結(jié)果。這件下，也可能產(chǎn)生不完全確定的結(jié)果。這是一種是一種觀念上的突破觀念上的突破。說明確定性系統(tǒng)還說明確定性系統(tǒng)還含有內(nèi)在的隨機性?；煦邕\動對初始條件含有內(nèi)在的隨機性?；煦邕\動對初始條件極為敏感的依賴性、混沌吸引子及其吸引極為敏感的依賴性、混沌吸引子及其吸引域的分形特征等等，都意味著隨機性。事域的分形特征等等，都意味著隨機性。事實上，實上，混沌反映了確定性非線性系統(tǒng)內(nèi)在混沌反映了確定性非線性系統(tǒng)內(nèi)在的隨機性。的隨機性。Intrinsic Stoshasticity inForced Duffing System :lltAxktxxxkx:Alarger

4、 ofyProbabilitsin:ionapproximatorderFirsteDissipativ:0)(sin03 穩(wěn)態(tài)幅頻曲線大/小A吸引域647. 0,10. 1l大/小A吸引域463. 0,12. 1l大/小A吸引域291. 0,14. 1l大/小A吸引域0957. 0,16. 1l大A發(fā)生概率吸引域邊界混沌運動的主要特性混沌運動的主要特性1 有界性：有界性： 相空間的混沌吸引子相空間的混沌吸引子2 集合性、隨機性：集合性、隨機性： 從不同的初始條件得從不同的初始條件得 到不同的到不同的表觀無序表觀無序樣本、組成集合樣本、組成集合3 遍歷性：遍歷性： 每個樣本都遍歷一個共同的吸每

5、個樣本都遍歷一個共同的吸引子引子4 對初始條件的敏感性：對初始條件的敏感性： 內(nèi)在隨機性的一內(nèi)在隨機性的一個突出表現(xiàn)個突出表現(xiàn), 導(dǎo)致正的導(dǎo)致正的Lyapunov指數(shù)指數(shù)5 分形性：分形性： 具有無限層次的具有無限層次的自相似自相似結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu) 6 有序性：有序性： 一種無周期的有序態(tài)，一種無周期的有序態(tài)， 短、短、 中期樣本軌道的可預(yù)測性中期樣本軌道的可預(yù)測性, 歷史與未來演化歷史與未來演化中的有序規(guī)律，包括通向混沌的道路與激中的有序規(guī)律，包括通向混沌的道路與激變變 7 普適性：普適性： 如存在不依賴于具體模型及其如存在不依賴于具體模型及其參數(shù)參數(shù) 的一些特征量的一些特征量Feigenbaum常

6、數(shù)常數(shù) 8 依存性：依存性： 對模型及其外部環(huán)境的依賴性，對模型及其外部環(huán)境的依賴性，包括相空間格局及其演化包括相空間格局及其演化 9 可控性：可控性： 它和特征它和特征6和和8有聯(lián)系，如相有聯(lián)系，如相空間格局的可變性、混沌樣本的可跟蹤性空間格局的可變性、混沌樣本的可跟蹤性低維混沌系統(tǒng)的相空間格局 混沌系統(tǒng)混沌系統(tǒng)指的是處于混沌運動狀態(tài)下指的是處于混沌運動狀態(tài)下的非線性動力系統(tǒng)。的非線性動力系統(tǒng)。 相空間格局相空間格局(overall constitution in phase space)是指是指: 系統(tǒng)參數(shù)凍結(jié)情系統(tǒng)參數(shù)凍結(jié)情形下形下, 各個吸引子及其吸引域、鞍及其各個吸引子及其吸引域、鞍

7、及其穩(wěn)定與不穩(wěn)定流形、分形邊界穩(wěn)定與不穩(wěn)定流形、分形邊界(或隔離或隔離帶帶)等在相平面上的布局。等在相平面上的布局。 值得注意值得注意,混沌相空間格局中提到的混沌相空間格局中提到的那些那些鞍鞍型不穩(wěn)定吸引子等等都是在系統(tǒng)型不穩(wěn)定吸引子等等都是在系統(tǒng)經(jīng)歷無數(shù)次分岔、或混沌激變時遺留下經(jīng)歷無數(shù)次分岔、或混沌激變時遺留下來的來的, 他們在混沌的形成或轉(zhuǎn)化過程中都他們在混沌的形成或轉(zhuǎn)化過程中都起過重要作用起過重要作用，正是這些不穩(wěn)定因素協(xié)，正是這些不穩(wěn)定因素協(xié)同促成了混沌的產(chǎn)生或激變。反過來說，同促成了混沌的產(chǎn)生或激變。反過來說，它們又構(gòu)成對混沌的它們又構(gòu)成對混沌的一種潛在威脅一種潛在威脅。只。只要其

8、中任何一種不穩(wěn)定吸引子在內(nèi)部參要其中任何一種不穩(wěn)定吸引子在內(nèi)部參數(shù)的攝動或外部激勵或控制的影響下，數(shù)的攝動或外部激勵或控制的影響下，一旦改變了穩(wěn)定性，就可能導(dǎo)致相關(guān)混一旦改變了穩(wěn)定性，就可能導(dǎo)致相關(guān)混沌吸引子的崩潰。沌吸引子的崩潰。Fractal Chaotic AttractorsSymmetry Breaking Bifurcation, Top Lyapunov exponent of Duffing systemtFxaxxcxcos)1(2 The periodic phase trajectory for = 0.935 The periodic phase trajectorie

9、s for = 0.945 Flow pattern of Poincar mapping points around the saddle and nodes Zoom of that middle part with reduced number of initial conditionsFlow lines with few number of initial condition points Periodic saddle point and its stable and unstable manifolds Bifurcation and Crisis inParametricall

10、y Driven Duffing System 2 . 0sin13112221txxxxxxxTop Lyapunov ExponentChaotic Attractors-3-2-10123-3-2-10123-3-2-10123-3-2-10123隨機混沌的約定含義隨機混沌的約定含義 顧名思義，隨機混沌理應(yīng)兼具隨機顧名思義，隨機混沌理應(yīng)兼具隨機性與混沌性，它屬于性與混沌性，它屬于隨機運動與混隨機運動與混沌運動的交集。沌運動的交集。 實質(zhì)上實質(zhì)上, 隨機混沌是非線性系統(tǒng)的、隨機混沌是非線性系統(tǒng)的、同時反映了外在隨機性與內(nèi)在隨機同時反映了外在隨機性與內(nèi)在隨機性影響性影響的一種響應(yīng)。這里只給出

11、它的一種響應(yīng)。這里只給出它的一個約定性定義。的一個約定性定義。 在確定性混沌研究中，通常限于考察在確定性混沌研究中，通常限于考察系統(tǒng)在系統(tǒng)在簡諧激勵簡諧激勵下的響應(yīng)演變，并著下的響應(yīng)演變，并著眼于考察系統(tǒng)響應(yīng)眼于考察系統(tǒng)響應(yīng)從外觀有序到外觀從外觀有序到外觀無序無序的突變的突變。 現(xiàn)現(xiàn)約定約定從探索確定性系統(tǒng)各種外在隨從探索確定性系統(tǒng)各種外在隨機因素如何影響原系統(tǒng)內(nèi)在隨機因素機因素如何影響原系統(tǒng)內(nèi)在隨機因素的發(fā)揮這一角度來考察隨機混沌。這的發(fā)揮這一角度來考察隨機混沌。這時，時，確定性因素仍占主導(dǎo)作用，而隨確定性因素仍占主導(dǎo)作用，而隨機因素只處于次要地位。機因素只處于次要地位。也就是說，也就是說，

12、相對于確定的簡諧激勵，隨機激勵或相對于確定的簡諧激勵，隨機激勵或參數(shù)隨機攝動將約定為小量。參數(shù)隨機攝動將約定為小量。 兩類隨機混沌問題 有有兩類隨機因素兩類隨機因素需要重點考慮，即系需要重點考慮，即系統(tǒng)物理統(tǒng)物理參數(shù)的隨機攝動參數(shù)的隨機攝動以及外部以及外部激勵激勵的隨機變化。的隨機變化。由此構(gòu)成兩類隨機混沌由此構(gòu)成兩類隨機混沌問題。問題。 隨機參數(shù)非線性系統(tǒng)在簡諧激勵下的隨機參數(shù)非線性系統(tǒng)在簡諧激勵下的隨機混沌響應(yīng)問題隨機混沌響應(yīng)問題 確定性非線性系統(tǒng)在簡諧和隨機共同確定性非線性系統(tǒng)在簡諧和隨機共同激勵下的激勵下的隨機混沌響應(yīng)問題隨機混沌響應(yīng)問題Forced Stochastic Duffin

13、g System uofPDFlikeArchuasuasuup1011220,cos3tFxxx uTop LE隨機混沌吸引子Triple-well potential Duffing system under harmonic and bounded noise excitationsprocessWienertBtBtdtdyxxxyyx: )()()(coscos221153Top LEStochastic Chaos Attractors混沌控制 所謂混沌控制所謂混沌控制, 實質(zhì)上就是要實質(zhì)上就是要改造改造其面其面對的對的相空間格局相空間格局; 從非混沌的改變?yōu)榛鞆姆腔煦绲母淖優(yōu)榛煦?/p>

14、的沌的; 或從混沌的改變?yōu)榉腔煦绲摹⒒蚧驈幕煦绲母淖優(yōu)榉腔煦绲?、或改變到更加混沌的。至于怎樣才能改改變到更加混沌的。至于怎樣才能改造成所期望的新格局呢？還得作具體造成所期望的新格局呢？還得作具體分析，要看老格局有哪些薄弱環(huán)節(jié)，分析，要看老格局有哪些薄弱環(huán)節(jié)，關(guān)于促成新格局又有哪些有利條件。關(guān)于促成新格局又有哪些有利條件。采取的策略和辦法則可以多種多樣。采取的策略和辦法則可以多種多樣。 相空間格局是在相空間格局是在凍結(jié)凍結(jié)參數(shù)條件下參數(shù)條件下形成的定局。形成的定局。它依賴于各個分岔參數(shù)它依賴于各個分岔參數(shù)的取值的取值,有時還很敏感。有時還很敏感。 因此因此,適當調(diào)適當調(diào)節(jié)某個敏感參數(shù)就可能激活沉

15、睡的不節(jié)某個敏感參數(shù)就可能激活沉睡的不穩(wěn)定周期吸引子穩(wěn)定周期吸引子, ,從而顛覆相關(guān)的混沌從而顛覆相關(guān)的混沌吸引子。吸引子。Ott, Grebogi,與與Yorke 提出的提出的混沌控制微調(diào)參數(shù)法混沌控制微調(diào)參數(shù)法12 即基于此原理。即基于此原理。 實際上存在多種多樣的混沌控制方法，實際上存在多種多樣的混沌控制方法，除此以外，還可以增加外激或參激除此以外，還可以增加外激或參激(不不論簡諧的還是隨機的論簡諧的還是隨機的 ), 也可以增加狀也可以增加狀態(tài)反饋態(tài)反饋(不論實時的、還是延時的、甚不論實時的、還是延時的、甚至經(jīng)過濾波的至經(jīng)過濾波的)。 Fradkov與與 Evans 在其關(guān)于混沌控制的綜

16、在其關(guān)于混沌控制的綜述述14中著重介紹了三類混沌控制方法中著重介紹了三類混沌控制方法: OGY方法、方法、Pyragas基于延時反饋的控制基于延時反饋的控制方法方法15、以及非反饋控制方法。、以及非反饋控制方法。OGY方方法與法與Pyragas方法在思想上是一致的，都方法在思想上是一致的，都是是通過鎮(zhèn)定某個潛在的不穩(wěn)定周期解通過鎮(zhèn)定某個潛在的不穩(wěn)定周期解UPOUPO來顛覆混沌解，來顛覆混沌解，也就是實施一次也就是實施一次策反策反。 設(shè)選定的設(shè)選定的UPO周期為周期為T，它在混沌運動頻譜，它在混沌運動頻譜上留下的烙印上留下的烙印, 對應(yīng)于對應(yīng)于f = 1/T的周期運動主的周期運動主頻分量、及附屬

17、的一些倍頻分量。再設(shè)頻分量、及附屬的一些倍頻分量。再設(shè) y(t) 代表系統(tǒng)的混沌運動，這時，代表系統(tǒng)的混沌運動，這時，Pyragas方方法中的法中的 延時負反饋延時負反饋 u(t）可表示如下）可表示如下: 其中其中 K 代表可調(diào)反饋系數(shù)，代表可調(diào)反饋系數(shù)，代表代表 可調(diào)延時。這樣，當取可調(diào)延時。這樣，當取 = T 時，時， 每次反饋后每次反饋后y y（t t）中對應(yīng)目標小譜峰）中對應(yīng)目標小譜峰 的周期分量的周期分量 ( (包括主頻與其附屬的倍包括主頻與其附屬的倍 頻分量頻分量) ) 信息始終不變信息始終不變，而而 y（t） 中其它各種分量的信息不斷減弱，中其它各種分量的信息不斷減弱， 最終，只

18、留下一個周期為最終，只留下一個周期為 T 的穩(wěn)定周的穩(wěn)定周 期運動。期運動。)()()(tytyKtu Pyragas的控制目標也可借頻域濾波法近的控制目標也可借頻域濾波法近 似實現(xiàn)。就是將混沌信號通過似實現(xiàn)。就是將混沌信號通過Notch Filter（一種有（一種有“V”形缺口通帶的帶通濾波器）反形缺口通帶的帶通濾波器）反復(fù)復(fù) 濾波，濾波，只需將濾波器通帶底部對準只需將濾波器通帶底部對準f f 就可以就可以 了。這樣，對應(yīng)于了。這樣，對應(yīng)于f 的信號分量每次濾波都的信號分量每次濾波都 毫發(fā)無損毫發(fā)無損, 通帶外的信號分量則迅速濾通帶外的信號分量則迅速濾除，除， 而通帶內(nèi)而通帶內(nèi)f 兩側(cè)的信號

19、分量需要許多次反復(fù)兩側(cè)的信號分量需要許多次反復(fù) 濾波才能濾除。最后只留下周期為濾波才能濾除。最后只留下周期為T( (=1/f） 的穩(wěn)定簡諧運動信號。的穩(wěn)定簡諧運動信號。Notch Filter Feedback隨機混沌控制隨機混沌控制gainfeedbackparameterrandomboundedorbbwhereatxtFcxxbxax:11,0, )(sin)(3 延遲反饋抑制混沌延遲反饋抑制混沌 (= +1) 延遲反饋誘發(fā)混沌延遲反饋誘發(fā)混沌 (= 1)混沌同步 混沌同步也是一種混沌控制?；煦缤揭彩且环N混沌控制。Boccaletti 27 2002年在年在Physics Repor

20、ts上發(fā)表了上發(fā)表了長達百頁的報告長達百頁的報告,對此前的混沌同步研究進對此前的混沌同步研究進展作了全面的報道。著重介紹了展作了全面的報道。著重介紹了Pecora和和Caroll 28原創(chuàng)的驅(qū)動原創(chuàng)的驅(qū)動-響應(yīng)模式下的響應(yīng)模式下的PC方方法法, 以及在此基礎(chǔ)上經(jīng)擴展的主動以及在此基礎(chǔ)上經(jīng)擴展的主動-被動模被動模式下的式下的APD方法方法29，內(nèi)容幾乎涉及混沌，內(nèi)容幾乎涉及混沌同步現(xiàn)象的各個方面，如完全同步（同步現(xiàn)象的各個方面，如完全同步（CS）、）、廣義同步廣義同步GS）、滯后同步（）、滯后同步（LS）、相位）、相位同步（同步（PS）等等。）等等。 隨機混沌樣本同步隨機混沌樣本同步)5, 1(

21、,diag)()()(:),()(:0,sin)(:T5151103 iyyekkkkKYYKtFYGYAYRespondingyyyyYRYtFYGAYYDrivingSystemticDeterminisEquivalentatFcxxbxaxSystemDuffingStochasticiiiPhase trajectory of mean response-101-0.8-0.40.00.40.8dE X (t ,) /dtE X (t ,) Top LE0.00.20.40.60.81.0-0.4-0.20.00.2 k = 0.0 k = 0.1 k = 0.2TopkMean r

22、esponses without control under differentinitial conditions, A: for driving; B: for responding050100150200250300-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0 A BE x ( t , ) tMean responses with control under differentinitial conditions, A: for driving; B: for responding050100150200250300-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0 A B

23、E x ( t , ) tMean response error050100150-2.0-1.5-1.0-0.50.00.5 e1 e2 e3 e4 e5ErrortWithout control3800038500390003950040000-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5Mean responsetWith control, k=0.98, k”=0.2390003950040000-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 B DY Axis TitletChaotic attractor for driving system-1.5-1.0-0.50.00.5

24、1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.6Y Axis TitleX axis title混沌同步的特點 1 混沌同步實質(zhì)上是對混沌樣本的跟蹤?；煦缤綄嵸|(zhì)上是對混沌樣本的跟蹤。 由驅(qū)動系統(tǒng)提供參考模板；由驅(qū)動系統(tǒng)提供參考模板； 由響應(yīng)系統(tǒng)實施反饋跟蹤。由響應(yīng)系統(tǒng)實施反饋跟蹤。 2 驅(qū)動系統(tǒng)樣本運動的驅(qū)動系統(tǒng)樣本運動的 Top LE 是是正正的；的； 響應(yīng)系統(tǒng)跟蹤運動的響應(yīng)系統(tǒng)跟蹤運動的 Top LE 是是負負的。的。噪聲誘導(dǎo)同步噪聲誘導(dǎo)同步 上述上述 混沌同步現(xiàn)象混沌同步現(xiàn)象 多少帶有人為的強多少帶有人為的強制作用。另一熱門話題是制作用。另一熱門話題是”噪聲誘導(dǎo)同噪聲誘導(dǎo)

25、同步步”，Boccaletti 將此歸類于混沌同步問將此歸類于混沌同步問題，其提法是：題，其提法是：研究兩個非直接耦合的混研究兩個非直接耦合的混沌系統(tǒng)在同一噪聲樣本作用下誘生的同步沌系統(tǒng)在同一噪聲樣本作用下誘生的同步現(xiàn)象。現(xiàn)象。所謂噪聲樣本不過是代表白噪聲所謂噪聲樣本不過是代表白噪聲(或或有界噪聲有界噪聲)的一個確定性偽隨機函數(shù)。由于的一個確定性偽隨機函數(shù)。由于混沌樣本也具有類似的表觀無序特點，與混沌樣本也具有類似的表觀無序特點，與上述問題并提的還有上述問題并提的還有 混沌誘導(dǎo)同步混沌誘導(dǎo)同步 問問題，提法中只需把噪聲樣本改成混沌樣本。題，提法中只需把噪聲樣本改成混沌樣本。 事實上，在所列舉的

26、誘導(dǎo)同步數(shù)值實例中事實上，在所列舉的誘導(dǎo)同步數(shù)值實例中,即使對于兩個相同、獨立的非線性系統(tǒng)，即使對于兩個相同、獨立的非線性系統(tǒng)，也只有在噪聲激勵下的響應(yīng)均不依賴于初也只有在噪聲激勵下的響應(yīng)均不依賴于初始條件的情況下，也就是始條件的情況下，也就是相應(yīng)的最大條件相應(yīng)的最大條件LyapunovLyapunov指數(shù)指數(shù)(LCLE)(LCLE)均為負時，才能實現(xiàn)均為負時，才能實現(xiàn)所謂所謂 誘導(dǎo)同步誘導(dǎo)同步。至于該同步信號究竟至于該同步信號究竟是不是混沌是不是混沌? 誰也沒有提到。憑肉眼看，誰也沒有提到。憑肉眼看，只能說它們都是表觀無序的。只能說它們都是表觀無序的。 若說它們是混沌，那么為什么相應(yīng)的若說它

27、們是混沌，那么為什么相應(yīng)的LCLELCLE又是負又是負的？的？Boccaletti 引用他人的辯解是引用他人的辯解是“Lyapunov指數(shù)對一類特殊的混沌系統(tǒng)可能已失去意義指數(shù)對一類特殊的混沌系統(tǒng)可能已失去意義”。我的理解恰巧相反。我的理解恰巧相反。 我認為：我認為：LCLE為負為負, 意味著意味著所選定的噪聲（或混沌）樣本激勵已經(jīng)抑制了系所選定的噪聲（或混沌）樣本激勵已經(jīng)抑制了系統(tǒng)的內(nèi)在隨機性統(tǒng)的內(nèi)在隨機性, 從而此時不可能產(chǎn)生混沌響應(yīng)。從而此時不可能產(chǎn)生混沌響應(yīng)。因此因此,這時的表觀無序響應(yīng)不過是系統(tǒng)對應(yīng)這時的表觀無序響應(yīng)不過是系統(tǒng)對應(yīng)于無序確定性樣本激勵的無序非穩(wěn)態(tài)響應(yīng)于無序確定性樣本激勵的無序非穩(wěn)態(tài)響應(yīng)而已。而已。 Not all that looks irregular is chaos!Largest Conditional Lya