二階常系數(shù)齊次線性微分方程

1、第八節(jié)第八節(jié) 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程一一 定義定義二二 二階常系數(shù)齊次線性方程解法二階常系數(shù)齊次線性方程解法三三 n n階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法四四 小結(jié)小結(jié))(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式階常系數(shù)線性微分方程的標準形式0 qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式階常系數(shù)線性微分方程的標準形式0)( yPynn一、定義,rxey 設設將其代入上

2、述方程將其代入上述方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe,2422, 1qppr 特征根特征根0 qyypy故有故有02 qprr稱為特征方程稱為特征方程二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法,11xrey ,22xrey 兩個線性無關(guān)的特解兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy （1 1）方程有兩個不相等的實根）方程有兩個不相等的實根)0( ,2421qppr ,2422qppr 特征根為特征根為（2 2）方程有兩個相等的實根）方程有兩個相等的實根)0( 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexCCy 代入原方程并化簡，代入原方

3、程并化簡，將將，222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則,)(12xrexuy 設設另另一一特特解解為為,11xrey ,221prr 一特解為特解為特征根為特征根為,)(1xiey ,)(2xiey （3 3）有一對共軛復根）有一對共軛復根)0( 重新組合重新組合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyiy ,sin xex 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為).sincos(21xCxCeyx ,1 ir ,2 ir 特征根為特征根為定義定義 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的

4、特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法確定其通解的方法稱為特征方程法.解解特征方程為特征方程為,0442 rr 解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)(221xexCCy .044的通解的通解求方程求方程 yyy例例1 1解解例例2 202 yyyxxeCeCy221 方程的通解為：方程的通解為：1, 221 rr解得解得022 rr特征方程特征方程解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121ir ，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx .052的通解的通解求方程求方程 yyy例例3 301)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程為

5、特征方程為0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的對應項通解中的對應項rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 ik 復復根根重重共共軛軛若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110 三、三、n n階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法注意注意n次代數(shù)方程有次代數(shù)方程有n個根個根, 而特征方程的每一個而特征方程的每一個根都對應著通解中的一項根都對應著通解中的一項, 且每一項各含有且每一項各含有一個任意常數(shù)一個任意常數(shù).nnyCyCyCy 2211特征根為特征根為, 154321irrirrr 故所求通解為故所求通

6、解為.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程為特征方程為, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例例4 4二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應的特征方程）寫出相應的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應的通解得到相應的通解. (見下表見下表)四、小結(jié)四、小結(jié)02 qprr0 qyypy 特征根的情況特征根的情況 通解的表達式通解的表達式實根實根21rr 實根實根21r

7、r 復根復根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 思考題求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 思考題解答思考題解答, 0 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 則則, 0 zz特征根特征根1 通解通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .二、二、 下列微分方程滿足

8、所給初始條件的特解下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy； 2 2、3,0,013400 xxyyyyy. .三、三、 求作一個二 階常系數(shù) 齊次線性微分方程求作一個二 階常系數(shù) 齊次線性微分方程, ,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解 . .四、四、 設圓柱形浮筒設圓柱形浮筒, ,直徑為直徑為m5 . 0, ,鉛直放在水中鉛直放在水中, ,當稍當稍向下壓后突 然放開向下壓后突 然放開, ,浮筒 在水中上 下振動的浮筒 在水中上 下振動的s2周期為周期為, ,求浮筒的質(zhì)量求浮筒的質(zhì)量 . .練練 習習 題題練習題答案練習題答案一、一、1 1、xeCCy421 ； 2 2、tetCCx2521)( ； 3 3、)2sin2cos(213xCxCeyx ； 4