平面向量數(shù)量積聽課課件.

1、第三節(jié)平面向量的數(shù)量積研定義定義圖示圖示范圍范圍共線與垂直共線與垂直已知兩個非零已知兩個非零向量向量a和和b, ,作作 = =a， = =b, ,則則_就就是是a與與b的夾角的夾角 設(shè)設(shè)是是a與與b的的夾角夾角, ,則則的的取值范圍是取值范圍是_=0=0或或=180180_ _,_,_ _ab【知識梳理】1.必會知識 教材回扣填一填(1)向量的夾角:OA OB AOB0180ab=90(2)平面向量的數(shù)量積:定義定義設(shè)兩個非零向量設(shè)兩個非零向量a, ,b的夾角為的夾角為,則數(shù)量則數(shù)量_叫做叫做a與與b的數(shù)量積的數(shù)量積, ,記作記作ab投影投影_叫做向量叫做向量a在在b方向上的投影方向上的投影,

2、 ,_叫做向量叫做向量b在在a方向上的投影方向上的投影幾何幾何意義意義數(shù)量積數(shù)量積ab等于等于a的長度的長度| |a| |與與b在在a的方的方向向上的投影上的投影_的乘積的乘積|a|b|cos|a|cos|b|cos|b|cos(3)數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)a,b都是非零向量,e是單位向量,為a與b(或e)的夾角.則ea=ae= _.cos=_.ab_.aba b|a|cos|a|b|(4)數(shù)量積的運算律:交換律:ab=ba.數(shù)乘結(jié)合律:(a)b= _= _.分配律:a(b+c)=_.(ab)a(b)ab+ac(5)平面向量數(shù)量積的坐標表示:設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a與b的夾

3、角為,則數(shù)量積數(shù)量積ab=_=_模模 | |a| |_夾角夾角coscos _向量垂直的向量垂直的充要條件充要條件abab=0=0_2211xy1 21 222221122xxyyxyxyx1x2+y1y2x1x2+y1y2=02.必備結(jié)論 教材提煉記一記(1)a與b為兩非零向量,則ab_.(2)當a與b同向時,ab=|a|b|.當a與b反向時,ab=-|a|b|,特別地,aa= _或者|a|=_,0a=_.aaab=0|a|20(3)平面向量數(shù)量積運算的常用公式(a+b)(a-b)=a2-b2.(a+b)2=a2+2ab+b2.(a-b)2=_.a2-2ab+b23.必用技法 核心總結(jié)看一看

4、(1)常用方法:基底法;坐標法.(2)常用思想:方程思想,數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想.(3)記憶口訣:乘積結(jié)果為數(shù)量,坐標運算是良方. 橫縱坐標分別乘,相加求和積充當.【思考辨析】(1)一個向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量,且有正有負.()(2)若ab=0,則必有ab.()(3)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量.()(4)若ab0,則向量a,b的夾角為鈍角.()【解析】(1)正確.由向量投影的定義可知,當兩向量夾角為銳角時結(jié)果為正,為鈍角時結(jié)果為負.(2)錯誤.當a與b至少有一個為0時得不到ab.(3)正確.由數(shù)量積與向量線性運算的意義可知,正確.(4)錯

5、誤.當ab=-|a|b|時,a與b的夾角為.答案:(1)(2)(3)(4)【基礎(chǔ)自測】(1）已知|a|=2,|b|=4,a與b的夾角=30，求ab的值.(2)已知a=(1，1)，b=(-1,2)，則(2a+b)a=( )A-1 B0 C1 D2（3）已知|a|=2,向量a與b的夾角是 ,則a在b上的投影是.34【規(guī)律方法】向量數(shù)量積的兩種計算方法(1)當已知向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即ab=|a|b|cos.(2)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.1.(2013新課標全國卷)已知正方形ABCD的邊長為2,E為

6、CD的中點,則 =.AEBD 【變式訓(xùn)練】考點2 平面向量的垂直與夾角問題【典例2】(1)(2014山東高考)已知向量a=(1, ),b=(3,m).若向量a,b的夾角為 ,則實數(shù)m=()(本題源于教材必修4P107例6)A.2 B. C.0 D.-(2)(2015湖北高考)已知向量 則 =_633OAAB OA3 ，OAOB 【規(guī)律方法】平面向量數(shù)量積的兩個應(yīng)用(1)求夾角大小:若a,b為非零向量,則由平面向量的數(shù)量積公式得cos= (夾角公式),所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題.(2)確定夾角的范圍:數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角,數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的

7、夾角為直角,數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.aba b【加固訓(xùn)練】1.設(shè)向量a=(x-1,1),b=(-x+1,3),若a(a-b),則x=.2.(2013安徽高考)若非零向量a,b滿足|a|=3|b|=|a+2b|,則a與b夾角的余弦值為.命題角度1:利用平面向量數(shù)量積求參數(shù)的值【典例3】(2014天津高考)已知菱形ABCD的邊長為2,BAD=120,點E,F分別在邊BC,DC上,BC=3BE,DC=DF.若 則的值為.AE AF 1 ， 命題角度2:根據(jù)向量數(shù)量積求最值【典例4】已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點.則 的值為_,的最大值為_.解：如圖所示,以

8、AB,AD所在的直線分別為x,y軸建立直角坐標系,設(shè)E(t,0),0t1,則D(0,1),B(1,0),C(1,1), =(t,-1), =(0,-1),所以 =1.又因為 =(1,0),所以 =t1.答案:11DE CB DEDC DECB DC .【一題多解】解答本題,你知道還有幾種解法?方法一:選取 作為基底,設(shè) 0t1,則= =0+1=1. =t1.答案:11AB,AD AE tAB ，DECBtAB ADAD 2tABAD AD DE DCtAB AD AB 方法二:利用幾何意義可知= =1.設(shè)則= =|t|1.答案:11DECB DEDA DE DA cos EDADE cos EDA DA AE t AB ，DE DC DE ABDE 1cos AED A