第4章 根軌跡

1、1第第4章章 根軌跡分析法根軌跡分析法l 4.1 根軌跡的基本概念l4.2 繪制根軌跡的方法l4.3 參量根軌跡l4.4 零度根軌跡l4.5 用根軌跡分析系統(tǒng)性能l4.6 MATLAB用于根軌跡分析24.1 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念4.1.1 根軌跡4.1.2 根軌跡方程34.1.1 根軌跡根軌跡 設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示。其中，為零、極點形式下開環(huán)傳遞函數(shù)的放大系數(shù)，也稱為根軌跡增益。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程式為特征根為rrKssKsRsC2)()(2220rssKrKs112 . 14 1）時，系統(tǒng)有兩個不相等的實數(shù)根，呈過阻尼狀態(tài)。結(jié)合關(guān)于高階系統(tǒng)的分析一節(jié)，可得出以下幾點：

2、結(jié)合關(guān)于高階系統(tǒng)的分析一節(jié)，可得出以下幾點： 2）當(dāng)時，特征根為兩個相等的實數(shù)根，系統(tǒng)呈臨界阻尼狀態(tài)。 3）值時，特征根為兩個復(fù)數(shù)根，系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài)，即輸出呈衰減振蕩形式。特征根的實部為衰減系數(shù)，虛部為振蕩頻率。54.1.2 根軌跡方程根軌跡方程設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為 式中，為開環(huán)傳遞函數(shù)的零點，為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，為根軌跡增益。系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為)()(1)()()(sHsGsGsRsCnjjmiirpszsKsHsG11)()()()(0)()(1sHsG1)()(sHsG即 6定義根軌跡方程為 因為復(fù)變量，根軌跡方程又可分解為幅值方程

3、和相角方程。相角方程為相角方程為1)()(11njjmiirpszsK幅值方程為幅值方程為 1)()(11njjmiirpszsK或 rnjjmiiKpszs1)()(1111()()(21)(0,1,2)mnijijszspkk 7 可見，幅值方程與根軌跡增益可見，幅值方程與根軌跡增益KrKr有關(guān)，而相角有關(guān)，而相角方程卻方程卻KrKr與無關(guān)。所以，當(dāng)與無關(guān)。所以，當(dāng)s s平面上的某個點滿足平面上的某個點滿足相角方程時，則該點必在根軌跡上。而該點的對應(yīng)相角方程時，則該點必在根軌跡上。而該點的對應(yīng)的的KrKr值，可以通過幅值方程求出。值，可以通過幅值方程求出。 因此，因此，相角方程是確定相角方

4、程是確定s s平面上的某個點是否平面上的某個點是否在根軌跡上在根軌跡上的必要條件，所有滿足相角方程的的必要條件，所有滿足相角方程的s s就就構(gòu)成了閉環(huán)特征方程式根的軌跡。這樣，無需對特構(gòu)成了閉環(huán)特征方程式根的軌跡。這樣，無需對特征方程式求解，只要尋找滿足相角方程的征方程式求解，只要尋找滿足相角方程的s s，便可，便可得到系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。得到系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。84.2 繪制根軌跡的方法繪制根軌跡的方法l4.2.1 繪制根軌跡的基本規(guī)則l4.2.2 根軌跡繪制舉例91. 根軌跡的對稱性和分支數(shù)根軌跡的對稱性和分支數(shù)4.2.1 繪制根軌跡的基本規(guī)則 閉環(huán)特征根如果是實數(shù)根，閉環(huán)特征根如果是實數(shù)根，

5、則分布在平面的實軸上；如果則分布在平面的實軸上；如果是復(fù)數(shù)根，則成對出現(xiàn)，實部相是復(fù)數(shù)根，則成對出現(xiàn)，實部相等，虛部大小相等符號相反，如等，虛部大小相等符號相反，如圖所示。因此，形成的根軌跡必圖所示。因此，形成的根軌跡必定對稱于實軸。定對稱于實軸。 當(dāng)取某一數(shù)值時，階特征方程式有個確定的根。當(dāng)取某一數(shù)值時，階特征方程式有個確定的根。當(dāng)當(dāng)變化時，每一個根由始點連續(xù)地向其終點移變化時，每一個根由始點連續(xù)地向其終點移動，形成一條根軌跡，個根也就形成條根軌跡。動，形成一條根軌跡，個根也就形成條根軌跡。根軌跡對稱于實軸，其分支數(shù)等于開環(huán)根軌跡對稱于實軸，其分支數(shù)等于開環(huán)極點數(shù)極點數(shù)n n和開環(huán)零點數(shù)和開

6、環(huán)零點數(shù)m m中的最大數(shù)。中的最大數(shù)。 102. 根軌跡的起點和終點根軌跡的起點和終點考慮到根軌跡起始處考慮到根軌跡起始處Kr，故根軌跡幅值方程為，故根軌跡幅值方程為 而根軌跡終點處而根軌跡終點處Kr r,有有m條根軌跡終條根軌跡終止于開環(huán)傳遞止于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點，函數(shù)的零點，n-m條終止于條終止于無窮遠(yuǎn)。無窮遠(yuǎn)。 根軌跡起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，根軌跡起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點或無窮遠(yuǎn)。終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點或無窮遠(yuǎn)。 11()1()miinrjjszKsp 使等式成立的條件是 jps 11例例- - 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試確定系統(tǒng)的根軌跡圖。 解 : 系統(tǒng)

7、的開環(huán)零、極點為 p1=0, p2=-1, p3=-2，z1= -1+ j, z2= -1- j，根軌跡如圖-所示。 圖中，“”表示開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，“”表示開環(huán)傳遞函數(shù)的零點。系統(tǒng)的三條根軌跡起始于三個開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，其中兩條根軌跡終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的兩個零點，另一條趨于無窮遠(yuǎn)。)2)(1()22()()(2sssssKsHsGr123. 實軸上的根軌跡段實軸上的根軌跡段實軸上根軌跡段右側(cè)的開環(huán)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布如圖所示。 在實軸上p1與p2之間任取一點s1，s1與開環(huán)零、極點的矢量如圖-中的箭頭線所示。s1對應(yīng)的相角為 4121)()(jjiipszs1

8、2123412180 滿足相角相角方程，即該區(qū)段是根軌跡段。13例例4-2 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出該系統(tǒng)的根軌跡圖。)1()1()()(TsssKsHsGr圖4-7 T時的根軌跡 圖4-8 T時的根軌跡144. 根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線趨于無窮遠(yuǎn)的根軌跡的漸近線由下式確定：漸近線與實軸的夾角漸近線與實軸的交點例例4-3 4-3 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖(21)0,1,2,3.kknmmnzpmiinjj11)2)(1()()(sssKsHsGr155. 根軌跡的分離點和會合點根軌跡的分離點和會合點設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為根據(jù)重

9、根的條件，必須同時滿足以下兩式則整理后，得分離會合點的必要條件式為)()()()(sAsBKsHsGr0)()(sAsBKr0)()(sAsBKr( )( )0rK B sA s)()(sBsAKr)()()()(sBsAsBsA只有位于根軌跡上的重根只有位于根軌跡上的重根才是分離點或會才是分離點或會合點合點16例例4-4 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。解 (1) 開環(huán)零、極點為p1=-1，p2=-2，z1=-3。(2) 實軸上的根軌跡段為p1p2段和z1-段。(3) n-m=1，故有一條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)。漸近線與實軸的夾角為(4) 分

10、離點和會合點為s1為根軌跡的分離點，s2為根軌跡的會合點。) 2)(1() 3()()(sssKsHsGr(21)1801k )()()()(sBsAsBsA) 3)(32()23(2ssss解方程得 121.6,4.4ss 176. 根軌跡的出射角和入射角出射角:為根軌跡在復(fù)數(shù)起點處的切線與正實軸的夾角。 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布如圖所示，有零、極點z1,p1，p2，p3，p4。411111) 12()()(jjiikpszs 設(shè)p3的出射角為3，如圖所示。假設(shè)s1為根軌跡上的一點，則s1應(yīng)滿足相角方程由此可推得出射角的一般表達(dá)式1111()()mnmnlliljijijijj lj lpz

11、pp 18入射角的一般表達(dá)式為例4-6 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為入射角:為根軌跡在復(fù)數(shù)終點處的切線與正實軸的夾角。1111()()mnmnlliljijijiji li lzzzp 試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。)5 . 1)(5 . 2()54)(5 . 1()()(22sssssssKsHsGr197. 根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的交點 根軌跡與虛軸的交點是系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的分界點，常常需要求得這一交點和相應(yīng)的Kr值。例4-7 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。設(shè)與虛軸相交的閉環(huán)極點為=j，代入閉環(huán)特征方程得：解方程即可求得，0)()(1jHjG)22)(3()2()()(2ssss

12、sKsHsGr208. 開環(huán)極點與閉環(huán)極點的關(guān)系開環(huán)極點與閉環(huán)極點的關(guān)系 在一定條件下，開環(huán)極點與閉環(huán)極點間有著固定的關(guān)系，可利用這種關(guān)系來判別閉環(huán)特征根在平面上的走向，并為確定閉環(huán)極點帶來方便。根據(jù)代數(shù)方程的根與系數(shù)間的關(guān)系，次高項系數(shù) 設(shè)階系統(tǒng)閉環(huán)特征方程可表示為miirnjjzsKps11)()(nnnnnasasasas12211)()(121nnssssssssnjjsa11如果滿足條件n-m2 ，則 njnjjjps11214.2.2 根軌跡繪制舉例例例4-84-8 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。 )208()()(2sssKsHsGr解解 （1）開環(huán)極點為p1=0

13、,p2=-4+j2,p3=-4-j2,n=3,m = 0 （2）實軸上的根軌跡段 p1 - （3）根軌跡的漸近線 (21)60 ,1803k 67. 2344（4）根軌跡的出射角 2112mnijijj 153.49063.4 4 .63322（5）根軌跡與虛軸的交點 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 020823rKsss將js 帶入上式得 328200rjjK160rK47. 43 . 2 （6）根軌跡的分離點和會合點 )()()()(sBsAsBsA解得 由 得 12,s 33. 32s 系統(tǒng)的根軌跡圖如圖. j3p1p2pj2-j4-2-4-j20201632ss解得 234.3 參量根軌跡參量根軌

14、跡設(shè)系統(tǒng)根軌跡方程為1)()(sHsG( )10( )K P sQ s1)()(sQsPK( )( )( )( )K P sG s H sQ s 或 為等效開環(huán)傳遞函數(shù)。經(jīng)整理可變換為稱 根據(jù)前述繪制根軌跡的規(guī)則，由等效開環(huán)傳遞函數(shù)的極點和零點的分布情況就可繪制參量K=0的參量根軌跡圖。 參量根軌跡以非（如開環(huán)零點、極點、時間常數(shù)等）為參變量繪制的根軌跡。24例例4-104-10 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)變化時的根軌跡圖。整理得：) 14)(1(1)()(ssKssHsG解解 系統(tǒng)的特征方程式為 01) 14)(1(ssKs22(41)1041K ssss 等效開

15、環(huán)傳遞函數(shù)為2222(41)(0.25)( )( )410.250.25K ssK ssG s H sssss 25（）開環(huán)零、極點為（）實軸上的根軌跡段為z3-段。（）根軌跡的出射角和入射角（）根軌跡與虛軸的交點系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為由根軌跡繪制規(guī)則作該系統(tǒng)的根軌跡圖： 48.142114.484,3K 433. 03,.2 264.4 零度根軌跡零度根軌跡正反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 1- G(s) H(s) = 0 根軌跡方程為 G(s) H(s) = 1 其幅值方程與負(fù)反饋系統(tǒng)相同，而相角方程則為11()()2(0,1,2.)mnijijszspkk 因為相角條件常規(guī)根軌跡的不同為 ，故稱之

16、為零度根軌跡。k2027）實軸上根軌跡區(qū)段右側(cè)的開環(huán)零、極點數(shù)目之和為偶數(shù)。）根軌跡的漸近線與實軸的夾角為）根軌跡的出射角和入射角的計算公式為 在繪制根零度根軌跡的規(guī)則中，不同于負(fù)反饋系統(tǒng)的有以下幾點：2(0,1,2,.)kknm)()(11nljjjlmiillppzp)()(11njjlmliiillpzzz28例4-11 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖。解 將開環(huán)傳遞函數(shù)改寫成零、極點形式，式中 除具有正反饋結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)之外，有些非最小相位系統(tǒng)雖是負(fù)反饋結(jié)構(gòu)，但其開環(huán)傳遞函數(shù)的分子或分母多項式中， 的最高次冪的系數(shù)為負(fù)，因而系統(tǒng)具有正反饋性質(zhì)。因而要用繪制零度根軌跡

17、的規(guī)則來作根軌跡圖。) 1()5 . 01 ()()(1sssKsHsG10.5(2)(2)( )( )(1)(1)rK sKsG s H ss ss s15 . 0 KKr 滿足零度根軌跡繪制條件。 29圖4-19 例4-11根軌跡 304.5 用根軌跡法分析系統(tǒng)性能用根軌跡法分析系統(tǒng)性能l4.5.1 已知根軌跡增益確定閉環(huán)極點l4.5.2 已知系統(tǒng)的性能指標(biāo)，確定閉環(huán)極 點和l4.5.3 增加開環(huán)零、極點對系統(tǒng)性能的影響314.5.1 已知根軌跡增益已知根軌跡增益Kr確定閉環(huán)極點確定閉環(huán)極點 閉環(huán)系統(tǒng)的性能由閉環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點來決定，系閉環(huán)系統(tǒng)的性能由閉環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點來決定，系統(tǒng)

18、的閉環(huán)極點可通過根軌跡圖來確定，而閉環(huán)零點為前向通統(tǒng)的閉環(huán)極點可通過根軌跡圖來確定，而閉環(huán)零點為前向通道傳遞函數(shù)道傳遞函數(shù)G(S)的零點和反饋通道傳遞函數(shù)的零點和反饋通道傳遞函數(shù)H(s)的極點組成。的極點組成。 由控制系統(tǒng)的根軌跡圖可以確定根軌跡增益與控制系統(tǒng)由控制系統(tǒng)的根軌跡圖可以確定根軌跡增益與控制系統(tǒng)的性能的關(guān)系。的性能的關(guān)系。（1 1） 穩(wěn)定性及穩(wěn)定條件穩(wěn)定性及穩(wěn)定條件 由根軌跡圖可以確定根軌跡都由根軌跡圖可以確定根軌跡都位于位于s s左平面時增益左平面時增益Kr的取值范圍。的取值范圍。（2 2）運動形式運動形式 由根軌跡圖可以確定系統(tǒng)響應(yīng)為單調(diào)變由根軌跡圖可以確定系統(tǒng)響應(yīng)為單調(diào)變化或

19、衰減振蕩形式時的化或衰減振蕩形式時的Kr數(shù)值范圍。數(shù)值范圍。（3 3）暫態(tài)性能指標(biāo)暫態(tài)性能指標(biāo) 可由根軌跡確定的主導(dǎo)極點來估算。可由根軌跡確定的主導(dǎo)極點來估算。 32例-12 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為( )( )(1)(2)rKG s H ss ss試采用根軌跡法分析： （1）系統(tǒng)穩(wěn)定性時Kr的取值范圍。（2）系統(tǒng)響應(yīng)為衰減振蕩形式時Kr的取值范圍。（3）試估算時系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時間。 解解 繪制系統(tǒng)根軌跡如圖，由圖知： （1）系統(tǒng)穩(wěn)定性時：0 Kr 6（2）系統(tǒng)響應(yīng)為衰減振蕩形式時: （3）試估算時系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時間。 0.3586rK33 （3）因Kr=1處于0.358Kr6范圍，所

20、以系統(tǒng)的閉環(huán)極點為一個實數(shù)極點和一對復(fù)數(shù)極點。根據(jù)幅值方程求出負(fù)實軸試驗點對應(yīng)Kr的值，最終可找到Kr=1時系統(tǒng)的閉環(huán)極點: 然后，根據(jù)閉環(huán)特征方程和長除法，可求得另兩個極點是一對主導(dǎo)極點。所以系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2210.43( )(2.325)(0.6750.43)0.6750.43ssssss則 0.656,n0.514 所以系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)整時間為 15.2%,8.911.9psts325. 23s1,20.3380.56sj 344.5.2 已知系統(tǒng)的性能指標(biāo)，確定閉環(huán)極點和已知系統(tǒng)的性能指標(biāo)，確定閉環(huán)極點和 采用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能，有時也需要根據(jù)對系統(tǒng)采用根軌跡法分析系統(tǒng)的性

21、能，有時也需要根據(jù)對系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求，確定閉環(huán)極點的位置和對應(yīng)的的性能指標(biāo)要求，確定閉環(huán)極點的位置和對應(yīng)的Kr值，使得值，使得系統(tǒng)的性能滿足要求。系統(tǒng)的性能滿足要求。例例4-134-13 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 根據(jù)性能指標(biāo)要求，根據(jù)性能指標(biāo)要求，=0.5=0.5，試確定滿足條件的閉環(huán)極，試確定滿足條件的閉環(huán)極點和對應(yīng)的點和對應(yīng)的Kr。( )( )(1)(2)rKG s H ss ss解解 系統(tǒng)的根軌跡圖如圖所示。系統(tǒng)的根軌跡圖如圖所示。 1cos60 在根軌跡圖上作在根軌跡圖上作60600 0的射線。從圖的射線。從圖上可確定該線和根軌跡的交點坐標(biāo)：上可確定該線和根軌跡的交點坐標(biāo)：58. 033. 02.,1js353312130.33 22.34jjspss 333122.34 1.34 0.341.066rKsss2258. 0)33. 0()34. 2(066. 1)(sss則有 故系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 364.5.3 增加開環(huán)零、極點對系統(tǒng)性能的影響.增加開環(huán)零點) 1()()(ssKsHsGr) 1()2()()(sssKsHsGr37 增加開環(huán)零點后，使根軌跡向左彎曲，最后趨于開環(huán)零點和負(fù)無窮遠(yuǎn)，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性提高。選擇合適的Kr值，既可使閉環(huán)極點離虛軸有一