概率論第一章

1、1隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件概率的定義條件概率與獨(dú)立性23試驗(yàn)試驗(yàn)：在相同的條件下，投擲一枚勻質(zhì)的硬幣。觀察哪在相同的條件下，投擲一枚勻質(zhì)的硬幣。觀察哪一面向上。一面向上。試驗(yàn)：試驗(yàn)：在相同條件下，投擲一顆勻質(zhì)正六面體的骰子。在相同條件下，投擲一顆勻質(zhì)正六面體的骰子。觀察所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)觀察所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)試驗(yàn)：試驗(yàn)：從一批燈泡中，任取一只，測定燈泡的使用壽命從一批燈泡中，任取一只，測定燈泡的使用壽命 這些試驗(yàn)具有如下特點(diǎn)：這些試驗(yàn)具有如下特點(diǎn)：1 1）試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行。2 2）試驗(yàn)可能出現(xiàn)的所有結(jié)果種類已知試驗(yàn)可能出現(xiàn)的所有結(jié)果種類已知3 3）在未試驗(yàn)之前，不知道

2、下次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果在未試驗(yàn)之前，不知道下次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果，但試，但試驗(yàn)結(jié)果必是所有可能結(jié)果中的某一個(gè)。驗(yàn)結(jié)果必是所有可能結(jié)果中的某一個(gè)。具有這些特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為具有這些特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為。41)1)從隨機(jī)試驗(yàn)中觀察到的現(xiàn)象稱為從隨機(jī)試驗(yàn)中觀察到的現(xiàn)象稱為。2)2)隨機(jī)試驗(yàn)今后簡稱為隨機(jī)試驗(yàn)今后簡稱為。3)3)在隨機(jī)試驗(yàn)的重復(fù)實(shí)施中呈現(xiàn)出的不變性質(zhì)，在隨機(jī)試驗(yàn)的重復(fù)實(shí)施中呈現(xiàn)出的不變性質(zhì)，稱為稱為。概率論的研究對(duì)象就是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性概率論的研究對(duì)象就是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性5隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合稱為樣本隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合稱為樣本空間。常用空間。常用表示。表示。樣本空間的元素稱為樣本點(diǎn)

3、，常用樣本空間的元素稱為樣本點(diǎn)，常用表示。表示。6試驗(yàn)：試驗(yàn)：投擲一顆勻質(zhì)正六面體的骰子，觀察所出現(xiàn)的投擲一顆勻質(zhì)正六面體的骰子，觀察所出現(xiàn)的 點(diǎn)數(shù)。點(diǎn)數(shù)。 1，2，3，4，5，6 試驗(yàn)試驗(yàn)1和試驗(yàn)和試驗(yàn)2的樣本空間只含有有限個(gè)元素，稱為的樣本空間只含有有限個(gè)元素，稱為。 試驗(yàn)試驗(yàn)3的樣本空間含有的元素是無限的，稱為的樣本空間含有的元素是無限的，稱為。試驗(yàn)：試驗(yàn)：從一批燈泡中，任取一只，測定燈泡的使用從一批燈泡中，任取一只，測定燈泡的使用壽命壽命 00，+)=xR0 x +)=xR0 x0，則稱，則稱為事件為事件A在事件在事件B發(fā)生下的條件概率。發(fā)生下的條件概率。)()()(BPABPBAP

4、：利用條件概率的定義，推出利用條件概率的定義，推出P(AB)與與P(A) 的大小關(guān)系的大小關(guān)系。34乘法公式乘法公式定理定理1 1 ABPAPABPAP ，則則如如0)(類似地：類似地： BAPBPABPBP ，則則如如0)(一般地：一般地： )()()()(0)(1211231212112121 nnnnnAAAAPAAAPAAPAPAAAPAAAPAAAn則則，且且，個(gè)個(gè)事事件件對(duì)對(duì)任任意意35證明；證明； nnnnnnnAAAPAAAPAAAPAAPAAAPAPAAPAPAAAAPAAAPAAPAPAAAPAAPAPAAAAAA211212121321121112121312112121

5、11212110 由由條條件件概概率率的的定定義義，有有36設(shè)設(shè)B1，B2，Bn 是一組兩兩互斥的事件，且是一組兩兩互斥的事件，且 niiB1)1( iniiBAPBPAP 1則對(duì)任一事件則對(duì)任一事件A都有都有(2) P(Bi)0 i=1,2,，n；37 niiniiABBAAA11 iniiniiniiBAPBPABPABPAP 111） P(Bi)0(i=1,2,n) 條件哪里用到？條件哪里用到？ ）沒有此條件，行嗎？）沒有此條件，行嗎？根據(jù)兩兩互斥事件的加法性質(zhì)，得根據(jù)兩兩互斥事件的加法性質(zhì)，得定理可以推廣到可列多個(gè)的情況定理可以推廣到可列多個(gè)的情況38例例2 2 袋中有大小相同的袋中有

6、大小相同的a個(gè)黃球、個(gè)黃球、b個(gè)白球。現(xiàn)做不放回個(gè)白球?，F(xiàn)做不放回地摸球兩次，問第地摸球兩次，問第2次摸得黃球的概率次摸得黃球的概率?解解 設(shè)設(shè)A表示表示“第第2次摸得黃球次摸得黃球”B1=第第1次摸得的是黃球次摸得的是黃球 B2=第第1次摸得的是白球次摸得的是白球12121122,( )() ()() (|)111B B BBP AP B P A BP B P A Baabaab abab abaab 39 niiB1)1( jnjjkkkBAPBPBAPBPABP 1 nk, 2 , 1 則則 對(duì)任一具有正概率的事件對(duì)任一具有正概率的事件A，有，有(2) P(Bi)0 i=1,2,，n；設(shè)

7、設(shè)B1，B2，Bn是一組兩兩互斥的事件，且是一組兩兩互斥的事件，且40 APBAPBPAPABPABPkkkk iniikkBAPBPBAPBP 1 nk, 2 , 1 定理可以推廣到可列多個(gè)的情況。定理可以推廣到可列多個(gè)的情況。41 若兩事件，滿足若兩事件，滿足 P(AB)P(A)P(B) ，則稱事件、則稱事件、(或、或、)相互獨(dú)立。簡稱獨(dú)立。相互獨(dú)立。簡稱獨(dú)立。定義即使在定義即使在 P(A)=0 或或P(B)=0時(shí)，仍然適用。時(shí)，仍然適用。必然事件及不可能事件與任何事件均是獨(dú)立的。必然事件及不可能事件與任何事件均是獨(dú)立的。由定義可得：由定義可得：事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性 42 若對(duì)事件，；

8、，若對(duì)事件，；， ； ，；，； ， 中有一對(duì)是相互獨(dú)立的，則另外三對(duì)事件是相中有一對(duì)是相互獨(dú)立的，則另外三對(duì)事件是相互獨(dú)立的（即這四對(duì)事件或者都相互獨(dú)立，或互獨(dú)立的（即這四對(duì)事件或者都相互獨(dú)立，或者都不相互獨(dú)立）。者都不相互獨(dú)立）。BAAB43()因?yàn)椋录嗷オ?dú)立，即因?yàn)?，事件相互?dú)立，即P(AB)=P(A)P(B) 。 BPAPBPAPBPAPAPABPAPABAPBAP 1又又相相互互獨(dú)獨(dú)立立。、所所以以BA44 BPAPBAPBA 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，、 BAAPBPABPBPABBPBAP 又又 APBPAPBPBPAPBPBPAPBPBPAPAPBPBAPAPBP 11相相互互獨(dú)獨(dú)

9、立立。、所所以以BA45 BPAPBAPBA 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，、 BPAPBPAPBPAPAPBAPAPBAAPBAP 1相相互互獨(dú)獨(dú)立立。、所所以以BA又46 BPAPBAPBA 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，、 BABPAPBAPAPBAAPABP 又又 APBPBPAPBPAPAPAPBPAPBPAPBPAPBAPBPAP 11所以，所以，A、B事件相互獨(dú)立。事件相互獨(dú)立。47事件的獨(dú)立性概念可以推廣到有限個(gè)事件的情形。事件的獨(dú)立性概念可以推廣到有限個(gè)事件的情形。 設(shè)設(shè)A1，A2，An是是n個(gè)事件，若對(duì)所有個(gè)事件，若對(duì)所有可能的組合可能的組合1ijkn 成立著成立著 )(2個(gè)個(gè)共共njijiC

10、APAPAAP )(3個(gè)個(gè)共共nkjikjiCAPAPAPAAAP )(2121個(gè)個(gè)共共nnnnCAPAPAPAAAP 則稱則稱A1，A2，An相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。48 定理定理 設(shè)設(shè)n個(gè)事件個(gè)事件A1，A2，An相互獨(dú)立，那么，把其中相互獨(dú)立，那么，把其中任意任意m(1mn) 個(gè)事件相應(yīng)換成它們的對(duì)立事件，則所得的個(gè)事件相應(yīng)換成它們的對(duì)立事件，則所得的n個(gè)事件仍然相互獨(dú)立。個(gè)事件仍然相互獨(dú)立。 3 一個(gè)元件能正常工作的概率稱為這個(gè)元件的可靠性；一個(gè)元件能正常工作的概率稱為這個(gè)元件的可靠性；由元件組成的系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性。設(shè)構(gòu)由元件組成的系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性。

11、設(shè)構(gòu)成系統(tǒng)的每個(gè)元件的可靠性均為成系統(tǒng)的每個(gè)元件的可靠性均為r(0r1)個(gè)元件按圖及圖所示的個(gè)元件按圖及圖所示的兩種聯(lián)接方式構(gòu)成兩個(gè)系統(tǒng)，試求它們的可靠性，并比較兩個(gè)兩種聯(lián)接方式構(gòu)成兩個(gè)系統(tǒng)，試求它們的可靠性，并比較兩個(gè)可靠性的大小?？煽啃缘拇笮?。49圖圖 系統(tǒng)系統(tǒng)A1A2B1B2AnBn解：解： 設(shè)設(shè) niAAii, 2, 1 ，能正常工作能正常工作元件元件 niBBii, 2, 1 ，能正常工作能正常工作元件元件A1A2AnB1B2Bn圖圖 系統(tǒng)系統(tǒng)50 計(jì)算系統(tǒng)的可靠性：計(jì)算系統(tǒng)的可靠性： 它有兩條通路，在每條通路中，當(dāng)且僅當(dāng)該通路上所有它有兩條通路，在每條通路中，當(dāng)且僅當(dāng)該通路上所有元

12、件都能正常工作時(shí)，該條通路才能正常工作，因?yàn)橄到y(tǒng)元件都能正常工作時(shí)，該條通路才能正常工作，因?yàn)橄到y(tǒng)由兩條通路并聯(lián)而成，因此，只要有一條通路能正常工作，由兩條通路并聯(lián)而成，因此，只要有一條通路能正常工作，則系統(tǒng)就能正常工作。則系統(tǒng)就能正常工作。51 nnnrrrBPAPBPAPBAPBAPBAPR 21111111121所求的系統(tǒng)的可靠性為：所求的系統(tǒng)的可靠性為： nnnrAPAPAPAAAPAP 2121 nnnrBPBPBPBBBPBP 2121因?yàn)楦髟芊裾９ぷ魇窍嗷オ?dú)立的，得因?yàn)楦髟芊裾９ぷ魇窍嗷オ?dú)立的，得 組成的通路能正常工作組成的通路能正常工作由元件由元件記記nAAAA,2

13、1 組成的通路能正常工作組成的通路能正常工作由元件由元件nBBBB,21 A1A2AnB1B2Bn52則系統(tǒng)中每對(duì)并聯(lián)元件所組成的子系統(tǒng)的可靠性為則系統(tǒng)中每對(duì)并聯(lián)元件所組成的子系統(tǒng)的可靠性為 niBACiii, 2 ,1 設(shè)設(shè) rrrBPAPBPAPBAPBAPBAPCPiiiiiiiiiii 2111111112 下面計(jì)算系統(tǒng)的可靠性下面計(jì)算系統(tǒng)的可靠性： nnnnrrCPCPCPCCCPR 221212系統(tǒng)是由系統(tǒng)是由 n 個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)而個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)而成，所求系統(tǒng)的可靠性為：成，所求系統(tǒng)的可靠性為：B1B2BnAnA2A153 我們可以證明我們可以證明 R2R1 nnnrrrRR 2212

14、事事實(shí)實(shí)上上， 0)1(22 frrrfnn得得令令 111122 nnnnrrnnrrnrf當(dāng)當(dāng)0r1時(shí)，時(shí)，f(r)f(1)=0 即即 R2R1 54 如如n重獨(dú)立試驗(yàn)還滿足：重獨(dú)立試驗(yàn)還滿足： 每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果。即只有兩個(gè)可能事件與即只有兩個(gè)可能事件與 ，且且 。則這則這n重獨(dú)立試驗(yàn)又稱為重獨(dú)立試驗(yàn)又稱為n重貝努利重貝努利(Bernoulli)試驗(yàn)，試驗(yàn)，或稱為貝努利概型?；蚍Q為貝努利概型。獨(dú)立試驗(yàn)概型獨(dú)立試驗(yàn)概型做做n個(gè)完全重復(fù)條件的試驗(yàn)，且滿足兩個(gè)條件：個(gè)完全重復(fù)條件的試驗(yàn)，且滿足兩個(gè)條件：(1)每次試驗(yàn)條件相同每次試驗(yàn)條件相同。 因此各次試驗(yàn)中同一個(gè)事件出現(xiàn)

15、概率相等；因此各次試驗(yàn)中同一個(gè)事件出現(xiàn)概率相等；(2)各次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立各次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立；滿足這兩個(gè)條件的滿足這兩個(gè)條件的n次重復(fù)試驗(yàn)，稱為次重復(fù)試驗(yàn)，稱為n重獨(dú)立試驗(yàn)重獨(dú)立試驗(yàn)。n重獨(dú)立試驗(yàn)重獨(dú)立試驗(yàn)A qpAPpAP 1,)(55定理定理 （二項(xiàng)概率公式）（二項(xiàng)概率公式） 設(shè)一次試驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的概率為設(shè)一次試驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的概率為P(A)=p (0p1)，則在，則在n重伯努利試驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的次重伯努利試驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的次數(shù)數(shù)的分布律為的分布律為 nkpqqpCkPkPknkknn, 2 , 1 , 01 其其中中 也記作b(k；n，p)56當(dāng)當(dāng)n次試驗(yàn)中事件在指定的次試驗(yàn)中事件在

16、指定的k次試驗(yàn)中出現(xiàn)次試驗(yàn)中出現(xiàn)（下式是前（下式是前k次出現(xiàn)），在其余次出現(xiàn)），在其余nk 次試驗(yàn)中不出現(xiàn)次試驗(yàn)中不出現(xiàn)的概率為的概率為證明證明 nkkkAAAAAAP2121 knkknknkkknkkkqpppAPAPAPAPAPAPAAAAAAP 121212121 niiAi, 2, 1 次試驗(yàn)中出現(xiàn)次試驗(yàn)中出現(xiàn)第第記記再由試驗(yàn)結(jié)果的獨(dú)立性得再由試驗(yàn)結(jié)果的獨(dú)立性得57由于由于n重貝努利試驗(yàn)中出現(xiàn)重貝努利試驗(yàn)中出現(xiàn)k 次的方式：次的方式：就是至就是至n 的的n個(gè)自然數(shù)中取出個(gè)自然數(shù)中取出 k個(gè)數(shù)的一種組合，個(gè)數(shù)的一種組合，即共有即共有 個(gè)事件。而這些事件是兩兩互斥的，故個(gè)事件。而這些事件是兩兩互斥的，故根據(jù)概率的可加性可得根據(jù)概率的可加性可得knC nkqpCkPknkknn，210 58注：注：1)由于上式剛好是二項(xiàng)式由于上式剛好是二項(xiàng)式(p+q)n的展開式中第的展開式中第k+1項(xiàng)的系數(shù)，故我們把它稱為二項(xiàng)概率公式。項(xiàng)的系數(shù)，故我們把它稱為二項(xiàng)概率公式。 100 nknknkknnknqpqpCkP2),;(pnkbqpCknkkn也也被被記記作作