高等數(shù)學(xué) 反函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的全解 對(duì)大一的新生完全有用

1、山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 定理定理1.具有導(dǎo)數(shù)都在及函數(shù)xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 積、 商 (除分母為 0的點(diǎn)外) 都在點(diǎn) x 可導(dǎo), 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv則山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講

2、人： 蘇本堂此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.證證: 設(shè), 則vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故結(jié)論成立.wvuwvu)( ,例如例如,返回山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂(2)vuvuvu )(證證: : 設(shè), )()()(xvxuxf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結(jié)論成立.)()()()(xvxuxvxu推論推論: )() 1uC )()2wv

3、uuC wvuwvuwvu( C為常數(shù) )0( ( )( ( )( ) ( )limhu xu v xvu x v xh0( )limhuv xh0( )limhu xvh0limhu vh 返回山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23 解 例1 例 2 2 sincos4)(3xxxf 求 f (x)及)2 (f 443)2 (2f 例2 yex (sin xcos x) 求y 2excos x 解 y(ex)(sin xcos x)e x (sin xcos x) e x(sin xcos x)e x(cos x sin x) (

4、uv)uv (uv)uvuv 2)(vvuvuvu 求導(dǎo)法則xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23xxxxxfsin43)2 (sin)cos4()()(23 例4 ysec x 求y xxxxxy2cos)(cos1cos) 1 ()cos1()(secxx2cossinxxxxxy2cos)(cos1cos) 1 ()cos1()(secxx2cossinsec x tan x 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂 )( xf二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理定理2. y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo), 證證: 在 x 處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)

5、性知 因此,)()(1的反函數(shù)為設(shè)yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 yx所以yx,00yx時(shí)必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11則山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂 例6 求(arctan x)及(arccot x) 解 因?yàn)閥arctan x是xtan y的反函數(shù) 所以22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11s

6、ec1)(tan1)(arctanxyyyx 類似地有 211)cotarc(xx 例5 求(arcsin x)及(arccos x) 解 因?yàn)閥arcsin x是xsin y的反函數(shù) 所以2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx 類似地有 211)(arccosxx )(1 )(1yfxf 反函數(shù)的求導(dǎo)法則:山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂在點(diǎn) x 可導(dǎo), lim0 xx

7、uxuuf)(xyxyx0limdd三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理定理3.)(xgu )(ufy 在點(diǎn))(xgu 可導(dǎo).復(fù)合函數(shù) fy )(xg且)()(ddxgufxy在點(diǎn) x 可導(dǎo),證證:)(ufy 在點(diǎn) u 可導(dǎo), 故)(lim0ufuyuuuufy)(（當(dāng) 時(shí) )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy則山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高

8、等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂 解 )()(xgufdxdy或dxdududydxdy 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:例 10 212sinxxy 求dxdy 例7 解 函數(shù)212sinxxy是由 ysin u 212xxu復(fù)合而成的 因此 2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxudxdududydxdy2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxudxdududydxdy2222222212cos)1 ()1 ( 2)1 ()2()1 ( 2cosxxxxxxxudxdududydxdy 例例8. 求下列導(dǎo)

9、數(shù):(1) () ;(2) () .xxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例 13ylncos(e x) 求dxdy 例9解 )cos()cos(1 )cos(lnxxxeeedxdy)tan()()sin()cos(1xxxxxeeeeexexx1cos11sin2 )()(xgufdxdy或dxdududydxdy 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:例 14xey1sin 求dxdy 例10 解 解 解 )1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxd

10、yxxx )cos()cos(1 )cos(lnxxxeeedxdy )tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee )1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxdyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedxdyxxx 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式 1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (P94) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcot

11、csc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂2. 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvu(vu2vvuvu( C為常數(shù) )0( v4. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)(, )(xuufyxydd)()(xufuyddxudd3.反函數(shù)求導(dǎo)法則 1( )fx1( )fy山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例11. 求解解:由于由于,1111xxxxy.y22212xxy12xx

12、1y 所以1212x)2( x112xx例例12.設(shè)),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例13. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例14. 設(shè)求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx

13、(111412x21xx1112x21xx(2121xx221x21x231)2(1xxx山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例15. 若)(uf 存在 , 求(lncos )fx的導(dǎo)數(shù).xfdd( lncos)fx(lncos ) x lncos( )uxf u這兩個(gè)記號(hào)含義不同練習(xí)練習(xí): 設(shè),)(xfffy .,)(yxf求可導(dǎo)其中( lncos)fx1(cos )cosxxtan(lncos )xfx解解: :)(fy)(xff)(f )(xf)(xf 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè), )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正確解法:)(af 時(shí), 下列做法是否正確?在求處連續(xù),山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂2. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解: (1)1bxaby(2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或(xabyababxln山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂3. 設(shè)),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用導(dǎo)數(shù)定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xx