高數(shù)有理分式積分法

1、第四節(jié)1 基本積分法 : 直接積分法 ; 換元積分法 ;分部積分法 初等函數(shù)求導(dǎo)初等函數(shù)積分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的積分本節(jié)內(nèi)容: 第四四章 有理函數(shù) rational function 真分式 proper fraction假分式 improper fraction一、一、 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分3)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函數(shù):nm 時(shí),)(xR為假分式;nm 時(shí),)(xR為真分式.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 簡單分式: 形如kkqxpxNxMaxA)(;)(2

2、)04,N(2qpk的分式.(其中A、a、M、N、p、q為常數(shù))定理定理. 任何一個(gè)真分式4機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( )( )P xQ x( ),( )P x Q x( 無公因子)都可分解成若干個(gè)簡單分式之和,并且(1) 若Q(x)=0有k重實(shí)根a (即把Q(x)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解,含有 因子), 則分解時(shí)必含有以下的分式:()kxa122()()()kkAAAxaxaxa其中12,kA AA為待定系數(shù).(2) 若Q(x)=0有一對(duì)k重共軛復(fù)根,和(即把Q(x)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解,含有 因子),則分解時(shí)必含有2()kxp xq11222222()()()kkkB xCB xC

3、B xCxp xqxp xqxp xq其中11,kkBB CC為待定系數(shù).2()()xp xqxx5機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 根據(jù)上述的結(jié)論,一個(gè)真分式( )( )P xQ x都可分解成若干個(gè)簡單分式之和,而這些簡單分式不外乎為以下四種類型:(1)Axa(2)(2,3,4)()kAkxa22(3)(40)AxBpqxp xq22(4)(40,2,3,4)()kAxBpqkxp xq于是,求任何一個(gè)真分式的不定積分問題,也就轉(zhuǎn)化為求以上四種類型的不定積分.6機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求四種類型的不定積分：(1)Adxxaln |AxaC(2)()kAdxxa1()(2,3,4

4、,)1kAxaCkk 2(3)AxBdxxp xq2222()()22()()24ApBdxAd xp xqppxp xqxq22222ln()arctan244ABAPxpxp xqCqpqp7機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求四種類型的不定積分：2(4)()kAxBdxxp xq2222()()22()()()24kkApBdxAd xp xqppxp xqxq21()2(1)kAxp xqk 2ptx24paq22()2()kApdtBtakI上一節(jié)例91222211212()21arctankkntnIInatanatICaa四種類型的不定積分都為初等函數(shù)8機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

5、返回 結(jié)束 有理函數(shù)的不定積分：有理函數(shù)的不定積分：有理函數(shù)相除多項(xiàng)式 + 真分 式分解其中部分分式的形式為kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和結(jié)論結(jié)論: 有理函數(shù)的不定積分為初等函數(shù).例例1. 將下列真分式分解為部分分式 :9;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx解解: (1) 用拼湊法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 用賦值法106532xxx)3)(2(3xxx2

6、xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3) 混合法11)1)(21 (12xx xA2121xCBx原式)21 (xA21x54機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 代入等式兩端分別令1 ,0 xC541215461CB52B51C原式 =x214512112xx例例2. 求12.)1)(21 (d2xxx解解: 已知)1)(21 (12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xCxarctan51例1(3)

7、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求13.d3222xxxx解解: 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23思考思考: 如何求機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ?d)32(222xxxx提示提示: 變形方法同例3, 并利用上一節(jié)課件例9 . 例例4. 求14機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解:令得1,1,1.ABC 原式21111(1)1dxxxx11ln11xCxx223(1) (1)1(1)1xABCxxxxx23d .(1) (1)xxxx例例5. 求求15xxxd)4)(1

8、(22)4() 1(22xx.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡便 , 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡便的方法. 例例6. 求求16.d)22(222xxxx解解: 原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7.

9、 求求17常規(guī) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx(見P348公式21)2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本題技巧注意本題技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法解:181d4xx第一步 令)(1224dxcxbxaxx比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得) 12)(12(1224xxxxx第二步 化為部分分式

10、. 即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比較系數(shù)定 A , B , C , D .第三步 分項(xiàng)積分 .此解法較繁 !機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例. 求.dsincossincos3xxxxx解解: 令xxsincos3xBAxBAsin)(cos)(比較同類項(xiàng)系數(shù)3 BA1 BA, 故2, 1BA 原式xxxxxsincos)sind(cos2dCxxxsincosln說明說明: 此技巧適用于形為xxdxcxbxadsincossincos的積分.)sin(cos)sin(cosxxBxxAxbxasincos令)sincos()sincos

11、(xdxcBxdxcA二二 、可化為有理函數(shù)的積分舉例、可化為有理函數(shù)的積分舉例20設(shè))cos,(sinxxR表示三角函數(shù)有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 萬能代換t 的有理函數(shù)的積分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分則例例8. 求求21.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令,2tanxt 則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxd

12、ttd12222xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9. 求求23.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC說明說明: 通常求含xxxxcossincos,sin22及的積分時(shí),xttan往往更方便 .的有理式用代換機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例10. 求24. )0(d)cossi

13、n(12baxxbxa解法解法 1 xttan令原式 dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)cossin(cos機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例10. 求求25xbxacossin) 0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 2 cos,sin2222babbaa令22baxbabxbaacossin2222sincos原式)(cosd1222xxbaCxba)tan(122Cbaxba)arctantan(122機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 baarctan例例11. 求求26.dsinsin1cos2cos423xxxxx解解

14、: 因被積函數(shù)關(guān)于 cos x 為奇函數(shù), 可令,sin xt 原式xx42sinsin1xxxdcos)2(cos2xxx422sinsin1 ) 1(sin4221d) 1(tttttttd1t1221213)()d(211ttttCtt3arctan311Cxxsin3cosarctan312xsind機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分27,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被積函數(shù)為簡單根式的有理式 , 可通過根式代換 化為有理函數(shù)的積分. 例如:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,d),(x

15、baxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍數(shù)為nmp例例12. 求28.21d3xx解解: 令,23xu則,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例13. 求29.d3xxx解解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù) 2 , 3 的最小公倍數(shù) 6 ,6tx 則有原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例14. 求30.d1

16、1xxxx解解: 令,1xxt則,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)311. 可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬能代換簡單無理函數(shù)三角代換根式代換2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出, 但不一定 要注意綜合使用基本積分法 , 簡便計(jì)算 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 簡便 , 思考與練習(xí)思考與練習(xí)32如何求下列積分更簡便 ?)0(d. 1662axxaxxxxcossind. 23解解: 1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612. 原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)33P218 1-24第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 34備用題備用題 1.求不定積分解：解： 令則,1tx ttxd1d2, 故161t)11 (2ttttd126ttttd)111(224551t331ttCt