多孔介質(zhì)流體動(dòng)力學(xué)

1、多孔介質(zhì)流體力學(xué)多孔介質(zhì)流體力學(xué)安全學(xué)院雷文杰多孔介質(zhì)流體力學(xué)應(yīng)用范圍o 流體通過(guò)多孔介質(zhì)的流動(dòng)是多種工程及學(xué)科的分支，例如，地下水水文學(xué)、采油工程學(xué)、土坡學(xué)、土力學(xué)及化學(xué)工程學(xué)等等經(jīng)常遇到的一個(gè)課題。地下水水文工作者所研究的含水層以及采油工程師所研究的儲(chǔ)油層部用于多孔介質(zhì)的范疇。下面對(duì)含水層、儲(chǔ)油層及存在于它們之中的流體做一簡(jiǎn)要說(shuō)明。巖石孔隙的幾種類型地下水的分布潛水層、含水層o 潛水層：含有潛水面（浸潤(rùn)線、存在水壓力為零的面）、毛細(xì)管帶、中間帶和土壤水帶。o 含水層：含水層內(nèi)部水壓力大于零。o 大多數(shù)含水層由非固結(jié)或部分固結(jié)的砂礫石組成。石灰?guī)r地層為主要含水層。o 火成巖可以構(gòu)成含水層，玄

2、武巖是較好的含水層。以巖脈、巖床和巖頸等形式出現(xiàn)的許多淺層浸入巖，不透水，可以作為地下水流的阻隔邊界。含水層o 結(jié)晶巖和變質(zhì)巖屬于相對(duì)不透水層，出露地表時(shí)，由于破碎和分化，滲透性能增大。o 粘土及粘土與粗粒物質(zhì)的混合物，孔隙率高，但由于孔隙小，為相對(duì)不透水層。含水層的類型含水層的性質(zhì)o導(dǎo)水：水力傳導(dǎo)系數(shù)表示在水力梯度作用下含水層傳導(dǎo)地下水的能力。導(dǎo)水系數(shù)T：在基本水平的滲流中，水力梯度為一個(gè)單位時(shí)，通過(guò)含水層厚度的單寬流量，計(jì)算方法為含水層的平均水力傳導(dǎo)系數(shù)與含水層厚度之間的關(guān)系。/Kkkg 粘度運(yùn)動(dòng)粘度01;( )bTKb KK z dzb含水層的性質(zhì)o貯水系數(shù)含水層的貯水系數(shù)表示存貯在含水

3、層中的水量變化和相應(yīng)的測(cè)壓面(或無(wú)壓含水層的潛水面)高度變化之間的關(guān)系。o給水給水度是農(nóng)田徘水和地下水水文學(xué)研究非飽和流動(dòng)中經(jīng)常使用的另一個(gè)概念。它定義為當(dāng)潛水位下降一個(gè)單位時(shí)，從潛水面延至地面的單位水平面積的土拄中所排出的水量。o持水潛水位下降比由于抵抗重力作用而保持在土體中的對(duì)應(yīng)水量稱為持水率。wUSA 1yryrccnSS儲(chǔ)油層o 儲(chǔ)油層或儲(chǔ)氣層是一種在其孔隙中除含水以外至少還合有一種液相或氣相碳?xì)浠衔锸突蛱烊粴?的多孔地層。石油儲(chǔ)層特征o 絕大多數(shù)可采油層是由砂巖、石灰?guī)r和白云巖地層組成的。但實(shí)踐表明，其它類型的巖石有時(shí)也能構(gòu)成可采油層。o 在儲(chǔ)油層內(nèi)部，重力使比重較小的流體處于儲(chǔ)

4、泊構(gòu)造的較高部位而毛細(xì)力則總是使?jié)駶?rùn)流體向含有非濕潤(rùn)流體的空隙中上升，其結(jié)果是抵消重力對(duì)流體分離的作用。一般說(shuō)來(lái)，水相對(duì)于油和氣是濕潤(rùn)流體，而油相對(duì)于氣是濕潤(rùn)流體。多孔介質(zhì)定義o 多孔介質(zhì)占據(jù)一部分空間。多相中至少有一項(xiàng)不是固體，可以是氣相或液相。固體是骨架。在多孔介質(zhì)范圍內(nèi)沒有骨架的那部分空間叫做空隙空間或孔隙空間。o 多孔介質(zhì)所占據(jù)的范圍內(nèi)，固體相應(yīng)遍及多孔介質(zhì)。每個(gè)單元體內(nèi)必須存在固體顆粒。多孔介質(zhì)的一個(gè)基本特點(diǎn)是固體骨架的比面較大，這決定流體在多孔介質(zhì)的性狀；多孔介質(zhì)的另一個(gè)特點(diǎn)是構(gòu)成孔隙空間的空隙比較狹窄。o 構(gòu)成孔隙空間的某些孔洞必須連通。有效連通的孔隙空間為有效孔隙空間，不連通的

5、孔隙可以視為固體骨架部分。o 定義多孔介質(zhì)另一方法就是要求有效孔隙空間內(nèi)的任意兩點(diǎn)可以用完全位于其中的曲線連接起來(lái)。而且，除特殊情形外，任意兩點(diǎn)都可以用很多曲線連接起來(lái)，其中任何兩條曲線之間都有一個(gè)最大距離。多孔介質(zhì)定義多孔介質(zhì)的連續(xù)介質(zhì)方法o 分子水平與微觀水平 把流體處理為連續(xù)介質(zhì)的基礎(chǔ)乃是質(zhì)點(diǎn)的概念。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)是包含在一個(gè)小體積中的許 多分子的集合體。質(zhì)點(diǎn)要比單個(gè)分子的平均自由程大得多，但和所考慮的流體的范圍相比 又足夠小。這樣，通過(guò)在質(zhì)點(diǎn)中所包含的分子上取流體和流動(dòng)的平均性質(zhì)就能得到一些有意義的數(shù)值，即描寫整體流體性質(zhì)的數(shù)值；然后把這些數(shù)值與質(zhì)點(diǎn)的某種質(zhì)心聯(lián)系起來(lái) 。這樣一來(lái)，在流體所占

6、區(qū)域里的每一點(diǎn)上都存在著一個(gè)具有一定動(dòng)力和 運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)。 孔隙率面孔隙率和線孔隙率00()()()()()() /()()( )lim()lim()j ijj ijAjivjijivjiAjAjiAAAAjinAAAnPnA 流速與比流量總流量Vj流速比流量00()vjjjvjAQV dA0000000 ()000 ()0 ()1()()11()()()1()vjvjvjjjjvjjjAvjjvjAjjjvjAjjvjvjAQqV dAAAAV dAnVAAVV dAA流體的性質(zhì)和多孔骨架的性質(zhì)o 流體的密度o pT曲線的終點(diǎn)C稱為體系的臨界點(diǎn)。對(duì)于單組分體系，臨界點(diǎn)定義為流體的兩相(即液

7、體和氣體或蒸氣)尚能共存的最大壓力和溫度。o虛線圍成的區(qū)域是兩相共存區(qū)。虛線圍成的區(qū)域是兩相共存區(qū)。實(shí)線表示等溫線。始沸點(diǎn)及露點(diǎn)實(shí)線表示等溫線。始沸點(diǎn)及露點(diǎn)的定義。的定義。o對(duì)于單組分體系，始沸點(diǎn)定義為對(duì)于單組分體系，始沸點(diǎn)定義為這樣一種狀么：在此狀態(tài)下物質(zhì)這樣一種狀么：在此狀態(tài)下物質(zhì)完全處于液相，但在溫度固定的完全處于液相，但在溫度固定的條件下，壓力的任何微小下降或條件下，壓力的任何微小下降或體積的任何微小增加都會(huì)產(chǎn)生蒸體積的任何微小增加都會(huì)產(chǎn)生蒸氣相，或者類似地，在壓力和體氣相，或者類似地，在壓力和體積固定的條件下，溫度的任何微積固定的條件下，溫度的任何微小上升即產(chǎn)生蒸氣相。小上升即產(chǎn)生蒸

8、氣相。o對(duì)于單組分體系，露點(diǎn)定義為這對(duì)于單組分體系，露點(diǎn)定義為這樣的狀態(tài)：即在此狀態(tài)下物質(zhì)完樣的狀態(tài)：即在此狀態(tài)下物質(zhì)完全處于蒸氣相，但當(dāng)溫度不變時(shí)，全處于蒸氣相，但當(dāng)溫度不變時(shí)，壓力的任何微小增加或體積的任壓力的任何微小增加或體積的任何微小減小均產(chǎn)生液相；或者類何微小減小均產(chǎn)生液相；或者類似地，在固定壓力和體積的情況似地，在固定壓力和體積的情況下，溫度的任何微小下降即產(chǎn)生下，溫度的任何微小下降即產(chǎn)生液相。液相。流體的性質(zhì)和多孔骨架的性質(zhì)流體的性質(zhì)和多孔骨架的性質(zhì)o 流體混合物 流體的性質(zhì)和多孔骨架的性質(zhì)流體的性質(zhì)和多孔骨架的性質(zhì)式中w為總重量，wi為混合物中第j種組分的重量，xi為第x種組分

9、的克分子數(shù)，Mi足同一種組分的分子量。混合物中一種組分的體積(Ui)等于該組分的重量與其在常溫常壓下比容(vi)的乘積。所以，混合物的總體積(U)和重率分別為流體的粘滯性o粘滯性：阻止流體變形的性質(zhì)牛頓流體、牛頓粘滯定律牛頓粘滯定律：表示穿過(guò)y為常數(shù)的任一平面的x-動(dòng)量流，即分子沿+y方向穿過(guò)該平面所攜帶的動(dòng)量o牛頓流體：服從牛頓粘滯定律的流體即為牛頓流體。o所有氣體及最簡(jiǎn)單的液體都是牛頓流體。/yxuy為流體的動(dòng)力粘度/yxuy為流體的動(dòng)力粘度非牛頓流體o 不服從牛頓粘滯定律的流體，即變化。o Bingham塑性流體。切應(yīng)力與切應(yīng)變之間為直線關(guān)系，但是切應(yīng)變?yōu)榱銜r(shí)有屈服應(yīng)力，即切應(yīng)力必須超過(guò)

10、屈服應(yīng)力才發(fā)生流動(dòng)。o 假塑性流體：切應(yīng)力與切應(yīng)變之間斜率逐漸減小，即隨切應(yīng)變?cè)黾佣鴾p小。o 漲流性流體：粘滯度隨切應(yīng)變?cè)黾佣黾?。非牛頓流體o觸變性流體。視鉆度取決于剪切的時(shí)間和切變率。當(dāng)流體自靜止?fàn)顟B(tài)受剪時(shí)，從分子觀點(diǎn)看它受到了破壞，但隨著時(shí)間的增加，其結(jié)構(gòu)格逐漸改善。倘若使其繼續(xù)靜止，流體就會(huì)慢慢集結(jié)起來(lái)，井最終恢復(fù)其原始稠度。o流變性流體。在這種流體小，分子結(jié)構(gòu)由剪切形成，其性狀與觸變性流體相反。壓力和溫度對(duì)動(dòng)力粘度的影響o 流體的粘度隨壓力和溫度而變化。對(duì)于絕大多數(shù)流體，溫度對(duì)粘度的影響十分明顯。但是在沒有達(dá)到很高的壓力之前，壓力對(duì)粘度的影響卻很小。對(duì)于溫度為兩倍臨界溫度的氣體，當(dāng)壓

11、力沒有達(dá)到臨界壓力的數(shù)量級(jí)時(shí)，粘度隨溫度的變化十分微小。在溫度不變的條什下，液體的粘度通常隨壓力的增大而增大。但水不遵循這條規(guī)則，當(dāng)溫度不變時(shí)，其粘度隨壓力的增大而減小。在大部分實(shí)際應(yīng)用中，壓力對(duì)液體粘度的影響可以忽略不計(jì)。流體的壓縮系數(shù)o 壓縮系數(shù)：當(dāng)物質(zhì)承受的法向應(yīng)力或法向張力變化時(shí)其體積（和密度）變化的度量。o 等溫條件下，壓縮系數(shù)定義：PP(/)/T(/)/PT 為常數(shù)壓力為常數(shù)，膨脹系數(shù)的定義為：流體的膨脹系數(shù)o忽略溶質(zhì)濃度的變化，流體密度依賴于壓力和溫度，等溫條件下壓縮系數(shù)的定義：PP(/)/T(/)/PT 為常數(shù)壓力為常數(shù)，膨脹系數(shù)的定義為：多孔介質(zhì)的統(tǒng)計(jì)方法o 粒徑分布 粒徑的

12、測(cè)量及其分布，測(cè)量方法有篩分法、重計(jì)分析法，前者適用粒徑大于0.06mm，后者適用于小顆粒。o 有效粒徑（Hazen粒徑，d10） 按重量計(jì)土中小于某一粒徑者占土壤總量10的那種顆粒直徑。o 有效粒徑系數(shù)（Cu） Cu=d60/d10o 級(jí)配系數(shù)（Cg） Cg=（d30）2/d60d10多孔介質(zhì)的統(tǒng)計(jì)方法基本土質(zhì)分類的土壤三角形孔徑分布o(jì) 粒徑不可確定，孔徑分布非常重要。o 表示“孔隙大小”的一種方法是把多孔介質(zhì)孔隙空間內(nèi)一點(diǎn)處的孔隙直徑定義為包含該點(diǎn)且完全位于其中的最大圓球的直徑。這樣，如果考慮孔隙空間每一點(diǎn)的孔隙直徑，則孔隙分布可以通過(guò)確定因數(shù)來(lái)定義：o 孔隙直徑包含該點(diǎn)且完全位于其中的最

13、大圓球的直徑；D（ ）為分布函數(shù)，Uv為孔隙體積，U為注入的非濕潤(rùn)流體的體積。多孔介質(zhì)的統(tǒng)計(jì)方法o 一般說(shuō)來(lái)，至少對(duì)于非固結(jié)物質(zhì)，確定一給定試樣的粒徑分布要比確定其孔徑分布容易。因此已經(jīng)提出了幾種根據(jù)粒徑分布求孔徑分布的方法。這些方法大都是基于顆粒的排列方式或?qū)探Y(jié)多孔介質(zhì)的切片進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。o 其他分析方法：在引進(jìn)多孔介質(zhì)的線性隨機(jī)函數(shù)的基礎(chǔ)上?？紫堵?、有效孔隙率o 孔隙率是多孔介質(zhì)一種宏觀性質(zhì)。o 總孔隙率（絕對(duì)孔隙率）為所有孔隙的占的比例o 有效孔隙率ne定義為介質(zhì)中相互連通的孔隙(即有效孔隙)的體積(Uv)與介質(zhì)總體積之比，（Uv）ne為無(wú)效體積，即互不連通孔隙的體積。孔隙比（e）o

14、孔隙的體積與固體的體積之比。o 細(xì)小顆粒的數(shù)量對(duì)孔隙率有明顯影響。固結(jié)物質(zhì)的孔隙率主要取決于膠結(jié)程度，而非固結(jié)物質(zhì)的孔隙率則依賴于顆粒的形狀、粒徑分布和顆粒的排列方式。,111,11UvneenUsneeUvUb UsUbee孔隙率、結(jié)構(gòu)和排列o 粒徑分布對(duì)最終的孔隙率有明顯地影響，因?yàn)樾☆w?？梢哉紦?jù)大顆粒之間的孔隙，從而使孔隙率減小。所以，當(dāng)其它參數(shù)相同時(shí)，分選差的沉積物的孔隙率明顯地小于分選好的沉積物的孔隙率。o 影響孔隙率的其它因素是壓縮、固結(jié)和膠結(jié)?？紫堵士紫堵实臏y(cè)試方法o 測(cè)量固體骨架的體積并由求孔隙體積o 水銀注入法o 觀測(cè)比重瓶裝滿水銀時(shí)以及裝滿水銀和試驗(yàn)樣品置換的水銀的體積o

15、觀測(cè)樣品浸入流體時(shí)的失重o 壓縮室o 測(cè)量孔隙體積的WashburnBunting孔隙計(jì)法o 氣體膨脹法o 統(tǒng)計(jì)方法第三章 壓力與測(cè)壓水頭 在本章中，我們主要討論壓力、應(yīng)力和測(cè)壓水頭等概念。討論首先要涉及到流體連續(xù)介質(zhì)。多孔介質(zhì)表征體元上的宏觀平均值是通過(guò)平均其孔隙空間由流體的點(diǎn)值得到的，而這種平均值又被賦予了表征體元的質(zhì)心。 在流體連續(xù)介質(zhì)的研究中，我們應(yīng)當(dāng)區(qū)分體力和面力。一點(diǎn)處的應(yīng)力o 體力能在沒有任何直接接觸的條件下達(dá)到介質(zhì)并作用于介質(zhì)的整個(gè)體積，例如重力和離心力。o 面力包括周圍的物體通過(guò)直接接觸而作用于介質(zhì)邊界面的各種力。作用在流體任一體積上的外力是產(chǎn)生內(nèi)應(yīng)力（單位面積上的力）的條件

16、。一點(diǎn)處的應(yīng)力o 為了研究面力，考察物體界面上圍繞P點(diǎn)的一個(gè)微小有限部分 。如圖示：把P點(diǎn)的法向應(yīng)力 和切應(yīng)力 定義如下：o Annns0limnnnnAFdFAdA0limssnsAFdFAdA一點(diǎn)處的應(yīng)力o 在下文中，將采用Z軸鉛直向上的笛卡爾右手坐標(biāo)系 。為了區(qū)別各種應(yīng)力，采用雙下表格式。雙下標(biāo)的第一個(gè)下標(biāo)代表應(yīng)力所在平面的法線方向，第二個(gè)下標(biāo)代表應(yīng)力本身的方向。例如， 表示作用方向與 方向平行而作用面的外法線方向與 方向平行的切應(yīng)力的值。xyzyxxy一點(diǎn)處的應(yīng)力o 如圖示， 是法向應(yīng)力， 是切應(yīng)力。,xxyyzz,xyyxzxxzzyyz一點(diǎn)處的應(yīng)力考慮靜止流體或流體作均勻運(yùn)動(dòng)時(shí)的情

17、況。因?yàn)榱黧w不能承受切應(yīng)力，故靜止流體一定完全不存在切應(yīng)力。在均勻流體中，速度處處相等，因此根據(jù)牛頓粘滯定律，所有的切應(yīng)力都必須等于零。如果假設(shè)體力僅為重力，則可以對(duì)一個(gè)微小的棱柱形的流體單元按 三個(gè)方向?qū)嵭辛Φ钠胶猓缓笾鸩绞乖搯卧某叽缈s小到零，得到此公式說(shuō)明，對(duì)于靜止的流體或均勻運(yùn)動(dòng)的流體，一點(diǎn)處的應(yīng)力與方向無(wú)關(guān)，因而它是一個(gè)標(biāo)量。, ,x y zxxyyzznn一點(diǎn)處的應(yīng)力在運(yùn)動(dòng)的粘滯流體中，要確定以給定點(diǎn)的應(yīng)力，常采用圖3.1.3所示的微小流體四面體。 222nnxxnxxynxnyxznxnzyynyyznynzyxnynxzznzzxnznxzynzny 一點(diǎn)處的應(yīng)力o 因?yàn)樵趫D

18、3.1.3中，平面ABC的傾角是任意的，所以可以利用正交參照平面上的九個(gè)分量求出所有平面上的應(yīng)力。這意味著上式可以看成是把 坐標(biāo)系中一點(diǎn)的九個(gè)應(yīng)力分量變換為其他任一個(gè)坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量的一個(gè)表達(dá)式。能夠以此種方式變換的物理量叫做二秩張量。因此，一點(diǎn)上的應(yīng)力是二秩張量。xyz一點(diǎn)處的應(yīng)力o 習(xí)慣上把應(yīng)力張量 的九個(gè)分量寫成如下形式： 這些應(yīng)力分量中具有相同下標(biāo)的分量代表法向應(yīng)力，而下標(biāo)不相同的分量代表切向應(yīng)力。xxxyxzyxyyyzzxzyzz一點(diǎn)處的應(yīng)力o 在一般流體中，應(yīng)力張量是對(duì)稱的，即：o 二秩張量的一個(gè)特點(diǎn)是，對(duì)角線上分量的和 與坐標(biāo)軸定向無(wú)關(guān)。就這里所考慮的應(yīng)力張量而言，張量的三分

19、之一通常稱為體應(yīng)力：ijji112233()1=()3xxyyzz一點(diǎn)處的應(yīng)力o 對(duì)于非粘滯性流體，一點(diǎn)上的所有法向應(yīng)力都是相等的。因而，其中每一個(gè)法向應(yīng)力都等于體應(yīng)力。而且，對(duì)于此種流體，體應(yīng)力的負(fù)值就等于熱動(dòng)力壓力：o 應(yīng)力張量 總能寫成一個(gè)和式： 式中 是Kronrcker符號(hào) ， 叫粘滯應(yīng)力張量。因此，三個(gè)法向應(yīng)力的平均值可表示為：- =pijijijPijijijpP1122331;()3p P PPPP 一點(diǎn)處的應(yīng)力o 上述所做的討論僅適用于流體連續(xù)介質(zhì)。在流體充滿多孔介質(zhì)的孔隙空間的情況下，上述各個(gè)量（如壓力和應(yīng)力）都必須在多孔介質(zhì)的表征體元上進(jìn)行平均，因?yàn)橹挥羞@種平均量才是可測(cè)

20、量的。因此，平均壓力 定義為：P00()1()vvvUPpdUU流體靜壓力的分布o(jì) 對(duì)于靜止的流體連續(xù)介質(zhì)或重力場(chǎng)中的均勻流動(dòng)，壓力的變化滿足:o 在均質(zhì)流體中，對(duì)于高度為 和 的兩點(diǎn)，如果 ，則流體靜壓力分布方程為：-;pz0ppxy 1z2z210zzd 2112()pzconstpzz或p流體靜壓力的分布o(jì) 圖3.2.1表示潛水位（其上壓力為零）以下均質(zhì)流體的靜壓力分布。流體靜壓力的分布o(jì) 在單組分可壓縮流體中，密度（ ）隨壓力和溫度變化。對(duì)于等溫條件下的理想氣體來(lái)說(shuō)， ， 為一常數(shù)，則有 ，=gCpC11pzpzdpCdzp 11111()()gpInC zzzzpp1111exp()

21、ppzzp測(cè)壓水頭o 商 叫做壓力水頭。它代表單位重量流體的壓力能，或單位重量不可壓縮流體克服其流動(dòng)方向的壓力差所做的凈功，又稱為流動(dòng)功。對(duì)于等溫條件下的可壓縮流體，壓力水頭定義為：p0( )ppdpgp測(cè)壓水頭o 壓力水頭和高程水頭之和成為測(cè)壓水頭：o 流體內(nèi)每一點(diǎn)的 或作為飽和多孔介質(zhì)區(qū)域里每一點(diǎn)的平均 都是用管子里流體的高程來(lái)表示的。測(cè)量時(shí)，為避免管中的毛細(xì)作用，管子的直徑應(yīng)當(dāng)足夠大，但又不能擾動(dòng)流體的流動(dòng)。這樣的管子叫做測(cè)壓管。（圖3.2.2） =zp 測(cè)壓水頭o 在靜止的流體中，測(cè)壓水頭處處相同。如果有潛水面存在，潛水面的高程即代表測(cè)壓水頭。在運(yùn)動(dòng)的流體中，測(cè)壓水頭是作為空間和時(shí)間的

22、函數(shù)面變化的。圖3.2.2表示水平承壓含水層中的壓力水頭、高程水頭和測(cè)壓水頭。第四章 多孔介質(zhì)中流體輸運(yùn)的基本方程o 在本章中，我們將導(dǎo)出多孔介質(zhì)中流體輸運(yùn)的基本方程。這是一些偏微分方程，它們描述流動(dòng)區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)處的流體參數(shù)、介質(zhì)參數(shù)和流動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系。在推導(dǎo)方程時(shí)，我們把流體和多孔骨架都看成是連續(xù)介質(zhì)，并且認(rèn)為每一種都充滿著整個(gè)空間。速度的定義o 流體連續(xù)介質(zhì)中任意一點(diǎn)的速度向量 可以寫成推定極限的形式，即質(zhì)點(diǎn)沿其路徑的位移向量 與相應(yīng)的時(shí)間間隔 之比，當(dāng)后者趨于零時(shí)的極限：Vst0limtsVt質(zhì)點(diǎn)的定義o 流體質(zhì)點(diǎn)定義為包含在一定體積中的分子集合體。流體質(zhì)點(diǎn)的尺寸應(yīng)當(dāng)比單個(gè)分子的平均自由

23、程大得多，但又必須足夠小，以至于用它來(lái)確定密度時(shí)能夠得到一個(gè)有意義的點(diǎn)值。只有這樣，才能把這個(gè)值和質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)心聯(lián)系起來(lái)。o 流體的各個(gè)分子都處于連續(xù)不斷的自然運(yùn)動(dòng)中。如果標(biāo)記出一群最初靠攏在一起的分子，那么在一定的時(shí)間間隔后，這些分子也會(huì)擴(kuò)散開，圍繞最初那群分子的質(zhì)心占據(jù)一個(gè)較大的體積。在此情況下，被標(biāo)記的分子的通量受分子擴(kuò)散的控制。這意味著在一定的時(shí)間間隔后必須對(duì)同一質(zhì)心定義一個(gè)“新的質(zhì)點(diǎn)”，且使它與最初的質(zhì)點(diǎn)具有相同的分子數(shù)目，即相同的質(zhì)量。按照這種方法能得到一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的連續(xù)路徑。均質(zhì)的單組分流體非均質(zhì)的多組分流體o 討論由N種化學(xué)組分混合而成的流體體系中的某一 組分。在多組分流體體系占據(jù)的空

24、間中取一體積 ，假定 和 分別是這體積內(nèi) 組分和流體體系的瞬時(shí)質(zhì)量。把 組分的質(zhì)量密度 定義為流體單位體積內(nèi) 組分的質(zhì)量： 式中 為流體體系的密度。dUdmdm=dmdU111()()NNNdmdUdmdUdm dU非均質(zhì)的多組分流體o 組分的質(zhì)量百分?jǐn)?shù)定義為單位質(zhì)量的流體體系中所包含的 組分的質(zhì)量：o 組分在一點(diǎn)P的速度 就是 內(nèi) 組分的各個(gè)分子的統(tǒng)計(jì)平均速度，即各個(gè)分子的速度之和除以分子個(gè)數(shù)。此時(shí)，質(zhì)量平均速度定義為：=1=1N，VdU1111()()NNNNVVVV非均質(zhì)的多組分流體o 多組分體系的體積平均速度 定義為： 式中 是部分比容，定義為：則有：V()Vu V uuUm 11()

25、()1NNUmdmdUu 擴(kuò)散速度與擴(kuò)散通量o 組分的質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于體積平均速度 和質(zhì)量平均速度 的擴(kuò)散速度 和 分別為： ，o 組分相對(duì)于質(zhì)量平均速度和體積平均速度的擴(kuò)散通量 和 分別為：VVVVVVVVVVJJ1(),0NJVVVJ()JVVVEuler觀點(diǎn)與Lagrange觀點(diǎn)o Euler觀點(diǎn)是研究某個(gè)確定的參考標(biāo)架下流場(chǎng)中任一固定空間點(diǎn)在一定時(shí)間內(nèi)各個(gè)物理量 的情況。著眼于空間的各個(gè)固定點(diǎn)，從而了解流體在整個(gè)空間里的運(yùn)動(dòng)情況。o Lagrange觀點(diǎn)是研究任一流體質(zhì)的各個(gè)物理量 隨時(shí)間的變化情況。著眼于流場(chǎng)中各個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的歷史，從而進(jìn)一步了解整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)情況。iqiq實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)o 流

26、體確定質(zhì)點(diǎn)的物理量 對(duì)于時(shí)間的變化率稱為該物理量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)或?qū)嵸|(zhì)導(dǎo)數(shù)，記為 。o 設(shè)質(zhì)點(diǎn)位置的變化用參數(shù)方程 來(lái)表示，質(zhì)點(diǎn)的速度用下式表示：則有：BDBDt(, )iixxt(, )|()iconstiGixttDx DtV()()()GxGyGzDBBBBBVVVDttxyz實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)o 采用向量符號(hào)，上式可寫成：o 第一項(xiàng) 稱為局部導(dǎo)數(shù)，在非穩(wěn)定流中，它表示在空間的固定點(diǎn)上 隨時(shí)間的變化率；第二項(xiàng)稱為對(duì)流導(dǎo)數(shù)，它表示所考慮的質(zhì)點(diǎn)從一個(gè)地方對(duì)流到 數(shù)值不同的另一個(gè)地方所造成的 的變化。()GGDBBBVgradBVBDtttBtBBB普通的守恒原理o 研究對(duì)象：多組分流體，并按照連續(xù)介質(zhì)方法，

27、假定每種組分本身都是充滿整個(gè)空間的連續(xù)介質(zhì)。o 考察流體的某種外延量 （如質(zhì)量），設(shè)它具有一定的初始數(shù)量，在 時(shí)刻被包含在由曲面S所包圍的一部分空間體積U內(nèi)（圖4.2.1）。Gt23120()() ()() limttttDGGGGGDtt=2231000() () () () lim limlimtttttttttGGGGttt普通的守恒原理o 則有：o 在U內(nèi)不存在源和匯的情況下， 的變化只能由通過(guò)曲面S的凈流量的變化而引起，因此：o 如果因內(nèi)部作用（如化學(xué)作用），所論外延量在U內(nèi)每單位體積以 的速度不斷產(chǎn)生，則有：()( )GUSDGg dUg V dSDttG()( )0GUSg dU

28、g V dStI()()()GUSUg dUg VdSI dUt普通的守恒原理o 對(duì)上式中的曲面積分應(yīng)用高斯定理，得到：因?yàn)轶w積U是任意的，所以有：即為 組分一種性質(zhì)的普遍的守恒原理。()()0GUgdiv g VIdUt()Ggdiv g VIt一種組分的質(zhì)量守恒方程o 對(duì)于多組分流體體系的 組分來(lái)說(shuō)，將 和 帶入普通的守恒方程，得到質(zhì)量守恒方程： 式中 是在流體體系的單位體積中由于化學(xué)反應(yīng)而產(chǎn)生的 組分的質(zhì)量速度。gGVV()tdivVI I流體體系的質(zhì)量守恒o 將多組分流體體系的 組分的質(zhì)量守恒方程對(duì)所有 組分求和，得到流體體系的質(zhì)量守恒方程：o 對(duì)于不可壓縮的均質(zhì)流體，即質(zhì)量密度不變的

29、流體，有：()0tdivV =0divV一種組分的線性動(dòng)量守恒o 把 （每單位體積混合物中 組分的動(dòng)量）， 和 帶入普通的守恒方程，得到： 式中 是動(dòng)量密度 產(chǎn)生的速率， 是 組分的動(dòng)量在流動(dòng)區(qū)域里傳播的速度， 是雙積：gVmIIGmVV()()mmVtdivV VI mIVmVmV V, ,1,2,3mimjXiXjV VV VI Ii j流體體系的線性動(dòng)量守恒o 把 ， 和 （ 是作用在 組分質(zhì)點(diǎn)上的、每單位質(zhì)量 組分的外力）帶入普通的守恒方程，得到：令 ，則有：()()()mVtdivV VF gVGmVV動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的速度()IFF()mmmJV VV VV()()()mVdivV Vdi

30、vJFt流體體系的線性動(dòng)量守恒o 由上式可得：動(dòng)量跟質(zhì)量一樣也是同時(shí)以兩種方式被輸運(yùn)的：一是由流體的總體運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的通量 ，二是由分子運(yùn)動(dòng)所引起的擴(kuò)散通量 。o 可以把動(dòng)量守恒方程改寫為：()V V()mJ()()()()VdivV Vdiv pdivPFt()DVDtgradpdivPF 本構(gòu)方程o 本構(gòu)方程是反映物質(zhì)宏觀性質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，又稱本構(gòu)關(guān)系。通常本構(gòu)關(guān)系采取的形式是通量和驅(qū)動(dòng)力之間的關(guān)系式。本構(gòu)方程的例子有：彈性固體中應(yīng)力和應(yīng)變之間的線性關(guān)系、熱能的通量是溫度梯度的線性函數(shù)等。o 本構(gòu)方程規(guī)定的是理想連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)性狀，而理想連續(xù)介質(zhì)就是自然界中一類特殊連續(xù)體的數(shù)學(xué)模型。得到本構(gòu)方

31、程需要憑借實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，或許還得用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)予以驗(yàn)證。建立本構(gòu)方程應(yīng)采用的若干原理1.相容性原理：任何本構(gòu)方程都必須與質(zhì)量、動(dòng)量和能量平衡的一般原理相容。2.坐標(biāo)不變性原理：本構(gòu)方程須表示成在任何固定時(shí)刻、所有慣性坐標(biāo)系中都成立的方程。3.適當(dāng)配置原理：當(dāng)把本構(gòu)方程和包含有相同變量的平衡方程配置成相容的方程組時(shí)，對(duì)應(yīng)于物理上有意義的初始和邊界條件此方程組應(yīng)當(dāng)能給出唯一的和穩(wěn)定的解。建立本構(gòu)方程應(yīng)采用的若干原理4.量綱不變性原理：任何本構(gòu)方程在量綱上應(yīng)當(dāng)是統(tǒng)一的。5.物質(zhì)客觀性原理：這是建立本構(gòu)方程最重要的準(zhǔn)則。一種材料的內(nèi)在反應(yīng)和觀測(cè)者無(wú)關(guān)，即所有觀測(cè)者觀測(cè)到的反應(yīng)必須相同。6.物質(zhì)不變性原理：若本

32、構(gòu)方程關(guān)于物質(zhì)坐標(biāo)的某一變換群是不變的，則本構(gòu)方程具有物質(zhì)對(duì)稱性。7.共存性原理：出現(xiàn)在一個(gè)本構(gòu)方程中的自變數(shù)也必須出現(xiàn)在其他的本構(gòu)方程中。多孔介質(zhì)模型o 在研究復(fù)雜系統(tǒng)中的現(xiàn)象時(shí)，最有效的工具之一是理想模型。理想模型方法，就是用某些假想的、能夠進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的、比較簡(jiǎn)單的現(xiàn)象來(lái)代替實(shí)際上不可能進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的復(fù)雜現(xiàn)象。o 理想模型方法的研究過(guò)程通常有三步： 1.用簡(jiǎn)化的理想模型代替復(fù)雜的系統(tǒng)；2.用現(xiàn)有的理論工具分析模型并導(dǎo)出描寫所研究現(xiàn)象的數(shù)學(xué)關(guān)系式；3.控制實(shí)驗(yàn)。一種平均化方法o 對(duì)于多孔介質(zhì)區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)P而言， 在表征體元的空隙空間上的平均值 可表示為：o 空隙空間內(nèi)一點(diǎn)的 值可表示為表征

33、體元的平均值與局部偏差之和：00()1()()PvPn Ug PgdUn Ugggggg。體積守恒方程o 流體體積的局部守恒方程：o 不可壓縮流體的體積守恒方程： 或o 對(duì)于均質(zhì)介質(zhì)，有：0iVs ()0jjjjVxVnnx()0jjnVx0jjVx溶液中一種組分的質(zhì)量守恒方程o 溶液中一種組分的局部質(zhì)量守恒方程： 式中：o 通過(guò)在多孔介質(zhì)的表征體元上平均化而得到的 組分的質(zhì)量守恒方程：()()ijiijiD TVt 2(),()()()iiijijijijVV ddTT ddsTdddd()tdiv DD TgradVgrad 質(zhì)量守恒方程o 通過(guò)在一根管子的橫截面上進(jìn)行平均而得出的流體的質(zhì)

34、量守恒方程：o 通過(guò)在多孔介質(zhì)的表征體元上進(jìn)行平均而得到的不可壓縮非均質(zhì)流體的質(zhì)量守恒方程：()ijiijiD TVt()()ijijjiiitDD TxxVx 運(yùn)動(dòng)方程 o 多孔介質(zhì)中非均質(zhì)流體層流運(yùn)動(dòng)的平均方程： 其中()ijiijjkVBpzVgtnxx 22,()()ijijjiijijknBTddddTTdsdsdd運(yùn)動(dòng)方程o 對(duì)于局部慣性力相對(duì)于粘滯阻力能夠忽略不計(jì)的流動(dòng)而言，有： 這樣的運(yùn)動(dòng)稱為蠕動(dòng)，其特點(diǎn)是雷諾數(shù)小。雷諾數(shù)表示慣性力與粘滯阻力之比。()()()()iijjjiijjjVknpxg zxqkpxg zx 彎曲率o 彎曲率 是無(wú)量綱參數(shù)：它把孔隙空間一點(diǎn)上的一微小流

35、體體積所受的任一外驅(qū)動(dòng)力的分量 變換成這力在該點(diǎn)流線方向上投影的分量 。 第一步：將給定的力投影到流線方向 第二步：求出投影的分量ijTiF()jFiiiFF dd()jiiiiiijjdddFFFTFddd彎曲率o 若設(shè)分量 和 統(tǒng)計(jì)無(wú)關(guān)，則有：o 是多孔介質(zhì)的一個(gè)非隨機(jī)算子（參數(shù)），他把作用于多孔介質(zhì)一個(gè)物理點(diǎn)上的外力的平均分量變換成這力沿流線方向投影的分量。iFijT(),jjiiiijijjiFT FFT TTijT彎曲率o 在 與 共線的特殊情況下，變換 只改變 的大?。簅 在多孔介質(zhì)中，上式能夠成立的方向叫做變換 的主方向。與主方向?qū)?yīng)的 和 分別稱為變換的特征向量和特征值。如果在

36、一給定點(diǎn)上上式對(duì)于 的一切作用方向都成立，就說(shuō)該點(diǎn)的多孔介質(zhì)關(guān)于變換 是各向同性的。此時(shí)空間的每個(gè)方向都是主方向。()FFijTF(),13jjijkkijijFTFTTTijTFTFijT彎曲率和滲透率的關(guān)系o 系數(shù) 叫做介質(zhì)的滲透率。它是介質(zhì)的一種平均性質(zhì)，表示多孔介質(zhì)傳導(dǎo)流體的能力。o 如果假定管軸上一點(diǎn)的傳導(dǎo)率 和該點(diǎn)的流線方向之間不存在相關(guān)性，則 與 的主方向相同，即：其中 （量綱 ）是介質(zhì)的平均傳導(dǎo)率。ijnBTkijT ijBTBijijBTBTB2L彎曲率和其他輸運(yùn)系數(shù)o 對(duì)于均質(zhì)流體（ ），有：o 對(duì)于靜止（ ）條件下均質(zhì)流體的分子擴(kuò)散：o 對(duì)于同樣的流體，每單位面積孔隙的平

37、均分子擴(kuò)散通量：=常數(shù)()qkggradzpg 0VdJD grad dJD grad 采油工程學(xué)中的地層因數(shù)和電阻率指數(shù)o 地層因數(shù) 是（為一種電解溶液所飽和的）多孔介質(zhì)的電阻率（ ）（即每邊為一個(gè)單位長(zhǎng)度的均勻立方體對(duì)從其一面流入而從對(duì)面流出的一維電流的電阻）與同一種電解溶液的電阻率（ ）之比：o 設(shè)一外部尺寸相同的多孔巖石，假定固體部分不導(dǎo)電，則面積 中只有一部分面積 能通過(guò)電流，且電流流動(dòng)的平均長(zhǎng)度為 ，則有： F00FAeAeL01eeeLLTFAAAA采油工程學(xué)中的地層因數(shù)和電阻率指數(shù)o 如果空隙空間包含有不導(dǎo)電的碳?xì)浠衔锛八?，則能夠使電流通過(guò)的橫截面面積 會(huì)更小，同時(shí)路徑的實(shí)際

38、長(zhǎng)度會(huì)變得更大。因此一塊多孔介質(zhì)六面體的電阻 為：o 電阻率指數(shù) 定義為：()eeAAtR0,eetteeLLLLRAA AAI0() ()teeeeIA ALL多孔介質(zhì)理想模型o 模型一：孔隙通道的橫截面面積沿其長(zhǎng)度方向變化，但總面積保持不變，則有：o 如果碳?xì)浠衔锍涮盍瞬糠?孔隙空間，使水的飽和度變?yōu)?，則：21,()eeLLLFFTnLn T或S()eeAnS AILLS多孔介質(zhì)理想模型o 模型二：該模型中的長(zhǎng)度 大于 。考慮到實(shí)際的流動(dòng)方向不同于 的方向，則有：o 當(dāng)介質(zhì)部分為不導(dǎo)電碳?xì)浠衔镲柡蜁r(shí)，有：eLLL2()1eFLLnnT11,()eeeeeAAA L LnS AL LI

39、L LS多孔介質(zhì)理想模型o 模型三：該模型將會(huì)在第九章中詳細(xì)討論。對(duì)于該模型我們有：2222()1,(),1eeeeFLLnnTAnSALLLIS第五章 均質(zhì)流體的運(yùn)動(dòng)方程o 本章從1856年Darcy的實(shí)驗(yàn)出發(fā)，在均質(zhì)流體情況下得到流體通過(guò)多孔介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的基本方程。本章中的所有變數(shù)和參數(shù)僅對(duì)作為連續(xù)介質(zhì)的多孔介質(zhì)區(qū)域有意義。Darcy實(shí)驗(yàn)定律o 1956年，Darcy研究了水在直立均勻砂柱中的流。根據(jù)實(shí)驗(yàn)，得到：如果用 表示水力梯度，而把比流量 定義為與流動(dòng)方向垂直的每單位橫截面積的流量 ，則：12()QKA hhL12( ()JhhLq()qQ AqKJ12()JhhLDarcy實(shí)驗(yàn)定律o

40、右圖為將Darcy定律推廣到流體通過(guò)均質(zhì)傾斜砂柱的流動(dòng)情形。則有：上式表明，流動(dòng)是從高測(cè)壓水頭向低測(cè)壓水頭，而不是從高壓力向低壓力。1212(),(),iiiQKALqKLKJzpo 上圖表示垂直向下流動(dòng)的幾種情形： Darcy實(shí)驗(yàn)定律12( ):app12( ):,( ):bpcpp常數(shù)。Darcy實(shí)驗(yàn)定律o 如圖5.1.2所示，流體只能通過(guò)砂柱橫截面積 的一部分流動(dòng)，其余部分為多孔介質(zhì)固體骨架所占據(jù)。因?yàn)槠骄婵紫堵实扔隗w孔隙率 ，所以通過(guò)砂柱的平均速度 應(yīng)當(dāng)是：o 在一種均質(zhì)流體的流動(dòng)中，孔隙空間的部分流體有時(shí)是不動(dòng)的。此時(shí)可以定義一個(gè)關(guān)于通過(guò)介質(zhì)流動(dòng)的有效孔隙率 使得：AnVVQ nA

41、q n()enneVq nDarcy定律的推廣：各向同性介質(zhì)o 實(shí)驗(yàn)導(dǎo)出的、適用于均質(zhì)不可壓縮流體的Darcy定律僅限于一維流動(dòng)。對(duì)于三維流動(dòng)，Darcy定律在形式上可推廣為：式中 為比流量向量， 是水力梯度。當(dāng)流動(dòng)發(fā)生在均質(zhì)各向同性介質(zhì)中時(shí)， 是一個(gè)不變的標(biāo)量，因此上式可以寫為三個(gè)方程：qKJKgrad qJgrad K,xxyyzzqKJKx qKJKyqKJKzDarcy定律的推廣：各向異性介質(zhì)o 如果某種性質(zhì)與其在介質(zhì)內(nèi)部的位置無(wú)關(guān)，則介質(zhì)關(guān)于該性質(zhì)是均質(zhì)的；反之則說(shuō)介質(zhì)是非均質(zhì)的。如果某種性質(zhì)與其在介質(zhì)內(nèi)部的方向無(wú)關(guān)，則介質(zhì)關(guān)于該性質(zhì)是各向同性的；如果在介質(zhì)內(nèi)部一點(diǎn)上介質(zhì)的某種性質(zhì)，

42、例如滲透性或?qū)嵝噪S方向變化，則在該點(diǎn)介質(zhì)關(guān)于這種性質(zhì)是各向異性的。本書中的各向同性或各向異性皆指滲透性而言。Darcy定律的推廣：各向異性介質(zhì)o 因?yàn)镈arcy定律表示為比流量分量和水力梯度分量之間的單一線性關(guān)系，因此通過(guò)寫出通量 分量和水力梯度 分量之間的最一般的線性關(guān)系就能將其推廣到各向異性介質(zhì)： 式中 是笛卡爾坐標(biāo)。( )q()Jgrad xxxxxyyxzzyyxxyyyyzzzzxxzyyzzzqK JK JK JqK JK JK JqK JK JK J, ,x y z偏離Darcy定律的情形：上限o 在通過(guò)管道的流動(dòng)中，區(qū)分層流和紊流所采用的準(zhǔn)則是雷諾數(shù) ，它為一無(wú)量綱數(shù)，表示慣

43、性力與粘滯力之比。管道中層流和紊流之間的臨界雷諾數(shù)約為2100。對(duì)于多孔介質(zhì)的流動(dòng)，可以將雷諾數(shù)定義為： 式中 是多孔介質(zhì)的某種長(zhǎng)度尺寸； 是流體的運(yùn)動(dòng)粘度。(Re)Reqd vdv偏離Darcy定律的情形：上限o 就一切實(shí)際情況而論，只要根據(jù)平均粒徑計(jì)算的雷諾數(shù)不超過(guò)110之間的某個(gè)值，Darcy定律就是適用的。o 通過(guò)進(jìn)一步同管流類比，可以把多孔介質(zhì)中的流動(dòng)表示為摩擦因數(shù)和雷諾數(shù)之間的關(guān)系。Fanning將摩擦因數(shù)定義為： 式中 為管子的水力半徑 。2222 ()()fgRJ VRLV R(4)do 如果將通過(guò)多孔介質(zhì)流動(dòng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果繪成Fanning摩擦系數(shù)和雷諾數(shù)之間的關(guān)系，則得圖5.3

44、.1所示的一條曲線。偏離Darcy定律的情形：上限（a）層流區(qū)：這是低雷諾數(shù)時(shí)的流動(dòng)情形。在此區(qū)內(nèi)粘滯力起主要作用，線性Darcy定律成立。該區(qū)上限的雷諾數(shù)在110之間。（b）過(guò)渡區(qū)：在該區(qū)的下部，從粘滯力起主要作用的層流狀態(tài)逐漸變?yōu)閼T性力支配流動(dòng)的另一種層流狀態(tài)。而在該區(qū)的上部流動(dòng)則逐漸變?yōu)槲闪?。慣性力起主要作用的層流區(qū)一般稱為非線性層流區(qū)。（c）紊流區(qū)：當(dāng) 很大時(shí)我們就觀測(cè)到紊流區(qū)。Re偏離Darcy定律的情形：下限o 某些作者就通過(guò)多孔介質(zhì)的飽和流動(dòng)可應(yīng)用Darcy定律的下限問(wèn)題作了討論。o Irmay指出，存在一個(gè)最小梯度或稱初始梯度 ，如果實(shí)際水力梯度小于 ，則沒有流動(dòng)。引用最小梯度

45、的概念，Darcy定律變?yōu)椋?000,(),qJJqKJ JJJJJJJ當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；0J0J偏離Darcy定律的情形：下限o Swartzendruber曾對(duì)以前某些研究流體飽和多孔介質(zhì)中非達(dá)西性狀的著作進(jìn)行過(guò)評(píng)論，他根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提出了如下一維流動(dòng)方程：o 由上式知 在 處的斜率為零。 他把方程歸因于粘土和水相互作用所招致的非牛頓液體的粘滯性。000,0exp,qJJqB JCJJJ當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)q0J 滑流現(xiàn)象o 在以Darcy定律為基礎(chǔ)的層流理論中，我們?cè)俣?，由于流體內(nèi)切應(yīng)力的存在，固體壁面上流體的速度等于零，但在氣流中情況與此相反，因?yàn)闅怏w的分子與固體壁面沒有密切接觸，氣體在固體壁面上可以

46、具有一定的非零速度。因此，當(dāng)氣體分子的平均自由程接近通道的尺寸時(shí)，界面上的各個(gè)分子都將處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，且貢獻(xiàn)一個(gè)附加通量。這種現(xiàn)象就叫做滑流現(xiàn)象。滑流現(xiàn)象o Klinkenberg利用一根玻璃毛細(xì)管作為模型導(dǎo)出如下的氣體滲透率公式：o 式中 是對(duì)氣體的滲透率； 是對(duì)液體或高密度氣體的滲透率； 是在測(cè)定 的平均壓力 下氣體分子的平均自由程； 是比例系數(shù)； 是Klinkenberg模型的毛細(xì)管半徑； 是氣體-固體系統(tǒng)的一個(gè)常數(shù)，依賴于氣體分子的平均自由程和多孔介質(zhì)內(nèi)通道開口的尺寸。(14)(1)gllkkcrkb pgklkgkp(1)c rb勢(shì)和偽勢(shì)o 通過(guò)觀測(cè)流場(chǎng)內(nèi)各點(diǎn)的 （測(cè)壓水頭）值，我們可

47、以設(shè)想空間中存在著一些 等于常數(shù)的簡(jiǎn)單曲面。為了證實(shí)這些曲面的存在，現(xiàn)考察這樣一個(gè)曲面方程： 上式表明這樣一個(gè)事實(shí)：即此曲面上的任何位移向量必定垂直于向量 。0graddsgrad勢(shì)和偽勢(shì)o 首先考慮以下述形式表示的曲面的方程： 式中 是某一向量場(chǎng)。在一定條件下上述方程是可積的。假設(shè)存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù) ，使得： 于是將所考慮的曲面方程積分就得到 常數(shù)，并且通過(guò)改變常數(shù)的值可得一族這樣的曲面。0 xyzF dsF dxF dyF dz( , , )FF x y z( , , )GG x y z,xyzFa Gx Fa Gy Fa Gz( , , )G x y z 勢(shì)和偽勢(shì)o 假設(shè)上面所定義的函數(shù)

48、確實(shí)存在，考慮：o 如果向量 存在，那么從方程 可以看出，向量 在每一點(diǎn)都與 垂直。G()()()0 xzyyxzzyxFFyFzFFzFxFFxFyF curlF ()()()zyxzyxHFyFz IxFzFx IyFxFy IzcurlF 0F HHF勢(shì)和偽勢(shì)o 所以可以求出以積分形式 表示的法面方程。標(biāo)量函數(shù) 叫做偽勢(shì)。在某些特殊條件下， 為常數(shù)且可使其等于-1，此時(shí)的標(biāo)量函數(shù) 就叫做向量場(chǎng) 的勢(shì)函數(shù)，而曲面 則稱為等勢(shì)面。o 由此可見，與 垂直的曲面 的存在條件是 。反之，如果方程 成立，則垂直于 的曲面存在。( , , )G x y z 常數(shù)GaGFG 常數(shù)F( , , )G x

49、y z 常數(shù)0F curlF0F curlFF勢(shì)和偽勢(shì)o 鑒于上述討論，我們可以將 當(dāng)作測(cè)壓水頭 ，并可以用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)偽勢(shì)來(lái)稱呼 。如果用水力傳導(dǎo)系數(shù) 代替 ，則 即為比流量 ，于是：o 對(duì)于均勻介質(zhì)（ ），上述方程可寫為： 受其控制的流動(dòng)叫做勢(shì)流。此時(shí)可以把 看作 ，并可以用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)偽勢(shì)來(lái)稱呼 。G( , , )KK x y zaFq( , , )qK x y z grad K 常數(shù)),qgrad KgradK （G無(wú)旋流動(dòng)o 如果用比流量向量 寫出方程 ，則應(yīng)寫為： 式中q0F curlF0q curlq=Ix()+Iy()+Iz()xxyzyxxzIIIcurlqV qxyzqqqqqqq

50、qqyzx z-zxy無(wú)旋流動(dòng)o 向量 叫做旋度向量，滿足方程 的流動(dòng)則稱為無(wú)旋流動(dòng)。 o 對(duì)于無(wú)旋流場(chǎng)，由方程 得： 上式對(duì)流動(dòng)區(qū)域內(nèi)的一切點(diǎn)都成立。 值得注意：在二維流動(dòng)中，等勢(shì)面族一定存在，介質(zhì)盡管可能是非均質(zhì)各向同性的，但流線卻處處與等勢(shì)面垂直。12Wcurlq0curlq 0curlq ,yyxxzzqqqqqqyzzxxy無(wú)旋流動(dòng)o 無(wú)旋流動(dòng)有時(shí)也稱為無(wú)環(huán)量流動(dòng)。環(huán)流量 用給定時(shí)刻的切向速度分量關(guān)于任一封閉圍道 的線積分定義： 式中 的正方向相應(yīng)于包圍面積 的圍線 的逆時(shí)針方向。如果 ，則 。C()( )CAq dscurlq dA IsAC0curlq =0無(wú)旋流動(dòng)o 從 的事實(shí)

51、得出一個(gè)重要的結(jié)論：在 的流動(dòng)區(qū)域里，從一固定點(diǎn) 到任意一點(diǎn) ， 的線積分與連接這些點(diǎn)的路徑無(wú)關(guān)。o 無(wú)旋向量場(chǎng) 可用下述三個(gè)等價(jià)方程刻畫： 是一個(gè)標(biāo)量點(diǎn)函數(shù)； ，對(duì)于任一閉曲線 不包括奇點(diǎn)； ，對(duì)于一切點(diǎn)。=0qgrad 0ppq dsq,( , , )qgradx y z ()0Cq dsC0curlq 各向同性介質(zhì)的水力傳導(dǎo)系數(shù)o 在各向同性介質(zhì)中，利用公式 可將水力傳導(dǎo)系數(shù)定義為單位水力梯度的比流量。水力傳導(dǎo)系數(shù)是一個(gè)表示多孔介質(zhì)輸運(yùn)流體能力的標(biāo)量。所以它與流體及骨架的性質(zhì)有關(guān)。相應(yīng)的流體性質(zhì)為密度 及粘度 或它們的組合形式運(yùn)動(dòng)粘度 ；而相應(yīng)的骨架性質(zhì)主要是粒徑（或孔徑）分布、顆粒（或

52、孔隙）、形狀、比表面、彎曲率及孔隙率。qKJ( )( )各向同性介質(zhì)的水力傳導(dǎo)系數(shù)o 從Darcy定律的理論推導(dǎo)或量綱分析可以看出，水力傳導(dǎo)系數(shù)可表示為： 式中 叫多孔骨架的滲透率或內(nèi)在滲透率，它僅與骨架性質(zhì)有關(guān)； 表示流體性質(zhì)的作用。利用上式可將Darcy定律寫成：Kkk g k ()() (),1,2,3iiiiqKxkgxkgpgzx i 各向同性介質(zhì)的水力傳導(dǎo)系數(shù)o 由上式可得： 如果 ，則有 對(duì)于水平流動(dòng)，有=常數(shù)() (),1,2,3iiqkpgzx i (),1,2,3iiqkpx i 各向同性介質(zhì)的水力傳導(dǎo)系數(shù)o 確定滲透率一般有三類公式： 第一類公式是純經(jīng)驗(yàn)的。例如公 式 就

53、是根據(jù)右圖所示的 與平均粒 徑 的關(guān)系得出。 第二類公式是從Darcy定律的理 論推導(dǎo)得出的純理論公式。該公 式中的滲透率與孔隙率、彎曲率 及骨架主要通道的傳導(dǎo)率有關(guān)。1120 617 10kdkd各向同性介質(zhì)的水力傳導(dǎo)系數(shù)o 第三類公式是半經(jīng)驗(yàn)公式。它通常是利用某種理想模型進(jìn)行理論分析而導(dǎo)出的 與骨架不同參數(shù)的關(guān)系式。但是，對(duì)于每種具體的多孔介質(zhì)或一類相似的多孔介質(zhì)都必須用實(shí)驗(yàn)確定數(shù)字系數(shù)。o 上述各種公式的普遍形式是 其中 是一個(gè)表示顆粒（或孔隙）形狀影響的無(wú)量綱參數(shù)； 叫做形狀因數(shù)； 叫做孔隙率因數(shù)； 是顆粒的有效粒徑。k212( )( )kf s fn ds1( )f s2( )fnd

54、各向同性介質(zhì)的水力傳導(dǎo)系數(shù)o 通常，乘積 作為一個(gè)無(wú)量綱系數(shù) 出現(xiàn)在 和 的關(guān)系式中，于是有：o 當(dāng) 在空間上變化，即 時(shí)，我們稱多孔介質(zhì)是非均質(zhì)介質(zhì)或非均勻介質(zhì)。如果在飽和流動(dòng)區(qū)域的某點(diǎn)上 隨方向變化，我們說(shuō)介質(zhì)在該點(diǎn)是各向異性的。12( )( )f s fnCkd22,kCdKCdgk( , , )kk x y zk水力傳導(dǎo)系數(shù)的單位與例子o 實(shí)踐中所使用的水力傳導(dǎo)系數(shù) 的單位是各式各樣的。在美國(guó)，水文工作者通常使用兩種單位。一種是實(shí)驗(yàn)室水力傳導(dǎo)系數(shù)單位或稱標(biāo)準(zhǔn)水力傳導(dǎo)系數(shù)單位，定義為：在 的水力梯度作用下，華氏 的水通過(guò)單位面積 的流量 即 的單位為 。另一種是野外水力傳導(dǎo)系數(shù)單位或稱含

55、水層水力傳導(dǎo)系數(shù)單位，定義為：在 的水力梯度()KL T量綱1英尺 英尺602（英尺 ）（加侖 日）K2加侖 日 英尺1英尺 英里水力傳導(dǎo)系數(shù)的單位與例子o 作用下，野外溫度下的水通過(guò)厚1英尺、寬1英里的一個(gè)含水層橫截面積的流量。這樣得到的野外水力傳導(dǎo)系數(shù)單位與實(shí)驗(yàn)室水力傳導(dǎo)系數(shù)單位相同。上述單位之間的換算如下：o 在米制中，滲透率 的單位是 或 ；在英制單位中，單位是 。2-5-21=4 72 10=4 08 10美制加侖 日 英尺厘米 秒米 日2()kL量綱2厘米2米2英尺水力傳導(dǎo)系數(shù)的單位與例子o 采油工程師常用的滲透率單位是達(dá)西?？啥x為： 因此，如果完全充滿介質(zhì)空隙空間的、粘度為1厘

56、泊的一種單相流體，在每厘米一個(gè)大氣壓力或與此相當(dāng)?shù)乃μ荻茸饔孟峦ㄟ^(guò)橫截面積為 的流量為 ，則我們說(shuō)此介質(zhì)的滲透率為1達(dá)西。321() 11=1厘米 秒 厘米厘泊達(dá)西大氣壓 厘米21厘米31厘米秒水力傳導(dǎo)系數(shù)的單位與例子o 在達(dá)西的定義式中， 。由達(dá)西換算成面積單位的公式是：-2-221=10=10厘泊泊達(dá)西秒 厘米621=1.0132 10個(gè)大氣壓達(dá)西 厘米-92-112-4-221=9.8697 10=1.062 10=9.613 10=1.4156 10達(dá)西厘米英尺厘米 秒 （對(duì)于攝氏20的水而言）美制加侖 分英尺（對(duì)于攝氏20的水而言）水力傳導(dǎo)系數(shù)的單位與例子o 下表列出了水力傳導(dǎo)系數(shù)

57、和滲透率的一些典型數(shù)值：各向異性介質(zhì)的滲透率o 在各向異性介質(zhì)的一般情況下，比流量 和梯度 的關(guān)系可寫為如下形式： 三維空間中的九個(gè)分量決定著水力傳導(dǎo)系數(shù)張量，通常寫成如下矩陣形式：123(,)qq q q123(,)J J JJgrad ( ,1,2,3)iijjqK JK Ji j或q111213212223313233KKKKKKKKKK各向異性介質(zhì)的滲透率o 因?yàn)?是對(duì)稱張量 ，所以只有六個(gè)不同的分量。則方程可以寫成如下矩陣方程：o 混合分量 可解釋為這樣一個(gè)系數(shù)：它乘以水力梯度 的分量 即為 對(duì) 方向的比流量 的貢獻(xiàn)。而流量 則等于 所產(chǎn)生的比流量之和。K()ijjiKK即11112

58、1312212223233132333qKKKJqKKKJqKKKJ ijx xKJjxJJixixqixq123,xxxJJJ各向異性介質(zhì)的滲透率現(xiàn)在了解一下二秩張量所具有的若干性質(zhì)（a）如果已知張量 在坐標(biāo)系 中的分量 ，則可利用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)從坐標(biāo)系 求出它在坐標(biāo)系 中的分量 式中 是坐標(biāo)軸 和 之間的方向余弦： 。事實(shí)上，要證明某個(gè)量是二秩張量，必須證明其分量變換服從上式。KixijkixpxpqK, , , ,1,2,3pqijpiqjKK a ai j p q mnamxnxcos(,)mnmnaIx Ix各向異性介質(zhì)的滲透率（b）證明某個(gè)量是二秩張量的另一種方法是證明它服從如下的商定律

59、：即如果 是九個(gè)量，而 和 是向量（分別具有分量 和 ），滿足所有 與諸 完全無(wú)關(guān)的條件，且 ，則這些 就是二秩張量的分量。（c）如果 表示由二秩張量的九個(gè)分量 所組成的 階矩陣的行列式，那么當(dāng) 時(shí)，可以利用下述公式來(lái)求 的逆張量或ijKBCiBiCiBijKiijjCK BijKdet KijK3 3det0K K各向異性介質(zhì)的滲透率共軛張量 的分量：式中 的余子式就是從 中刪去第 行和第 列，并在此行列式之前冠以符號(hào) 所得到的行列式。設(shè)空間中存在著張量 及單位向量 ，它們的分量依次為 和 。如果伴隨向量 與1()WK1()detijijijKWKK的余子式ijKdet Kij( 1)ijK

60、IuijKiuijiK u各向異性介質(zhì)的滲透率 平行，則單位向量 的方向稱為張量 的主方向。而且，對(duì)于對(duì)稱張量 的主方向 ，有關(guān)系式 或上述關(guān)系式代表由三個(gè)線性齊次方程構(gòu)成的方程組，其中的未知數(shù)是單位向量的分量 。由于平凡解 與條件 不相容，故方IuIuKijKiu0ijijK uKu1,()0,0,ijijiijijKKuijiu0iu 1Iu Iu各向異性介質(zhì)的滲透率程的系數(shù)行列式必為零。如果用典型元素表示此行列式，則 。展開得到一個(gè)關(guān)于 的三次方程：此方程稱為對(duì)稱張量 的特征方程。方程中的 是與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的標(biāo)量，稱為對(duì)稱張量 的基本不變量： 矩陣的主對(duì)角線元素之和 的跡； 這些元素的余子