高一數(shù)學(xué)上函數(shù)板塊七大難點(diǎn)微專題含詳解 對稱性與周期性

1、3.函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的對稱性：函數(shù)對稱性主要有軸對稱和中心對稱兩種情況. 函數(shù)對稱性研究的是一個(gè)函數(shù)本身所具有的性質(zhì).1.軸對稱: 函數(shù)圖象關(guān)于一條垂直于軸的直線對稱，則當(dāng)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離相等且函數(shù)值時(shí). 我們就稱函數(shù)關(guān)于對稱.代數(shù)表示: (1). (2). 即當(dāng)兩個(gè)自變量之和為一個(gè)定值，函數(shù)值相等時(shí),則函數(shù)圖像都關(guān)于直線對稱. 一般地，若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.特別地，偶函數(shù)(關(guān)于軸對稱)，即當(dāng)橫坐標(biāo)到原點(diǎn)的距離相等(橫坐標(biāo)互為相反數(shù)），函數(shù)值相等.2.中心對稱：函數(shù)上任意一點(diǎn)（）關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)（）也在函數(shù)圖像上，此時(shí)我們就稱函數(shù)為關(guān)于點(diǎn)()對稱的中心對稱圖像，點(diǎn)(

2、)為對稱中心. 用代數(shù)式表示：(1). (2). 一般地,若函數(shù)滿足,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.特別地，奇函數(shù)(關(guān)于原點(diǎn)對稱)，即當(dāng)橫坐標(biāo)到原點(diǎn)的距離相等(橫坐標(biāo)互為相反數(shù)），函數(shù)值相反.3. 對稱性的意義: 知一半而得全部，即一旦函數(shù)具備對稱性，則只需分析一側(cè)的性質(zhì)，便可得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì).(1).利用對稱性求得函數(shù)在某點(diǎn)的函數(shù)值.(2).利用對稱性可以在作圖時(shí)只需作出一半的圖象，然后再根據(jù)對稱性作出另一半的圖象.(3).對于軸對稱函數(shù)，關(guān)于對稱軸對稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反；對于中心對稱函數(shù)，關(guān)于對稱中心對稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同.例1.求下列函數(shù)的解析式.(1).已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)

3、，求的表達(dá)式；(2).已知函數(shù)為定義在上的函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，試求函數(shù)在的表達(dá)式.解：依題可知，關(guān)于對稱，任取，由對稱性，則.(3).已知函數(shù)為定義在上的函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，試求函數(shù)在的表達(dá)式.例2.已知函數(shù)滿足，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)為,則( )A. B. C. D. 例5.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的解且,求的取值范圍.例6.已知函數(shù)，若存在且使得函數(shù)滿足,求的取值范圍.結(jié)論1.若的圖像關(guān)于直線對稱.設(shè).例7.在的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.例8.已知函數(shù)滿足,若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為,，（），則A. B. C. D.結(jié)論2.若,即.一般地，對于例9.已知函數(shù),函數(shù)滿足:當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，若

4、關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為( )A. B.C. D.函數(shù)的周期性1.定義:對于定義域內(nèi)的每一個(gè)，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱函數(shù)具有周期性，叫做的一個(gè)周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期.2.函數(shù)周期性有關(guān)結(jié)論:設(shè)是非零常數(shù)，若對于函數(shù)定義域內(nèi)的任一變量有下列條件之一成立，則函數(shù)是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.(1). (2).(3). (4).3.函數(shù)的對稱性與周期性性質(zhì)1. 若函數(shù)同時(shí)關(guān)于直線與軸對稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，且.性質(zhì)2. 若函數(shù)同時(shí)關(guān)于點(diǎn)與點(diǎn)中心對稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，且.性質(zhì)3.若函數(shù)既關(guān)于點(diǎn)中心對稱，又關(guān)于直線軸對稱，則函數(shù)必為

5、周期函數(shù)，且.特別地：(1).若是奇函數(shù)且關(guān)于軸對稱，則是周期函數(shù)，周期為_.(2).若是偶函數(shù)且關(guān)于軸對稱，則是周期函數(shù)，周期為_.(3).若是奇函數(shù)且關(guān)于軸對稱，則是周期函數(shù)，周期為_.(4).若是偶函數(shù)且關(guān)于軸對稱，則是周期函數(shù)，周期為_.4.周期性的應(yīng)用:(1).函數(shù)周期性的作用：簡而言之“窺一斑而知全豹”，只要了解一個(gè)周期的性質(zhì)，則得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì).(2).圖像：只要做出一個(gè)周期的函數(shù)圖象，其余部分的圖像可利用周期性進(jìn)行復(fù)制粘貼.(3).單調(diào)性：由于間隔的函數(shù)圖象相同，所以若函數(shù)在上單調(diào)增(減)，則在上單調(diào)增(減).例10.(1).函數(shù)滿足，當(dāng)，求_.(2).若是上的奇函數(shù),且滿足

6、,當(dāng)時(shí),，則( )A.2 B.-2 C.-98 D.98 例11.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)，都有，且當(dāng)，則( )A.-1 B.-2 C.2 D.1例12.考慮下列零點(diǎn)問題.(1).設(shè)滿足,且時(shí),則在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_.(2).已知函數(shù)滿足,且時(shí),若令函數(shù),則函數(shù)的左右零點(diǎn)之和為( )A.8 B.6 C.4 D.2例12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，滿足.若，則，( ). B. C. D. 利用周期性求函數(shù)解析式例13：設(shè)是定義在區(qū)間上，且以2為周期的函數(shù)，對，用表示區(qū)間，已知當(dāng)時(shí)，求在上的解析式解：由已知，當(dāng)時(shí)， ，利用區(qū)間轉(zhuǎn)移的方法，如果 即則有：又因?yàn)樵摵瘮?shù)以2為周期，所以有所以函數(shù)在 上的解析式為：一般規(guī)律：區(qū)間轉(zhuǎn)移：將未知區(qū)間上的自變量加（或減）周期的整數(shù)倍后，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，再利用周期的定義進(jìn)而求出該區(qū)間上的函數(shù)解析式.再看一個(gè)例題加深印象練：設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，求的解析式.解：因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于對稱，且函數(shù)為奇函數(shù)所以有又因?yàn)?所以：，所以函數(shù)為周期函數(shù)，且周期因?yàn)楹瘮?shù)在上的解析式已知，所以,由可得：總結(jié)：1.根據(jù)題目條件，判斷、證明函數(shù)為周期函數(shù).2.將未知區(qū)間上的