第五章_連續(xù)系統(tǒng)的S域分析

1、 頻域分析以頻域分析以虛指數(shù)信號(hào)虛指數(shù)信號(hào)ejt為為基本信號(hào)，任意信號(hào)可基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和,使響應(yīng)的求解得使響應(yīng)的求解得到簡(jiǎn)化，物理意義清楚到簡(jiǎn)化，物理意義清楚,但也有不足：但也有不足：（1）有些重要信號(hào)不存在傅里葉變換有些重要信號(hào)不存在傅里葉變換，如，如e2t(t);（2）對(duì)于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析對(duì)于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。 （3）傅里葉反變換不好求傅里葉反變換不好求 在這一章在這一章,把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域，解決把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域，解決以上問(wèn)題。以上問(wèn)題。 本章引入復(fù)頻率

2、本章引入復(fù)頻率 s = +j,以復(fù)指數(shù)函數(shù)以復(fù)指數(shù)函數(shù)est為基本信為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。號(hào)，任意信號(hào)可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是復(fù)頻率這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是復(fù)頻率 s ，故稱為，故稱為s域分域分析。所采用的數(shù)學(xué)工具為析。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換拉普拉斯變換。第五章第五章 連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的S域分析域分析 5.1 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 5.2 5.2 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì) 5.3 5.3 拉普拉斯變換逆變換拉普拉斯變換逆變換 5.4 5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析本章要點(diǎn) 5.1 拉普

3、拉斯變換拉普拉斯變換 一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換 二、收斂域二、收斂域 三、三、(單邊單邊)拉普拉斯變換拉普拉斯變換 5.1拉普拉斯變換拉普拉斯變換 一、從傅里葉到拉普拉斯變換一、從傅里葉到拉普拉斯變換 有些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件，求解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子e-t(為實(shí)常數(shù)）乘信號(hào)f(t) ，適當(dāng)選取的值，使乘積信號(hào)f(t) e-t當(dāng)t時(shí)信號(hào)幅度趨近于0 ，從而使f(t) e-t的傅里葉變換存在。相應(yīng)的傅里葉逆變換為相應(yīng)的傅里葉逆變換為 Fb(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），雙邊拉氏變換（或象函數(shù)）， f(t)稱為稱為Fb(s) 的雙

4、邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。二、收斂域二、收斂域只有選擇適當(dāng)?shù)倪x擇適當(dāng)?shù)闹抵挡拍苁狗e分收斂，信號(hào)f(t)的雙邊拉普拉斯變換存在。使f(t)拉氏變換存在拉氏變換存在的取值范圍稱為稱為Fb(s)的收斂域。的收斂域。下面舉例說(shuō)明下面舉例說(shuō)明Fb(s)收斂域的問(wèn)題。收斂域的問(wèn)題。 解：例1 因果信號(hào)f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯變換?？梢?，對(duì)于因果信號(hào)，僅當(dāng)Res=時(shí)，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。收斂域如圖所示。 解：解：例例2 反因果信號(hào)反因果信號(hào)f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯變換。，求其拉普拉斯變換。可見，對(duì)于反因果信號(hào)，僅當(dāng)Res=時(shí)，其收斂

5、域?yàn)镽es的一個(gè)帶狀區(qū)域，如圖所示。如圖所示。 解解例4 求下列信號(hào)的雙邊拉氏變換。f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t)f2(t)= e -3t (t) e-2t (t)f3(t)= e -3t (t) e-2t ( t)可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。結(jié)論：1、對(duì)于雙邊拉普拉斯變換而言，F(xiàn)(S)和收斂域一起，可以唯一地確定f(t)。即：2、不同的信號(hào)可以有相同的F(S)，但他們的收斂域不同；不同信號(hào)如果有相同的收斂域，則他們的F(S)必然不同！三、單邊拉氏變換三、單邊拉氏變換 通常遇到的信號(hào)都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí)刻為坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣，t ，通常

6、可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。本課程主要討論單邊拉氏變換。為使象函數(shù)為使象函數(shù)F（s）存在的條件：）存在的條件：如果函數(shù)（）滿足：（）在有限的區(qū)間內(nèi)可積；（）對(duì)于有0t, 0)(limtetf可積的時(shí)限信號(hào)，其象函數(shù)在全平面收斂可積的時(shí)限信號(hào)，其象函數(shù)在全平面收斂 解：例例5.15求復(fù)指數(shù)函數(shù)（式中求復(fù)指數(shù)函數(shù)（式中s0為復(fù)常數(shù)）為復(fù)常數(shù)）f(t)=es0t (t)的象函數(shù)的象函數(shù)ReRe,1)(000)(0000ssssdtedteeteLtsssttsts若s0為實(shí)數(shù)，令s0，則有Re,1)(Re,1)(sstesstett若s0為實(shí)數(shù)，令s0j，則有0Re,1)(0Re,1)(s

7、jstesjstetjtj若s0為0， (t) 1/sRes 0四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換 0defde)()(ttfsFst 01)(dtetst 00)(01)(000ssdtedteetetsssttsts 1、 (t) 1， - (t) 2、指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)e-s0t (t)01ss -Res03、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)es0t (t) 01ss Res0 (t) ， -常見函數(shù)的拉普拉斯變換常見函數(shù)的拉普拉斯變換 0defde)()(ttfsFst5、若、若s0 為實(shí)數(shù)，且為實(shí)數(shù)，且s0 =a(a0) , 則則aasteat 1)(aasteat 1)(4、 (

8、t)或或1 1/s ， 06、若若s0 為虛數(shù)，且為虛數(shù)，且s0 =j， 則則01)( jstetj01)( jstetj常見函數(shù)的拉普拉斯變換常見函數(shù)的拉普拉斯變換.cos 0t = (ej 0t+ e e-j-j 0t )/2 202 ss sin 0t = (ej 0t e e-j-j 0t )/2j 2020 s7. (t) 1/s 0 五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系 0de)()(ttfsFstRes 0 ttfFtde)()(jj 要討論其關(guān)系，要討論其關(guān)系，f(t)必須為因果信號(hào)必須為因果信號(hào)。 根據(jù)收斂坐標(biāo)根據(jù)收斂坐標(biāo) 0 0的值可分為以下

9、三種情況的值可分為以下三種情況： （1） 0-2；則則 F(j )=1/( j +2)單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系（2） 0 =0，即即F(s)的收斂邊界為的收斂邊界為j 軸，軸， )(lim)(j0sFF 如如f(t)= (t)F(s)=1/s 2202200limlim1lim)(j jjF= ( ) + 1/j （3） 0 0，F(xiàn)(j )不存在。不存在。 例例 f(t)=e2t (t) F(s)=1/(s 2) , 2；其傅里葉變；其傅里葉變換不存在。換不存在。5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì) 線性性質(zhì)線性性質(zhì) 尺度變換尺度變換 時(shí)移特性時(shí)移特性

10、復(fù)頻域特性復(fù)頻域特性 時(shí)域微分時(shí)域微分 時(shí)域積分時(shí)域積分 卷積定理卷積定理 S S域微分域微分 S S域積分域積分 初值定理初值定理 終值定理終值定理5.25.2拉氏變換的基本性質(zhì)拉氏變換的基本性質(zhì)v 拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的性質(zhì)。這里只著重于性質(zhì)。這里只著重于ROCROC的討論。的討論。例例1 1f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 若若f1(t)F1(s) Res 1 , f2(t)F2(s) Res 2則則 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax( 1, 2) Resmax( 1, 2)

11、是兩個(gè)函數(shù)收斂域的交集是兩個(gè)函數(shù)收斂域的交集當(dāng)當(dāng) 1 與與 2 無(wú)交集時(shí)，表明無(wú)交集時(shí)，表明 F (s) 不存在。不存在。一、線性性質(zhì)一、線性性質(zhì)如果是兩個(gè)函數(shù)之差，其收斂域可能被擴(kuò)大，（例）如果是兩個(gè)函數(shù)之差，其收斂域可能被擴(kuò)大，（例）二、尺度變換二、尺度變換若若f(t) F(s) , Res 0，且有實(shí)數(shù)，且有實(shí)數(shù)a0 ，)(1asFa 0de)()(tatfatfLst，則，則令令at 0de)()(afatfLas 0de)(1faas asFa1證明：證明：則則f(at) Res 0Res 0F(s) 的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)镽es 0，s/a的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)镽es/a 012( )

12、,1212X sss1ROC:2 可見：可見：若信號(hào)在時(shí)域尺度變換，其拉氏變換的若信號(hào)在時(shí)域尺度變換，其拉氏變換的ROC在在S平面上作相反的尺度變換。平面上作相反的尺度變換。求求 的拉氏變換及的拉氏變換及ROC)()2(2tetxt例例. .1 11)()()(ssXtetxt三、時(shí)移特性三、時(shí)移特性若若f(t) F(s) , Res 0, 且有實(shí)常數(shù)且有實(shí)常數(shù)t00 ,則則f(t-t0) (t-t0)e-st0F(s) , Res 0 ROC不變不變與尺度變換相結(jié)合與尺度變換相結(jié)合f(at-t0) (at-t0) asFasat0e1例例1:求如圖信號(hào)的單邊拉氏變換。求如圖信號(hào)的單邊拉氏變換

13、。011f1(t)t01-11tf2(t)解：解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1) (t-1)F1(s)=)e1(1ss F2(s)= F1(s)四、復(fù)頻移（四、復(fù)頻移（s域平移）特性域平移）特性若若f(t) F(s) , Res 0 , 且有復(fù)常數(shù)且有復(fù)常數(shù)sa= a+j a,則則f(t)esat F(s-sa) , Res 0+ a 復(fù)頻域特性：復(fù)頻域特性：表明表明 F(s-sa) 的的ROC是將是將 F(s) 的的ROC平移了一個(gè)平移了一個(gè)Resa例例. .1( ),1X ss1 顯然顯然ROC:3 )()(tetxt31)2()().(32SSXteetx

14、tt五、五、時(shí)域的微分時(shí)域的微分特性（微分定理）特性（微分定理） 000,)()()(dtetsfetfdtetfststst若若f(t) F(s) , Res 0, 則則f (t) sF(s) f(0-) )0()0()( )0(0sd)(d22fsfsFsffsFsttfL 10)(1)0()(d)(dnrrrnnnfssFsttfL推廣：推廣：證明：證明： )(0ssFf 0t,0)(limtetff(t)為指數(shù)階函數(shù)為指數(shù)階函數(shù)若若f(t)為因果信號(hào)，則為因果信號(hào)，則f(n)(t) snF(s) 舉例 )(2cos)(2sin2)(2costtttttdtd )()(2sin2ttt

15、例例1:?)(2cosddttt 解解:1144)(2cosdd222 sssttt 20200tsinst）（六六 時(shí)域積分時(shí)域積分特性（積分定理）特性（積分定理） 若f(t) F(s) , Res0, 則)0(1)(1)()()()(11)(mnmmnntnnfssFsdxxftf已知后者，也已知后者，也可推出前者可推出前者若若f(t)為因果信號(hào)，為因果信號(hào)，f(n) (0-)=0, 則則 )(1d)(0sFsxxfnnt 證證P222例例1:已知已知 (t) 1/s ，求，求t2 (t)? )(d)(0ttxxt ttttxxxxx0220)(2d)(d)( 322212)(ssstt

16、)(1d)(0sFsxxfnnt 例例5.2-8例例:已知因果信號(hào)已知因果信號(hào)f(t)如圖如圖 ,求求F(s)f(t)t022解：解：對(duì)對(duì)f(t)求導(dǎo)得求導(dǎo)得f(t)，如圖，如圖f(t)t(-2)120)0()(d)( 0 ftfxxft由于由于f(t)為因果信號(hào)，故為因果信號(hào)，故f(0-)=0 txxftf0d)( )(f(t)=(t)(t 2) 2(t 2) F1(s)sss22e2)e1 (1ssFsF)()(1 結(jié)論：若結(jié)論：若f(t)為因果信號(hào)，已知為因果信號(hào)，已知f(n)(t) Fn(s) 則則 f(t) Fn(s)/sn七、卷積定理七、卷積定理時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積定理 若因果函數(shù)

17、若因果函數(shù) f1(t) F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , Res 2 則則 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) Resmax( 1, 2) 復(fù)頻域（復(fù)頻域（s域）卷積定理域）卷積定理(較少用到較少用到) jcjcsFFtftf d)()(j21)()(2121Res 1+ 2， 1 c Res- 2八、八、s域微分和積分域微分和積分若若f(t) F(s) , Res 0, 則則 ssFtftd)(d)()( nnnssFtftd)(d)()( 例例1：t2e-2t (t) ? t2e-2t (t) 322)2(2)21(dd sss sdFttf )()(e

18、-2t (t) 1/(s+2) sdFttf )()(九、初值定理和終值定理九、初值定理和終值定理初值定理和終值定理常用于由初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f(），而不必求出原函數(shù)），而不必求出原函數(shù)f(t)初值定理初值定理設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(tf(t) )不含不含(t(t) )及其各階導(dǎo)數(shù)，且及其各階導(dǎo)數(shù)，且f(t)及其導(dǎo)數(shù)存及其導(dǎo)數(shù)存在拉氏變換，在拉氏變換， f(t)的象函數(shù)的象函數(shù)F(s)，終值定理若f(t)當(dāng)t 時(shí)的極限存在， 并且f(t) F(s) , Res0,）都存在（tflim0t時(shí)時(shí) 0+，頻，頻 頻頻 ，時(shí)，時(shí) 0+S =0必須在是必須在是F（s）的

19、收斂域內(nèi)）的收斂域內(nèi)）（tflimtRes0舉例例：例：222)(2 ssssF2222lim)(lim)0(22 sssssFfss0222lim)(lim)(2200 sssssFfss5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換直接利用定義式求反變換-復(fù)變函數(shù)積分復(fù)變函數(shù)積分。熟悉復(fù)變函數(shù)，且比較困難熟悉復(fù)變函數(shù)，且比較困難 通常的方法: （1）查表法（附錄五）查表法（附錄五） （2）性質(zhì)法（借助拉氏變換的性質(zhì)）性質(zhì)法（借助拉氏變換的性質(zhì)）例如：求象函數(shù)例如：求象函數(shù)F(sF(s) )的原函數(shù)的原函數(shù)f(tf(t) )(3cos39)(39)1()1310233)(222ttessssssssF

20、t（t）f（t）由于L-11=(t)， L -1sn=(n)(t)，故多項(xiàng)式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)構(gòu)成。若若mn （假分式）,可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)F(s)分解為有理多項(xiàng)式P(s)與有理真分式之和。（3） 部分分式展開部分分式展開-F(s)是是s的有理真分式的有理真分式（若（若F(s)是無(wú)理分式，用留數(shù)定理）是無(wú)理分式，用留數(shù)定理）若象函數(shù)若象函數(shù)F(s)是是s的有理分式，可寫為的有理分式，可寫為下面主要討論有理真分式的情形下面主要討論有理真分式的情形。若若F(s)是是s的實(shí)系數(shù)有理真分式（的實(shí)系數(shù)有理真分式（mn)，則可寫為，則可寫為 01110111.)()()(b

21、sbsbsasasasasAsBsFnnnmmmm )()()()()()()(2121nnmmpspspsazszszsbsAsBsF 分解分解零點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)極點(diǎn) 0)(0)( sFsB因?yàn)橐驗(yàn)?的零點(diǎn)的零點(diǎn)稱為稱為的根的根是是sFsBzzzzm,0,321 的極點(diǎn)的極點(diǎn)稱為稱為的根的根是是sFsAppppn,0,321 )(0)(sFsA因?yàn)橐驗(yàn)槭街惺街蠥(s)稱為稱為F(s)的的特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式，方程，方程A(s)=0稱為稱為特征方程特征方程，它的根稱為，它的根稱為特征根特征根，也稱為系統(tǒng)的，也稱為系統(tǒng)的固有頻率固有頻率（或自然頻率）。（或自然頻率）。n個(gè)特征根個(gè)特征根pi稱為稱為F(

22、s)的的極點(diǎn)極點(diǎn)。（1）F(s)為單極點(diǎn)（單根）為單極點(diǎn)（單根）第一種情況：?jiǎn)坞A實(shí)數(shù)極點(diǎn) ,321為不同的實(shí)數(shù)根為不同的實(shí)數(shù)根npppp)()()(s)()(21npspspssBAsBsF）（n1ii2211p-sK)(nnpsKpsKpsKsFipsiiisFpssFsK )()()()p(limips)(e11tpsLtpiiA(s)=0的根都是單根且的根都是單根且待定系數(shù)待定系數(shù)Ki：上式兩邊乘以（：上式兩邊乘以（s-pi）當(dāng)當(dāng)s pi，時(shí)時(shí)利用線性性質(zhì)利用線性性質(zhì)由于由于)()(L) t (f11teksFnitpii“留數(shù)留數(shù)”單階實(shí)極點(diǎn)舉例單階實(shí)極點(diǎn)舉例(1)(1)求極點(diǎn)求極點(diǎn)

23、)3)(2)(1(3322 ssssssF(2)(2)展為部分分式展為部分分式 321321sKsKsKsF362511)( ssssF所以所以6116332)(232 ssssssF 1estLt根據(jù) 0e6e5e)(:32 ttfttt得得(3)(3)逆變換逆變換求系數(shù)求系數(shù)1|) 3)(2(332| )() 1(1211sssssssFsK假分式情況：假分式情況：23795)(223 ssssssF作長(zhǎng)除法作長(zhǎng)除法 2 3s 462772 2379523 2223232 sssssssssssss )(22132)(1sFssssssF 2112)(1 sssF tttf 2 )(e)(

24、e22tttt 第二種情況：極點(diǎn)為第二種情況：極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù) sssAsBsFjj1 sssFjj1共軛極點(diǎn)出現(xiàn)在共軛極點(diǎn)出現(xiàn)在j .jj21sKsKsF ssFsKj j1 ssFsKj j2成共軛關(guān)系：成共軛關(guān)系：可見可見21,KKBAKj1 *12jKBAK P-235求f(t)j11e|jKBAKj1*12e|jKKBAK sKsKLtfjj*1110 tttKK eee*11 tBtAt sincose2 je|je|jj)(j1j1*110sKsKsKsKsF=2|K1|e- tcos( t+ ) (t) 其中：其中：-為共軛極點(diǎn)的實(shí)部；為共軛極點(diǎn)的實(shí)部；為共軛極點(diǎn)的虛部為

25、共軛極點(diǎn)的虛部|K1|為為“留數(shù)留數(shù)”之模之模為為“留數(shù)留數(shù)”的幅角的幅角共軛極點(diǎn)舉例共軛極點(diǎn)舉例。的逆變換的逆變換求求)()52)(2(3)(22tfsssssF )2)(2j1)(2j1(32 sssssF2j12j12210 sKsKsK02, 1 取取 57)2(20 ssFsK52j1)2j1)(2(32j121 ssssK52,51 BA 0 2sin522cos51e2e572 ttttftt（2）F(s)有重極點(diǎn)（重根）有重極點(diǎn)（重根）1!)(nnsnttL求求K11，方法兩邊乘以（，方法兩邊乘以（s-pi）令）令s=p1：求其他系數(shù)，要用下式求其他系數(shù)，要用下式 11)()(

26、)(1111pspsksFsFpsKkisFsiKpsiii, 3 , 2 , 1 )(dd)!1(111111 1)(dd , 2112pssFsKi 當(dāng)當(dāng)1)(dd21 , 312213pssFsKi 當(dāng)當(dāng))(e!1)(11111ttnpsLtpnn 若若A(s) = 0在在s = p1處有處有r重根重根P225-（5.2-23） 5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析一、微分方程的變換解一、微分方程的變換解二、系統(tǒng)函數(shù)二、系統(tǒng)函數(shù)三、系統(tǒng)的三、系統(tǒng)的s域框圖域框圖四、電路的四、電路的s域模型域模型5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析-LTI-LTI系統(tǒng)系統(tǒng)一、微分方程的變換解一、微分方程的變換解 拉氏變換

27、將描述系統(tǒng)的拉氏變換將描述系統(tǒng)的時(shí)域微積分方程時(shí)域微積分方程轉(zhuǎn)換到轉(zhuǎn)換到s域的代數(shù)方程域的代數(shù)方程，且且將系統(tǒng)的將系統(tǒng)的初始狀態(tài)包含于象函數(shù)方程初始狀態(tài)包含于象函數(shù)方程中，省去中，省去0+到到0-的跳變的跳變過(guò)程的分析，即可以求得系統(tǒng)的過(guò)程的分析，即可以求得系統(tǒng)的全響應(yīng)全響應(yīng)描述描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為 nimjjjiitfbtya00)()()()(系統(tǒng)的初始狀態(tài)為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。思路思路：用拉普拉斯變換微分特性用拉普拉斯變換微分特性)0()()()(101)( pippiiiyssYsty ni

28、niipmjjjppiiiisFsbysasYsa00100)(1)()0()()()()()()()()()(sYsYsFsAsBsAsMsYzszi y(t)， yzi(t)， yzs(t)s域的代數(shù)方程域的代數(shù)方程若若f (t)在在t = 0時(shí)接入系統(tǒng)時(shí)接入系統(tǒng)，則，則 f (j)(t) s j F(s)A(s)B(s)M(s)A(s)：是系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，：是系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式， A(s)和和B(s)的系數(shù)只和的系數(shù)只和aj和和b有關(guān)有關(guān)M(s) ：與：與aj和和y（p） （0-）有關(guān)和激勵(lì)無(wú)關(guān)）有關(guān)和激勵(lì)無(wú)關(guān) nimjjjiitfbtya00)()()()(舉例舉例例例5.4-4 描述

29、某描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t)已知初始狀態(tài)已知初始狀態(tài)y(0-) = 1，y(0-)= -1，激勵(lì)，激勵(lì)f (t) = 5cost (t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)解：解： 方程取拉氏變換，并整理得方程取拉氏變換，并整理得)(65265)0(5)0( )0()(22sFssssyysysY15)(2 sssFYzi(s)Yzs(s)153s22)3)(2(4)()()(2sssssssYsYsYzszi）（jsjsssssYjj4545e21e213s3243122)(y(t)= 2e2t e3t - -

30、4e2t +3 e3t +)()45cos(2ttyzi(t)yzs (t)瞬態(tài)分量瞬態(tài)分量yt (t)穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量ys (t)二、系統(tǒng)函數(shù)二、系統(tǒng)函數(shù) nimjjjiitfbtya00)()()()(系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為定義為 )()(B)()()(defsAssFsYsHzs它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)、初始它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)、初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。狀態(tài)無(wú)關(guān)。yzs(t)= h(t)*f (t)H(s)= L h(t)Yzs(s)= L h(t) F(s) niniipmjjjppiiiisFsbysasYsa00100)(1)()0()(Yzs(s

31、)= H(s) F(s)三、系統(tǒng)的三、系統(tǒng)的s域框圖域框圖時(shí)域框圖基本單元時(shí)域框圖基本單元f(t)tftyd)()(af(t)y(t) = a f (t)s域框圖基本單元域框圖基本單元(零狀態(tài)零狀態(tài))s1F(s)Y(s) = s1F(s)aF(s)Y(s) = a F(s)f1(t)f2(t)y(t) = f1(t)+ f2(t)+F1(s)Y(s) = F1(s)+F2(s)F2(s)+ 例例如下圖所示框圖，列出其微分方程如下圖所示框圖，列出其微分方程4132f (t)y(t)X(s)s-1X(s)s-2X(s)解解根據(jù)根據(jù)s域框圖域框圖,s-1s-1F(s)Y(s)X(s) = F(s)

32、3s-1X(s) 2s-2X(s) s域的代數(shù)方程域的代數(shù)方程Y(s) = X(s) + 4s-2X(s) )(2311)(21sFsssX )(23141212sFsss )(23422sFsss 微分方程為微分方程為 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = f (t)+ 4f (t) 再求再求h(t)?設(shè)左邊加法器輸出為設(shè)左邊加法器輸出為X(s)，如圖，如圖四、用拉氏變換法分析電路的步驟四、用拉氏變換法分析電路的步驟:列列s域方程（可從兩方面入手）域方程（可從兩方面入手）求解求解s域方程域方程。)()(tfsF，得到時(shí)域解答得到時(shí)域解答。l 列時(shí)域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；列

33、時(shí)域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；l 直接按電路的直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程。域模型建立代數(shù)方程。什么是電路的什么是電路的s s域模型？域模型？1、KCL、KVL方程方程 0)(ti 0)(tu 0)(sI 0)(sUKCLKVL線性線性結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)回路回路五、電路的五、電路的s域模型域模型圖 R的時(shí)域和S域串聯(lián)模型 (a) 時(shí)域模型； (b) S域模型 (a)i(t)Ru(t)(b)I(s)RU(s)()(tRitu)()(sRIsULT1.（1）電阻用于回路分析）電阻用于回路分析(串聯(lián)模型串聯(lián)模型) （VAR）對(duì)時(shí)域電路取拉氏變換對(duì)時(shí)域電路取拉氏變換 圖 具有起始電流電感L的時(shí)域和S

34、域串聯(lián)模型(a) 時(shí)域模型； (b) S域模型 (a)i(t)Lu(t)(b)I(s)sLU(s)0)(1)0()()()(0tduLitidttdiLtut0( )( )( )( )(0 )11(0 )( ) (0 )( )( )( )LLLtLLdi tu tLU ssLI sLidtii t iudI sU sLsLsLT(a)I(s)U(s)sLLi(0)(b)I(s)U(s)sLiL(0-)s（2）電感用于回路分析）電感用于回路分析(串聯(lián)模型串聯(lián)模型) （VAR）圖具有起始電壓電感電容元件的時(shí)域和S域串聯(lián)模型(a) 時(shí)域模型； (b) S域模型 (b)I(s)U(s)(a)i(t)C

35、u(t)sC1dttduCtitdiCutut)()(0)(1)0()(0)0()()()0()(1)(CussCUsIsusIsCsU(b)I(s)U(s)C uC(0)(a)I(s)U(s)sC1u(0)ssC1（3）電容用于回路分析）電容用于回路分析(串聯(lián)模型串聯(lián)模型) （VAR）dttduCtitdiCutut)()(0)(1)0()(0圖 R的時(shí)域和S域并聯(lián)模型 (a) 時(shí)域模型； (b) S域模型 (a)i(t)Ru(t)(b)I(s)RU(s)LTi iR R(t(t)= )= u uR R(t(t)/R)/RI IR R(s(s)= )= U UR R(s(s)/R = )/R

36、 = GUGUR R(s(s) )2.（2）電阻用于結(jié)點(diǎn)分析（并聯(lián)模型）電阻用于結(jié)點(diǎn)分析（并聯(lián)模型） （VAR）圖 電感L的時(shí)域和S域并聯(lián)模型(a) 時(shí)域模型； (b) S域模型 (a)i(t)Lu(t)(b)I(s)sLU(s)0( )( )( )( )(0 )11(0 )( ) (0 )( )( )( )LLLtLLdi tu tLU ssLI sLidtii t iudI sU sLsLs0)(1)0()()()(0tduLitidttdiLtut(a)I(s)U(s)sLLi(0)(b)I(s)U(s)sLiL(0-)s（2）電感用于結(jié)點(diǎn)分析（并聯(lián)模型）電感用于結(jié)點(diǎn)分析（并聯(lián)模型） （

37、VAR）圖 電容元件的時(shí)域和S域并聯(lián)模型(a) 時(shí)域模型； (b) S域模型 (b)I(s)U(s)(a)i(t)Cu(t)sC1dttduCtitdiCutut)()(0)(1)0()(0)0()()()0()(1)(CussCUsIsusIsCsU(b)I(s)U(s)C uC(0)(a)I(s)U(s)sC1u(0)ssC1（3）電容用于結(jié)點(diǎn)分析（并聯(lián)模型）電容用于結(jié)點(diǎn)分析（并聯(lián)模型） （VAR） 若初始狀態(tài)為零狀態(tài)：iL(0) = iL(0-) = iL(0+)0 uc(0) = uc(0-) = uc(0+)0 則描述動(dòng)態(tài)元件起始狀態(tài)的電壓源、電流源不存在（為零）)(1)(sIsCs

38、U(a)i(t)Lu(t)(b)I(s)sLU(s)圖 4.5-4 電感、電容元件的零狀態(tài)S域模型(a)電感元件； (b)電容元件(b)I(s)U(s)(a)i(t)Cu(t)sC1（a)()(ssLIsU表53 電路元件的s域模型 求響應(yīng)的步驟求響應(yīng)的步驟 畫畫0-等效電路，求初始狀態(tài)；等效電路，求初始狀態(tài)； 畫畫s域等效模型；域等效模型； 列列s域方程（代數(shù)方程）；域方程（代數(shù)方程）； 解解s域方程，求出響應(yīng)的拉氏變換域方程，求出響應(yīng)的拉氏變換U(s)或或I(s)； 拉氏反變換求拉氏反變換求u(t)或或i(t)。RLC系統(tǒng)的復(fù)頻域模型及分析方法系統(tǒng)的復(fù)頻域模型及分析方法 例：如圖所示例：如

39、圖所示RLCRLC系統(tǒng)，系統(tǒng)，u us1s1( (t t)=2V, )=2V, u us2s2( (t t)=4V, )=4V, R R1 1= =R R2 2=1=1，L L=1H=1H，C C=1=1。t t0 0時(shí)電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，時(shí)電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t t=0=0時(shí)開關(guān)時(shí)開關(guān)S S由位置由位置1 1接接到位置到位置2 2。求。求t t00時(shí)的完全響應(yīng)時(shí)的完全響應(yīng)i iL L( (t t) )、零輸入響應(yīng)、零輸入響應(yīng)i iL L ( (t t) )和零和零狀態(tài)響應(yīng)狀態(tài)響應(yīng)i iL L ( (t t) )。 解解 (1) 求完全響應(yīng)求完全響應(yīng)iL(t)： VtuRRRuARRtuisCsL1)()

40、0(1)()0(1212211(b )R2R1IL(s)LsC1uC(0)sLiL(0)Us2(s)I2(s)I1(s)(a )uC(t)R2R1iL(t)LCSt 0us2(t)21us1(t)(c)R2R1ILx(s)sLsC1uC(0)sLiL(0)I2x(s)I1x(s)(d )R2R1ILf(s)sLsC1I1 f(s)Us2(s)(b)R2R1IL(s)LsC1uC(0)sLiL(0)Us2(s)I2(s)I1(s)(a)uC(t)R2R1iL(t)LCSt 0us2(t)21us1(t)(c)R2R1ILx(s)sLsC1uC(0)sLiL(0)I2x(s)I1x(s)(d)R2R1ILf(s)sLsC1I1f(s)Us2(s)t0，s域域零輸入零輸入s域域零狀態(tài)零狀態(tài)s域域t0，t域域則S域的網(wǎng)孔方程為 )0()0()(1)(1)0()()(1)(12212211LCCSLisusIsLRsCsIsCsusUsIsCsIsCR式中， ， 把Us2(s)及各元件的值代入網(wǎng)孔方程， 解網(wǎng)孔方程得 stuLsUss/4)()(22(b)R2R1IL(s)LsC1uC(0)sLiL(0)Us2(s)I2(s)I1(s)(a)uC(t)R2R1iL(t)LCSt 0us2(t)21us1(t)(c)R2R1ILx(s)s