時(shí)間序列平滑預(yù)測法頁

1、第一節(jié) 移動(dòng)平均法 又稱滑動(dòng)平均法 一一次移動(dòng)平均法 假定 yt 隨時(shí)間順序t =1,2, ,N發(fā)生變化的數(shù)據(jù). 設(shè)為N=20， 那么為y1，y2， ,y20 將其分為假設(shè)干段，以5個(gè)數(shù)據(jù)作為一段，進(jìn)行滑動(dòng)。 第一段： y1，y2 ，y3 ，y4 ，y5: ， = (1/5) yt =M5 由于在此段， y5為數(shù)據(jù)平均值，所有數(shù)據(jù)應(yīng)在它的上下波動(dòng)。因此推出，可以用于預(yù)測t = 6時(shí)的值y6 = y5。 y6 的實(shí)際值還按前一組值的變化規(guī)律在 的上下波動(dòng)。 第二段：滑動(dòng)舍去初始的y1,新一組為 y2 ,y3 ,y4 ,y5 ,y6 : y6 = (1/5) yt = M6 有 y7 = y6 =

2、 M6 : : 第十六段： y16 ,y17 ,y18 ,y19 ,y20 : y20 = (1/5) yt = M20可預(yù)測 y21 = y20 = M20 平均值 一般地： Mt =yt + yt-1+ + yt-n+1/N =(1/N) yi = 這個(gè)公式就稱為一次移動(dòng)平均公式。 2004/10/18遞推式 Mt(1 =yt + yt-1+ + yt-n+1/N = yt-1+ + yt-n /N + ytyt-N /N = Mt-1(1) + ytyt-N /N = 移動(dòng)平均法根本上是在平均值的根底上進(jìn)行預(yù)測。一般來講，假設(shè)經(jīng)濟(jì)變量在某一值上下波動(dòng)情況及升降緩慢預(yù)測效果比較好，反之誤差

3、比較大. 另外，N的選取也起著較大的作用，N小一些,預(yù)測跟蹤效果好一些。反映較靈敏。特別地當(dāng)N=1，那么與實(shí)際狀況相同。 N大一些，平滑特性就好一些，但跟蹤能力差。 二、二次移動(dòng)平均法 1 、 二次移動(dòng)平均數(shù)公式. 二次移動(dòng)平均是在一次平均移動(dòng)的根底上再做一次移動(dòng)平均。 Mt(2) =Mt(1 + Mt-1(1). Mt-n+1(1)/N 遞推公式 Mt(2) = Mt-1(2)+Mt(1)Mt-N(1)/N Mt(2) 為二次移動(dòng)平均數(shù) N 分段數(shù)據(jù)個(gè)數(shù) Mt(1) 一次移動(dòng)平均數(shù) 2、線形趨勢條件下的一次移動(dòng)平均數(shù)Mt(1) 與二次移動(dòng)平均數(shù) Mt(2)的關(guān)系 一次移動(dòng)平均預(yù)測對(duì)于數(shù)據(jù)變化

4、小，近似于水平變化的數(shù)據(jù)平滑作用較好。 如果是線形趨勢變化，那么分析線落后于真實(shí)數(shù)據(jù)變化，形成滯后偏差 yt Mt(1 線形變化如下： bt = ytyt-1 有： yt-1 = ytbt yt-2 = yt-1bt= yt-2bt yt-N+1 = yt(N1)bt:tt-1yt-1ytbt yt = at+btt 考慮到： Mt(1 = (yt + yt-1 + + yt-N+1)/N =Nyt1+2+(N1)bt/N 1+2+(N1) = N(N1)/2 Mt(1 = Nyt(N/2)(N1)bt/N =yt(N1)bt/2 Mt-1(1) = yt-1(N1)bt/2 = yt(N+1

5、)bt/2 : Mt(1 - Mt-1(1) = yt yt-1 = bt 即； Mt-1(1) = Mt(1 -bt 類推： Mt-2(1) = Mt-1(1) bt = Mt(1 2bt : : : Mt-n+1(1) = Mt(1 (N1)bt Mt(2) = Mt(1 +Mt-1(1)+ +Mt-n+1(1)/N = Mt(1 (N1)bt/2 移項(xiàng) Mt(1 -Mt(2) = (N1)bt/2 有公式 (N1)bt/2 = yt Mt(1 即得 Mt(1 -Mt(2) = yt Mt(1 = (N1)bt/2. 公式說明： 直接用一次移動(dòng)平均值模擬：真值與一次平均值存在N1)bt/2

6、 的滯后偏差。即公式1 在線性趨勢條件下: Mt(1 -Mt(2) = (N1)bt/2 此式說明.假設(shè)直接用Mt(2)作預(yù)測值,滯后偏差將拉大為N-1bt 三、二次移動(dòng)平均法預(yù)測公式 在線性趨勢條件下，回到思維根底，用線性函數(shù)擬合假定： = at + btT. 其中 t為目前周期數(shù) T為從目前周期 t到需要預(yù)測的周期的周期個(gè)數(shù)。 yt+T 為第 t+T周期的預(yù)測值 bt為斜率， at為截距 假設(shè)：令T=0，得yt = at 為初始值 由于當(dāng)前數(shù)據(jù)為yt ，有yt yt 應(yīng)選取at yt 由公式 Mt(1 -Mt(2) = yt Mt(1 = (N1)bt/2 代入 at= yt 得 at=

7、2 Mt(1 Mt(2) . bt =2Mt(1 -Mt(2) /(N-1) 公式 ,7)構(gòu)成二次移動(dòng)平均法預(yù)測公式。 注：1)預(yù)測公式是以t時(shí)刻為基準(zhǔn)的，這個(gè)時(shí)刻可以隨意選取，中選擇靠近當(dāng)前時(shí)刻，準(zhǔn)確度較高 ; 2yt+T Mt(1 = at + btT Mt(1 =2 Mt(1 -Mt(2) Mt(1 + btT = Mt(1 -Mt(2) + btT = (N-1)bt /2 + btT 即與一次移動(dòng)平均法相比較，滯后偏差(N1)/2已補(bǔ)償。 3 Mt(1 .Mt(2)對(duì)應(yīng)的N 應(yīng)一致，且二次移動(dòng)值Mt(2) 不是預(yù)測值 4二次移動(dòng)平均法預(yù)測公式僅適合于線性趨勢預(yù)測。 5不斷的喪失信息，

8、且N的大小一般由經(jīng)驗(yàn)及前期趨勢確定。 簡例：某產(chǎn)品銷量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)以線形趨勢變動(dòng)，當(dāng)處在第20期時(shí)， Mt(1 = 74,Mt(2) = 68,N= 5,預(yù)測在5個(gè)周期之后的銷量 解：由： Mt(1 = 74, Mt(2 = 68, N= 5 xt+T = at+ bt T at= 2 Mt(1 Mt(2)= 80 = xt bt =2/(N1)Mt(1)Mt(2) = 3 預(yù)測模型： xt+T= 80 + 3T 當(dāng)T = 5時(shí) x20+5 = 80 + 15 = 95 移動(dòng)平均法應(yīng)用舉例-期，股市中的移動(dòng)平均 線 一、道。瓊斯的理論: 美華爾街日?qǐng)?bào)創(chuàng)辦人 股價(jià)運(yùn)動(dòng)的三種趨勢 1、原始波動(dòng)(Pri

9、mary Trends) Bull Market and Bear Market股價(jià)波動(dòng)的長期上升多頭市場和長期下降空頭市場是大市波動(dòng)的根本趨勢，根本趨勢一旦形成，通常要延續(xù)14年； 2、 次級(jí)波動(dòng) 股價(jià)在長期的上升通道中快速下跌，或在長期下降通道中急速上升，次及波動(dòng)方向與原始波動(dòng)方向相反，是對(duì)原始波動(dòng)的修正，一般的原始波動(dòng)均有二至三個(gè)次及波動(dòng)；次及波動(dòng)時(shí)間為3周數(shù)目可不等； 3 、短期波動(dòng)(Minor Trends) 股價(jià)在分時(shí)或數(shù)日內(nèi)進(jìn)行快速波動(dòng) 4、次級(jí)波動(dòng)的振幅約為原始波動(dòng)幅度的1/3； 次級(jí)波動(dòng)一般由3個(gè)或3個(gè)以上短期波動(dòng)組成； 5、次級(jí)波動(dòng)下跌，假設(shè)谷底上次波動(dòng)谷底，確定為長期上升

10、通道；假設(shè)谷底低于上次波動(dòng)谷底，確定為長期下降通道 一、移動(dòng)平均線種類 1、M(3),M(5),M(10) 短期移動(dòng)平均線 以5,10日移動(dòng)平均線較合理 2、M(20),M(30),M(60) 中期移動(dòng)平均線、 3、 M(120) 以上為長期移動(dòng)平均線，對(duì)中國股市當(dāng)前實(shí)用意義不大。西方重M(200) 。 二 移動(dòng)平均線的轉(zhuǎn)點(diǎn) 指移動(dòng)平均線由下行轉(zhuǎn)為上升的最低點(diǎn)或由上升轉(zhuǎn)為下行的最高點(diǎn) 因?yàn)橐苿?dòng)平均數(shù)的取得是要扣減 xt-N,即第t-N日的股價(jià)或指數(shù)，在一個(gè)上升通道中，上升的速度應(yīng)保持，不能轉(zhuǎn)緩甚至下降它的轉(zhuǎn)點(diǎn)為扣減的假設(shè)是最低價(jià)，就是上升趨勢的轉(zhuǎn)點(diǎn)，隨時(shí)可能由升轉(zhuǎn)跌；反之，在下降過程中，扣減的

11、是最高值，那么隨時(shí)可能反轉(zhuǎn)由跌轉(zhuǎn)升。 短期移動(dòng)平均轉(zhuǎn)點(diǎn)較多，適合于短線抄手 中,長期線轉(zhuǎn)點(diǎn)較為重要，這是中期轉(zhuǎn)勢甚至長期轉(zhuǎn)勢的信號(hào) 三、葛蘭維八大買賣法那么 買進(jìn)四大法那么 1.MA由轉(zhuǎn)平并開始抬頭向上,且股價(jià)突破MA; 2.股價(jià)在MA上方運(yùn)行,回檔未破MA股價(jià)再次; 3.MA呈上升狀態(tài),股價(jià)急速下跌破MA線時(shí); 4.MA下降狀態(tài)股價(jià)在MA下方運(yùn)行,突然下跌遠(yuǎn)離MA線時(shí); 賣出法那么 5.MA由 轉(zhuǎn)平并開始向下,且股價(jià)突破MA線之下; 6.股價(jià)在MA下方運(yùn)行,上升時(shí)遇MA所阻,再次回落; 7.MA呈下降狀態(tài),股價(jià)上升突破MA又回落至MA線下方; 8.MA呈上升狀態(tài),股價(jià)在MA上方突然暴漲遠(yuǎn)離M

12、A線; 四:黃金交叉與死亡交叉 由移動(dòng)平均線原理,對(duì)股價(jià)趨勢變動(dòng)反響最快的是短期線,其次是中期線,然后是長期線 死叉金叉 30日MA與60日MA是判別中期市場的主要線,假設(shè)股價(jià)跌破此二線為中期調(diào)整開始,應(yīng)出脫持股. 97.5.16 深:MA(5) = 5630 MA(10) =5689 MA(30) =5090 MA(60) =4561 滬: MA(5) = 1415MA(10) =1437 MA(30) = 1362 MA(60) =1239 第二節(jié) 指數(shù)平滑法 一、一次指數(shù)平滑法 1、一次指數(shù)平滑公式,由一次平滑公式的遞推公式 Mt(1 = Mt-1(1) + ytyt-1 /N 其中Mt

13、(1 = yt =yt + yt-1 + + yt-N+1/N 假定 yt-N Mt-1即用前一期的移動(dòng)平均值代替前期的初始值.有 Mt(1 = Mt-1(1) + ytMt-1 /N = (1/N) yt + (11/N) Mt-1 = yt+1 令 = 1/N, (0,1) 及St(1) = Mt(1 那么St(1)= yt+(1) St-1(1) = yt+1 其中稱為平滑系數(shù) 這個(gè)公式稱為一次指數(shù)平滑公式. 2、舉例 某日用電器銷售額如表.預(yù)測12月份的銷售量: 月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 200 135 195 197.5 310 175 155130

14、220 277 235 - - 銷售額函數(shù)圖 2001003001300 = 0.1 = 0.5 = 0.9t臺(tái)選取不同的值:設(shè)S0(1)= xt=1(1) = 200, 當(dāng)= 0.1 有: S1(1) =x1 +(1)S0(1) = 0.1200 + 0.9 200 = 200 S2(1) =x2 +(1)S0(1) = 193.5 : : S11(1) = 205.6 = x12填于表中= 0.1時(shí)200 193.5 193.7 194 205.6 202.6 197.8 191 193 202.3 205.6 = 0.5時(shí) 200 167.5 181.3 189.4 249.7 212.

15、3 183.7 156.8 188.4 233 234 = 0.9時(shí) 200 141.5 189.7 196.9 298.7 187.4 158.2 132.8 211.3 270.9 238.6 可見當(dāng) = 0.1時(shí), x12= S11(1) = 205.6 平滑效果好前期數(shù) 據(jù)影響大。 = 0.5時(shí)， x12= S11(1) = 234 當(dāng) = 0.9時(shí), x12= S11(1) =238.6 平滑效果差，后期數(shù)據(jù)影響大。 可以看到：對(duì)于波動(dòng)變化很大的情形，由一次的指數(shù)平滑曲線來模擬誤差很大而對(duì)振動(dòng)較小的情形，那么比較適宜。 1平滑系數(shù) (0,1) 當(dāng) 0 St(1) St-1(1) 預(yù)測

16、值接近原來估計(jì)值 即前期預(yù)測數(shù)據(jù)起主導(dǎo)作用。 當(dāng) 1 St(1) yt 預(yù)測值接近上一時(shí)刻的估計(jì)值。后期實(shí)際數(shù)據(jù)起主導(dǎo)作用，前期預(yù)測值作用很小。 (2004/10/25) 2指數(shù)平滑 由St(1) =yt + (1a)St-1(1) 遞推St-1(1) =yt-1 + (1)St-2(1) 將St-1(1) 代入St(1) 公式中,且不斷代入 St(1) =yt + (1)yt-1 + (1) St-2(1) = yt + (1) yt-1 + (1) St-2(1) = yt + (1) yt-1 + (1) S0(1) = (1) yt-k + (1) S0(1) 其中 S0(1) 為初始

17、估計(jì)值tt2k 討論：a考慮右邊第二項(xiàng)， (1) S0(1) 01 即有01 0，實(shí)際數(shù)據(jù)假設(shè) t 50，那么 (1) 0 那么(1-a)tS0 0可略去,也就是初始數(shù)據(jù)的影響可不考慮。 假設(shè) t 50，一般的可選擇最初幾個(gè)原始數(shù)據(jù)的平均值代S0(1) ttt b考慮公式右邊第一項(xiàng) (1)k xt-k 為除S0(1)外其他所有的數(shù)據(jù)的平滑值，即影響大小 權(quán)數(shù)為： (1) (1) (1) : (1) 012t-1 這是一個(gè)公比為 1( 1)的遞減指數(shù)級(jí)數(shù)或幾何級(jí)數(shù) 加權(quán)系數(shù)變化 規(guī)律曲線 即原始數(shù)據(jù)平滑按照指數(shù)平滑規(guī)律加權(quán)構(gòu)成，數(shù)據(jù)越原始，被平滑的局部也越多。即對(duì)預(yù)測值影響越小，反之影響越大。

18、t-2tt-1 c由公式可知所有原始數(shù)據(jù)均參與預(yù)測值的構(gòu)成。即預(yù)測結(jié)果包含所有的信息量.這些量的大小取決于平滑系數(shù)的大小。 d指數(shù)平滑的平滑能力修勻能力 設(shè)數(shù)據(jù)序列為常數(shù)趨勢序列： yt = a +t 其中 a 為常數(shù),t可視做實(shí)際值與 a 的偏差，此為隨機(jī)項(xiàng)，應(yīng)有 Et = 0 且Dt = 對(duì)數(shù)據(jù)指數(shù)平滑 St(1) = (1) yt-k + (1) S0(1)2kt 當(dāng) t , (1-a)t S0 0 那么 St(1) = (1) yt-k = (1) (a + t-k ) = a(1) + (1) t-k =a/1(1) + (1)t-k 取數(shù)學(xué)期望 ESt(1) =a + (1) Et

19、-k = a 即 ESt(1) = Eyt = akkkkkk 考慮均方誤差： DSt(1) = D(1) t-k = (1) Dt-k = (1) = 1/(2) = /(2-)2 2 即是說：指數(shù)平滑使原始數(shù)據(jù)集中程度提高，濾除了一些隨機(jī)誤差，使預(yù)測值向均值方向集中，對(duì)原始數(shù)據(jù)產(chǎn)生了平滑效果 k2k222k222 e)平滑能力表達(dá)取決于 i) DSt(1) 平滑能力增強(qiáng) 這種情況適用于不規(guī)那么起伏，但在某個(gè)值上下波動(dòng)的時(shí)間序列，經(jīng)驗(yàn)選取0.050.2 ii),DSt(1) 平滑能力減弱 iii對(duì)于變化不太大的時(shí)間序列，取0.10.4 以便于使早期信息充分反映到預(yù)測值中。 3).指數(shù)平滑預(yù)測

20、不斷修正誤差: yt = St(1) = yt+(1) St-1(1) = St-1(1)+ yt St-1(1) 即 下期預(yù)測值=本期預(yù)測值+本期預(yù)測誤差 系統(tǒng) 為負(fù)反響自動(dòng)控制系統(tǒng),有一定的自適應(yīng)能力。 2、二次指數(shù)平滑 二次,三次乃至高次指數(shù)平滑是多項(xiàng)式模型中利用指數(shù)平滑進(jìn)行模擬而得出的。利用臺(tái)勞公式和卷積公式定理以求出多項(xiàng)式參數(shù). 證明即定理詳見?預(yù)測與決策方法? 1)預(yù)測公式:假定數(shù)據(jù)趨向?yàn)榫€性趨勢 yt+T = at +btT 2)預(yù)測參數(shù)公式 第一次平滑 St(1) =yt + (1) St-1(1) 第二次平滑 St(2) =St(1) + (1)St-1(2) 且 at =

21、2 St (1) St(2) bt = / (1) St (1) St(2) 預(yù)測公式即為 yt+1 = at +btT =2 St(1) St(2)+ / (1) St(1) St(2) T注:公式推導(dǎo)參考(日)春日井博 郭明哲二次指數(shù)平滑僅適用與線性趨勢型. 3.三次指數(shù)平滑:假定數(shù)據(jù)呈二次曲線趨勢 1)預(yù)測公式 yt+T = at +btT +ctT2 2)平滑公式 S(1)t=yt + (1) St-1(1) S(2)t =St(1) + (1)St-1(2) 再進(jìn)行一次平滑 St(3) =St(2) + (1)St-1(3) 3)參數(shù)公式 at =3 St(1)3 St(2)+ St

22、(3) bt =/2(1)2(65) St(1) 2(54) St(2) + (43)St(3) ct = /2(1)23 St(1) 3St(2) + St(3) 4)初始值計(jì)算 二次,三次指數(shù)平滑預(yù)測均涉及初始值的問題,書上介紹的為 i)數(shù)據(jù)少時(shí),取最初幾個(gè)數(shù)據(jù)的均值為初始值 ii)數(shù)據(jù)多時(shí),以第一期原始數(shù)據(jù)為初始值.指數(shù)平滑應(yīng)用-指數(shù)平滑異同移動(dòng)平均線MACD (Moving Average Convergence and Divergence) 美 Gerald Apple和W Fredrick Hitsckler與1979年提出. 作用:運(yùn)用快,慢速移動(dòng)平均線,加以雙重平滑運(yùn)算,研判買入和賣出時(shí)機(jī),克服移動(dòng)平均線易出現(xiàn)假信號(hào)的缺陷,是研判中期走勢和盤整轉(zhuǎn)勢的重要指標(biāo). 1.平滑系數(shù) (N) = 2/(N + 1) 假設(shè)N =12日,即 (12) = 2/13 = 0.