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文檔簡介
1、3.4基本不等式:普寧僑中 鄭慶宏 2002年國際數(shù)學(xué)大會(huì)(ICM-2002)在北京召開,此屆大會(huì)紀(jì)念封上的會(huì)標(biāo)圖案,其中央正是經(jīng)過藝術(shù)處理的“弦圖”。 它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就,又像一只轉(zhuǎn)動(dòng)著的風(fēng)車,歡迎來自世界各地的數(shù)學(xué)家。 一、問題引入情景設(shè)置新課探究新課探究一般地,對(duì)于任意實(shí)數(shù) ,我們有 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立思考:如何證明?證明:當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí), 此時(shí)平方當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取“=”號(hào)能否用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明?小組合作:在右圖中,AB是圓的直徑,點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn),設(shè) AC = a , BC = b 。過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD?;静坏仁降膸缀我饬x是:“半徑不小于半弦
2、?!?EP98探究2.代數(shù)意義:幾何平均數(shù)小于等于算術(shù)平均數(shù)2.代數(shù)證明:3.幾何意義:半弦長小于等于半徑(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立)二、新課講解算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)3.幾何證明:從數(shù)列角度看:兩個(gè)正數(shù)的等比中項(xiàng)小于等于它們的等差中項(xiàng)1.思考:如果當(dāng) 用 去替換 中的 ,能得到什么結(jié)論? 基本不等式探究3基本不等式:當(dāng)且僅當(dāng)a =b時(shí),等號(hào)成立.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.重要不等式:注意:(1)不同點(diǎn):兩個(gè)不等式的適用范圍不同。(2)相同點(diǎn):當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立。1.重要不等式2.基本不等式(均值定理)注意:基本不等式成立的要素:(1):看是否均為正數(shù)(2):看不等號(hào)的方向(3):看
3、等號(hào)是否能取到簡言之:一正二定三相等基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立結(jié)論1:兩個(gè)正數(shù)積為定值,則和有最小值結(jié)論2:兩個(gè)正數(shù)和為定值,則積有最大值已知x1,求 x 的最小值以及取得最小值時(shí)x的值。 解:x1 x10 x (x1) 1 2 13當(dāng)且僅當(dāng)x1 時(shí)取“”號(hào).于是x2或者x0(舍去)答:最小值是3,取得最小值時(shí)x的值為2例1:構(gòu)造積為定值通過加減項(xiàng)的方法配湊成基本不等式的形式.例題講解例2(1)用籬笆圍一個(gè)面積為100 的矩形菜園,問這個(gè)矩形的長寬各為多少時(shí),所用籬笆最短?最短的籬笆是多少? (2)用一段長為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,問這個(gè)矩形的長寬各為多少時(shí),菜園面
4、積最大?最大面積是多少?解法一: (2)設(shè)矩形菜園的寬為xm,則長為(36-2x)m,其中 0 x18 ,解法二: 其面積為:當(dāng)且僅當(dāng)2x=36-2x,即x=9時(shí)菜園面積最大,即菜園長18m,寬為9 m時(shí)菜園面積最大為162 m2.解: 【例3】某工廠要建造一個(gè)長方體無蓋貯水池,其容積為4800m3,深為3m,如果池底每1m2的造價(jià)為150元,池壁每1m2的造價(jià)為120元,問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低,最低總造價(jià)是多少元? 設(shè)水池底面一邊的長度為xm, 則水池的寬為 ,水池的總造價(jià)為y元,根據(jù)題意,得 因此,當(dāng)水池的底面是邊長為40m的正方形時(shí),水池的總造價(jià)最低,最低總造價(jià)是297600元牛刀小試結(jié)論1:兩個(gè)正數(shù)積為定值,則和有最小值例3 已知x0,y0,且x+y=1 求 的最小值 例題講解(1)基本不等式取等號(hào)的條件(2) “1”的代換在不等式中的應(yīng)用正確?錯(cuò)趙老師花10萬元購買了一輛家用汽車,如果每年使用的保險(xiǎn)費(fèi),養(yǎng)路費(fèi),汽油費(fèi)約為0.9萬元,年維修費(fèi)第一年是0.2萬元,以后逐年遞增0.2萬.則這種汽車使用多少年時(shí),它的年平均費(fèi)用最少?
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