基本不等式(經典)[通用]

1、3.4基本不等式:普寧僑中 鄭慶宏 2002年國際數學大會（ICM-2002）在北京召開，此屆大會紀念封上的會標圖案，其中央正是經過藝術處理的“弦圖”。 它標志著中國古代的數學成就，又像一只轉動著的風車，歡迎來自世界各地的數學家。 一、問題引入情景設置新課探究新課探究一般地，對于任意實數 ，我們有 當且僅當 時等號成立思考：如何證明？證明：當且僅當 時， 此時平方當且僅當a=b時，取“=”號能否用不等式的性質進行證明？小組合作：在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，設 AC = a , BC = b 。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。基本不等式的幾何意義是：“半徑不小于半弦

2、?！?EP98探究2.代數意義：幾何平均數小于等于算術平均數2.代數證明:3.幾何意義：半弦長小于等于半徑（當且僅當a=b時，等號成立）二、新課講解算術平均數幾何平均數3.幾何證明:從數列角度看:兩個正數的等比中項小于等于它們的等差中項1.思考:如果當 用 去替換 中的 ,能得到什么結論? 基本不等式探究3基本不等式：當且僅當a =b時，等號成立.當且僅當a=b時，等號成立.重要不等式：注意：（1）不同點：兩個不等式的適用范圍不同。（2）相同點：當且僅當a=b時，等號成立。1.重要不等式2.基本不等式（均值定理）注意：基本不等式成立的要素：（1）：看是否均為正數（2）：看不等號的方向（3）：看

3、等號是否能取到簡言之：一正二定三相等基本不等式當且僅當時等號成立當且僅當時等號成立結論1：兩個正數積為定值，則和有最小值結論2：兩個正數和為定值，則積有最大值已知x1,求 x 的最小值以及取得最小值時x的值。 解：x1 x10 x （x1） 1 2 13當且僅當x1 時取“”號.于是x2或者x0（舍去）答：最小值是3，取得最小值時x的值為2例1:構造積為定值通過加減項的方法配湊成基本不等式的形式.例題講解例2（1）用籬笆圍一個面積為100 的矩形菜園，問這個矩形的長寬各為多少時，所用籬笆最短？最短的籬笆是多少？ （2）用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長寬各為多少時，菜園面

4、積最大？最大面積是多少？解法一： (2)設矩形菜園的寬為xm，則長為(36-2x)m，其中 0 x18 ,解法二： 其面積為:當且僅當2x=36-2x，即x=9時菜園面積最大，即菜園長18m，寬為9 m時菜園面積最大為162 m2.解： 【例3】某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？ 設水池底面一邊的長度為xm， 則水池的寬為 ,水池的總造價為y元，根據題意，得 因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元牛刀小試結論1：兩個正數積為定值，則和有最小值例3 已知x0,y0,且x+y=1 求 的最小值 例題講解(1)基本不等式取等號的條件(2) “1”的代換在不等式中的應用正確？錯趙老師花10萬元購買了一輛家用汽車,如果每年使用的保險費,養(yǎng)路費,汽油費約為0.9萬元,年維修費第一年是0.2萬元,以后逐年遞增0.2萬.則這種汽車使用多少年時,它的年平均費用最少?