基本不等式(經(jīng)典)[通用]

1、3.4基本不等式:普寧僑中 鄭慶宏 2002年國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)（ICM-2002）在北京召開(kāi)，此屆大會(huì)紀(jì)念封上的會(huì)標(biāo)圖案，其中央正是經(jīng)過(guò)藝術(shù)處理的“弦圖”。 它標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就，又像一只轉(zhuǎn)動(dòng)著的風(fēng)車，歡迎來(lái)自世界各地的數(shù)學(xué)家。 一、問(wèn)題引入情景設(shè)置新課探究新課探究一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù) ，我們有 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立思考：如何證明？證明：當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 此時(shí)平方當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”號(hào)能否用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明？小組合作：在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，設(shè) AC = a , BC = b 。過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD?；静坏仁降膸缀我饬x是：“半徑不小于半弦

2、?！?EP98探究2.代數(shù)意義：幾何平均數(shù)小于等于算術(shù)平均數(shù)2.代數(shù)證明:3.幾何意義：半弦長(zhǎng)小于等于半徑（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）二、新課講解算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)3.幾何證明:從數(shù)列角度看:兩個(gè)正數(shù)的等比中項(xiàng)小于等于它們的等差中項(xiàng)1.思考:如果當(dāng) 用 去替換 中的 ,能得到什么結(jié)論? 基本不等式探究3基本不等式：當(dāng)且僅當(dāng)a =b時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.重要不等式：注意：（1）不同點(diǎn)：兩個(gè)不等式的適用范圍不同。（2）相同點(diǎn)：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。1.重要不等式2.基本不等式（均值定理）注意：基本不等式成立的要素：（1）：看是否均為正數(shù)（2）：看不等號(hào)的方向（3）：看

3、等號(hào)是否能取到簡(jiǎn)言之：一正二定三相等基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立結(jié)論1：兩個(gè)正數(shù)積為定值，則和有最小值結(jié)論2：兩個(gè)正數(shù)和為定值，則積有最大值已知x1,求 x 的最小值以及取得最小值時(shí)x的值。 解：x1 x10 x （x1） 1 2 13當(dāng)且僅當(dāng)x1 時(shí)取“”號(hào).于是x2或者x0（舍去）答：最小值是3，取得最小值時(shí)x的值為2例1:構(gòu)造積為定值通過(guò)加減項(xiàng)的方法配湊成基本不等式的形式.例題講解例2（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100 的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短的籬笆是多少？ （2）用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)寬各為多少時(shí)，菜園面

4、積最大？最大面積是多少？解法一： (2)設(shè)矩形菜園的寬為xm，則長(zhǎng)為(36-2x)m，其中 0 x18 ,解法二： 其面積為:當(dāng)且僅當(dāng)2x=36-2x，即x=9時(shí)菜園面積最大，即菜園長(zhǎng)18m，寬為9 m時(shí)菜園面積最大為162 m2.解： 【例3】某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？ 設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為xm， 則水池的寬為 ,水池的總造價(jià)為y元，根據(jù)題意，得 因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元牛刀小試結(jié)論1：兩個(gè)正數(shù)積為定值，則和有最小值例3 已知x0,y0,且x+y=1 求 的最小值 例題講解(1)基本不等式取等號(hào)的條件(2) “1”的代換在不等式中的應(yīng)用正確？錯(cuò)趙老師花10萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)了一輛家用汽車,如果每年使用的保險(xiǎn)費(fèi),養(yǎng)路費(fèi),汽油費(fèi)約為0.9萬(wàn)元,年維修費(fèi)第一年是0.2萬(wàn)元,以后逐年遞增0.2萬(wàn).則這種汽車使用多少年時(shí),它的年平均費(fèi)用最少?