2021版數(shù)學(xué)（新教材）必修 第一冊(cè)人教A版：第二章 2-3 第2課時(shí)

1、第2課時(shí)一元二次不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過程了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.2.能夠構(gòu)建一元二次函數(shù)模型，解決實(shí)際問題知識(shí)點(diǎn)用一元二次不等式解決實(shí)際問題的步驟1理解題意，搞清量與量之間的關(guān)系；2建立相應(yīng)的不等關(guān)系，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問題3解決這個(gè)一元二次不等式，得到實(shí)際問題的解預(yù)習(xí)小測(cè)自我檢驗(yàn)1不等式eq f(1x,1x)0的解集為_答案x|1x1解析原不等式eq blcrc (avs4alco1(x1x10，,x10，)1x1.2不等式eq f(1,x)1的解集為_答案x|x1或x0解析eq f(1,x)1，eq f(x1,

2、x)0，eq blcrc (avs4alco1(xx10，,x0，)x1或x0.3若產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式是y3 00020 x0.1x2(0 x240)，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時(shí)的最低產(chǎn)量是_ 臺(tái)答案150解析y25x0.1x25x3 0000，即x250 x30 0000，解得x150或x200(舍去)4某商品在最近30天內(nèi)的價(jià)格y1與時(shí)間t(單位：天)的函數(shù)關(guān)系是y1t10(0t30，tN)；銷售量y2與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是y2t35(0t30，tN)，使這種商品日銷售金額不小于500元的t的范圍是_答案t|10t1

3、5，tN解析日銷售金額(t10)(t35)，依題意有(t10)(t35)500，解得解集為t|10t15，tN一、分式不等式的解法例1解下列不等式：(1)eq f(2x5,x4)0；(2)eq f(x1,2x3)1.解(1)eq f(2x5,x4)0(2x5)(x4)04xeq f(5,2)，原不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(4xf(5,2).(2)eq f(x1,2x3)1，eq f(x1,2x3)10，eq f(x4,2x3)0，即eq f(x4,xf(3,2)0.此不等式等價(jià)于(x4)eq blc(rc)(avs4alco1(xf

4、(3,2)0且xeq f(3,2)0，解得xeq f(3,2)或x4，原不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(x1.解(1)原不等式可化為eq blcrc (avs4alco1(2x13x10，,3x10.)解得eq blcrc (avs4alco1(xf(1,3)或xf(1,2)，,xf(1,3)，)xeq f(1,3)或xeq f(1,2)，原不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(x0，,2xx3)或eq blcrc (avs4alco1(x30，,2x3，,xf(1,2)或eq blc

5、rc (avs4alco1(xf(1,2)，)3xeq f(1,2)，原不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(3x0，化簡(jiǎn)得eq f(2x1,x3)0，即eq f(2x1,x3)0，(2x1)(x3)0，解得3xeq f(1,2).原不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(3x0)個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測(cè)收購量可增加2x個(gè)百分點(diǎn)(1)寫出降稅后稅收y(萬元)與x的關(guān)系式；(2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計(jì)劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍解(1)降低稅率后的稅率為(10 x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購

6、量為a(12x%)萬擔(dān)，收購總金額為200a(12x%)萬元依題意得y200a(12x%)(10 x)%eq f(1,50)a(1002x)(10 x)(0 x10)(2)原計(jì)劃稅收為200a10%20a(萬元)依題意得eq f(1,50)a(1002x)(10 x)20a83.2%，化簡(jiǎn)得x240 x840，解得42x2.又因?yàn)? x10，所以0 x2.即x的取值范圍為x|025時(shí)，不等式ax25850eq f(1,6)(x2600)eq f(x,5)有解，等價(jià)于當(dāng)x25時(shí)，aeq f(150,x)eq f(x,6)eq f(1,5)有解由于eq f(150,x)eq f(x,6)2eq r

7、(f(150,x)f(x,6)10，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(150,x)eq f(x,6)，即x30時(shí)等號(hào)成立，所以a10.2.故當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少達(dá)到10.2萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元不等式恒成立問題典例(1)若對(duì)xR不等式x2mx4xm4恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若x24xm4在R上恒成立，求m的取值范圍解(1)原不等式可化為x2(m4)x4m0，(m4)24(4m)m24m0，0m4，m的取值范圍為m|0mm恒成立，m0，m的取值范圍為m|m0(a0)恒成立eq blcrc (avs4alco1(a0，,0.)ax2

8、bxc0(a0)恒成立eq blcrc (avs4alco1(a0，,0.)1不等式eq f(x1,x2)0的解集為()Ax|1x2 Bx|x1或x2Cx|1x2或x1答案D解析由題意可知，不等式等價(jià)于eq blcrc (avs4alco1(x1x20，,x20，)x2或x1.故選D.2不等式eq f(3,x1)1的解集是()Ax|x1或1x2Bx|1x2Cx|x2Dx|1x2答案D解析eq f(3,x1)1，eq f(3,x1)10，eq f(3x1,x1)0，即eq f(x2,x1)0，等價(jià)于(x2)(x1)0或x20，故1320，即x228x1920，解得12x16，所以每件售價(jià)應(yīng)定為1

9、2元到16元之間4若實(shí)數(shù)a，b滿足ab0，則不等式eq f(xa,bx)a或xb解析原不等式等價(jià)于(xa)(bx)0.又ab0，所以ba或xb5某地每年銷售木材約20萬m3，每立方米的價(jià)格為2 400元為了減少木材消耗，決定按銷售收入的t%征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少eq f(5,2)t萬m3，為了既減少了木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬元，則t的取值范圍是_答案t|3t5解析設(shè)按銷售收入的t%征收木材稅時(shí)，稅金收入為y 萬元，則y2 400eq blc(rc)(avs4alco1(20f(5,2)t)t%60(8tt2)令y900，即60(8tt2)900，解得3t5.1知識(shí)

10、清單：(1)簡(jiǎn)單的分式不等式的解法(2)利用不等式解決實(shí)際問題的一般步驟如下：選取合適的字母表示題目中的未知數(shù)；由題目中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)；求解所列出的不等式(組)；結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案2方法歸納：轉(zhuǎn)化、恒等變形3常見誤區(qū)：利用一元二次不等式解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)注意實(shí)際意義1不等式eq f(3x1,2x)1的解集是()A.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(3,4)x2) B.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(3,4)x2或xf(3,4) D.eq blcrc(avs4alc

11、o1(xblc|rc (avs4alco1(xf(3,4)答案B解析不等式eq f(3x1,2x)1，移項(xiàng)得eq f(3x1,2x)10，即eq f(xf(3,4),x2)0，可化為eq blcrc (avs4alco1(xf(3,4)0，,x20，)解得eq f(3,4)x2，則原不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(3,4)x2)，故選B.2與不等式eq f(x3,2x)0同解的不等式是()A(x3)(2x)0 B00答案B解析解不等式eq f(x3,2x)0，得2x3，A不等式(x3)(2x)0的解是2x3，故不正確B不等式0 x2

12、1的解是2x3，故正確C不等式eq f(2x,x3)0的解是2x0的解是2x0的解集為x|x1，則關(guān)于x的不等式eq f(axb,x2)0的解集為()Ax|x1或x2 Bx|1x2或x1 Dx|1x0的解集為x|x1，a0，故eq f(axb,x2)eq f(ax1,x2)0，等價(jià)為(x1)(x2)0.x2或x1.4已知不等式x24xa23a在R上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()Aa|1a4 Ba|1a4Ca|a4或a1 Da|4a1答案A解析由題意知，原不等式可化為(x2)24a23a在R上有解，a23a4，即(a4)(a1)0，1a4，故選A.5某文具店購進(jìn)一批新型臺(tái)燈，若按每盞臺(tái)燈15元的

13、價(jià)格銷售，每天能賣出30盞；若售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價(jià)銷售，為了使這批臺(tái)燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷售收入則這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)x(單位：元)的取值范圍是()Ax|10 x16 Bx|12x18Cx|15x20 Dx|10 x400，即x230 x2000，10 x15，15x0的解集為x|1xbx的解集為_答案x|x0解析由題意知，1,2為ax2bxc0的兩根，eq blcrc (avs4alco1(ba，,c2a)且abx可化為eq f(a,x)2aax，a0，即eq f(1,x)2x，即eq f(x12,x)0，x0.7現(xiàn)有含鹽7%的食鹽水200克，生產(chǎn)

14、含鹽5%以上、6%以下的食鹽水，設(shè)需要加入含鹽4%的食鹽水為x克，則x的取值范圍是_答案x|100 x400解析5%eq f(x4%2007%,x200)6%，解得x的取值范圍是x|100 x0，x210 x7 2000有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即x180，x290，然后，根據(jù)二次函數(shù)yx210 x7 200的圖象(圖略)，得不等式的解集為x|x90或x80在這個(gè)實(shí)際問題中，x0，所以這輛汽車剎車前的車速不低于80 km/h.9解關(guān)于x的不等式eq f(ax,x1)0(aR)解原不等式可化為eq f(xa,x1)0，即(x1)(xa)1時(shí)，x|1xa；當(dāng)a1時(shí)，x|ax1時(shí)，不等式的解集為x|1xa，a1

15、時(shí)，不等式的解集為x|ax110某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價(jià)為12萬元/輛，年銷售量為10 000輛本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本若每輛車投入成本增加的比例為x(0 x1)，則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤(rùn)(出廠價(jià)投入成本)年銷售量(1)寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；(2)為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？解(1)由題意得y12(10.75x)10(1x)10 000(10.6x)(0 x1)，整理得y6 000 x22 00

16、0 x20 000(0 x0，,0 x0，,0 x1，)解得0 xeq f(1,3)，所以投入成本增加的比例x應(yīng)在0 x0的解集為()Ax|x1且x2 Bx|x1Cx|1x2 Dx|x2答案A解析原不等式可化為eq f(x2x1,x2)0eq blcrc (avs4alco1(x10，,x20，)x1且x2.故選A.12若a0，b0，則不等式beq f(1,x)a的解集為()A.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(1,a)B.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(1,a)xf(1,b)C.eq blcrc(

17、avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(1,b)D.eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(1,b)x0或0 xb，,f(1,x)0，,f(ax1,x)0，)可得eq blcrc (avs4alco1(x0，,xf(1,a)，)故不等式的解集為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xf(1,a).13不等式eq f(x22x2,x2x1)2的解集為()Ax|x2 BRC Dx|x2答案A解析x2x10恒成立，原不等式x22x20(x2)20，x2.不等式的解集為x|x214在一個(gè)限速40 km

18、/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車，但還是相碰了事發(fā)后現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得甲車的剎車距離略超過12 m，乙車的剎車距離略超過10 m又知甲、乙兩種車型的剎車距離s m與車速x km/h之間分別有如下關(guān)系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2.這次事故的主要責(zé)任方為_答案乙車解析由題意列出不等式s甲0.1x0.01x212，s乙0.05x0.005x210.分別求解，得x甲30.x乙40.由于x0，從而得x甲30 km/h，x乙40 km/h.經(jīng)比較知乙車超過限速，應(yīng)負(fù)主要責(zé)任15某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3 860萬元，六月份的銷售額為500萬元，七月份的銷售額比六月份增加x%，八月份的銷售額比七月份增加x%，九、十月份的銷售總額與七、八月份的銷售總額相等，若一月份至十月份