2021版數(shù)學(xué)（新教材）必修 第一冊人教A版：第五章 5-6(二)

1、5.6函數(shù)yAsin(x)(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握函數(shù)yAsin(x)的圖象與性質(zhì)，并能解決有關(guān)問題.2.能夠利用函數(shù)yAsin(x)解決實際問題一、由圖象求三角函數(shù)的解析式例1如圖是函數(shù)yAsin(x)eq blc(rc)(avs4alco1(A0，0，|f(,2)的圖象的一部分，求此函數(shù)的解析式解方法一逐一定參法由圖象知A3，Teq f(5,6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，eq f(2,T)2，y3sin(2x)點eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，0)在函數(shù)圖象上，03sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)2).eq f(,6

2、)2k，kZ，得eq f(,3)k(kZ)|0，0，00，0)單調(diào)區(qū)間的方法：采用“換元”法整體代換，將x看作一個整體，可令“zx”，即通過求yAsin z的單調(diào)區(qū)間而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間若0,0)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點Meq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)，0)對稱，且在區(qū)間eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)上是單調(diào)函數(shù)，求和的值解由f(x)是偶函數(shù)，得f(x)f(x)，即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，f(x)在x0時取得最值，即sin 1或1.依題設(shè)00，k1時，eq f(2,3)；k2時，2.故eq f(,2)，2或eq f(2,3).三、三角函

3、數(shù)的實際應(yīng)用例3已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(時)的函數(shù)，其中0t24，記yf(t)，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長期觀測，yf(t)的圖象可近似地看成是函數(shù)yAcos tb的圖象(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期和函數(shù)解析式；(2)根據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度大于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的8：00到20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行活動？解(1)由表中數(shù)據(jù)可知，T12，eq f(,6).又t0時，y1.5，Ab1.5；t3時，y1.0，得b1.0，Aeq f(1,

4、2)，函數(shù)解析式為yeq f(1,2)cos eq f(,6)t1(0t24)(2)y1時，才對沖浪愛好者開放，yeq f(1,2)cos eq f(,6)t11，cos eq f(,6)t0，2keq f(,2)eq f(,6)t2keq f(,2)，kZ，即12k3t12k3(kZ)又0t24，0t3或9t15或21t24，在規(guī)定時間內(nèi)只有6個小時沖浪愛好者可以進行活動，即9t0，0)，則eq blcrc (avs4alco1(Ab700，,Ab900，)解得A100，b800.又周期T2(60)12，eq f(2,T)eq f(,6)，y100sineq blc(rc)(avs4alco

5、1(f(,6)t)800.又當(dāng)t6時，y900，900100sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)6)800，sin()1，sin 1，取eq f(,2)，y100sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)tf(,2)800.(2)當(dāng)t2時，y100sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)2f(,2)800750，即當(dāng)年3月1日動物種群數(shù)量約是750.1若函數(shù)f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)是偶函數(shù)，則的值可以是()A.eq f(5,6) B.eq f(,2) C.eq f(,3) Deq f(,2)

6、答案A解析令x0得f(0)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)2，sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)1，把eq f(5,6)代入，符合上式故選A.2同時具有性質(zhì)“(1)最小正周期是；(2)圖象關(guān)于直線xeq f(,3)對稱；(3)在eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(,3)上單調(diào)遞增”的一個函數(shù)是()Aysineq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(,6) Bycoseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3) Cysineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6) Dycoseq bl

7、c(rc)(avs4alco1(2xf(,6)答案C解析由(1)知Teq f(2,)，2，排除A.由(2)(3)知xeq f(,3)時，f(x)取最大值，驗證知只有C符合要求3已知函數(shù)f(x)Asin(x)B的一部分圖象如圖所示，若A0，0，|eq f(,2)，則()AB4 Beq f(,6) C1 DA4答案B解析由函數(shù)圖象可知f(x)min0，f(x)max4.所以Aeq f(40,2)2，Beq f(40,2)2.由周期Teq f(2,)4eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)f(,6)知2.由feq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)4得2sineq bl

8、c(rc)(avs4alco1(2f(,6)24，sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)1，又|eq f(,2)，故eq f(,6).4下列函數(shù)中，圖象的一部分如圖所示的是()Aysineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)Bysineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)Cycoseq blc(rc)(avs4alco1(4xf(,3)Dycoseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)答案D解析由題圖知T4eq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)f(,6)，eq f(2,T)2.又xeq f(,12)時，y1，

9、經(jīng)驗證，只有D項解析式符合題目要求5已知函數(shù)f(x)sin(2x)(0)圖象的一條對稱軸是直線xeq f(,6)，則的值為_答案eq f(5,6)解析由題意知2eq f(,6)eq f(,2)k，kZ，所以eq f(,6)k，kZ，又0，|f(,2)圖象的一個對稱中心，且點P到該圖象的對稱軸的距離的最小值為eq f(,2)，則()Af(x)的最小正周期是Bf(x)的值域為0,4Cf(x)圖象的對稱軸為eq f(,2)k，kZDf(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(4,3)，2)上單調(diào)遞增答案D解析由題意，得eq blcrc (avs4alco1(f(,6)kkZ，,m2，)且函數(shù)

10、的最小正周期為T4eq f(,2)2，故eq f(2,T)1.代入式得keq f(,6)(kZ)，又|0，0，|f(,2)的圖象如圖所示，為了得到g(x)sin 2x的圖象，則只要將f(x)的圖象()A向右平移eq f(,6)個單位長度B向右平移eq f(,12)個單位長度C向左平移eq f(,6)個單位長度D向左平移eq f(,12)個單位長度答案A解析很明顯，A1，T4eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,12)f(,3)，Teq f(2,)，2.f(x)sin(2x)又feq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)0，sineq blc(rc)(avs4alco1(f

11、(2,3)0.又|eq f(,2)，eq f(,6)eq f(2,3)0)的相鄰兩個零點的距離為eq f(,2)，要得到y(tǒng)f(x)的圖象，只需把ycos x的圖象()A向右平移eq f(,12)個單位長度B向左平移eq f(,12)個單位長度C向右平移eq f(,6)個單位長度D向左平移eq f(,6)個單位長度答案A解析由已知得eq f(2,)2eq f(,2)，故2.ycos 2x向右平移eq f(,12)個單位長度可得ycos 2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(,12)coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)的圖象4已知0，函數(shù)f(x)coseq b

12、lc(rc)(avs4alco1(xf(,3)的一條對稱軸為xeq f(,3)，一個對稱中心為eq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)，0)，則有()A最小值2 B最大值2C最小值1 D最大值1答案A解析由題意知eq f(,3)eq f(,12)eq f(T,4)，故Teq f(2,)，2.5若函數(shù)f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)的圖象向右平移eq f(,3)個單位長度后與原圖象關(guān)于x軸對稱，則的最小正值是()A.eq f(1,2) B1 C2 D3答案D解析函數(shù)f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)的圖象向右平移

13、eq f(,3)個單位長度得ysineq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)f(,3)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)f(,3)的圖象，由題意知eq f(,3)(2k1)(kZ)，所以6k3(kZ)，所以的最小正值是3.故選D.6函數(shù)f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)的圖象的對稱軸方程是_答案xeq f(3,4)k，kZ解析令xeq f(,4)eq f(,2)k，kZ，解得xeq f(3,4)k，kZ，即f(x)的圖象的對稱軸方程是xeq f(3,4)k，kZ.7已知函數(shù)ysin(x)(

14、0，)的圖象如圖所示，則_.答案eq f(9,10)解析由圖象知函數(shù)ysin(x)的周期為2eq blc(rc)(avs4alco1(2f(3,4)eq f(5,2)，eq f(2,)eq f(5,2)，eq f(4,5).當(dāng)xeq f(3,4)時，y有最小值1，eq f(4,5)eq f(3,4)2keq f(,2)(kZ)0)的圖象如圖所示，則feq blc(rc)(avs4alco1(f(7,12)_.答案0解析由圖象知eq f(3,2)T，Teq f(2,3)，A2，又Teq f(2,)，3，將點eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，0)代入y2sin(3x)得sine

15、q blc(rc)(avs4alco1(3f(,4)0，取eq f(3,4).f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(3xf(3,4)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(7,12)2sineq blc(rc)(avs4alco1(3f(7,12)f(3,4)2sin 0.9已知函數(shù)f(x)Asin(x)eq blc(rc)(avs4alco1(A0，0，f(,2)f(,2)一個周期的圖象如圖所示(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期T及最大值、最小值；(2)求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間解(1)由題圖知eq f(1,4)Teq f(,12)eq blc(rc)(

16、avs4alco1(f(,6)eq f(,4)，T，最大值為1，最小值為1.(2)由(1)知eq f(2,T)2.又2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)2k，kZ，解得2keq f(,3)，kZ，又eq f(,2)0，0，|f(,2)的一段圖象如圖所示(1)求f(x)的解析式；(2)把f(x)的圖象向左至少平移多少個單位長度，才能使得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)？解(1)由題意知A3，Teq f(2,)eq f(4,3)eq blc(rc)(avs4alco1(4f(,4)5，所以eq f(2,5).由f(x)3sineq blc(rc)(avs4alco1(f(2,5)x)的

17、圖象過點eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，0)，得sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,10)0，又|0)，知eq f(2m,5)eq f(,10)keq f(,2)(kZ)，即meq f(5,2)keq f(3,2)(kZ)因為m0，所以mmineq f(3,2).故至少把f(x)的圖象向左平移eq f(3,2)個單位長度，才能使得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)11已知函數(shù)yAsin(x)m的最大值是4，最小值是0，最小正周期是eq f(,2)，直線xeq f(,3)是其圖象的一條對稱軸，則下面各解析式符合條件的是()Ay4sineq blc(rc)(avs4

18、alco1(4xf(,6)2By2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)2Cy2sineq blc(rc)(avs4alco1(4xf(,3)2Dy2sineq blc(rc)(avs4alco1(4xf(,6)2答案D解析因為最大值是4，故選項A不符合題意又因為Teq f(2,)eq f(,2)，所以4，故排除選項B.令4xeq f(,3)eq f(,2)k，kZ4xeq f(,6)k，kZxeq f(,24)eq f(k,4)，kZ，令eq f(,24)eq f(k,4)eq f(,3)，得keq f(7,6)Z，排除選項C，故選D.12已知函數(shù)f(x)sineq

19、blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)(0)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，且f(x)在區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(,3)上有最小值，無最大值，則_.答案eq f(14,3)解析依題意知f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)(0)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)feq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，且f(x)在區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(,3)上有最小值，無最大值，f(x)圖象關(guān)于直線xeq f(f(,6)f(,3),2)對稱，即關(guān)于直線xeq f(,4)