2014數(shù)學(xué)建模國賽題優(yōu)秀

1、2014 高教社杯大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽頁賽區(qū)評閱（由賽區(qū)評閱前進(jìn)行）：賽區(qū)評閱（可供賽區(qū)評閱時使用）：（由賽區(qū)送交前）：評閱（由評閱前進(jìn)行）：評閱人評分備注三號軟著路軌道設(shè)計(jì)與控制策略摘要三號的本文主要為分階段軌道設(shè)計(jì)與最優(yōu)控制策略。建立模型一確定近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及三號速度大小與方向。首先以月球中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)計(jì)算的作用力可知地球影響較小，故忽略不計(jì)。然后將三號看作拋物線的運(yùn)動過程，計(jì)算在最大推力下的運(yùn)動，求得月面偏移距離為 ，由此計(jì)算出偏移角度為 15.25。分別為（34.76W，44.12N）和（34.76E，從而得出近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的44.12S）。最后在的橢圓軌道

2、上，由動力勢能和重力勢能的變化，計(jì)算出三號在遠(yuǎn)月點(diǎn)和近月點(diǎn)的速度分別為 和 ，沿軌道切線方向。建立模型二和模型三確定著陸軌道和在 6 個階段的最優(yōu)控制策略。模型二主要對主階段和快速調(diào)整階段進(jìn)行初步分析。模型三分六個階段確定軌道和最假設(shè)推力 最大,將最優(yōu)燃耗階段建立目標(biāo)函數(shù) ，優(yōu)控制策略，主問題轉(zhuǎn)化為最短時間控制問題，然后采用擬法和四階 Admas-校三正得到 ；快速調(diào)整階段采用重力轉(zhuǎn)彎制導(dǎo)，在假設(shè)條件下對號進(jìn)行受力分析，得到三號的動力學(xué)模型，然后通過開關(guān)控制得到燃耗最優(yōu)控制，并畫出仿真圖；粗避障階段采用多項(xiàng)式制導(dǎo)，通過初始狀態(tài)和末端狀態(tài)反解多項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)而求取標(biāo)稱軌跡，然后將避障區(qū)域網(wǎng)格化，比較

3、網(wǎng)格內(nèi)的方差大避障原則式 下搜索全小確定最優(yōu)區(qū)域范圍；精避障階段需在滿足本文局最優(yōu)解，以網(wǎng)格區(qū)域總體得分 作為目標(biāo)函數(shù)，得到最優(yōu)區(qū)域?yàn)樽鴺?biāo) 附近，并以螺旋搜索法搜索安全半徑的個數(shù)。其余階段僅對其做簡單物理分析后繪制出六個階段的著陸軌道。建立模型四做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。首先以模型二為基礎(chǔ)進(jìn)行誤差分析，當(dāng)主階段的推力 、初始質(zhì)量 變化時，計(jì)算三號質(zhì)量 和消耗速率的變化趨勢。再以模型三為基礎(chǔ)進(jìn)行分析，對初始高度變化前后主階段的 的偏角 和 和著陸軌道進(jìn)行對比分析并計(jì)算誤差。然后進(jìn)行敏感性分析，主要利用分析著陸軌道的粗避障階段和精避障階不 三號著同地形高度，對三號降落時所需調(diào)整概率大小的影響，

4、接著分析陸占地面積大小對著陸調(diào)整概率 的影響。關(guān)鍵字：拋物線、 、擬法、Admas、網(wǎng)格化、模擬1.問題重述三號于 2013 年 12 月 2 日 1 時 30 分成功發(fā)射，12 月 6 日抵達(dá)月球軌道。三號在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)行質(zhì)量為 2.4t，其安裝在下部的主發(fā)能夠產(chǎn)生 1500N 到 7500N 的可調(diào)節(jié)推力，其比沖（即質(zhì)量的推進(jìn)劑產(chǎn)生的推力）為 2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)，在給定主發(fā)的推力方向后，能夠自動通過多個發(fā)的脈沖組合實(shí)現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。三號的預(yù)定著陸點(diǎn)為 19.51W，44.12N，海拔為-2641m。三號在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)

5、確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計(jì)。其著陸軌道設(shè)計(jì)的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn) 15km，遠(yuǎn)月點(diǎn) 100km 的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)，其量減少過程共分為 6 個階段，要求滿足每個階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)；盡過程的消耗。根據(jù)上述的基本要求，請建立數(shù)學(xué)模型解決下面的問題：（1）確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及與方向。三號相應(yīng)速度的大小（2）確定三號的著陸軌道和在 6 個階段的最優(yōu)控制策略。（3）對于設(shè)計(jì)的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。2.問題的分析的問題一主要為基礎(chǔ)計(jì)算和物理知識,首先本文所著陸點(diǎn)的需要根據(jù)預(yù)定的確定軌道，然

6、后通過拋物線的運(yùn)動計(jì)算出在月球著陸時的水平路程，然后計(jì)算出偏移角度，據(jù)此確定近月點(diǎn)的過月球中心點(diǎn)的橢圓軌道，所以遠(yuǎn)月點(diǎn)的，而三號的著陸軌道為和近月點(diǎn)對稱，則可以由近月點(diǎn)的能量守恒，則可以通過勢計(jì)算出遠(yuǎn)月點(diǎn)的。最后因?yàn)樵谥戃壍郎夏芎蛣幽艿霓D(zhuǎn)換來計(jì)算三號的速度和方向。本文所三號的的問題二主要為過程的最優(yōu)控制和建立三號軌道。因?yàn)橹饕譃榱鶄€階段，所以此問應(yīng)分為六個階段來求解。主減速階段采用最優(yōu)制導(dǎo)律來分析，建立著陸坐標(biāo)系，將最優(yōu)燃耗問題轉(zhuǎn)化為最短時間控制問題，然后得到目標(biāo)函數(shù)；快速調(diào)整階段采用重力轉(zhuǎn)彎制導(dǎo)，對三號進(jìn)行受力分析，得到三號的動力學(xué)模型，然后計(jì)算出燃耗最優(yōu)控制，并畫出仿真圖；粗避障階段采

7、用多項(xiàng)式制導(dǎo)，首先列出度、速度、位移的多項(xiàng)式，然后通過初始狀態(tài)和末端狀態(tài)反解多項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)而求取標(biāo)稱軌跡；精避障階段首先設(shè)定三號的體型大小，然后處理數(shù)據(jù)的數(shù)量級不同，最后在整個降落區(qū)域的范圍內(nèi)搜索最優(yōu)著陸點(diǎn)；由于在緩速下降和落體階段中，發(fā)動機(jī)已經(jīng)關(guān)閉，故僅對其做簡單物理分析。最后通過整個分析得出總的著陸軌道。本文所的問題三主要為著陸軌道和控制策略做誤差分析和敏感度分析，1需要對問題二所設(shè)計(jì)的著陸軌道和控制策略中的發(fā)推力、初始速度、初始高度進(jìn)行誤差分析。然后進(jìn)行敏感度分析，即對著陸軌道的粗避障階段和精避障階不同地形高度對三號降落時所需調(diào)整概率大小的影響，最后分析三號著陸占地面積大小對著陸調(diào)整概率

8、的影響。3.模型的假設(shè)假設(shè)一：三號與月球均不受其他行星及的影響假設(shè)二：不考慮月球繞地及其他星球的公轉(zhuǎn)和月球的自轉(zhuǎn)假設(shè)三：將月球近似的看做標(biāo)準(zhǔn)球體假設(shè)四：假設(shè)五：的消耗主要是在著陸的主階段的四、五、六階段著陸軌跡基本在同一平面內(nèi)4.符號與公式的約定和說明 ：G= 為引力常量，m、M 分別為兩物體質(zhì)量，R為兩物體距離， 為兩物體間的作用力 ： ： ： ： ： 為物體質(zhì)量， 為物體在 作用下產(chǎn)生的起始速度度平拋產(chǎn)生的距離度物體的動能（ ） ： ： ： ： ：物體的重力勢能（ ）三號的推力偏好系數(shù)降落地點(diǎn)總體得分第 段離散段的平均度由于本文使用參數(shù)和公式較多，其他公式和符號在具體模型中再做說明。5.模

9、型的建立與求解模型一的建立模型的假設(shè)由萬有引力公式 計(jì)算 ，再由第二定律 計(jì)算地球和月球 在近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)處的重力度。度（： ）表 1 地球及月球在近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的重力由上表可知，地球在近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的重力2度數(shù)值很小，即地球?qū)曼c(diǎn)遠(yuǎn)月點(diǎn)地球0.00310.0024月球1.59661.4523三號與月球影響很小，故可忽略不計(jì)。所以本模型只考慮月球?qū)?.1.2 模型的分析三號的影響。根據(jù)附件 2 給出的過程示意圖，即三號將在近月點(diǎn) 15 公里處以拋物線下降，相對速度從每秒 1.7 公里逐漸降為零。整個過程大概需要 750 秒，其看作勻 圖，更直觀的反應(yīng)運(yùn)動過程。利用繪制三號繞月飛行的三維動態(tài)三

10、號的環(huán)月飛行，如圖 3（源程序見附錄）：圖 2同時由附件二所給的三號繞月軌道坐標(biāo)圖圖 3三號環(huán)月飛行三號著陸區(qū)域和著陸點(diǎn)示意圖可知，只要保證三號的著陸區(qū)域在虹灣著陸區(qū)，則認(rèn)為著陸成功。為保證三號以最大概率降落到精準(zhǔn)的著陸點(diǎn)和虹灣著陸區(qū)，經(jīng)分析后得出，選擇以北緯 44.12作為的繞月軌道。在這種確定緯度的繞月軌道中，月球?qū)θ柕娜f有引力，可以分解為兩個方向。一個是繞月的向心力，一個是與繞行面相切的力，則選擇最終狀態(tài)為繞赤道運(yùn)行更為準(zhǔn)確。故根據(jù)實(shí)際分析，三號的繞月平面應(yīng)與南北極軸重合。圖 4三號繞月飛行軌道分析5.1.3 模型的建立與計(jì)算據(jù)了解，三號主發(fā)是目前中國航天器上最大推力的發(fā)，能夠產(chǎn)生從

11、1500 牛到 7500 牛的可調(diào)節(jié)推力，故可根據(jù)推力范圍求取三號的度范圍。并用最大的度計(jì)算平拋產(chǎn)生的距離。主段看作平拋運(yùn)動： 起始速度度的取值范圍3 （ ）平拋產(chǎn)生的距離 圖 5三號拋物示意圖由上圖，并結(jié)合計(jì)算所得的拋物距離，得到準(zhǔn)備著陸的點(diǎn)與點(diǎn)相差15.25，即可算出近月點(diǎn)的度。，同時根據(jù)對稱性，又可求得遠(yuǎn)月點(diǎn)的經(jīng)緯由附件所給條件可知距離月球表面 15km 時，速度的大小為 ，則此速度看作近月點(diǎn)速度，在穩(wěn)定的軌道下，從近月點(diǎn)到遠(yuǎn)月點(diǎn)可看作重力勢能和動能相互轉(zhuǎn)換的過程，而遠(yuǎn)月點(diǎn)距離地球表面為 100km，可以計(jì)算重力勢能的變化，即可算出遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度： (1) 月 月 根據(jù)以上公式出近月點(diǎn)與遠(yuǎn)

12、月點(diǎn)的速度（速度方向沿軌道切線方向），連同，如下表所示：表 6 近月點(diǎn)、遠(yuǎn)月點(diǎn)位置與速度模型二的建立模型的分析本模型主要對主階段和快速調(diào)整階段進(jìn)行初步分析首先分析三號在此階段的的受力情況，假設(shè)受力與豎直方向的夾角為 ：4近月點(diǎn)遠(yuǎn)月點(diǎn)（34.76W，44.12N）（34.76E，44.12S）速度 圖 7 主利用動量守恒定律階段受力分析圖：圖 8 不考慮質(zhì)量變化時的受力分析 (2) (3) 由題目和附件可知，三號在運(yùn)行過程中有的消耗，本模型分為兩種情況考慮，一種為考慮質(zhì)量變化，另一種為不考慮質(zhì)量變化。由于主階段燃料消耗很大，故作為質(zhì)量變化考慮；而快速調(diào)整階段速度很小，質(zhì)量變化很小，故作為質(zhì)量不變

13、考慮?？紤]質(zhì)量變化（主階段），推力大小 此階段的的消耗量為 不考慮質(zhì)量變化（快速調(diào)整階段）：由于 值較小，可以通過姿態(tài)調(diào)整發(fā)進(jìn)行微調(diào),假設(shè)此階段質(zhì)量的變化較小，則可以假設(shè)質(zhì)量基本保持不變。通過受力分析，到以下分析式： 最后得到消耗為 5.1.2 模型的建立 (4)建立目標(biāo)規(guī)劃函數(shù)，計(jì)算最少的料消耗量：消耗。由分析階段的計(jì)算可以得出總?cè)?(5) 由表達(dá)式可以畫出總消耗量與質(zhì)量和時間的關(guān)系5圖 9總消耗量與時間的關(guān)系由圖可以看出，遞增而增加。5.3 模型三的建立三號的質(zhì)量隨時間遞增而減少，而的消耗隨著時間本模型為分階段深入分析三號的著陸軌道和在 6 個階段的最優(yōu)控制策略。階段制導(dǎo)控制律（最優(yōu)率制導(dǎo)

14、2）5.3.1 主模型的準(zhǔn)備擬法是求解非線性優(yōu)化問題最有效的方法之一。擬法只要求每一步迭代時知道目標(biāo)函數(shù)的梯度。通過測量梯度的變化，構(gòu)造一個目標(biāo)函數(shù)的模型使之足產(chǎn)生超線性收斂性。構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)在當(dāng)前迭代 的二次模型和割線公式 預(yù)估校正算法的方法包括三步四階Adams 外插法和三步四階Adams 內(nèi)插法為了保證計(jì)算得精度，本文采用內(nèi)插法 模型的分析與建立三號主階段從距離月球表面 15km 開始，由初速度為 開始主階段的運(yùn)動。令月心 O 為坐標(biāo)原點(diǎn), y陸器的開始運(yùn)動方向，見下圖：。建立二維模型描述三號在此指向動力下降段的開始制動點(diǎn), x 向著6圖 10著陸坐標(biāo)系由坐標(biāo)系可建立三號的質(zhì)心動力學(xué)方程，

15、描述如方程組（6）： （6） 式中: , , 和 分別為三號的月心距、極角、角速度和質(zhì)量; 為三號沿 方向上的速度; 為制動發(fā) 為其比沖;的推力(固定的常值或 0) ; 為月球引力常數(shù); 為發(fā)推力與當(dāng)?shù)厮骄€的夾角即推力方向角。動力下降的初始條件由變軌后的橢圓軌道的近月點(diǎn)確定,終端條件。令初始時刻 ,終端時刻 不定,則此過程為三號在月面實(shí)現(xiàn)的約束條件可以表示為方程組（7）： （7）對 的求解月球的最優(yōu)軌道設(shè)計(jì)就是要在滿足上述初始條件和終端約束條件的前提下, 調(diào)整推力大小和方向,使得三號實(shí)現(xiàn)最優(yōu)軟著陸,則設(shè)最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)為表達(dá)式（8）： （8） 7在無奇異情況下,推力應(yīng)為開關(guān)控制。要么以最大推力工

16、作,要么以最小推力工作。但為了簡化問題,采用常值推力假設(shè)，即認(rèn)為制動發(fā)工作。這一方法一方面有利于優(yōu)化，另一方面可降低發(fā)一直以最大推力復(fù)雜性。采用常值推力假設(shè)后,月球最優(yōu)燃耗問題轉(zhuǎn)化為最短時間控制問題,即尋找實(shí)的最短時間 ，求解步驟如下:現(xiàn) ： 確定一終端時間 ,滿足條件 ： 求解無約束最優(yōu)控制問題狀態(tài)方程式,終端時間為 ，性能指標(biāo)為： （9） 其中下標(biāo) 表示在 時刻的取值。 ：根據(jù)終端能量特性修正 ，然后返回 ，直到 。時著陸器能量為零,可知推力作用主終端時刻的初始值估計(jì)，由于要是抵消能量，將該能量等效為動能,則可推出等效速度為 假設(shè)采用脈沖推力模式,將該速度抵消需要消耗的量為 而對于實(shí)際的有

17、限推力模式，與 相對應(yīng)的時間為 （10） 秒流量 式中 為發(fā)最終得計(jì)算結(jié)果為： 因脈沖推力比有限推力消耗的量少，所以使得該計(jì)算結(jié)果偏小。目標(biāo)函數(shù)的求解第二階段垂直方向上的最大值為 由文獻(xiàn)可知 ,為使在第六階段落體，則快速調(diào)整階段的 速度范圍為： 階段以一定角度 提供向上的推動力，則等效速度為 假設(shè)主由于 值較小，故可以忽略不計(jì)。此問題為終端時間固定型無約束最優(yōu)控制問題,本模型將其轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題,然后借助于擬法和四階Admas-校正積分格式快速求解。為保證優(yōu)化精度,轉(zhuǎn)化方法采用計(jì)算量稍大但精度較高的直接離散化方法。直接離散化方法將整個最優(yōu)控制過程分成若干個時間段,時間段之間的8端點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)

18、;選擇節(jié)點(diǎn)處的控制變量作為未知參數(shù),通過插值得到整個最優(yōu)控制過程的控制變量積分狀態(tài)方程;根據(jù)這些控制變量積分狀態(tài)方程形成目標(biāo)函數(shù),得到一個無約束數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。具體如下：(1)將整個飛行時間分為N 個時間段,形成N+ 1 個時間節(jié)點(diǎn) ( i = 0 ,1 , ,N) ,取 時刻的控制量 為優(yōu)化變量,共有N + 1 個變量；整個飛行過程的控制量可以通過在各時間節(jié)點(diǎn)處線性插值得到；(2)(3)法和四階Admas-校正積分，得到從 到 采用擬積分狀態(tài)方程(6) 和目標(biāo)函數(shù)(9)。圖11偏角和垂直速度隨時間變化的趨勢5.3.2 快速調(diào)整段制導(dǎo)律（重力轉(zhuǎn)彎制導(dǎo)4）2 千米左模型的分析 由于在最終著陸段中，

19、三號的距月面距離只有右，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于月球的半徑 1738 千米，因此在建模時可以忽略月球的曲率，將月面近似看為水平面；且考慮到在最終著陸段中三號的切向速度只有度為 ，月球半徑為幾十米每秒，設(shè)切向速度給三號所帶來的離心 。因?yàn)槿柕那邢蛩俣葹?，則計(jì)算切向速度給三號所帶來的離 心度公式為： 因此可以忽略模型的建立 假設(shè)為 ，秒耗量為 三號的離心度，只考慮重力度。三號的下降軌跡在一個平面內(nèi)，設(shè)制動發(fā)的比沖三號的垂直高度為 ，切向速度為 ，質(zhì)量為 ，制動發(fā)的推力方向與垂直方向夾角為 。在以上假設(shè)條件下，對三號進(jìn)行受力分析，可以得到三號的動力學(xué)模型為： （12） 9模型的最優(yōu)解三號為了使三號在最終著陸段中

20、的消耗達(dá)到最小，則設(shè)消耗為： （13） 對于重力轉(zhuǎn)彎制導(dǎo)法下的模型，推力的燃耗最優(yōu)控制是開關(guān)控制，而且開關(guān)次數(shù)最多不會超過 1 次。要實(shí)現(xiàn)三號的終端狀態(tài)約束，三號只能先進(jìn)行號進(jìn)行制動落體，直到開關(guān)切換函數(shù)為 0 時，制動發(fā)工作，三，直至在到達(dá)月面時為 0,仿真圖如下所示：圖 12快速調(diào)整階段運(yùn)動狀態(tài)5.3.3 粗避障段制導(dǎo)律（多項(xiàng)式制導(dǎo)5 ）模型的分析三號粗避障階段持續(xù)時間較短，所以需要設(shè)計(jì)有效的制導(dǎo)律使探測器能在有限的時間內(nèi)上標(biāo)稱軌跡，外部環(huán)境的干擾是影響著陸精度的主要。所以，本模型首先給出了多項(xiàng)式，然后通過初始狀態(tài)和末端狀態(tài)反解多項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)而求取標(biāo)稱軌跡，然后設(shè)計(jì)終端滑模制導(dǎo)律標(biāo)稱軌跡。模

21、型的建立多項(xiàng)式形式的標(biāo)稱軌跡規(guī)劃一般假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)變量為多項(xiàng)式，基于邊界條件和著陸時間解相關(guān)系數(shù)。對于三號粗避障階段，首先可以將著陸器的度表示為二次多項(xiàng)式的形式： (14)其中 ， 和 分別為待定常數(shù)矢量。對式（14）等式兩邊積分可以得到嫦娥三號的速度矢量和位置矢量的表達(dá)式為： + (15) + (16) 給定著陸時間 和初末端狀態(tài)的情況下，可以解出： = 10 模型的計(jì)算和分析生成標(biāo)稱軌道的仿真參數(shù)為著陸器在著陸點(diǎn)平移坐標(biāo)下 的 初 始 位 置 矢 量 , 初 始 速 度 矢 量 ，著陸時間為 ，將參數(shù)代入到式（17）矢量為：常 基于光學(xué)圖像的粗檢測就是利用月球巖石和坑的圖像特征識別大確定安全

22、區(qū)域。根據(jù)巖石和坑的特征，本文選取避障原則如下式：, 避開 隕石坑避開 山坡 圖 13粗避障階段的等高線將此區(qū)域 看做 的矩陣，進(jìn)一步分割為 個 的矩陣。根據(jù)組成地面高度的矩陣，利用var函數(shù)求解計(jì)算每一個矩陣的方差。方差的大小代表地面的平坦程度。圖 14粗避障階段最優(yōu)著陸點(diǎn)圖中白域?yàn)榉讲钭钚↑c(diǎn)，即為不考慮避障階段速度增量的值時，需要搜尋的11最優(yōu)著陸區(qū)域。5.3.4 精避障階段精避障階段，推力和姿態(tài)發(fā)的比沖較小且時間短，不將比沖消耗計(jì)算在內(nèi)。為了在整個降落區(qū)域的范圍內(nèi)搜索最優(yōu)著陸點(diǎn)，將區(qū)域網(wǎng)格化處理為 的矩陣，選擇最優(yōu)區(qū)域的準(zhǔn)則為總高度 和總平坦度 值的大小。 用 Max 標(biāo)準(zhǔn)化方法消除數(shù)量

23、級的不同 設(shè)置偏好系數(shù) 表示區(qū)域總高度對降落點(diǎn)得分的影響， 表示區(qū)域總平坦度對降落點(diǎn)得分的影響。則降落地點(diǎn)總體得分 。圖 15精避障階段的等高線對著陸所占用的不同區(qū)域下的計(jì)算，得出結(jié)論在占用區(qū)域面積 時，最優(yōu)點(diǎn)為 的附近區(qū)域。表 28 精避障階段最優(yōu)降落點(diǎn)采用螺旋搜索算法確定半徑的取值和著陸點(diǎn)滿足準(zhǔn)則條件 不滿足準(zhǔn)則條件12區(qū)域面積最優(yōu)降落點(diǎn)（ ）最終結(jié)果 、 、 、 、 、 根據(jù)需要著陸的大小，對整個各個區(qū)域進(jìn)行搜索滿足 的點(diǎn)，即為可選擇的降落點(diǎn)表 29滿足準(zhǔn)則的點(diǎn)的個數(shù)5.3.5 軌道的確定上文對著陸軌道的六個階段進(jìn)行分析，主的速度 和質(zhì)量落體階段，由于發(fā)階段 變化最大，對軌道的計(jì)算也最為

24、重要。對于緩速下降和已經(jīng)關(guān)閉，則對于最優(yōu)控制和軌道設(shè)計(jì)不必過多分析。通過前面四個階段的分析和落體的規(guī)律，得出最終的著陸軌道如下圖：圖 16最終著陸軌道的設(shè)計(jì)誤差分析與敏感度分析主要對模型三設(shè)計(jì)的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。誤差分析本模型主要分析發(fā)推力誤差、初始速度誤差、初始高度誤差等。發(fā)推力誤差：主要分析為主階段推力變化和三號初始質(zhì)量變化對三號質(zhì)量和首先設(shè)定消耗的影響。三號的推力 為最大推力 7500N,然后將 分別乘以1.1、0.9，觀察 的變化對三號質(zhì)量和消耗的影響，如下圖：13長度7131925313743495561點(diǎn)數(shù)62117311631680387044500

25、2220999339540圖 17推力改變時的誤差分析三號的推力變化會引起由圖可以看出，的質(zhì)量和消耗的變化，推力越大，質(zhì)量改變越小，消耗越少。由題目所給條件可知三號的初始質(zhì)量為 =2400kg，然后將三號初始質(zhì)量乘以 1.1 和 0.9，觀察此時三號的質(zhì)量和消耗的變化。圖 18三號質(zhì)量改變時的誤差分析由圖可知三號的初始質(zhì)量的變化會引起三號的質(zhì)量和消耗的越多。消耗的變化，初始質(zhì)量越大三號的質(zhì)量變化越大，對主階段的初始速度和初始高度進(jìn)行誤差分析三號的預(yù)定著陸點(diǎn)海拔為-2641m，則將主階段的高度設(shè)置為 15Km 至 17.641Km 之間。將其與原有狀態(tài)下的運(yùn)動狀態(tài)相互比較。僅考慮切向速度變化，根

26、據(jù)最優(yōu)制導(dǎo)模型的計(jì)算方法，利用四階-公式和擬法將主的 30 個階段三號偏角 的變化與原變化進(jìn)行比較，如下圖：14圖 19 偏角 的變化上圖藍(lán)線表示原 的變化，綠線為改變切向速度時 的變化，紅線為兩者的誤差，可以看出前期原偏角大于改變后的偏角，后期則相反。誤差也隨著時間變 少。由誤差計(jì)算公式 ，計(jì)算偏角總誤差為-9.49% 。 根據(jù)已求得的偏角的 的值，將主軌道離散化段運(yùn)動路徑分割為30個階段，并將 圖 20 初始高度變化時軌道的變化15圖 21初始高度變化的軌道離散化圖 18 的紅線為原高度時軌道變化，粉紅線為改變原高度時的軌道變化。由誤差公式，在主階段的誤差為 ,誤差率為 。已知三號的初始比

27、沖量 為 2940 ，將其分別乘以 0.9、1.1，即改變比沖量，觀察三號質(zhì)量和消耗的變化。圖 22 比沖量變化時軌道特性的變化由圖可以看出，比沖量的值越大，5.4.2 敏感度分析三號的質(zhì)量變化越大，消耗越大。粗避障段：粗避障段的范圍是距離月面 2.4km 到 100m 區(qū)間，其主要是要求避開大的隕石坑，實(shí)現(xiàn)在設(shè)計(jì)著陸點(diǎn)上方 100m 處懸停，并初步確定落月地點(diǎn)。將附件所給網(wǎng)格化為 23002300 的矩陣，本文根據(jù) 處的月球高度，得 避開 隕石坑避開 山坡 到避障原則：（19） 使用軟件并采用用的方法進(jìn)行 1000 次仿真（源程序見附錄），三號降落時所需調(diào)整概率大小的影響。模擬分析月面不同地

28、形高度對16圖 23 粗避障階段地形圖 24 粗避障階段不同降落高度所需調(diào)整精避障段：精細(xì)避障段的區(qū)間是距離月面 100m 到 30m。要求三號懸停在距離月面 100m 處，對著陸點(diǎn)附近區(qū)域 100m 范圍內(nèi)拍攝圖像，并獲得三維數(shù)字高程圖。分析三維數(shù)字高程圖，避開較大的隕石坑，確定最佳著陸地點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)在著陸點(diǎn)上方 30m 處水平方向速度為 0m/s。與粗避障一樣，在滿足同樣的避障原則 下，分析月面不同降落地形高度對 三號降落時所需調(diào)整概率大小的影響。圖 25 精避障階段地形在精確避障階段的避障原則下，為了圖 26 精避障階段不同降落高度所需調(diào)整三號在降落時占地面積大小對軌道降落的敏感度的影響，選

29、擇 和 這兩個數(shù)據(jù)作為三號降落時的占地面積。并用這兩個數(shù)據(jù)在程序見附錄）。軟件中做 50 次模擬比較（源17圖 27 兩種不同著陸占地面積著陸比較由圖可以看出， 的占地面積的非調(diào)整降落次數(shù)高于 。 ， 由此推測著陸占地面積越大，可直接順利著陸的概率越小。分別選用六個不同的占地面積，對其進(jìn)行 1000 次模擬，計(jì)算出 1000 次模擬中無需調(diào)整即可順利著陸的次數(shù)，如下表：表 29 不同占地面積無需調(diào)整即可順利著陸的次數(shù)由表可知，占地面積影響的概率越大。三號的順利著陸，占地面積越小，可順利著陸6.模型的評價(jià)與改進(jìn)方向模型的評價(jià)模型一的評價(jià)模型一分別以著陸點(diǎn)的經(jīng)度和緯度作為準(zhǔn)備著陸軌道，選取經(jīng)度不變

30、的軌道處于穩(wěn)定狀態(tài)，不需要產(chǎn)生推力，此種軌道保證了消耗的最優(yōu)。選取緯度不變的軌道則保證了當(dāng)平拋距離較大且難以精確確定時以最大概率降落在著陸區(qū)域內(nèi)。6.1.2 模型三的評價(jià)在模型三中建立的主階段最優(yōu)目標(biāo)規(guī)劃函數(shù)，利用時間逼近法快速求解月球最優(yōu)問題。對于終端時間固定型最優(yōu)控制問題,將其直接離散化為非線性規(guī)劃問題,采用擬法和四階 Admas-校正積分方法快速求解。此方法優(yōu)化精度較高,收斂速度快，比近年較為流行的智能算法(如遺傳算法等)，減少了計(jì)算量且更符合實(shí)際需求和精度要求。對三號的其他階段也分別建立了動力學(xué)模型。并且分段建立了最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)。確定了著陸軌道。在精避障階段，綜合考慮了著陸位置的總高度和總平坦度，對不同數(shù)量級的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，設(shè)置偏好系數(shù)后對所有點(diǎn)進(jìn)行全局搜索，得出了最優(yōu)降落策略和最優(yōu)降落點(diǎn)。模型四的評價(jià)模型四對誤差進(jìn)行了多方面的分析，包括對 的最大推力 、初始速度的變化的軌道特性分析、進(jìn)一步對主 階段的偏角 的趨勢分析、計(jì)算誤差和靈敏度。模型的不足與改進(jìn)方向模型的不足：由于軌道的復(fù)雜多變性，本文簡化了模型的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，將高度變化引起的軌道路徑長度變化忽略，只重點(diǎn)考慮和計(jì)算了主階段的軌道特性，造成了設(shè)計(jì)的軌道系統(tǒng)的誤差。且未對軌道路徑做出明顯的