工程力學(xué)導(dǎo)學(xué)文件6點的運動學(xué)

1、1工程力學(xué)導(dǎo)學(xué)2運動學(xué)敘言目錄內(nèi)容提要3基本要求7典型例題8補充習(xí)題22運動學(xué)對象:1)質(zhì)點；2)剛體敘言:1.運動學(xué)的2. 運動的相對性:1) 相對靜系；2)相對動系1.內(nèi)容提要1) 基本概念點的一般運動，就是要點的運動幾何性質(zhì)，要確定點的幾何性質(zhì)，必須有一個參照物。點的運動幾何性質(zhì)只有相對參照物（一般用坐標系表示）才有意義。這就是運動的相對性。2)主要公式(1) 點的運動描述本章點的運動方程是以一個固定物為參考系，來幾何位置隨時間變化的規(guī)律。點的34點的位置坐標的幾種表示方法形式圖例運動描述與矢量式關(guān)系適用矢量MrOz trr空間曲線直角坐標Mzx Oxyyx x(t) y yt z zt

2、 r xi yj zk i , j, k 為x,y,z方位的常矢量空間曲線弧坐標（自然法）sM(-) O(+)s str rs(t)運動軌跡 已知的空間曲線極坐標MrOAr rt (t)r rerer , e 為矢量平面曲線5建立點的位置坐標的關(guān)鍵，是要選擇合適的坐標系，并將點置于一般位置時來列寫。同時必須注意，不管使用哪種坐標，一定要先確定坐標的原點及坐標正向，且必須在圖中標出。(2) 速度方程與度方程點的速度是度量點的運動快慢的程度，合速度的方向就是點的運動方向。點的度是度量點的速度的變化快慢程度，合速度的方向必定指向軌跡曲線的凹向。點的運動矢端曲線就是運動軌跡；其切線方位就是速度的方位；

3、速度的矢端曲線的切線就是度的方位，度指向軌跡曲線的凹向。點的速度、度的幾種表示方法形式圖例速度方程度方程矢量MrvOad v r rd td d2 a v v r rd td t 2直角坐標vzazvyMay vxaxv d x xxd tv d y yyd tv d z zzd td vd2 xax x vx xd td t 2 d vy d2 yay d t vy d t 2 y2a d vz v d z zzd tzd t 2弧坐標（自然法）Mvatanv d s s d t v vetet為矢量d vd 2 sat d t v d t 2 sv 2an a a et an enen為矢

4、量極坐標av arvrMOAv d rv r drd td tv vrer ve er , e為矢量d v d 2d2 r d 2ar r r rd t d t d t 2 d t d r dd2 a 2 d t d t r d t 2a arer ae672. 基本要求對給出的點的運動物體，能選擇適當?shù)淖鴺讼?，并予以圖示，建立出點的運動方程。根據(jù)點的運動描述、速度方程、度方程以及它們之間的微積分關(guān)系，正確熟練地進行速度及度分析。83. 典型例題9例1：桿AB長為l，其兩端點A、B分別沿軸Ox、Oy運動。已知點A以勻速v運動，方向如圖示，若AM=b，設(shè)運動初始時桿位于水平位置。試求桿上點M的速

5、度與 度。y解: 對于既要建立點的位置坐標，又要求解B速度、 度的問題，應(yīng)先建立點的位置坐標，根據(jù)速度、度方程是位置坐標的一 M階、二階導(dǎo)數(shù)關(guān)系，問題可全部求解。AOvx本題點M的運動軌跡未知，故用直角坐標來描述。設(shè)角，則有x (l b) cosx l cos l vt得 cos l vt MAlyM b sin 及 vA xA l sin v得 vl sin v x (l b) sin l b v MxMll vtl vtb cot 式中 cot 222 2vMy yM b cos vl (l vt)2lvt v tl10v x (l b) sin l b vl vtl vt MxMl式中

6、cot b cot l 2 (l vt)22lvt v2t 2vMy yM b cos vlv x (l b) sin l b v得v為常數(shù)。MxMlMxb cot b l vtvMy yM vll2lvt v2t 2再求導(dǎo)得點M的度：aMx vMx 0bv22lvt v2t 2 (l vt)2a v MyMyl(2lvt v2t 2 )3/ 2即點M的度沿軸y向，為：bv22lvt v2t 2 (l vt)2aM aMy l(2lvt v2t 2 )3/ 2合度。11例2：點M沿固定的圓弧線運動。已知：圓的半徑為r，=t。試求：（1）用各種坐標來描述點M的運動；（2）在各種坐標中的速度分量；

7、（3）在各種坐標中的 度分量。M解: 不論點M在平面內(nèi)的運動軌跡是否已知，都r可以用直角坐標方法。一般地坐標原點就選在本機構(gòu)的靜點上。本機構(gòu)在各種約束下只須一個運動參變量就可描述，可見點M的x,y均應(yīng)為角坐標的函數(shù)。12yM1.直角坐標法：rxx r cos r costO y r sin r sin t位置坐標軌跡方程：x2 y2 r 2v vyvx x r sin t注意對的v1M v y r costxry復(fù)合求導(dǎo)！ v v2 v2 rxy或 tan vy cot 1vxay a a v x r 2 sin tM 2xxaa v y r 2 costrx yya a2 a2 r 2或 x

8、y tan ay tan 2ax13s2.自然坐標法：Mr當點的運動軌跡已知時,用自然坐標表達更簡捷。O1s r rt位置坐標vv d s s r合速度Md tra v 0tv22分度an r raM合度： a arn方向:指向曲率中心（圓心）。143.極坐標法：Mr點做平面曲線運動，也可以用極坐標求解。OAr constconst意為常量！ tvvr r 0rMv r r分速度 合速度：v vaa r r 2 r 2 r分度M a 2r r 0r合度： a ar方向：沿r的負向。通過上述求解，可知：對已知軌跡曲線的，往往用自然坐標比較容易。15例3：一動點位置函數(shù)為：x=50t，y=500-

9、5t2，式中：x和y以m計， t以s計。試求（1）動點運動的軌跡；（2）動點沿運動軌跡的運動規(guī)律；（3）當t=0時，動點的切向、法向度及軌跡的曲率半徑。解: （1）在直角坐標的運動描述中，消去時間t得軌跡方程：x2 250000 500 y（2）沿軌跡的運動規(guī)律，就是要轉(zhuǎn)化為自然坐標的描述。若在軌跡上建立自然坐標（如圖示），則y500 O1 x 50v x2 y 2 502 (10)2 t 2 d s y 10td tsts d s 10 52 t 2 d t時間零點對應(yīng)點O1。00O500 xs 5t5 t125ln( t 5 t ) 125ln 5222222t 52 t 2s 5t5 t

10、125lns516（3）當t=0時，動點的切向、法向度及軌跡的曲率半徑 x 50v x2 y 2 1025 t 2 y 10ta d v xx yy x 0a xx yy10ttd t22因為 y 10tx2 y 225 t 2x ya x2 y2 10m/s 2y此圓僅表示點O1O1v的曲率半徑，曲a a2 a2 xy yxan線上個點具有不ntx2 y 2同的曲率半徑。(10t)250Ox102 25 t 225 t 2v2(x2 y 2 )3/ 2at 0 當t=0時，axy yxan2n 250 m 2(25 t 2 )3/ 217例3：一動點M用直角坐標描述的方程為：x=lcost，

11、y=bsint，式中l(wèi)、b、為常量。試求：（1）動點M的軌跡方程；（2）沿軌跡的運動描述；（3）切向度與法向度；（4）曲率半徑的表達式。解: （1）在直角坐標的運動描述中，消去時間t得軌跡方程： x ys lcost( x )2 ( y )2 1 ylbbx sin tOlO1 b（2）沿軌跡的運動描述，就是要轉(zhuǎn)化為自然坐標的描述。若在軌跡上建立自然坐標（如圖示），則x l sin td sv x2 y 2 l 2 sin 2 t b2 cos2 t y b costd tsts d s l 2 sin 2 t b2 cos2 t d t時間零點對應(yīng)點O1。001822sint 1 2 d 設(shè)

12、： tan t 則： d t cos2 t 11 21 2 l 22 b2s d (1 2 )3/ 219（3）切向度與法向度x l sin tv x2 y 2 l 2 sin 2 t b2 cos2 t y b costd vxx yy x l 2 cost at d t x2 y 2因為 y b 2 sin txx yyl 2 b22at sin t costx2 y 2l 2 sin 2 t b2 cos2 ta x2 y2 2l 2 cos2 t b2 sin 2 ta a2 a2 xy yxntx2 y 2 2l 2 cos2 t b2 sin 2 t (l b ) sint cos

13、 t22222l 2 sin 2 t b2 cos2 tlb 2l 2 sin 2 t b2 cos2 t20v x2 y 2 l 2 sin 2 t b2 cos2 tlb 2an l 2 sin 2 t b2 cos2 t（4）曲率半徑的表達式v2 an v (x y )222 3/ 2anxy yx 2 (l 2 sin 2 t b2 cos2 t) (l 2 sin 2 t b2 cos2 t)3/ 2lb 2 /l 2 sin 2 t b2 cos2 tlb21例4：一質(zhì)點M沿軸x作直線運動，其度a=rcost，式中：r、為常量，初瞬時其速度為零，并處于r處。試求其運動規(guī)律（點M位置

14、隨時間t的歷程）。解: 根據(jù)度、速度、位置函數(shù)間的積分關(guān)系求解。x a r2 cost即d x r costd txt分離變量，積分 0 d x rcost( d t)將初條件寫0入積分的上下得 v x r sin t即d x r sin t限，成為定積d t分形式。xt分離變量，積分d x rsin t( d t)r0得x r(1 cost)224. 補充習(xí)題231 一動點M的度方程為 =x5xm/s2，當t=0時，x0=0.3m ,x0 =0.6m/s。試用x的函數(shù)表示動點M的速度。x 5x2 0.09 m/ sx2某起重機以v1=1m/s的速度沿水平向朝右行駛，并以v2=2m/s的速度向

15、上一重物，重物離頂點高度h=10m。取圖時的位置為坐標原點O，試求重物的位置、軌跡示重物開始方程、重物的速度以及到達頂點的時間。x=t（m），y=2t（m），y=2x（m）， v=5m/s，t=5s。243桿AB長為l，滑塊A和C各沿軸y和軸x作直線運動，BC=b， =kt (k為常數(shù))，。試寫出點B的位置，并求其軌跡。x2 y2x=lsinkty=bcoskt, 1，。l 2b22514一點沿半徑為R的圓周按規(guī)律運動。試求：度大小等于bs v t bt202（1）此點的度(表示時間t的函數(shù))；（2）的時間及此時點走過的圈數(shù)。v2)4v(;（2）t ， n （1）a b204Rb 0b。R22

16、6275動點沿圖示半徑R=1m的圓周按v=20-ct的規(guī)律運動，式中，v以m/s計，t以s計，c為常數(shù)。若動點經(jīng)過A,B兩點時的速度分別為vA=10m/s，vB=5m/s。試求動點從A到B所需要的時間和在點B時的度。t=0.209s，a=34.57m/s2。6度at沿半徑R的圓周度大小相等的時刻。一點從狀態(tài)開始，以勻切向運動。試求點的切向度和法向Ratt 。28297點M沿圖示半徑為r的圓弧運動，該點的速度v在直徑AB方向上的投影vx是常數(shù)。試求點M的速度、度和角 的關(guān)系。2v vx,a vx 1。sin rsin3 308M由作平移的T字形桿ABD帶動，沿曲線y2=2cx軌道運動， 。T形桿

17、的速度v=const。試求 M的速度和加速度的大小(寫成桿位移x的函數(shù))。v v 1 c, a v2c 。2M2xM4xx319銷釘A由導(dǎo)桿B帶動沿半徑R=250mm的固定圓弧槽運動，導(dǎo)桿B沿絲桿以勻速v0=2m/s向上運動。試求 =30時，銷釘A的切向度和法向度。an=21.33m/s2, at=12.33m/s2。3210，鉛直導(dǎo)桿以不變速度v0向右運動，并帶動銷子M沿拋物線槽x=y2/3運動，式中x,y以m計。試求在y=2m處軌跡的曲率半徑 和銷子M在該位置的切向 度。 =6.944m，a 0.1688v2 m/s2。t03311一圓板在Oxy平面內(nèi)運動。已知圓板中心C的位置為 xC=3

18、-4t+2t2， yC=4+2t+t2（其中，xC，yC以m計，t以s計）。板上一點M與點C的距離為l=0.4m，直線段CM與軸x的夾角=2t 2(以 rad計，t以s計)，試求t=1s時點M的速度與度。v=(-1.46i+3.33j)（m/s），a=(5.21i-4.48j)m/s2。12，具有鉛垂固定轉(zhuǎn)軸的起重機回轉(zhuǎn)時，其轉(zhuǎn)角 =t ( = const)，而起重臂AB和撐桿OA的夾角 保持不變，經(jīng)點A用纜索吊一重物M，以勻速v0上升，纜索到軸Oz的垂直距離為l。試求重物的運動軌跡、速度與半徑。度大小和軌跡的曲率l 2 2v2xlz cos , l 22, v v2, a l20l 2x2+y2=l2,。0nv034和曲柄OA鉸接，并穿