拉普拉斯變換的基本原理和性質(zhì)PPT通用課件

1、第14章 線性動(dòng)態(tài)電路的 復(fù)頻域分析重點(diǎn) (1) 拉普拉斯變換的基本原理和性質(zhì) (2) 掌握用拉普拉斯變換分析線性電 路的方法和步驟 下 頁(3) 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的概念(4) 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn) 拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時(shí)間函數(shù)f(t)與復(fù)變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來，把時(shí)域問題通過數(shù)學(xué)變換為復(fù)頻域問題，把時(shí)域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程以便求解。應(yīng)用拉氏變換進(jìn)行電路分析稱為電路的復(fù)頻域分析法，又稱運(yùn)算法。14.1 拉普拉斯變換的定義1. 拉氏變換法下 頁上 頁例一些常用的變換對(duì)數(shù)變換下 頁上 頁乘法運(yùn)算變換為加法運(yùn)算相量法時(shí)域的正弦運(yùn)算變換為復(fù)數(shù)運(yùn)算拉氏變換F(s)(頻域象函數(shù))

2、對(duì)應(yīng)f(t)(時(shí)域原函數(shù))下 頁上 頁2. 拉氏變換的定義定義 0 , )區(qū)間函數(shù) f(t)的拉普拉斯變換式：正變換反變換s 復(fù)頻率積分下限從0 開始，稱為0 拉氏變換 。積分下限從0 + 開始，稱為0 + 拉氏變換 。 積分域下 頁上 頁注意今后討論的均為0 拉氏變換。0 ,0區(qū)間 f(t) =(t)時(shí)此項(xiàng) 0象函數(shù)F(s) 存在的條件：如果存在有限常數(shù)M和 c 使函數(shù) f(t) 滿足： 則f(t)的拉氏變換式F(s)總存在，因?yàn)榭偪梢哉业揭粋€(gè)合適的s 值使上式積分為有限值。下 頁上 頁象函數(shù)F(s) 用大寫字母表示,如I(s)，U(s)。原函數(shù)f(t) 用小寫字母表示，如 i(t), u(

3、t)。3.典型函數(shù)的拉氏變換 (1)單位階躍函數(shù)的象函數(shù)下 頁上 頁(3)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)(2)單位沖激函數(shù)的象函數(shù)下 頁上 頁14.2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1.線性性質(zhì)下 頁上 頁證例1解例2解 根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)，求函數(shù)與常數(shù)相乘及幾個(gè)函數(shù)相加減的象函數(shù)時(shí)，可以先求各函數(shù)的象函數(shù)再進(jìn)行相乘及加減計(jì)算。下 頁上 頁結(jié)論2. 微分性質(zhì)下 頁上 頁證若足夠大0例解下 頁上 頁利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù)推廣：解下 頁上 頁下 頁上 頁3.積分性質(zhì)證應(yīng)用微分性質(zhì)下 頁上 頁例解4.延遲性質(zhì)下 頁上 頁證例1例2求矩形脈沖的象函數(shù)解根據(jù)延遲性質(zhì)求三角波的象函數(shù)解下 頁上 頁TTf(t)01T

4、tf(t)0求周期函數(shù)的拉氏變換 設(shè)f1(t)為一個(gè)周期的函數(shù)例3解下 頁上 頁.tf(t)1T/2T0下 頁上 頁對(duì)于本題脈沖序列5.拉普拉斯的卷積定理下 頁上 頁證14.3 拉普拉斯反變換的部分分式展開 用拉氏變換求解線性電路的時(shí)域響應(yīng)時(shí)，需要把求得的響應(yīng)的拉氏變換式反變換為時(shí)間函數(shù)。由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用公式(2)對(duì)簡(jiǎn)單形式的F(s)可以查拉氏變換表得原函數(shù)下 頁上 頁(3)把F(s)分解為簡(jiǎn)單項(xiàng)的組合部分分式展開法利用部分分式可將F(s)分解為：下 頁上 頁象函數(shù)的一般形式待定常數(shù)討論待定常數(shù)的確定：方法1下 頁上 頁方法2求極限的方法令s = p1下 頁上 頁例解法1解法

5、2下 頁上 頁原函數(shù)的一般形式下 頁上 頁K1、K2也是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)注意下 頁上 頁例解下 頁上 頁下 頁上 頁例解下 頁上 頁 n =m 時(shí)將F(s)化成真分式和多項(xiàng)式之和 由F(s)求f(t) 的步驟： 求真分式分母的根，將真分式展開成部分分式 求各部分分式的系數(shù) 對(duì)每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉氏反變換 。下 頁上 頁小結(jié)例解下 頁上 頁14.4 運(yùn)算電路基爾霍夫定律的時(shí)域表示：1.基爾霍夫定律的運(yùn)算形式下 頁上 頁根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)得KCL、KVL的運(yùn)算形式對(duì)任一結(jié)點(diǎn)對(duì)任一回路u=Ri2.電路元件的運(yùn)算形式 電阻R的運(yùn)算形式取拉氏變換電阻的運(yùn)算電路下 頁上 頁uR(t)i(t)R+-

6、時(shí)域形式：R+- 電感L的運(yùn)算形式取拉氏變換,由微分性質(zhì)得L的運(yùn)算電路下 頁上 頁i(t)+ u(t) -L+ -sLU(s)I(s)+-時(shí)域形式：sL+ U(s)I(s ) - 電容C的運(yùn)算形式C的運(yùn)算電路下 頁上 頁i(t)+ u(t) -C時(shí)域形式：取拉氏變換,由積分性質(zhì)得+ -1/sCU(s)I(s)+-1/sCCu(0-)+ U(s)I(s ) - 耦合電感的運(yùn)算形式下 頁上 頁i1*L1L2+_u1+_u2i2M時(shí)域形式：取拉氏變換,由微分性質(zhì)得互感運(yùn)算阻抗耦合電感的運(yùn)算電路下 頁上 頁+-+sL2+sM+ +sL1- + 受控源的運(yùn)算形式受控源的運(yùn)算電路下 頁上 頁時(shí)域形式：b

7、i1+_u2i2_u1i1+R取拉氏變換+_+R3. RLC串聯(lián)電路的運(yùn)算形式下 頁上 頁u (t)RC-+iLU (s)R1/sC-+sLI (s)時(shí)域電路 拉氏變換運(yùn)算電路運(yùn)算阻抗下 頁上 頁運(yùn)算形式的歐姆定律u (t)RC-+iL+-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-)拉氏變換下 頁上 頁+-U (s)R1/sC-+sLI (s)+-Li(0-) 電壓、電流用象函數(shù)形式； 元件用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納表示； 電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。下 頁上 頁電路的運(yùn)算形式小結(jié)例給出圖示電路的運(yùn)算電路模型。1F100.5H50V+-uC+-iL51020解t=0 時(shí)開關(guān)打開

8、uc(0-)=25V iL(0-)=5A時(shí)域電路注意附加電源下 頁上 頁1F100.5H50V+-uC+-iL51020200.5s-+-1/s25/s2.5V5IL(s)UC(s)t 0 運(yùn)算電路14.5 應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路 由換路前的電路計(jì)算uc(0-) , iL(0-) ； 畫運(yùn)算電路模型，注意運(yùn)算阻抗的表示和附加電源的作用； 應(yīng)用前面各章介紹的各種計(jì)算方法求象函數(shù)； 反變換求原函數(shù)。下 頁上 頁1. 運(yùn)算法的計(jì)算步驟例1(2) 畫運(yùn)算電路解(1) 計(jì)算初值下 頁上 頁電路原處于穩(wěn)態(tài)，t =0 時(shí)開關(guān)閉合，試用運(yùn)算法求電流 i(t)。1V1H11Fi+-11/ss11/sI(

9、s)+-1+-uC(0-)/s(3) 應(yīng)用回路電流法下 頁上 頁1/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s下 頁上 頁(4)反變換求原函數(shù)下 頁上 頁例2，求uC(t)、iC(t)。圖示電路RC+ucis解畫運(yùn)算電路1/sC+Uc(s)R下 頁上 頁1/sC+Uc(s)Rt = 0時(shí)打開開關(guān) ,求電感電流和電壓。例3下 頁上 頁解計(jì)算初值+-i10.3H0.1H10V23i2畫運(yùn)算電路10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23下 頁上 頁10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23注意UL1(s)下 頁上 頁10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-

10、233.75ti1520下 頁上 頁uL1-6.56t-0.375(t)00.375(t)uL2t-2.190下 頁上 頁注意 由于拉氏變換中用0- 初始條件，躍變情況自動(dòng)包含在響應(yīng)中，故不需先求 t =0+時(shí)的躍變值。 兩個(gè)電感電壓中的沖擊部分大小相同而方向相反，故整個(gè)回路中無沖擊電壓。 滿足磁鏈?zhǔn)睾?。?頁14.6 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義1. 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H（s）的定義 線性線性時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)在單一電源激勵(lì)下，其零狀態(tài)響應(yīng)的像函數(shù)與激勵(lì)的像函數(shù)之比定義為該電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)。下 頁上 頁由于激勵(lì)E(s)可以是電壓源或電流源，響應(yīng)R(s)可以是電壓或電流，故 s 域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可以是驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗（導(dǎo)納），轉(zhuǎn)移

11、阻抗（導(dǎo)納），電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)或電流轉(zhuǎn)移函數(shù)。下 頁上 頁注意若E(s)=1，響應(yīng)R(s)=H(s)，即網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是該響應(yīng)的像函數(shù)。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù)是電路的沖擊響應(yīng) h(t)。2.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的應(yīng)用由網(wǎng)絡(luò)函數(shù)求取任意激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng)例下 頁上 頁1/4F2H2i(t)u1+-u21解畫運(yùn)算電路下 頁上 頁I1(s)4/s2sI(s)U1(s)U2(s)2+-1例下 頁上 頁解畫運(yùn)算電路電路激勵(lì)為，求沖激響應(yīng)GC+ucissC+Uc(s)G下 頁上 頁3. 應(yīng)用卷積定理求電路響應(yīng)結(jié)論 可以通過求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)與任意激勵(lì)的象函數(shù)E(s)之積的拉氏反變換求得該網(wǎng)絡(luò)在任何激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng) 。 K1=3 ,

12、K2= -3例解下 頁上 頁圖示電路 ，沖擊響應(yīng)，求uC(t)。線性無源電阻網(wǎng)絡(luò)+-usCuc+-14.7 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)1. 極點(diǎn)和零點(diǎn)下 頁上 頁當(dāng) s =zi 時(shí)，H(s)=0， 稱 zi 為零點(diǎn)， zi 為重根，稱為重零點(diǎn)；當(dāng) s =pj 時(shí)，H(s) ， 稱 pj 為極點(diǎn)，pj 為重根，稱為重極點(diǎn)；2. 復(fù)平面（或s 平面） 在復(fù)平面上把 H(s) 的極點(diǎn)用 表示 ，零點(diǎn)用 o 表示。零、極點(diǎn)分布圖下 頁上 頁zi ， Pj 為復(fù)數(shù)jo0例繪出其極零點(diǎn)圖。解下 頁上 頁下 頁上 頁24 -1jo0o14.8 極點(diǎn)、零點(diǎn)與沖激響應(yīng)零狀態(tài)e(t)r(t)激勵(lì) 響應(yīng)下 頁上 頁1.

13、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與沖擊響應(yīng)零狀態(tài)(t)h(t) 1 R(s)沖擊響應(yīng)H(s) 和沖激響應(yīng)構(gòu)成一對(duì)拉氏變換對(duì)。結(jié)論H0=-10例 已知網(wǎng)絡(luò)函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)為s =0、s =-1，一個(gè)單零點(diǎn)為s=1，且有 ，求H(s) 和 h(t）。解由已知的零、極點(diǎn)得：下 頁上 頁下 頁上 頁2. 極點(diǎn)、零點(diǎn)與沖擊響應(yīng) 若網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為真分式且分母具有單根，則網(wǎng)絡(luò)的沖擊響應(yīng)為：討論當(dāng)Pi為負(fù)實(shí)根時(shí)，h(t)為衰減的指數(shù)函數(shù)，當(dāng)Pi為正實(shí)根時(shí)，h(t)為增長(zhǎng)的指數(shù)函數(shù)； 極點(diǎn)位置不同，響應(yīng)性質(zhì)不同，極點(diǎn)反映網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)動(dòng)態(tài)過程中自由分量的變化規(guī)律。注意下 頁上 頁j0不穩(wěn)定電路穩(wěn)定電路下 頁上 頁j0當(dāng)Pi為共軛復(fù)數(shù)時(shí)，h(t)為衰減或增長(zhǎng)的正弦函數(shù)； 不穩(wěn)定電路穩(wěn)定電路下 頁上 頁j0當(dāng)Pi為虛根時(shí)，h(t)為純正弦函數(shù)，當(dāng)Pi為零時(shí)，h(t)為實(shí)數(shù)； 注意 一個(gè)實(shí)際的線性電路是穩(wěn)定電路，其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)一定位于左半平面。根據(jù)的極點(diǎn)分布情況和激勵(lì)變化規(guī)律可以預(yù)見時(shí)域響應(yīng)的全部特點(diǎn)。14.9 極點(diǎn)、零點(diǎn)與頻率響應(yīng) 令